Määratud integraal ja pindala

Mõiste

Määratud integraal

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

kirjeldab kogunenud muutust vahemikus $[a;b]$. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.

Eeldus: oskad leida algfunktsiooni ja arvutada avaldise väärtust kahes rajapunktis.

Kui graafik on teljest ülalpool, on panus positiivne. Kui graafik on teljest allpool, on panus negatiivne.

Kontrolli jooniselt: kas küsitakse märgiga integraali või kogu geomeetrilist pindala.

Newtoni-Leibnizi valem

Kui $F'(x)=f(x)$, siis

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

See on arv. Määratud integraali vastusesse ei lisata +C, sest rajad $a$ ja $b$ fikseerivad tulemuse.

Sama valemit kirjutatakse lühendina nii:

$$\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b.$$

Näide

Leia pindala graafiku $y=2x$ ja $x$-telje vahel vahemikus [0;3].

Kuna vahemikus [0;3] on $2x\ge0$, on integraal sama mis pindala:

$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=3^2-0^2=9.$$

Vastus: pindala on 9 ruutühikut.

Märgiga pindala

Kui graafik on $x$-teljest allpool, annab integraal negatiivse väärtuse:

$$\int_{-2}^0 x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^0=0-2=-2.$$

Geomeetriline pindala on 2, aga määratud integraal on -2.

Kui funktsioon vahetab märki, jaga pindala leidmisel vahemik nullkohtade järgi osadeks. Näiteks $f(x)=x$ on vahemikus [-1;0] allpool telge ja vahemikus [0;1] ülalpool.

Määratud integraal:

$$\int_{-1}^1 x\,dx=0.$$

Geomeetriline pindala:

$$\left|\int_{-1}^0 x\,dx\right|+\int_0^1 x\,dx=\frac12+\frac12=1.$$

Tõlgendus: sama joonise puhul võib määratud integraal olla 0, aga pindala 1.

Tüüpviga

Integraal ja pindala ei ole alati sama arv. Kui funktsioon vahetab märki, tuleb pindala leidmiseks vahemik nullkohtade järgi osadeks jagada.

Teine tüüpviga on vahetada ülemine ja alumine rajaarv. Kui rajad ümber pöörata, muutub integraali märk:

$$\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx.$$

Kolmas tüüpviga on unustada ühik. Pindala ühik on ruutühik, aga kogunenud suuruse ühik sõltub sellest, mida funktsioon kirjeldab.

Neljas tüüpviga on panna vastusesse +C. Määratud integraal annab arvu, mitte algfunktsioonide pere.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Määratud integraal on pildil pindala, arvuliselt kogunenud summa ja algebraliselt algfunktsiooni väärtuste vahe.

Kui jäid kinni

Korda algfunktsiooni leidmist ja märgiga pindala mõtet. Vaata näitest, miks nullist allpool olev osa lahutatakse, aga geomeetrilise pindala puhul võetakse absoluutväärtus. Alusta harjutustest 1 ja 2; pindala osadeks jagamist harjuta pärast ülesannet 3.

Harjutused

Kitsas fookus: arvuta määratud integraal ja erista märgiga tulemust pindalast. Lai fookus: jaga vahemik nullkohtade järgi ja põhjenda, mida integraal mõõdab.

Lihtne kontroll

1. Leia $\int_0^2 x\,dx$.
2. Leia $\int_1^3 2x\,dx$.
3. Miks $\int_{-1}^1 x\,dx=0$, kuigi graafiku ja telje vahel on pindala?

Rakendus

1. Millal peab pindala leidmisel vahemiku osadeks jagama?
2. Leia graafiku $y=4-x^2$ ja $x$-telje vaheline pindala vahemikus [-2;2].

Mõtlemisülesanne

1. Leia geomeetriline pindala graafiku $y=x$ ja $x$-telje vahel vahemikus [-2;2].
2. Mis juhtub integraali väärtusega, kui vahetad rajad $a$ ja $b$?
3. Funktsioon on $f(x)=x^2-1$ vahemikus [-2;2]. Leia nii määratud integraal kui ka geomeetriline pindala ning selgita erinevust.

Vastused

1. Rajad on 0 ja 2: $\frac{x^2}{2}\big|_0^2=2$; kuna $x\ge0$, on pindala 2 ruutühikut.
2. Rajad on 1 ja 3: $x^2\big|_1^3=8$; pindala on sama, sest $2x>0$.
3. Negatiivne ja positiivne märgiga pindala tühistavad teineteise; geomeetriline pindala ei ole 0.
4. Kui funktsioon vahetab vahemikus märki ehk lõikab $x$-telge.
5. Funktsioon on vahemikus mittenegatiivne: $\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{32}{3}$ ruutühikut.
6. Lahenduskäik: funktsioon $y=x$ vahetab märki punktis 0, seega jaga vahemik kaheks. $\int_{-2}^0 x\,dx=-2$ ja $\int_0^2 x\,dx=2$; geomeetriline pindala on $|-2|+2=4$.
7. Integraali märk muutub vastupidiseks, sest rajad vahetavad kogumise suuna.
8. Märgiga integraal on $\frac43$. Nullkohad on -1 ja 1; kolme osa absoluutväärtuste summa annab geomeetriliseks pindalaks 4 ruutühikut.

Seosed

Määratud integraal seob algfunktsiooni arvulise tulemuse ja graafilise pindala. Järgmine moodul laiendab sama mõtte kahe graafiku vahelisele pindalale ja pöördkeha ruumalale.