Piirväärtus, tuletis ja integraal

Mõiste

Piirväärtus kirjeldab, millele avaldis või funktsioon läheneb. Tuletis kirjeldab muutumiskiirust. Integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku ja telje vahel.

Eeldus: oskad lugeda funktsiooni graafikut, arvutada funktsiooni väärtusi ja mõista jadade lähenevust.

Analüüsi põhiküsimus on: mis juhtub siis, kui vaatame muutumist väga väikeste sammudega või kogume väga paljud väikesed osad kokku?

Piirväärtus on siin alusidee: selle abil kirjeldatakse nii väga väikese sammu tuletist kui ka väga paljude osade integraali.

Põhiideed

Piirväärtus vastab küsimusele: millele väärtused lähenevad?

See ei küsi alati funktsiooni väärtust selles punktis. Oluline on, mis juhtub punkti lähedal.

Näiteks jada

$$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots$$

liikmed lähenevad arvule 0. Nad ei muutu kunagi negatiivseks, aga jõuavad 0-le järjest lähemale.

Tuletis:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Seda võib lugeda nii: võta väga väike muutus $h$, vaata funktsiooni väärtuse muutust ja lase sammul järjest väiksemaks minna. Tulemuseks on hetkeline muutumiskiirus.

Määratud integraal:

$$\int_a^b f(x)\,dx.$$

Integraali võib mõelda kui väga paljude õhukeste ristkülikute pindalade summat. Kui ristkülikud teha järjest kitsamaks, muutub summa täpseks pindalaks graafiku all.

Kolm vaadet samale ideele

Kontrollküsimus: kas ülesanne räägib lähenemisest, ühest punktist või tervest vahemikust?

Kui küsitakse "kui kiiresti praegu?", mõtle tuletisele; kui küsitakse "kui palju kokku?", mõtle integraalile.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$f'(x)=2x.$$

Punktis $x=3$ on muutumiskiirus 6.

See tähendab, et graafiku $y=x^2$ puutuja tõus punktis $x=3$ on 6.

Kui auto kiirus on 20 m/s ja ta sõidab nii 5 sekundit, siis läbitud teepikkus on

$$20\cdot5=100\text{ m}.$$

Tõlgendus: tuletis annab hetkelise kiiruse 6; integraal liidab muutuva kiiruse korral väikesed teepikkuse osad.

Tüüpviga

Tuletis ei ole ainult “uus valem”. See tähendab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust.

Integraal ei ole ainult “tuletise vastand”. Määratud integraalil on oma tähendus: ta mõõdab kogunenud suurust vahemikus.

Piirväärtus ei tähenda, et väärtus sinna täpselt jõuab. Väärtused lähevad sellele arvule järjest lähemale; funktsiooni väärtus uuritavas punktis võib olla teistsugune või puududa.

Neljas tüüpviga on segada keskmine ja hetkeline muutumiskiirus. Keskmine muutus käib vahemiku kohta, tuletis ühe punkti kohta.

Teine seletusviis

Tuletist näe kiirusena ühel hetkel; integraali näe kogunenud summana. Graafikul on need puutuja tõus ja pindala.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mida kirjeldab piirväärtus?
2. Mida kirjeldab tuletis?
3. Mida kirjeldab määratud integraal?

Rakendus

1. Kui $f'(3)=6$, siis mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=3$?
2. Kui kiirus on 12 m/s ja aeg 10 s, siis milline integraali idee siin lihtsal kujul töötab?

Mõtlemisülesanne

1. Kui $f'(2)=0$, mida võiks see graafiku kohta vihjata?
2. Mis vahe on keskmisel muutumiskiirusel vahemikus ja tuletisel punktis?
3. Jada $a_n=\frac1n$ ei saavuta väärtust 0. Miks võib selle piirväärtus siiski olla 0?

Vastused

1. Piirväärtus kirjeldab, millele väärtused lähenevad punkti lähedal või väga kaugel.
2. Tuletis kirjeldab hetkelist muutumiskiirust ehk graafiku puutuja tõusu ühes punktis.
3. Määratud integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku all vahemikus.
4. Funktsiooni hetkeline muutumiskiirus punktis $x=3$ on 6; graafiku puutuja tõus on seal 6.
5. Kogunenud teepikkus on kiirus korda aeg: $12\cdot10=120$ m. See on integraali mõte püsiva kiiruse korral.
6. Puutuja tõus on 0; see võib olla maksimumi, miinimumi või horisontaalse puutuja koht.
7. Keskmine muutumiskiirus kirjeldab tervet vahemikku; tuletis kirjeldab muutumist ühes punktis.
8. $n$ kasvades saab $\frac1n$ nullile kuitahes lähedale; piirväärtus kirjeldab lähenemist, mitte väärtuse saavutamist.

Seosed

Analüüs ühendab funktsioonid, füüsika, optimeerimise, pindalad ja pidevad protsessid. Järgmine moodul keskendub tuletise arvutusreeglitele: kuidas muutumiskiirust valemitest kiiresti leida.