Tuletise rakendused

Mõiste

Tuletis kirjeldab muutumiskiirust ja graafiku puutuja tõusu.

Eeldus: oskad leida tuletist, lahendada võrrandit $f'(x)=0$ ja tõlgendada funktsiooni graafikut.

Kasutus

• Kui $f'(x)>0$, siis funktsioon kasvab.
• Kui $f'(x)<0$, siis funktsioon kahaneb.
• Ekstreemumi kandidaat on punkt, kus $f'(x)=0$; lõpliku otsuse annab tuletise märgi muutus või muu lisakontroll.

Erista: $f(x_0)$ on funktsiooni väärtus punktis, $f'(x_0)$ on puutuja tõus ja muutumiskiirus seal.

Tuletise rakendustes on tüüpiline tööjärjekord:

1. Leia tuletis $f'(x)$.
2. Lahenda võrrand $f'(x)=0$.
3. Jaga arvtelg saadud punktide järgi vahemikeks.
4. Kontrolli igas vahemikus tuletise märki.
5. Tee järeldus kasvamise, kahanemise ja ekstreemumite kohta.
6. Tõlgenda vastus algse ülesande keeles.

Kasvamine ja kahanemine

Näide

Olgu

$$f(x)=x^2-6x+5.$$

Siis

$$f'(x)=2x-6.$$

Ekstreemumi kandidaat:

$$2x-6=0 \Rightarrow x=3.$$

Kui $x<3$, siis $f'(x)<0$, seega funktsioon kahaneb.

Kui $x>3$, siis $f'(x)>0$, seega funktsioon kasvab.

Järelikult on punktis $x=3$ miinimum.

Funktsiooni väärtus seal on

$$f(3)=3^2-6\cdot3+5=-4.$$

Vastus: funktsioon kahaneb enne $x=3$, kasvab pärast seda ja miinimumpunkt on (3;-4).

Ekstreemumid

Kui tuletise märk muutub

• plussist miinuseks, siis on lokaalne maksimum;
• miinusest plussiks, siis on lokaalne miinimum.

Näiteks funktsiooni

$$g(x)=-x^2+4x+1$$

tuletis on

$$g'(x)=-2x+4.$$

Võrrand $g'(x)=0$ annab

$$-2x+4=0,$$

$$x=2.$$

Kui $x<2$, siis $g'(x)>0$; kui $x>2$, siis $g'(x)<0$. Funktsioon kasvab enne $x=2$ ja kahaneb pärast seda, seega on seal maksimum.

Maksimumi väärtus:

$$g(2)=-4+8+1=5.$$

Vastus: teisel funktsioonil on maksimum punktis (2;5).

Puutuja võrrand

Funktsiooni $y=f(x)$ puutuja punktis $x=x_0$ on sirge, mille tõus on $f'(x_0)$.

Puutuja võrrand:

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

Näiteks olgu

$$f(x)=x^2.$$

Leiame puutuja punktis $x_0=2$.

$$f(2)=4,$$

$$f'(x)=2x,$$

$$f'(2)=4.$$

Seega

$$y-4=4(x-2),$$

ehk

$$y=4x-4.$$

Tüüpviga

Tingimus $f'(x)=0$ annab kandidaadi; eraldi tuleb otsustada, kas see on miinimum, maksimum või muu punkt.

Teine tüüpviga on arvata, et $f'(x)>0$ tähendab positiivset funktsiooni väärtust. Tegelikult tähendab see kasvamist; funktsioon ise võib olla allpool $x$-telge.

Kolmas tüüpviga on puutuja võrrandis kasutada tõusuna $f(x_0)$, mitte $f'(x_0)$. Puutuja tõus tuleb tuletisest.

Neljas tüüpviga on jätta ekstreemumi vastus mudeli keelde tõlgendamata. Kui $x$ tähistab aega või kogust, peab lõppvastus seda ütlema.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $f(x)=x^2$ tuletis punktis $x=4$.
2. Leia, kus $f(x)=x^2-4x$ tuletis on null.
3. Mida tähendab negatiivne tuletis?

Rakendus

1. Kuluindeks on $K(x)=x^2-8x+30$, kus $x$ on tootmismaht sadades ühikutes. Leia vähim kuluindeks ja tõlgenda $x$.
2. Palli kõrgus on $h(t)=-5t^2+30t$ meetrit. Millal ja kui kõrgel on pall maksimaalselt?

Mõtlemisülesanne

1. Leia funktsiooni $f(x)=x^2+1$ puutuja punktis $x_0=1$. Kasuta puutujat väärtuse $f(1{,}1)$ hindamiseks ja võrdle täpse väärtusega.
2. Kui $f'(x)$ muutub plussist miinuseks, siis mis tüüpi ekstreemum tekib?
3. Tulu mudel on $T(x)=-x^2+10x$ piirkonnas $0\le x\le8$, kus $x$ on müük sadades ühikutes. Leia suurim tulu, kontrollides ka otspunkte.

Vastused

1. $f'(x)=2x$, seega $f'(4)=8$.
2. $f'(x)=2x-4$, seega $f'(x)=0$ annab $x=2$.
3. Funktsioon kahaneb selles vahemikus, sest puutuja tõus on negatiivne.
4. $K'(x)=2x-8=0$ annab $x=4$ ja $K(4)=14$. Miinimum tekib 400 ühiku tootmisel.
5. $h'(t)=-10t+30=0$ annab $t=3$ s. Siis $h(3)=45$ m; allapoole avanev parabool kinnitab maksimumi.
6. $f(1)=2$ ja $f'(1)=2$, seega puutuja on $y=2x$. Hinnang on $2{,}2$, täpne väärtus $2{,}21$; viga on $0{,}01$.
7. Lokaalne maksimum, sest enne punkti funktsioon kasvab ja pärast kahaneb.
8. Kandidaat on $x=5$: $T(5)=25$. Otspunktides $T(0)=0$ ja $T(8)=16$, seega suurim tuluindeks on 25 müügil 500 ühikut.

Seosed

Tuletise rakendused näitavad, kuidas muutumiskiiruse abil teha otsuseid. Järgmine moodul pöörab küsimuse ümber: algfunktsioon ja integraal kirjeldavad kogunenud suurust.