Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Matemaatika kiirreferents

Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Mõiste

Astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilistel funktsioonidel on eri põhituletised. Enne arvutamist tunne ära funktsioonipere; seejärel rakenda vajaduse korral summa-, korrutise-, jagatise- või ahelreeglit.

Eeldus: oskad kasutada tuletise põhireegleid ning tead, et trigonomeetriliste funktsioonide tuletisvalemites mõõdetakse nurka radiaanides.

Erifunktsioonide tuletiste kaart
Funktsioonipere määrab põhituletise; liitfunktsiooni korral korrutatakse tulemus sisemise funktsiooni tuletisega.
Funktsioon Tuletis Tingimus
$e^x$ $e^x$ kõik reaalarvud
$a^x$ $a^x\ln a$ `$a>0$, $a\ne1$
$\ln x$ $\frac1x$ $x>0$
$\log_a x$ $\frac1{x\ln a}$ $x>0$, $a>0$, $a\ne1$
$\sin x$ $\cos x$ $x$ radiaanides
$\cos x$ $-\sin x$ $x$ radiaanides
$\tan x$ $\frac1{\cos^2x}$ $\cos x\ne0$

Põhivalemid on

$$(e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x,$$
$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.$$

Kui funktsiooni sees on avaldis $g(x)$, lisa ahelreegliga sisemise funktsiooni tuletis:

$$(e^{g(x)})'=e^{g(x)}g'(x),$$
$$(\ln g(x))'=\frac{g'(x)}{g(x)},\qquad g(x)>0.$$

Samamoodi

$$(\sin g(x))'=\cos(g(x))g'(x).$$

Näide

Leia funktsiooni

$$f(x)=e^{2x}+\ln(x+1)-3\cos x$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa ja kasutame kahes esimeses liikmes ahelreeglit:

$$f'(x)=2e^{2x}+\frac1{x+1}+3\sin x.$$

Algse funktsiooni määramispiirkond nõuab $x>-1$; sama piirang jääb ka tuletise kasutamisel oluliseks.

Tüüpviga

Esimene tüüpviga on kirjutada $(a^x)'=xa^{x-1}$. See on astmefunktsiooni reegel, kuid $a^x$ on eksponentfunktsioon. Õige on $(a^x)'=a^x\ln a$.

Teine tüüpviga on kaotada miinus: $(\cos x)'=-\sin x$.

Kolmas tüüpviga on jätta liitfunktsioonis sisemine tuletis lisamata. Näiteks $(\ln(3x-1))'=\frac3{3x-1}$, mitte \frac1{3x-1}.

Neljas tüüpviga on unustada määramispiirkond. Logaritmi argument peab olema positiivne ja tangens pole määratud seal, kus $\cos x=0$.

Õpetaja kontrollmõte

Lase õppijal enne tuletamist märkida põhifunktsioon ja sisemine funktsioon. Trigonomeetrilise näite juures küsi eraldi, miks eeldatakse radiaane; logaritmi juures nõua määramispiirkonda.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Leia $(e^x+\sin x)'.
  2. Leia $(2^x+\ln x)'.
  3. Leia $(4\cos x-3\tan x)'.

Rakendus

  1. Bakterite arv on $N(t)=500e^{0{,}2t}$. Leia $N'(t)$ ja tõlgenda $N'(0)$.
  2. Helisignaali mudel on $s(t)=3\sin(4t)$. Leia hetkeline muutumiskiirus $s'(t)$.
  3. Kontsentratsioon on $C(t)=\ln(t+1)$ mg/l. Leia $C'(3)$ ja lisa sobiv ühik.

Mõtlemisülesanne

  1. Leia $f'(x)$, kui $f(x)=x^2e^x$, ning põhjenda kahe reegli kasutamist.
  2. Võrdle funktsioonide $e^{2x}$ ja $(e^x)^2$ tuletisi. Miks saad sama tulemuse?
  3. Õpilane kirjutab $(\sin(x^2))'=\cos(x^2). Leia viga, paranda vastus ja selgita ahelreegli rolli.

Vastused

  1. $e^x+\cos x$.
  2. $2^x\ln2+\frac1x$, kus $x>0$.
  3. $-4\sin x-\frac3{\cos^2x}$, kus $\cos x\ne0$.
  4. $N'(t)=100e^{0{,}2t}$; alghetkel kasvab bakterite arv kiirusega 100 bakterit ajaühikus.
  5. $s'(t)=12\cos(4t)$, sest ahelreegel lisab sisemise tuletise 4.
  6. $C'(t)=\frac1{t+1}$, seega $C'(3)=\frac14$ mg/l ajaühiku kohta.
  7. Korrutise reegel annab $f'(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)$; vaja on astme- ja eksponentfunktsiooni tuletist.
  8. Mõlemad funktsioonid võrduvad $e^{2x}$; ahelreegel annab mõlemal juhul $2e^{2x}$.
  9. Puudu on sisemise funktsiooni tuletis $2x$. Õige vastus on $2x\cos(x^2)$.
Enesediagnoos

Kui 1-3 läks valesti, õpi tabelist neli põhituletist. Kui 4-6 läks valesti, märgi sisemine funktsioon ja selle tuletis. Kui 7-9 läks valesti, otsusta enne, kas avaldise väline kuju on korrutis või liitfunktsioon.

Seosed

Need põhituletised laiendavad varasemaid arvutusreegleid. Järgmistes moodulites kasutatakse neid funktsiooni kasvamise, ekstreemumite, teise tuletise ja graafiku kuju uurimiseks.