Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumala

Mõiste

Kahe graafiku vahelise pindala leidmiseks lahuta ülemise funktsiooni väärtusest alumise funktsiooni väärtus. Rajad leitakse lõikepunktidest või antakse ülesandes.

Eeldus: oskad leida graafikute lõikepunkte, otsustada joonise või märgi abil, kumb funktsioon on ülal, ning arvutada määratud integraali.

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

Kui graafikute järjestus vahetub, jaga vahemik lõikepunktides osadeks või kasuta mõtet

$$A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$

Graafiku $y=f(x)\ge0$ pööramisel ümber $x$-telje tekib pöördkeha. Õhukese ristlõike pindala on $\pi f(x)^2$, seega

$$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx.$$

Kontrolljärjekord on: leia rajad, otsusta ülemine graafik, koosta vahe, integreeri ja lisa õige ühik.

Näide

Leia graafikute $y=2x$ ja $y=x^2$ vaheline pindala.

Lõikepunktid saad võrrandist $2x=x^2$, seega $x=0$ ja $x=2$. Vahemikus [0;2] on $2x\ge x^2$.

Kui graafik $y=x$ vahemikus [0;2] pöörleb ümber $x$-telje, siis

Vastus: pindala on $\frac43$ ruutühikut ja pöördkeha ruumala $\frac{8\pi}{3}$ kuupühikut.

Tüüpviga

Esimene tüüpviga on lahutada funktsioonid vales järjekorras. Geomeetriline pindala ei saa olla negatiivne; kontrolli jooniselt, kumb graafik on ülal.

Teine tüüpviga on võtta rajad nullkohtadest, kuigi vaja on graafikute lõikepunkte. Lahenda $f(x)=g(x)$.

Kolmas tüüpviga on unustada ruumala valemis ruut: ristlõike pindala on $\pi r^2$, kus $r=f(x)$.

Neljas tüüpviga on kasutada sama ketta valemit pööramisel ümber mõne muu sirge või kahe graafiku vahelise piirkonna puhul. Siis tuleb ristlõike välis- ja siseraadius eraldi määrata.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia graafikute $y=x$ ja $y=x^2$ lõikepunktide $x$-koordinaadid.
2. Kumb funktsioon on vahemikus [0;1] suurem: $x$ või $x^2$?
3. Kirjuta integraal graafiku $y=2$ pööramisel ümber $x$-telje vahemikus [0;3] tekkiva ruumala jaoks.

Rakendus

1. Leia graafikute $y=x$ ja $y=x^2$ vaheline pindala.
2. Anuma külgprofiili raadius on $r(x)=x+1$ cm vahemikus $0\le x\le2$. Leia ümber $x$-telje pööramisel tekkiv ruumala.
3. Maa-ala ülemist serva kirjeldab $f(x)=4-x^2$ ja alumist serva $g(x)=0$ vahemikus [-2;2]. Leia pindala ja tõlgenda ühikut.

Mõtlemisülesanne

1. Graafikud on $f(x)=x^2$ ja $g(x)=2-x^2$. Leia nende vaheline piiratud pindala ning põhjenda, kumb on ülemine graafik.
2. Võrdle sama ristküliku `$0\le x\le2$, $0\le y\le3$ pööramisel ümber $x$-telje saadud ruumala integraaliga ja silindri valemiga.
3. Õpilane kirjutab pöördkeha ruumalaks $\pi\int_0^2x\,dx$, kui $y=x$ pöörleb ümber $x$-telje. Leia viga, paranda valem ja selgita ristlõike rolli.

Vastused

1. $x=x^2$ annab $x=0$ ja $x=1$.
2. $x\ge x^2$; näiteks vahe $x-x^2=x(1-x)\ge0$.
3. $V=\pi\int_0^3 2^2\,dx$.
4. $\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac16$ ruutühikut.
5. $V=\pi\int_0^2(x+1)^2\,dx=\frac{26\pi}{3}\text{ cm}^3$.
6. $\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}$ ruutühikut.
7. Lõikepunktid on $x=\pm1$; nende vahel on $g\ge f$. Pindala on $\int_{-1}^1(2-2x^2)\,dx=\frac83$.
8. Integraal annab $\pi\int_0^2 3^2\,dx=18\pi$. Silindri valem annab sama: $\pi r^2h=\pi\cdot3^2\cdot2=18\pi$.
9. Ristlõige on ringketas pindalaga $\pi x^2$, sest selle raadius on $x$. Seega on õige valem $V=\pi\int_0^2x^2\,dx=\frac{8\pi}{3}$.

Seosed

See moodul ühendab integraali tasandigeomeetria ja ruumalaga. Järgmine moodul kasutab sama kogunemise mõtet liikumise, tootmise, voolu ja töö mudelites.