Jada piirväärtus ja lõpmatu summa Matemaatika kiirreferents

Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Mõiste

Jada piirväärtus on arv, millele jada liikmed järjekorranumbri kasvades kuitahes lähedale jõuavad. Tähistus

$$\lim_{n\to\infty}a_n=L$$

ütleb, et jada $a_n$ piirväärtus on $L$.

Eeldus: oskad kasutada jada üldliiget ning aritmeetilise ja geomeetrilise jada valemeid.

Piirväärtus ei pea olema ükski jada liige. Näiteks

$$a_n=\frac1n$$

annab liikmed $1,\frac12,\frac13,\ldots$, mis lähenevad nullile:

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$

Kui $|q|<1$, siis $q^n\to0$. Selle tõttu saab hääbuva geomeetrilise jada kõik liikmed kokku liita:

$$a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots =\frac{a_1}{1-q}.$$

Osasummad $S_n$ lähenevad sellele arvule; lõpmatu summa tähendab osasummade piirväärtust, mitte lõpmata paljude tehete käsitsi lõpetamist.

Arv

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$$

tekib pideva kasvamise loomuliku piirina. Arvu $\pi$ võib mõista ringi ümber- ja sissejoonestatud korrapäraste hulknurkade ümbermõõtude ühise piirväärtuse kaudu.

Lähenev jada
Jada liikmed võivad kõikuda, kuid nende kaugus piirväärtusest väheneb järjekorranumbri kasvades.

Näide

Leiame jada

$$a_n=\frac{3n+1}{n}$$

piirväärtuse. Jagame liikmed $n$-ga:

$$a_n=3+\frac1n.$$

Kuna $\frac1n\to0$, siis

$$\lim_{n\to\infty}a_n=3.$$

Hääbuva geomeetrilise jada

$$6+3+1{,}5+\cdots$$

korral on $a_1=6$ ja $q=\frac12$. Seega

$$S=\frac6{1-\frac12}=12.$$

Tüüpviga

Piirväärtus ei ole sama mis viimane liige: lõpmatul jadal viimast liiget ei ole.

Teine tüüpviga on kasutada lõpmatu summa valemit, kui $|q|\ge1$. Siis geomeetrilise jada liikmed ei lähene nullile ja osasummad ei lähene lõplikule arvule.

Kolmas tüüpviga on arvata, et piirväärtuseni peab jõudma. Jada $\frac1n$ ei võrdu kunagi nulliga, kuid selle piirväärtus on 0.

Õpetaja diagnostika

Palu eristada jada liikmeid ja osasummasid: kumb läheneb nullile ning kumb võib läheneda lõplikule summale?

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac5n$.
  2. Leia $\lim_{n\to\infty}\left(4+\frac2n\right)$.
  3. Kas jada $2^n$ on lõpliku piirväärtusega?

Rakendus

  1. Leia summa $8+4+2+1+\cdots$.
  2. Leia summa $3-1+\frac13-\frac19+\cdots$.
  3. Pall langeb 5 meetrit ja iga põrke kõrgus on eelmisest $\frac35$. Leia kõigi tõusude summa.

Mõtlemisülesanne

  1. Miks on hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tingimus $|q|<1$?
  2. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac{2n-7}{n+3}$ ning kontrolli lähenemise suunda liikmete $a_{10}$ ja $a_{100}$ abil.
  3. Selgita, miks arvud $e$ ja $\pi$ võivad tekkida piirväärtusena, kuigi nad ei ole ühegi lõpliku sammu tulemus.

Vastused

  1. $0$, sest püsiv lugeja jagatakse järjest suurema nimetajaga.
  2. $4$, sest liige $\frac2n$ läheneb nullile.
  3. Ei; liikmed kasvavad piiramatult.
  4. $16$, sest $a_1=8$, $q=\frac12$ ja $S=\frac8{1-\frac12}$.
  5. $\frac94$, sest $a_1=3$ ja $q=-\frac13$.
  6. $\frac3{1-\frac35}=7{,}5$ meetrit tõusu; esimene tõus on $5\cdot\frac35=3$ m.
  7. Ainult siis läheneb $q^n$ nullile ja osasummad saavad läheneda lõplikule arvule.
  8. Piirväärtus on $2$, sest lugeja ja nimetaja $n$-ga jagamisel jääb piirile $\frac{2-0}{1+0}$. Lisaks $a_{10}=1$ ja $a_{100}=\frac{193}{103}\approx1{,}87$, seega liikmed lähenevad arvule 2 altpoolt.
  9. Iga lõplik lähend on ebatäpne, kuid lähendite viga saab sammude arvu kasvades muutuda kuitahes väikeseks.

Seosed

Jada piirväärtus valmistab ette funktsiooni piirväärtuse: mõlemas uuritakse mitte viimast sammu, vaid väärtuse lähenemist kindlale sihile.