Teine tuletis, kõverus ja käänupunkt

Mõiste

Teine tuletis on tuletise tuletis:

Eeldus: oskad leida esimese tuletise, koostada selle märgitabeli ning kasutada tuletist kasvamise, kahanemise ja ekstreemumite uurimiseks.

$$f''(x)=(f'(x))'.$$

Esimene tuletis kirjeldab funktsiooni tõusu. Teine tuletis kirjeldab, kuidas see tõus muutub.

• Kui $f''(x)>0$, siis tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
• Kui $f''(x)<0$, siis tõus väheneb ja graafik kõverdub allapoole.

Õpikutes nimetatakse neid vastavalt nõgusus- ja kumerusvahemikeks. Kindla järelduse alus on siiski $f''$ märk ja graafiku kuju.

Käänupunkt on graafiku punkt, kus kõveruse suund muutub. Võrrand $f''(x)=0$ annab ainult kandidaadi; käänupunkti kinnitab `$f''$ märgi muutus.

Funktsiooni tervikliku uurimise järjekord on:

1. määra määramispiirkond, nullkohad ja telgede lõikepunktid;
2. leia $f'$, kriitilised punktid ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud;
3. leia $f'', kõveruse vahemikud ja käänupunktid;
4. kontrolli otspunkte, piirväärtusi või asümptoote, kui ülesanne neid vajab;
5. visanda graafik kooskõlas kõigi järeldustega.

Näide

Uuri funktsiooni $f(x)=x^3-3x$ ekstreemumeid ja käänupunkti.

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Kriitilised punktid on $x=-1$ ja $x=1$. Tuletise märk näitab maksimumi punktis $(-1;2)$ ja miinimumi punktis $(1;-2)$.

$$f''(x)=6x.$$

Võrrand $f''(x)=0$ annab $x=0$. Vasakul on $f''<0$, paremal $f''>0$, seega kõveruse suund muutub. Käänupunkt on $(0;0)$.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga $f''(x)=0$ lahend käänupunktiks. Näiteks funktsioonil $f(x)=x^4$ on $f''(0)=0$, kuid $f''(x)=12x^2$ ei vaheta nulli läbides märki.

Teine tüüpviga on kasutada $f''$ märki kasvamise otsustamiseks. Kasvamise määrab $f'$; $f''$ kirjeldab tõusu muutumist.

Kolmas tüüpviga on anda vaid $x$-koordinaat. Ekstreemum ja käänupunkt on graafiku punktid, seega leia ka $y=f(x)$.

Neljas tüüpviga on visandada graafik enne märgitabelite kontrollimist ning sundida hilisemad arvutused pildiga sobima.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $f''(x)$, kui $f(x)=x^3-2x^2+5$.
2. Mida näitab tingimus $f''(x)>0$?
3. Kas $f''(x_0)=0$ tõestab alati käänupunkti olemasolu? Põhjenda.

Rakendus

1. Liikumise asukoht on $s(t)=t^3-6t^2+9t$ meetrites. Leia kiirus ja kiirendus hetkel $t=2$ s.
2. Uuri funktsiooni $f(x)=x^3-6x^2+9x$ kõveruse suunda ja leia käänupunkt.
3. Tulu mudel on $T(x)=-x^3+6x^2$ vahemikus $0\le x\le5$. Leia, kus tulu kasvab, ja otsusta teise tuletise abil, kuidas kasvu kiirus muutub.

Mõtlemisülesanne

1. Võrdle funktsioone $x^4$ ja $x^3$ punktis 0: mõlemal on $f''(0)=0$, kuid kummal on käänupunkt? Põhjenda märkidega.
2. Uuri funktsiooni $f(x)=x^4-4x^2$ ekstreemumeid ja käänupunkte ning koosta nende põhjal graafiku visand.
3. Õpilane väidab: „Kui $f''>0$, siis $f>0$.” Leia vastunäide ja selgita, mida $f''>0$ tegelikult tähendab.

Vastused

1. $f'(x)=3x^2-4x$ ja $f''(x)=6x-4$.
2. Funktsiooni tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
3. Ei. Käänupunkt vajab kõveruse suuna ehk `$f''$ märgi muutust.
4. $s'(t)=3t^2-12t+9$ ja $s''(t)=6t-12$; hetkel 2 s on kiirus -3 m/s ja kiirendus 0 m/s².
5. $f''(x)=6x-12$. See on negatiivne, kui $x<2$, ja positiivne, kui $x>2$; käänupunkt on $(2;-2)$.
6. $T'(x)=-3x(x-4)$, seega tulu kasvab vahemikus (0;4). $T''(x)=12-6x$: kasv kiireneb kuni $x=2$ ja aeglustub pärast seda.
7. Funktsioonil $x^3$ vahetab $f''(x)=6x$ märki, seega on käänupunkt. Funktsioonil $x^4$ on $f''(x)=12x^2\ge0$, märgimuutust pole.
8. $f'(x)=4x(x^2-2)$: maksimum on (0;0) ja miinimumid $(\pm\sqrt2;-4)$. $f''(x)=12x^2-8$, seega käänupunktide $x$-koordinaadid on $\pm\sqrt{\frac23}$; märgitabel määrab kõveruse vahemikud.
9. Näiteks $f(x)=x^2-10$ korral $f''=2>0$, kuid $f(0)=-10$. Teine tuletis kirjeldab tõusu muutumist, mitte funktsiooni väärtuse märki.

Seosed

Teine tuletis lõpetab funktsiooni uurimise põhitee: arvutusest saad graafiku kuju ja mudeli muutumise selgituse. Järgmine osa pöörab tähelepanu kogunenud suurusele ning algfunktsioonile.