XI klassi funktsioonist analüüsini sild

Mõiste

Analüüs uurib funktsioonide muutumist. Enne tuletist peab olema selge, et funktsioon võib kasvada, kahaneda, võnkuda või läheneda mingile väärtusele.

Eeldus: oskad lugeda funktsiooni graafikut, arvutada funktsiooni väärtusi ning mõista keskmist muutust kahe punkti vahel.

Tuletis mõõdab hetkelist muutumise kiirust. Piirväärtus kirjeldab, millele väärtused lähenevad. Integraal kirjeldab kogunenud suurust.

Sild on siin mõtteline: tabeli keskmisest muutusest liigutakse graafiku puutuja tõusuni. Küsimus "kui kiiresti muutub?" viib tuletiseni; küsimus "kui palju kogunes?" viib integraalini.

Näide

Funktsioon $s(t)=t^2$ võib kirjeldada teepikkust ajast sõltuvalt. Keskmine kiirus vahemikus 2 kuni 3 on

$$\frac{s(3)-s(2)}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5.$$

Kui vahemik muutub väga väikeseks, jõuame hetkelise muutumise kiiruseni ehk tuletise mõtteni.

Funktsioonil $s(t)=t^2$ on tuletis

$$s'(t)=2t.$$

Hetkel $t=3$ on muutumise kiirus

$$s'(3)=6.$$

Tõlgendus: vahemikus 2 kuni 3 on keskmine kiirus 5, hetkel $t=3$ aga 6; graafiku alune pindala kirjeldab kogunenud teepikkust.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et tuletis on ainult uus valem. Tegelikult kirjeldab tuletis algse funktsiooni muutumise kiirust.

Teine tüüpviga on unustada, et trigonomeetriliste funktsioonide puhul korduvus mõjutab ka muutumist: sama väärtus võib eri kohtades liikuda üles või alla.

Kolmas tüüpviga on segada funktsiooni väärtus ja muutumise kiirus. $f(4)$ on kõrgus või kogus; $f'(4)$ ütleb, kui kiiresti see seal muutub.

Neljas tüüpviga on mõelda, et integraal tähendab ainult "tuletise vastandit". Rakenduses küsib integraal sageli kogusummat või pindala, mitte ainult algfunktsiooni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjelda sõnadega, mida tähendab "funktsioon kasvab".
2. Funktsioon $f(x)=2x+1$. Kui palju muutub $f$, kui $x$ suureneb 1 võrra?

Rakendus

1. Funktsioon $f(x)=x^2$. Leia keskmine muutus vahemikus 1 kuni 3.
2. Kui $f'(4)=10$, mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=4$?

Mõtlemisülesanne

1. Miks on piirväärtuse mõte vajalik enne tuletist?
2. Too näide nähtusest, mis on perioodiline.
3. Funktsioon $h(t)=3t+2$, kus $h$ on funktsiooni nimi ja $t$ sisend. Mis vahe on väärtusel $h(5)$ ja tuletisel $h'(5)$?
4. Miks võib ruutfunktsiooni keskmine muutus eri vahemikes olla erinev?
5. Auto liigub 10 m/s 4 sekundit. Kuidas näeksid seda kiiruse graafiku aluse pindalana?

Vastused

1. Kui sisend suureneb, suureneb ka funktsiooni väärtus.
2. 2 võrra; lineaarfunktsiooni muutus on igal sammul sama.
3. $\frac{9-1}{3-1}=4$; see on keskmine muutus kahe punkti vahel.
4. Funktsiooni hetkeline muutumise kiirus punktis $x=4$ on 10.
5. Tuletis tekib väga väikese muutuse piiril.
6. Näiteks kellaaeg, aastaaeg või siinuse graafik.
7. $h(5)=17$ on funktsiooni väärtus; $h'(5)=3$ on muutumise kiirus.
8. Ruutfunktsioon ei kasva ühtlase sammuga; selle tõus sõltub asukohast.
9. Ristküliku pindala on $10\cdot4=40$, seega teepikkus on 40 m.

Klassi kordamine

Enne XII klassi liikumist kontrolli nelja vahet:

1. Funktsiooni väärtus ütleb, kui suur on kogus antud sisendi korral.
2. Keskmine muutus võrdleb kahte punkti.
3. Tuletis kirjeldab hetkelist muutumist.
4. Graafiku alune pindala kirjeldab kogunenud suurust.

Segakontroll: olgu $s(t)=t^2+1$. Leia $s(3)$, keskmine muutus vahemikus 1 kuni 3 ning tuletise $s'(t)=2t$ väärtus kohal $t=3$.

Vastus: $s(3)=10$; keskmine muutus on $\frac{10-2}{2}=4$; $s'(3)=6$.

Seosed

See sild ühendab funktsioonide graafikud analüüsi põhiküsimustega: muutumise kiirus, lähendamine ja kogunenud suurus. Järgmine XII klassi sild kasutab neid mõtteid modelleerimises ja tõestamises.