Täisnurkse kolmnurga lahendamine

Mõiste

Kolmnurga lahendamine tähendab kõigi puuduvate külgede ja nurkade leidmist. Täisnurkses kolmnurgas piisab tavaliselt kahest sõltumatust antud suurusest, millest vähemalt üks on külg.

Eeldus: oskad nimetada hüpotenuusi ja kaateteid, kasutada Pythagorase teoreemi ning leida kalkulaatoriga trigonomeetrilise suhte või nurga.

Tööjärjekord:

1. joonista ja märgi täisnurk;
2. kirjuta teadaolevad suurused joonisele;
3. vali seos, milles on otsitav ja teadaolevad suurused;
4. leia ülejäänud külg või nurk;
5. kontrolli $\alpha+\beta=90^\circ$ ja seda, et hüpotenuus on pikim.

Näide

Täisnurkse kolmnurga lähiskaatet nurga $\alpha=38^\circ$ suhtes on 5 cm. Leiame ülejäänud suurused.

$$a=5\tan38^\circ\approx3,91\text{ cm},$$

$$c=\frac5{\cos38^\circ}\approx6,35\text{ cm}.$$

Teine teravnurk on $\beta=90^\circ-38^\circ=52^\circ$. Pindala on

$$S=\frac{ab}{2}\approx\frac{3,91\cdot5}{2}\approx9,78\text{ cm}^2.$$

Kontroll: $c$ on mõlemast kaatetist pikem ja nurkade summa on $180^\circ$.

Tüüpviga

Tüüpviga on hakata valemit valima enne joonise märkimist. Sama külg võib ühe teravnurga suhtes olla vastas-, teise suhtes lähiskaatet.

Teine tüüpviga on ümardada iga vahesamm liiga vara. Hoia kalkulaatoris rohkem numbreid ja ümarda lõppvastus ülesandes nõutud täpsuseni.

Kolmas tüüpviga on unustada teine teravnurk või pindala, kuigi ülesanne palub lahendada kogu kolmnurga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Üks teravnurk on $27^\circ$. Leia teine teravnurk.
2. Kaatetid on 6 cm ja 8 cm. Leia hüpotenuus.

Rakendus

1. Hüpotenuus on 12 cm ja nurk $35^\circ$. Leia selle nurga vastaskaatet.
2. Lähiskaatet on 7 cm ja vastaskaatet 4 cm. Leia väiksem teravnurk.
3. Kaatetid on 5 cm ja 9 cm. Leia pindala ning mõlemad teravnurgad.

Mõtlemisülesanne

1. Täisnurkse trapetsi kõrgus on 6 cm ja kaldhaar moodustab alusega nurga $45^\circ$. Kui palju erinevad aluste pikkused?
2. 8-meetrine lipumast heidab 11-meetrise varju. Leia päikese tõusunurk.
3. Miks ei piisa täisnurkse kolmnurga lahendamiseks ainult kahe teravnurga teadmisest?

Vastused

Kontroll: kahe teravnurga summa peab olema $90^\circ$ ja hüpotenuus peab jääma pikimaks küljeks.

1. $63^\circ$.
2. 10 cm.
3. $a=12\sin35^\circ\approx6,88$ cm.
4. $\alpha=\arctan\frac47\approx29,7^\circ$.
5. $S=22,5\text{ cm}^2$; väiksem nurk on $\arctan\frac59\approx29,1^\circ$, teine umbes $60,9^\circ$.
6. Erinevus on $6: \tan45^\circ=6$ cm.
7. $\alpha=\arctan\frac8{11}\approx36,0^\circ$.
8. Nurgad määravad kuju, kuid mitte mõõtkava; sama nurgaga kolmnurki saab suurendada või vähendada.

Seosed

Täisnurkse kolmnurga terviklahendus on tasandi- ja ruumiülesannete tööriist. Gümnaasiumis laiendavad siinus- ja koosinusteoreem sama mõtte kolmnurkadele, milles täisnurka ei ole.