Paralleelsed sirged ja nurgad
Mõiste
Paralleelsed sirged asuvad samal tasandil ega lõiku. Kui kolmas sirge ehk lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget, tekivad kindlad nurgaseosed.
Eeldus: tunned kõrvunurki ja tippnurki ning oskad lühikese põhjenduse sammud kirja panna.
Kui $a\parallel b$, siis:
- vastavad nurgad on võrdsed;
- põiknurgad on võrdsed;
- samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.
Need väited töötavad ka vastupidise tunnusena: kui lõikaja tekitab võrdsed vastavad nurgad, on sirged paralleelsed.
Kui jäid kinni
Märgi kõigepealt võrdsed nurgad sama kaarekesega. Kui otsitav nurk on kõrval, kasuta kõrvunurkade summat $180^\circ$.
Õpetaja kontrollmõte
Ära lase nurganimetustel muutuda päheõpitud pildiks. Pööra joonist ja küsi, millised nurgad asuvad lõikaja ning paralleelsete sirgete suhtes samas rollis.
- Miinimum: õpilane leiab ühe puuduva nurga.
- Tavarada: õpilane nimetab kasutatud nurgaseose.
- Lisaväljakutse: õpilane põhjendab nurgavõrdsuse järgi sirgete paralleelsust.
Näide
Sirged $a$ ja $b$ on paralleelsed. Lõikaja tekitab sirgel $a$ nurga $64^\circ$.
Sellele vastav nurk sirgel $b$ on samuti $64^\circ$. Tema kõrvunurk on
$$180^\circ-64^\circ=116^\circ.$$
Sama tulemuse annab samapoolsete sisenurkade summa.
Vastus: vastav nurk on $64^\circ$ ja selle kõrval olev nurk $116^\circ$.
Tüüpviga
Tüüpviga on kasutada paralleelsete sirgete nurgareeglit, kuigi paralleelsust pole antud ega tõestatud.
Teine viga on nimetada kõik võrdsed nurgad tippnurkadeks. Tippnurgad tekivad ühe lõikepunkti juures; vastavad ja põiknurgad asuvad eri lõikepunktides.
Kolmas viga on jätta vastuse juurde põhjus. Nurga suurus üksi ei näita, kas kasutati tippnurki, vastavaid nurki või kõrvunurki.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Üks vastav nurk on $52^\circ$. Kui suur on teine?
- Üks samapoolne sisenurk on $71^\circ$. Leia teine.
- Kas põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed?
Rakendus
- Leia $138^\circ$ nurga kõrval olev kõrvunurk.
- Lõikaja tekitab võrdse paari vastavaid nurki. Mida saab sirgete kohta järeldada?
- Selgita, miks $83^\circ$ põiknurgale vastav põiknurk on samuti $83^\circ$.
Mõtlemisülesanne
- Paralleelsete sirgete üks nurk on $x$ ja selle samapoolne sisenurk $3x$. Leia mõlemad.
- Miks ei piisa paralleelsuse tõestamiseks sellest, et sirged joonisel ei paista lõikuvat?
- Koosta kolmesammuline põhjendus, kuidas $47^\circ$ nurga abil leida kõrvalasuva lõikepunkti nürinurk.
Vastused
- $52^\circ$, sest vastavad nurgad on võrdsed.
- $109^\circ$, sest samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.
- Jah, põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed.
- $42^\circ$, sest kõrvunurkade summa on $180^\circ$.
- Sirged on paralleelsed vastavate nurkade tunnuse järgi.
- Paralleelseid sirgeid lõikava sirge tekitatud põiknurgad on võrdsed.
- $x+3x=180^\circ$, seega nurgad on $45^\circ$ ja $135^\circ$.
- Sirged võivad lõikuda väljaspool joonise nähtavat osa; vaja on nurgaseost või muud põhjendust.
- Vastav nurk on $47^\circ$; selle tippnurk on $47^\circ$; kõrval olev kõrvunurk on $180^\circ-47^\circ=133^\circ$.
Seosed
Paralleelsete sirgete nurgaseosed annavad kolmnurga kesklõigu, trapetsi ja sarnaste kolmnurkade põhjendustele vajaliku keele.