Eksponentfunktsioon ja logaritm

Mõiste

Eksponentfunktsioonis on muutuja astendajas:

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

Eeldus: oskad kasutada astmeid, protsente ja funktsiooni väärtuse arvutamist.

Logaritm vastab küsimusele: millisesse astmesse tuleb alus võtta?

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Seega logaritm on astendamise pöördtehe:

Funktsioonid $y=a^x$ ja $y=\log_a x$ on pöördfunktsioonid: üks vahetab teise sisendi ja väljundi tagasi.

Püsiva protsendilise kasvuga mudel on kujul

$$A(t)=A_0\cdot q^t,$$

kus $A_0$ on algväärtus, $q$ on kasvutegur ja $t$ on aeg.

Kontroll: lineaarse mudeli korral on järjestikuste väärtuste vahe püsiv; eksponentmudeli korral on järjestikuste väärtuste jagatis ehk kordaja püsiv.

Kui suurus kasvab $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1+\frac p{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1-\frac p{100}.$$

Näide

$$\log_2 8=3,$$

sest

$$2^3=8.$$

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas, siis ühe aasta kasvutegur on $1,05$. Kolme aasta pärast on summa

$$1000\cdot1,05^3\approx1157,63\text{ eurot}.$$

Kui aine kogus väheneb igal tunnil 20%, siis kasvutegur on $0,8$. Kui alguses on 50 grammi, siis 4 tunni pärast on

$$50\cdot0,8^4=20,48\text{ g}.$$

Kui küsitakse, mitme sammuga jõutakse mingi väärtuseni, kasutatakse logaritmi. Näiteks

$$2^x=32$$

annab

$$x=\log_2 32=5.$$

Veel üks näide:

$$10^x=0,001.$$

Kuna $0,001=10^{-3}$, siis

$$x=\log_{10}0,001=-3.$$

Kasvumudelis saab logaritmiga leida aja. Kui summa kahekordistub iga sammuga ja alguses on 100 eurot, siis

$$100\cdot2^t=800.$$

Jagame 100-ga:

$$2^t=8.$$

Seega

$$t=\log_2 8=3.$$

Vastus: 800 euroni jõutakse 3 sammuga.

Tüüpviga

Eksponentkasvus ei liideta igal sammul sama arvu, vaid korrutatakse sama teguriga. Näiteks 10% võetakse iga kord uuest väärtusest.

Teine tüüpviga on logaritmi aluse unustamine. $\log_2 8$ ja $\log_{10}8$ ei ole sama arv.

Kolmas tüüpviga on logaritmi vastuseks võtta arv, mille logaritmi arvutatakse. Näiteks $\log_2 8$ ei ole 8. Vastus on aste 3, sest $2^3=8$.

Neljas tüüpviga on logaritmi kasutada siis, kui otsitav ei ole astendajas. Võrrandis $3x=12$ ei ole vaja logaritmi; seal piisab jagamisest.

Viies tüüpviga on võtta logaritm nullist või negatiivsest arvust. Reaalarvude hulgas $\log_a b$ on defineeritud ainult siis, kui $b>0$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\log_2 16$.
2. Kirjuta logaritmina võrdus $5^3=125$.
3. 200 eurot kasvab 10% aastas. Kirjuta summa valem $A(t)$.
4. Leia 200 euro suurune summa 2 aasta pärast 10% aastase kasvuga.

Rakendus

1. Ravimit on 500 mg ja kogus väheneb 30% tunnis. Kirjuta mudel ning leia kogus kahe tunni pärast.
2. Baktereid on 40 ja nende arv kolmekordistub tunnis. Kui palju on neid kolme tunni pärast?
3. Kumb kahaneb kiiremini: $A(t)=100\cdot0{,}8^t$ või $B(t)=100\cdot0{,}9^t$? Põhjenda teguri järgi.

Mõtlemisülesanne

1. Investeeringut kirjeldab $A(t)=200\cdot1{,}15^t$. Mitme täisaasta pärast on summa esimest korda vähemalt 400 eurot? Kasuta logaritmi.
2. Võrdle hetkel $t=5$ mudeleid $P(t)=100\cdot1{,}2^t$ ja $Q(t)=150\cdot1{,}1^t$. Kumb on suurem, kuigi alguses väiksem?
3. 50 ühikut kahekordistub igal sammul. Millal jõuab väärtus esimest korda vähemalt 350-ni? Leia reaalne lahend ja tõlgenda täissammu.
4. Miks ei ole $\log_2(-8)$ reaalarvuna defineeritud?

Vastused

1. $4$, sest $2^4=16$.
2. $\log_5 125=3$; alus on 5 ja vastus on aste.
3. $A(t)=200\cdot1,10^t$, sest 10% kasv annab teguri 1,10.
4. $200\cdot1,10^2=242$ eurot; korrutatakse kasvuteguriga kaks korda.
5. $A(t)=500\cdot0{,}70^t$ ja $A(2)=245$ mg; alles jääb iga tund 70%.
6. $B(t)=40\cdot3^t$, seega $B(3)=1080$ bakterit.
7. $A$, sest tegur 0,8 eemaldab tunnis 20%, tegur 0,9 ainult 10%.
8. $t\ge\frac{\log 2}{\log 1{,}15}\approx4{,}96$; esimene sobiv täisaasta on 5.
9. $P(5)\approx248{,}8$ ja $Q(5)\approx241{,}6$, seega $P$ on möödunud mudelist $Q$.
10. $t\ge\log_2 7\approx2{,}81$; esimene täissamm on 3 ja siis on väärtus 400.
11. Ükski reaalarvuline aste arvust 2 ei anna negatiivset tulemust; logaritmi argument peab olema positiivne.

Seosed

Eksponentfunktsioon kirjeldab kasvu ja kahanemist: intress, populatsioon, radioaktiivne lagunemine, skaala ja helitugevus. Järgmine trigonomeetriliste funktsioonide peatükk käsitleb teist olulist funktsioonipere: perioodilisi seoseid.