Teisendused ja sümmeetria

Mõiste

Geomeetriline teisendus viib kujundi punktid uutesse asukohtadesse. Olulised teisendused on lüke, peegeldus, pööre ja homoteetsus.

Eeldus: tunned punkti, sirget, nurka ja sümmeetriatelge. Kui koordinaadid on ebakindlad, korda enne punkti $(x;y)$ lugemist.

Lükke puhul liigub iga punkt sama nihega: sama palju ja samas suunas.

Koordinaatides

Peegeldus $x$-telje suhtes:

$$(x;y)\mapsto(x;-y).$$

Peegeldus $y$-telje suhtes:

$$(x;y)\mapsto(-x;y).$$

Mäluabi: peegeldus $x$-telje suhtes muudab $y$-koordinaadi märki, peegeldus $y$-telje suhtes muudab $x$-koordinaadi märki.

Lüke vektoriga (a; b):

$$(x;y)\mapsto(x+a;y+b).$$

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:

$$(x;y)\mapsto(-y;x).$$

Homoteetsus teguriga $k$ alguspunkti suhtes:

$$(x;y)\mapsto(kx;ky).$$

Koordinaatreeglit saab kontrollida ühe punktiga:

Kui teisendad tervet kujundit, rakenda sama reeglit kõigile tippudele.

Näide

Punkt (3; -2) peegeldub $x$-telje suhtes punktiks (3; 2).

Lüke vektoriga (-3;4):

$$(2;5)\mapsto(2-3;5+4)=(-1;9).$$

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:

$$(3;2)\mapsto(-2;3).$$

Homoteetsus teguriga $2$ alguspunkti suhtes:

$$(3;2)\mapsto(6;4).$$

Kolmnurga tippudele saab sama reeglit rakendada eraldi. Kui

$$A(1;1),\quad B(4;1),\quad C(2;3),$$

ja teeme lükke vektoriga (-2; 3), siis

$$A'(-1;4),\quad B'(2;4),\quad C'(0;6).$$

Kõik punktid liikusid 2 ühikut vasakule ja 3 ühikut üles. Kujundi suurus ja kuju ei muutunud.

Kui sama kolmnurk peegeldada $y$-telje suhtes, siis

$$A'(-1;1),\quad B'(-4;1),\quad C'(-2;3).$$

Siin muutub kujundi suund nagu peeglis, aga pikkused jäävad samaks.

Vastus: lükke järel on tipud $A'(-1;4)$, $B'(2;4)$, $C'(0;6)$; peegelduse järel $A'(-1;1)$, $B'(-4;1)$, $C'(-2;3)$.

Tüüpviga

Peegeldusel ei vahetata alati koordinaate. Koordinaatide vahetamine (x;y)\mapsto(y;x) on peegeldus sirge $y=x$ suhtes.

Teine tüüpviga on nimetada homoteetsust lükkeks. Lüke ei muuda suurust, homoteetsus võib suurust muuta.

Kolmas tüüpviga on pööramisel ainult märki vahetada. Pöördel $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti ei ole reegel $(x;y)\mapsto(-x;y)$, vaid

$$(x;y)\mapsto(-y;x).$$

Näiteks (5; -1) läheb punktiks (1; 5).

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Peegelda punkt (-4; 1) $y$-telje suhtes.
2. Nihuta punkt (2; 5) vektoriga (-3; 4).
3. Milline teisendus säilitab kujundi suuruse, aga muudab asukohta?
4. Pööra punkt (5; -1) $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti.

Rakendus

1. Rakenda punktile (-2; 3) homoteetsust teguriga $3$ alguspunkti suhtes.
2. Peegelda punkt (6; -2) $x$-telje suhtes.
3. Tee punktile (-1; 4) lüke vektoriga (5; -3).

Mõtlemisülesanne

1. Pööra punkt (-3; 2) $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti.
2. Kolmnurga tipud on A(0;1), B(2;1), C(1;4). Tee lüke vektoriga (3; -2).
3. Milline teisendus muudab kujundi suurust: lüke, peegeldus, pööre või homoteetsus?

Vastused

1. (4; 1), sest peegeldus $y$-telje suhtes muudab $x$-koordinaadi märki.
2. (-1; 9), sest lüke lisab koordinaatidele (-3; 4).
3. Lüke, peegeldus ja pööre säilitavad suuruse; kõige otsesem "asukoha muutmine sama suunaga" on lüke.
4. (1; 5), sest $90^\circ$ vastupäeva pöörde reegel on $(x;y)\mapsto(-y;x)$.
5. (-6; 9), sest homoteetsus teguriga 3 korrutab mõlemad koordinaadid.
6. (6; 2), sest peegeldus $x$-telje suhtes muudab $y$-koordinaadi märki.
7. (4; 1), sest (-1+5;4-3)=(4;1).
8. (-2; -3), sest $(x;y)\mapsto(-y;x)$.
9. A'(3; -1), B'(5; -1), C'(4; 2), sest iga tipp liigub 3 paremale ja 2 alla.
10. Homoteetsus, sest see korrutab kujundi kaugused teguriga ja muudab suurust.

Seosed

Teisendused seovad geomeetria koordinaatidega: sama reeglit saab rakendada punktidele, kujunditele ja hiljem vektoritele. See valmistab ette koordinaatteljestiku, vektorite ja funktsioonide graafikute teisendused.