Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused Matemaatika kiirreferents

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Mõiste

Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y, \qquad \log_a(x^r)=r\log_a x.$$

Eeldus: oskad vahetada seoseid $a^x=b$ ja $\log_a b=x$ ning kontrollida tingimusi $a>0$, $a\ne1$ ja logaritmi argument $>0$.

Aluse vahetamise valem on

$$\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}.$$

See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.

Eksponentvõrrandis püütakse esmalt saada mõlemale poole sama alus. Kui see ei õnnestu, võetakse mõlemast poolest logaritm. Logaritmvõrrandis kontrollitakse enne teisendamist kõigi argumentide positiivsust.

Eksponent- ja logaritmvõrratuse suund sõltub alusest:

Logaritmvõrrandi kontrollitee
Logaritmvõrrandi lahendamisel märgitakse tingimused, teisendatakse võrrand ning kontrollitakse lahendit algvõrrandis.

Näide

Lahendame

$$\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3.$$

Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi

$$\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=3,$$

seega

$$x^2-1=2^3=8.$$

Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.

Võrratuses

$$\left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^3$$

on alus arvude 0 ja 1 vahel. Funktsioon on kahanev, seega $x<3$.

Tüüpviga

Logaritm ei jaotu summa üle:

$$\log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y.$$

Teine tüüpviga on unustada argumendi tingimus. Algebraline teisendus võib anda kandidaadi, mille korral mõni algne logaritm puudub.

Kolmas tüüpviga on jätta kahaneva aluse korral võrratuse märk pööramata. Enne võrratuse lahendamist otsusta alati, kas alus on suurem kui 1 või arvude 0 ja 1 vahel.

Kontrollsamm

Kirjuta lahenduse algusse tingimused ja lõppu kontroll. Nii ei lähe algebraline kandidaat automaatselt vastuseks.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Avalda ühe logaritmina $\log_3 5+\log_3 9$.
  2. Avalda $\log_2 32-\log_2 4$.
  3. Arvuta $\log_2 7$ aluse vahetamise valemiga kahe komakoha täpsusega.

Rakendus

  1. Kasvumudel on $N(t)=3^{t+1}$. Leia aeg $t$, mil mudeli väärtus on 27.
  2. Lahenda $\log_5(x-4)=2$ ja kontrolli tingimust.
  3. Lahenda $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.

Mõtlemisülesanne

  1. Lahenda $2^x>8$.
  2. Lahenda $\left(\frac13\right)^x\le\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.
  3. Lahenda $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.

Vastused

  1. $\log_3 45$, sest logaritmide summa ühendab argumendid korrutiseks.
  2. $\log_2 8=3$, sest logaritmide vahe ühendab argumendid jagatiseks.
  3. $\log_2 7=\frac{\log 7}{\log2}\approx2{,}81$.
  4. $t=2$, sest $27=3^3$ ja seega $t+1=3$.
  5. $x=29$; argument $x-4=25$ on positiivne.
  6. Tingimus on $x>2$. Võrrand annab $x(x-2)=8$, kandidaadid 4 ja $-2$; vastus on $x=4$.
  7. $x>3$, sest alus 2 on suurem kui 1 ja funktsioon kasvab.
  8. $x\ge3$, sest alus $\frac13$ on kahanev ning võrratuse suund pöördub.
  9. Tingimus on $x>3$. Võrrand annab $(x-1)(x-3)=8$, seega kandidaadid $x=5$ ja $x=-1$; ainult $x=5$ täidab tingimuse.

Seosed

Logaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.