n-es juur ja ratsionaalarvuline aste

Mõiste

Arvu $a$ n-es juur on arv, mille $n$-s aste on $a$. Seda märgitakse $sqrt[n]{a}$.

Eeldus: oskad arvutada astmeid, tunned ruutjuure tähendust ja eristad peajuurt võrrandi kahest võimalikust lahendist.

Kui $n$ on paarisarv, peab reaalarvulise juure korral olema $a\ge 0$ ning $sqrt[n]{a}$ tähistab mittenegatiivset peajuurt.
Kui $n$ on paaritu, võib $a$ olla ka negatiivne: $sqrt[3]{-8}=-2$.

Ratsionaalarvulise astendajaga aste seob astme ja juure:

$$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$$

Kui juurija $n$ on paarisarv, kasutame reaalarvudes $a\ge0$. Negatiivse astendaja korral peab lisaks olema $a\ne0$.

Juure ja ratsionaalarvulise astme seos — Avaldis $a^{m/n}$ tähendab, et n-es juur ja m-es aste rakendatakse samale positiivsele arvule.

Olulised seosed sobivate määramispiirangute korral:

$$a^{-r}=\frac1{a^r},\qquad \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b.$$

Paarisarvulise juure puhul tuleb tähele panna absoluutväärtust:

$$\sqrt{x^2}=|x|,\qquad \sqrt[4]{x^4}=|x|.$$

Näide

Arvutame

$$32^{\frac35}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8.$$

Negatiivne astendaja annab pöördarvu:

$$27^{-\frac23}=\frac1{27^{2/3}}=\frac1{(\sqrt[3]{27})^2}=\frac19.$$

Lihtsustame avaldise:

$$\sqrt[4]{81x^4}=\sqrt[4]{3^4x^4}=3|x|.$$

Vastus: väärtused on vastavalt $8$, $\frac19$ ja $3|x|$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kirjutada $sqrt{x^2}=x$. Kui $x=-4$, oleks parem pool negatiivne, kuid peajuur ei ole negatiivne. Õige on $sqrt{x^2}=|x|$.

Teine tüüpviga on unustada negatiivse astendaja pöördarv: $a^{-2}=\frac1{a^2}$, mitte $-a^2$.

Kolmas tüüpviga on võtta paarisarvulist juurt negatiivsest arvust reaalarvude hulgas. $sqrt[4]{-16}$ ei ole reaalarv.

Kui jäid kinni

Kirjuta murdastendaja puhul nimetaja juure indeksiks ja lugeja astendajaks. Negatiivse astendaja korral tee lõpus pöördarv.

Harjutused

Lihtne kontroll

Arvuta $16^{1/2}$.
Arvuta $27^{1/3}$.
Arvuta $16^{3/4}$.

Rakendus

Kirjuta $sqrt[5]{x^2}$ astmena.
Arvuta $8^{-2/3}$.
Lihtsusta $sqrt[4]{16y^4}$.

Mõtlemisülesanne

Miks on $sqrt[3]{-27}$ reaalarv, aga $sqrt[4]{-16}$ ei ole?
Leia viga väites $sqrt{(-5)^2}=-5$ ja paranda see.

Vastused

$4$, sest $4^2=16$ ja peajuur on mittenegatiivne.
$3$, sest $3^3=27$.
$8$, sest $(\sqrt[4]{16})^3=2^3$.
$x^{2/5}$ sobiva määramispiirkonna korral.
$\frac14$, sest $8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=4$.
$2|y|$, sest paarisarvuline juur annab $sqrt[4]{y^4}=|y|$.
Paaritu aste säilitab arvu märgi, kuid paarisarvuline aste ei saa reaalarvude hulgas olla negatiivne.
$sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$; ruutjuure märk tähistab mittenegatiivset peajuurt.

Seosed

Ratsionaalarvuline aste on vajalik juuravaldiste, juurvõrrandite, eksponentfunktsiooni ja logaritmi õppimisel. Järgmine algebra peatükk kasutab samu määramispiiranguid võrrandite lahendamisel.