Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets Matemaatika kiirreferents

Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Mõiste

Kolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.

Eeldus: tunned kolmnurga ja trapetsi osi ning oskad kasutada paralleelsete sirgete nurgaseoseid.

Kui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis

$$MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.$$

Kolmnurga mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse raskuskeskeks. Raskuskese jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on kaks korda pikem kui küljepoolne osa.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte, on alustega paralleelne ja selle pikkus on aluste aritmeetiline keskmine:

$$m=\frac{a+b}{2}.$$

Trapetsi kõrgus $h$ on aluste vaheline ristkaugus. Trapetsi pindala on

$$S=\frac{(a+b)h}{2}=mh.$$

Sama haara lähisnurkade summa on $180^\circ$, sest trapetsi alused on paralleelsed. Võrdhaarse trapetsi kummagi aluse lähisnurgad on paarikaupa võrdsed.

Kolmnurga ja trapetsi kesklõik
Joonisel on kolmnurga kesklõik kolmanda külje pool ning trapetsi kesklõik paralleelsete aluste aritmeetiline keskmine.
Kui jäid kinni

Kontrolli kõigepealt lõigu algus- ja lõpp-punkti. Kahe külje keskpunktide vaheline lõik on kesklõik; tipust vastaskülje keskpunkti suunduv lõik on mediaan.

Õpetaja kontrollmõte

Seo kesklõik paralleelsusega ning mediaan tipuga. Trapetsi puhul palu enne valemi valimist näidata paralleelsed alused ja nendega ristuv kõrgus.

  • Miinimum: õpilane eristab kesklõiku ja mediaani ning leiab kesklõigu pikkuse.
  • Tavarada: õpilane leiab puuduva aluse, mediaani osa või trapetsi pindala.
  • Lisaväljakutse: õpilane põhjendab kesklõigu omadust paralleelsete sirgete või sarnasuse abil.

Näide

Kolmnurga kolmas külg $BC$ on 14 cm. Selle küljega paralleelne kesklõik on

$$MN=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$

Trapetsi alused on 8 cm ja 16 cm. Trapetsi kesklõik on

$$m=\frac{8+16}{2}=12\text{ cm}.$$

Kui selle trapetsi kõrgus on 5 cm, siis

$$S=mh=12\cdot5=60\text{ cm}^2.$$

Kolmnurga mediaani pikkus on 12 cm. Raskuskese jagab selle tipust alates osadeks

$$12\cdot\frac23=8\text{ cm}\quad\text{ja}\quad12\cdot\frac13=4\text{ cm}.$$

Vastus: kolmnurga kesklõik on 7 cm, trapetsi kesklõik 12 cm ja pindala 60 cm²; mediaani osad on 8 cm ja 4 cm.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga kolmnurga sees olevat paralleelset lõiku kesklõiguks. Selle otspunktid peavad olema kahe külje keskpunktid.

Teine viga on liita trapetsi alused, kuid unustada jagamine kahega.

Kolmas viga on kasutada trapetsi haarasid alustena. Alused on paralleelsed küljed.

Neljas viga on ajada mediaan ja kesklõik segi. Mediaan algab kolmnurga tipust; kesklõigu mõlemad otspunktid on külgede keskpunktid.

Viies viga on kasutada trapetsi pindala valemis haarapikkust kõrgusena. Kõrgus peab olema alustega risti.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Kolmnurga külg $BC=18$ cm. Leia sellega paralleelne kesklõik.
  2. Trapetsi alused on 6 cm ja 10 cm. Leia kesklõik.
  3. Milliste trapetsi külgedega on kesklõik paralleelne?
  4. Milliseid punkte ühendab kolmnurga mediaan?

Rakendus

  1. Kolmnurga kesklõik on 9 cm. Leia paralleelse kolmanda külje pikkus.
  2. Trapetsi kesklõik on 13 cm ja üks alus 8 cm. Leia teine alus.
  3. Trapetsi alused on 9 cm ja 15 cm ning kõrgus 6 cm. Leia pindala.
  4. Mediaan on 15 cm. Leia raskuskeskme tekitatud kahe osa pikkused.

Mõtlemisülesanne

  1. Trapetsi alused on $x$ ja $x+6$, kesklõik 12. Leia alused.
  2. Miks on kolmnurga kesklõigu paralleelsus oluline nurgaseoste jaoks?
  3. Trapetsi üks alus suureneb 4 cm ja teine ei muutu. Kui palju muutub kesklõik?
  4. Võrdhaarse trapetsi üks alumine alusnurk on $68^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.

Vastused

  1. 9 cm, sest kesklõik on kolmanda külje pool.
  2. 8 cm, sest $(6+10):2=8$.
  3. Mõlema alusega.
  4. Kolmnurga tippu ja vastaskülje keskpunkti.
  5. 18 cm, sest kolmas külg on kesklõigust kaks korda pikem.
  6. $26-8=18$ cm, sest aluste summa on $2m=26$ cm.
  7. $S=(9+15)\cdot6:2=72$ cm².
  8. Tipupoolne osa on 10 cm ja küljepoolne osa 5 cm.
  9. $(x+x+6):2=12$, seega $x=9$; alused on 9 cm ja 15 cm.
  10. Paralleelsus tekitab võrdsed vastavad ja põiknurgad, mida saab põhjendustes kasutada.
  11. 2 cm, sest kesklõigus jagatakse aluste summa kahega.
  12. Alumised alusnurgad on mõlemad $68^\circ$ ja ülemised mõlemad $112^\circ$.

Seosed

Kesklõik loob silla paralleelsete sirgete ja sarnasuse vahel. Mediaani raskuskese kirjeldab kolmnurga tasakaalu ning trapetsi kesklõik seob alused vahetult pindala valemiga.