Siinusteoreem ja koosinusteoreem

Mõiste

Need teoreemid aitavad lahendada ka mittetäisnurkseid kolmnurki.

Eeldus: oskad kasutada täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat, Pythagorase teoreemi ja kolmnurga nurkade summat.

Tähistame kolmnurgas nurgad suurte tähtedega ja nende vastasküljed väikeste tähtedega:

Tähised $a,b,c$ käivad vastasnurkade $A,B,C$ järgi, mitte selle järgi, kus külg joonisel paistab.

Enne valemit kontrolli jooniselt: sama täht peab olema külje ja selle vastasnurga paaris.

Siinusteoreem

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

Siinusteoreem sobib hästi siis, kui tead ühte vastaskülje ja vastasnurga paari. Näiteks tead $a$ ja $A$, ning lisaks veel ühte nurka või külge.

Koosinusteoreem

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Kui $C=90^\circ$, siis $\cos C=0$ ja saame Pythagorase teoreemi.

Sama valemit saab kirjutada iga külje jaoks:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Koosinusteoreem sobib siis, kui tead kahte külge ja nende vahelist nurka, või kui tead kõiki kolme külge ja tahad leida nurka.

Millal kumba kasutada?

Alusta jooniselt: märgi teadaolevad küljed ja nurgad ning otsi, kas sul on vastasnurgapaar või kahe külje vaheline nurk.

Näide

Külg koosinusteoreemiga

Kui $a=7$, $b=9$ ja nurk nende vahel on $60^\circ$, siis

$$c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\cos60^\circ.$$

Kuna $\cos60^\circ=\frac12$, siis

$$c^2=49+81-126\cdot\frac12=67,$$

seega

$$c=\sqrt{67}\approx8{,}2.$$

Külg siinusteoreemiga

Olgu $A=40^\circ$, $B=70^\circ$ ja $a=6$. Leia $b$.

Siinusteoreemist:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}.$$

Asendame:

$$\frac6{\sin40^\circ}=\frac b{\sin70^\circ}.$$

Seega

$$b=\frac{6\sin70^\circ}{\sin40^\circ}\approx8{,}8.$$

Nurk koosinusteoreemiga

Olgu $a=5$, $b=7$ ja $c=8$. Leia nurk $C$.

Kasutame valemit

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Asendame:

$$8^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos C.$$

$$64=74-70\cos C.$$

$$70\cos C=10,$$

$$\cos C=\frac17.$$

Seega

$$C=\arccos\frac17\approx81{,}8^\circ.$$

Vastus: koosinusteoreemiga saad $c=\sqrt{67}\approx8,2$ ja $C\approx81,8^\circ$; siinusteoreemiga $b\approx8,8$.

Tüüpviga

Koosinusteoreemis peab nurk olema nende kahe külje vahel, mida valemis kasutatakse.

Siinusteoreemis peab külg ja siinus olema vastavuses: $a$ käib nurgaga $A$, $b$ nurgaga $B$, $c$ nurgaga $C$.

Ettevaatust kahe võimaliku kolmnurga juhuga: kui tead kahte külge ja ühe mittevahelise nurga, võib siinusteoreem anda kaks võimalikku kolmnurka. Kontrolli, kas ülesanne küsib üht kindlat lahendit või kõiki võimalusi.

Veel üks tüüpviga on kasutada kohe üldist teoreemi, kuigi kolmnurk on täisnurkne. Täisnurkses kolmnurgas on Pythagoras ja $\sin,\cos,\tan$ sageli lühem tee.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millal piisab Pythagorase teoreemist?
2. Kirjuta koosinusteoreem külje $a$ jaoks.
3. Mis andmeid on vaja siinusteoreemi kasutamiseks?

Rakendus

1. Maamõõtja saab kolmnurkse ala külgedeks $a=4$ m ja $b=6$ m ning nendevaheliseks nurgaks $C=60^\circ$. Leia kolmas piir $c$.
2. Leia külg $b$, kui $A=30^\circ$, $B=80^\circ$ ja $a=5$.

Mõtlemisülesanne

1. Kolmnurga küljed on 3, 4 ja 5. Kas pikima külje vastasnurk on täisnurk? Põhjenda.
2. Külgede 5, 7 ja 8 vastas on nurgad $A,B,C$. Leia suurim nurk.
3. Teada on $a=10$, $b=12$ ja nende vaheline nurk $C=40^\circ$. Millist teoreemi kasutad esimesena ja miks?
4. Teada on külg $a$, nurk $A$ ja nurk $B$. Millist teoreemi kasutad külje $b$ leidmiseks?

Vastused

1. Kui kolmnurk on täisnurkne ja otsitakse külgede seost; siis on Pythagoras lihtsam erijuht.
2. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, kus nurk $A$ on külje $a$ vastas.
3. Vähemalt ühte külje ja vastasnurga paari ning veel üht seotud suurust, näiteks $a,A,B$.
4. Koosinusteoreem, sest teada on $a=4$, $b=6$ ja nende vaheline nurk $C=60^\circ$: $c^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cos60^\circ=28$, seega $c=2\sqrt7\approx5{,}3$ m.
5. Siinusteoreem, sest teada on vastaspaar $a=5$, $A=30^\circ$ ja nurk $B=80^\circ$: $\frac{b}{\sin80^\circ}=\frac{5}{\sin30^\circ}$, seega $b=\frac{5\sin80^\circ}{\sin30^\circ}\approx9{,}8$.
6. Jah, sest $5^2=3^2+4^2$; Pythagorase teoreemi pöördväite järgi on vastasnurk $90^\circ$.
7. Suurim on $C$, sest see on külje 8 vastas. Koosinusteoreemist $\cos C=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac17$, seega $C\approx81{,}8^\circ$.
8. Koosinusteoreemi, sest teada on kaks külge $a,b$ ja nende vaheline nurk $C$.
9. Siinusteoreemi, sest teada on vastav külje ja vastasnurga paar $a,A$ ning otsitakse paarilist $b,B$.

Seosed

Siinusteoreem ja koosinusteoreem laiendavad täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat üldistele kolmnurkadele. Järgmine radiaanide ja perioodilisuse peatükk viib nurgad funktsioonide ja ringliikumise keelde.