Ring ja sümmeetria
Mõiste
Ringjoon on kinnine piirjoon keskpunkti ümber. Kõik ringjoone punktid on keskpunktist sama kaugel; seda kaugust nimetatakse raadiuseks.
Eeldus: oskad eristada pikkust ja pindala ning tunned sirget, lõiku ja sümmeetriatelge.
Ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega. Igapäevases kõnes öeldakse vahel mõlema kohta "ring", aga matemaatikas on neil vahe:
- ringjoon on piirjoon;
- ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega.
Ringi olulised osad:
| Osa | Tähendus |
|---|---|
| raadius $r$ | lõik keskpunktist ringjooneni |
| diameeter ehk läbimõõt $d$ | lõik läbi keskpunkti ühest ringjoone punktist teiseni |
| kõõl | lõik kahe ringjoone punkti vahel |
| kaar | ringjoone osa |
| sektor | kahe raadiuse ja kaarega piiratud ringi osa |
Valemid
Ringjoone pikkus:
$$C=2\pi r.$$
Ringi pindala:
$$S=\pi r^2.$$
Need valemid vastavad eri küsimustele:
| Küsimus | Mida mõõdad? | Valem | Ühik |
|---|---|---|---|
| Kui pikk on ringi piirjoon? | ringjoone pikkus | $C=2\pi r=\pi d$ | pikkusühik, nt cm |
| Kui suur on ringi sisemus? | ringi pindala | $S=\pi r^2$ | ruutühik, nt cm² |
Kui antud on diameeter, leia enne raadius või kasuta ringjoone pikkuse jaoks valemit $C=\pi d$.
Ringil on palju sümmeetriatelgi: iga keskpunkti läbiv sirge jaotab ringi kaheks võrdseks pooleks. Diameeter asub alati sellisel sümmeetriateljel.
Näide
Kui $r=5$, siis
$$S=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78,5.$$
Ringjoone pikkus sama raadiusega on
$$C=2\pi\cdot5=10\pi\approx31,4.$$
Kui diameeter on $12$, siis raadius on
$$r=\frac{12}{2}=6.$$
Sama ringi pindala on
$$S=\pi\cdot6^2=36\pi\approx113,1.$$
Ringjoone pikkus on
$$C=\pi\cdot12=12\pi\approx37,7.$$
Kui tahad katta ümmarguse laua pinna, vajad pindala. Kui tahad panna laua serva ümber paela, vajad ringjoone pikkust.
Vastus: raadiusega 5 on pindala umbes 78,5 ja ringjoone pikkus umbes 31,4; diameetriga 12 on pindala umbes 113,1 ja ringjoone pikkus umbes 37,7.
Tüüpviga
Raadius ja diameeter ehk läbimõõt lähevad tihti segi. Diameeter on kaks raadiust:
$$d=2r.$$
Teine tüüpviga on ringjoone pikkust ja ringi pindala segi ajada. Ringjoone pikkus kasutab pikkusühikut, näiteks cm. Ringi pindala kasutab ruutühikut, näiteks cm².
Kontrolli ühikut:
- kui vastus on $\text{cm}$, mõõdad pikkust;
- kui vastus on $\text{cm}^2$, mõõdad pindala.
Kolmas tüüpviga on kasutada diameetrit raadiuse asemel pindala valemis. Kui $d=10$, siis $r=5$, seega
$$S=\pi\cdot5^2=25\pi,$$
mitte $\pi\cdot10^2$.
Neljas tüüpviga on arvata, et sümmeetriatelg peab olema joonisel püstine või rõhtne. Ringil sobib iga keskpunkti läbiv sirge.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Leia diameeter, kui raadius on 7 cm.
- Leia raadius, kui diameeter on 18 cm.
- Leia ringi pindala, kui $r=4$.
- Leia ringjoone pikkus, kui $r=4$.
Rakendus
- Mis vahe on kõõlul ja diameetril?
- Leia ringjoone pikkus, kui diameeter on 20 cm.
- Leia ringi pindala, kui diameeter on 14 cm.
Mõtlemisülesanne
- Kas ülesandes “ümber lillepeenra pannakse ääris” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
- Kas ülesandes “ümmargune vaip katab põrandat” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
- Mitu sümmeetriatelge on ringil?
- Kas sirge, mis lõikab ringi kahte võrdsesse poolde, peab läbima keskpunkti?
Vastused
- $14\text{ cm}$, sest diameeter on kaks raadiust.
- $9\text{ cm}$, sest raadius on pool diameetrist.
- $16\pi\approx50,3$ ruutühikut, sest $S=\pi r^2$.
- $8\pi\approx25,1$ pikkusühikut, sest $C=2\pi r$.
- Diameeter on kõõl, mis läbib keskpunkti. Kõik kõõlud ei läbi keskpunkti.
- $C=\pi d=20\pi\approx62,8\text{ cm}$.
- $r=7\text{ cm}$, seega $S=49\pi\approx153,9\text{ cm}^2$.
- Ringjoone pikkust, sest ääris käib ümber peenra piiri.
- Pindala, sest vaip katab põranda osa, mitte ainult serva.
- Lõpmata palju; iga keskpunkti läbiv sirge on sümmeetriatelg.
- Jah. Ringi sümmeetriatelg läbib keskpunkti, sest ainult siis jäävad pooled peegeldamisel kokku.
Seosed
Ring on oluline geomeetrias, trigonomeetrias, radiaanides ja ringliikumise mudelites. Järgmises peatükis kasutatakse sümmeetriat koos peegelduse, lükke ja pööramisega.