Algfunktsioon ja määramata integraal Matemaatika kiirreferents

Algfunktsioon ja määramata integraal

Mõiste

Algfunktsioon on tuletise tagasikäik. Kui

$$F'(x)=f(x),$$

siis $F(x)$ on funktsiooni $f(x)$ algfunktsioon.

Eeldus: oskad leida tuletist ja kontrollida tulemust tuletamisega.

Vana oskus, uus suund

Tuletamise reeglid ei kao: liigud nüüd vastassuunas. Kontrolli iga leitud algfunktsiooni tuletamisega; nii peab algne funktsioon tagasi tulema.

Määramata integraal tähendab kõigi algfunktsioonide hulka:

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$

Kirjutis $dx$ näitab, et algfunktsiooni otsitakse muutuja $x$ järgi.

Siin $C$ on suvaline konstant, sest konstandi tuletis on null.

Kui ülesandes on antud lisatingimus, näiteks $F(0)=3$, saab selle abil leida konkreetse $C$. Ilma lisatingimuseta jääb vastuseks kogu pere.

Näiteks funktsioonidel

$$x^2,\qquad x^2+5,\qquad x^2-100$$

on kõigil sama tuletis $2x$. Seepärast kirjutame

$$\int 2x\,dx=x^2+C.$$

Põhireeglid

funktsioon $f(x)$ üks algfunktsioon $F(x)$ määramata integraal
$0$ $0$ $C$
$1$ $x$ $x+C$
$x$ $\frac{x^2}{2}$ $\frac{x^2}{2}+C$
$x^2$ $\frac{x^3}{3}$ $\frac{x^3}{3}+C$
$x^n,\ n\ne-1$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac1x$ `$\ln x $` `$\ln x +C$`
$e^x$ $e^x$ $e^x+C$
$\cos x$ $\sin x$ $\sin x+C$
$\sin x$ $-\cos x$ $-\cos x+C$

Astmefunktsiooni integreerimine:

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne -1.$$

Konstantse kordaja võib ette jätta:

$$\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx.$$

Summa integreeritakse liikmete kaupa:

$$\int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$$

Näide

Leia

$$\int (3x^2-4x+5)\,dx.$$

Integreerime liikmete kaupa:

$$\int 3x^2\,dx=x^3,$$

$$\int -4x\,dx=-2x^2,$$

$$\int 5\,dx=5x.$$

Seega

$$\int (3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C.$$

Kontroll: tuletis avaldisest $x^3-2x^2+5x+C$ on $3x^2-4x+5$.

Veel üks näide:

$$\int \left(\frac1x+\cos x\right)\,dx=\ln|x|+\sin x+C.$$

Tüüpviga

Määramata integraali lõpus ei tohi unustada +C. Ilma selleta on kirjas ainult üks algfunktsioon, mitte kõik võimalikud algfunktsioonid.

Teine tüüpviga on kasutada astmereeglit funktsiooni $\frac1x$ jaoks. Kuna $\frac1x=x^{-1}$, annaks astmereegel jagamise nulliga. Selle erijuht on

$$\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C.$$

Kolmas tüüpviga on unustada kontrollida vastust tuletamisega. Määramata integraali vastust saab alati kontrollida: tuleta saadud algfunktsioon ja vaata, kas saad tagasi algse funktsiooni.

Neljas tüüpviga on segada määramata ja määratud integraal. Määramata integraal annab funktsioonide pere $F(x)+C$; määratud integraal annab arvu.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Leia $\int 2x\,dx$.
  2. Leia $\int (x^2+4)\,dx$.
  3. Leia $\int (6x^2-2x+1)\,dx$.

Rakendus

  1. Koguse muutumiskiirus on $V'(t)=2t$ ja $V(0)=3$. Leia $V(t)$.
  2. Leia $\int \frac1x\,dx$.

Mõtlemisülesanne

  1. Leia $F(x)$, kui $F'(x)=e^x+\sin x$ ja $F(0)=2$.
  2. Miks on määramata integraali lõpus vaja kirjutada +C?
  3. Kas $\int 2x\,dx=x^2$ on vale või puudulik vastus? Põhjenda.

Vastused

  1. $x^2+C$; kontrolliks $(x^2+C)'=2x$.
  2. $\frac{x^3}{3}+4x+C$, sest algfunktsioon tuletub tagasi kujule $x^2+4$.
  3. Lahenduskäik: integreeri liikmeti: $\int6x^2dx=2x^3$, $\int-2x dx=-x^2$ ja $\int1dx=x$. Vastus on $2x^3-x^2+x+C$.
  4. $V(t)=t^2+C$. Tingimus $V(0)=3$ annab $C=3$, seega $V(t)=t^2+3$.
  5. $\ln|x|+C$; see on erijuht, kus astmereeglit ei kasutata.
  6. $F(x)=e^x-\cos x+C$. Kuna $F(0)=C=2$, siis $F(x)=e^x-\cos x+2$.
  7. Sest konstandi tuletis on 0, seega sama tuletisega algfunktsioone on lõpmata palju.
  8. Määramata integraali vastusena on see puudulik, sest vaja on kogu pere $x^2+C$.

Seosed

Algfunktsioon valmistab ette määratud integraali. Järgmises peatükis kasutatakse algfunktsiooni väärtuste vahet, et leida arvuline pindala või kogunenud suurus.