Punkt, sirge ja nurk

Mõiste

Punkt tähistab asukohta. Sirge ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel.

Eeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning tead, et joonisel märgitud andmed on tähtsamad kui silma järgi hinnang.

Nurk tekib kahest samast punktist lähtuvast kiirest.

Enne arvutamist märgi joonisel punktid, antud suurused ja otsitav suurus.

Põhiobjektid on sarnased, aga nende ulatus on erinev:

Kui sama tähis $AB$ esineb eri kohtades, otsusta joonise ja teksti järgi, kas mõeldakse sirget või lõiku.

Lõigu $AB$ puhul on punktid $A$ ja $B$ otspunktid. Kiire $\overrightarrow{AB}$ puhul on $A$ alguspunkt ja kiir läheb läbi punkti $B$.

Põhireeglid

• Täisnurk on $90^\circ$.
• Sirgnurk on $180^\circ$.
• Täispööre on $360^\circ$.

Nurkade liigid:

Kõrvunurgad on kaks nurka, millel on üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad sirge. Kõrvunurkade summa on

$$180^\circ.$$

Tippnurgad tekivad kahe sirge lõikumisel. Tippnurgad on võrdsed.

Näide

Kui kaks kõrvunurka moodustavad sirgnurga ja üks on $65^\circ$, siis teine on

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ.$$

Kui kaks sirget lõikuvad ja üks nurk on $42^\circ$, siis tema tippnurk on samuti $42^\circ$.

Sama lõikumise kõrval olev nurk on kõrvunurk:

$$180^\circ-42^\circ=138^\circ.$$

Kui ümber punkti on mitu nurka, siis nende summa on täispööre:

$$360^\circ.$$

Näiteks kui punkti ümber on nurgad $90^\circ$, $120^\circ$ ja $x$, siis

$$x=360^\circ-90^\circ-120^\circ=150^\circ.$$

Vastus: kõrvunurk on $115^\circ$, tippnurk on $42^\circ$, kõrval olev kõrvunurk on $138^\circ$ ja puuduva täispöörde nurk on $150^\circ$.

Kontroll: kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$, tippnurgad on võrdsed ja ümber punkti olevad nurgad annavad kokku $360^\circ$.

Tüüpviga

Joonis võib olla ebatäpne. Geomeetrias tuleb lähtuda antud andmetest, mitte ainult sellest, kuidas pilt paistab.

Teine tüüpviga on kõrvunurki ja tippnurki segi ajada. Kõrvunurgad liituvad $180^\circ$-ks, tippnurgad on omavahel võrdsed.

Kolmas tüüpviga on lõiku ja sirget samastada. Lõigul on kaks otspunkti ja selle pikkust saab mõõta. Sirgel otspunkte ei ole ning ta ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis liiki nurk on $35^\circ$?
2. Mis liiki nurk on $125^\circ$?
3. Üks kõrvunurk on $73^\circ$. Leia teine.
4. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on tema tippnurk?

Rakendus

1. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on selle kõrval olev kõrvunurk?
2. Mis vahe on lõigul $AB$ ja kiirel $\overrightarrow{AB}$?
3. Üks kõrvunurk on $41^\circ$. Leia teine.

Mõtlemisülesanne

1. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $67^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.
2. Punkti ümber on kolm nurka: $80^\circ$, $95^\circ$ ja $x$. Leia $x$.
3. Nurk $x$ ja nurk $35^\circ$ moodustavad täisnurga. Leia $x$.
4. Joonisel paistab nurk umbes $90^\circ$, aga juurde on kirjutatud $87^\circ$. Millist väärtust kasutad arvutuses ja miks?

Vastused

1. Teravnurk.
2. Nürinurk.
3. $107^\circ$, sest kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
4. $108^\circ$, sest tippnurgad on võrdsed.
5. $72^\circ$, sest kõrval olev kõrvunurk on $180^\circ-108^\circ$.
6. Lõigu $AB$ otspunktid on $A$ ja $B$. Kiir $\overrightarrow{AB}$ algab punktist $A$, läbib punkti $B$ ja jätkub samas suunas.
7. $139^\circ$, sest $180^\circ-41^\circ=139^\circ$.
8. Ülejäänud kolm nurka on $67^\circ$, $113^\circ$ ja $113^\circ$, sest tippnurk on võrdne ja kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
9. $x=360^\circ-80^\circ-95^\circ=185^\circ$.
10. $x=90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
11. Kasutan $87^\circ$, sest arvutustes lähtutakse antud andmetest, mitte joonise silmaga hinnatud kujust.

Seosed

Sirged ja nurgad on kolmnurkade, hulknurkade, trigonomeetria ja tõestuste alus. Järgmises peatükis kasutatakse neid kolmnurga nurkade summa, hulknurkade, ümbermõõdu ja pindala leidmisel.