XII klassi analüüsi, loogika ja modelleerimise sild

Mõiste

XII klassis ei ole eesmärk ainult uusi valemeid õppida, vaid osata valida tööriist. Analüüs, loogika ja modelleerimine toetavad sama lahenduskäiku.

Eeldus: oskad leida tuletise abil ekstreemumit, määratud integraaliga pindala või kogust ning eristada tõestust vastunäitest.

Kui mõni eeldus kõigub, korda seda enne tervikülesannet; muidu võib õige meetod vale sisendiga anda näiliselt korraliku, aga sisult vale vastuse.

Mudeli algusvalik: tabel võrdlemiseks, joonis geomeetriaks, võrrand tingimuseks, graafik muutumiseks ja hinnang puudulike andmete jaoks.

Hea gümnaasiumilõpu lahendus ütleb lisaks arvutusele ka, miks valitud meetod sobib.

Tähistuses $T(x)$, $f(x)$ või $g(x)$ on esimene täht funktsiooni nimi; sulgudes olev täht on sisend.

Enne arvutamist tasub kirjutada üks kontroll-lause: "Otsin maksimumi, seega kasutan tuletist" või "Otsin kogust kiirusest, seega kasutan integraali." See hoiab lahenduse põhjendatud.

Näide

Firma tulu mudel on

$$T(x)=-x^2+12x,$$

kus $x$ on müüdud ühikute arv sadades.

Maksimumi leidmiseks kasutame tuletist:

$$T'(x)=-2x+12.$$

Maksimumikandidaat tekib, kui

$$-2x+12=0,$$

seega $x=6$.

Tõlgendus: mudeli järgi on tulu suurim, kui müüakse 600 ühikut.

Kontroll: kuna ruutfunktsiooni kordaja $-1$ on negatiivne, on parabool allapoole avatud ja kriitiline punkt annab maksimumi.

Tüüpviga

Tüüpviga on jätta vastus ainult arvuks. Kui mudelis $x=6$ tähendab sadu ühikuid, siis lõppvastus on 600 ühikut, mitte paljas arv 6.

Teine tüüpviga on kasutada tuletist või integraali ilma küsimust lugemata. Tuletis sobib muutumise kiiruse ja ekstreemumi jaoks, integraal koguse ja pindala jaoks.

Kolmas tüüpviga on võtta mudelit tegelikkusena. Mudel on lihtsustus; lõpus tuleb märkida, millises vahemikus või millistel eeldustel vastus on mõistlik.

Neljas tüüpviga on leida kriitiline punkt, aga mitte kontrollida, kas see annab maksimumi, miinimumi või ainult võimaliku muutuskoha.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millise tööriista valiksid funktsiooni maksimumi leidmiseks?
2. Millise tööriista valiksid pindala leidmiseks graafiku all?

Rakendus

1. Miks peab mudeli vastust tõlgendama algse olukorra keeles?
2. Funktsioon $f(x)=x^2-4x$. Leia kriitiline punkt.

Mõtlemisülesanne

1. Kui kiirus on $v(t)=3t$, mida annab integraal vahemikus 0 kuni 2?
2. Too näide väitest, mida saab ümber lükata ühe vastunäitega.
3. Kui ülesandes küsitakse "millal kasv peatub?", millist matemaatilist tingimust otsid?
4. Miks ei pruugi funktsiooni mudel kehtida väga suurte $x$ väärtuste korral?
5. Ülesandes küsitakse, kas väide kehtib kõigi naturaalarvude korral. Kas alustad tuletisest, integraalist või tõestusest? Põhjenda.
6. Funktsioon $g(x)=x^2-6x+5$. Leia kriitiline punkt ja otsusta, kas see on miinimum või maksimum.

Vastused

1. Tuletise, sest maksimum on muutumise pöördekoha küsimus.
2. Määratud integraali, sest pindala on kogunenud suurus vahemikus.
3. Muidu ei ole teada, mida arv päriselus tähendab.
4. $f'(x)=2x-4=0, seega $x=2$; see on ekstreemumi kandidaat.
5. Läbitud teepikkuse selles ajavahemikus: $\int_0^2 3t\,dt=6$.
6. Näiteks väite "kõik paaritud arvud on algarvud" lükkab ümber 9.
7. Otsid kohta, kus tuletis on null või muutumise märk vahetub.
8. Pärisolukorras võivad tekkida piirangud, mida lihtne valem ei kirjelda.
9. Tõestusest või vastunäitest, sest küsimus käib üldise väite kehtivuse kohta.
10. $g'(x)=2x-6=0, seega $x=3$. Kuna kordaja $a=1>0$, on parabool ülespoole avatud ja punkt annab miinimumi.

Seosed

See sild koondab gümnaasiumi lõpu kolm otsustusoskust: vali meetod, põhjenda selle sobivust ja tõlgenda vastust mudeli keeles. Järgmine eksamikordamise moodul kasutab sama kontrollnimekirja tervikülesannetes.