Tõestamine ja ringjoone teoreemid

Mõiste

Tõestus on loogiline põhjendus, mis näitab, miks väide alati kehtib. Ringjoone teoreemid seovad nurki, kõõle, puutujaid ja kaari.

Eeldus: tunned ringjoone osi, kolmnurga nurkade summat ja võrdhaarse kolmnurga omadust.

Hea tõestuse ülesehitus:

1. pane kirja, mis on antud;
2. pane kirja, mida tuleb tõestada;
3. kasuta teadaolevaid teoreeme või varem tõestatud väiteid;
4. põhjenda iga sammu;
5. lõpeta selge järeldusega.

Erista väidet ja põhjendust:

Kui mõne vaheväite juures ei oska öelda, miks see kehtib, on tõestuses auk.

Ringjoone põhiteoreemid

Näide

Ringjoone näide: kui $AB$ on ringjoone diameeter ja $C$ asub ringjoonel, siis

$$\angle ACB=90^\circ.$$

See on Thalese teoreem.

Täielik lihtne ringjoone tõestus

Tõestame Thalese teoreemi erijuhu.

Antud: $AB$ on ringjoone diameeter, $O$ on ringjoone keskpunkt ja $C$ on ringjoonel.

Vaja tõestada: $\angle ACB=90^\circ$.

Kuna $O$ on keskpunkt, siis $OA$, $OB$ ja $OC$ on kõik raadiused. Seega

$$OA=OC\quad\text{ja}\quad OB=OC.$$

Kolmnurk $AOC$ on võrdhaarne, järelikult tema alusnurgad on võrdsed. Tähistame

$$\angle OAC=\angle ACO=\alpha.$$

Kolmnurk $BOC$ on samuti võrdhaarne, seega

$$\angle OBC=\angle BCO=\beta.$$

Kolmnurga $ABC$ nurgad on nüüd:

$$\angle BAC=\alpha,$$

$$\angle ABC=\beta,$$

ja

$$\angle ACB=\alpha+\beta.$$

Kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$, seega

$$\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ.$$

Siit

$$2(\alpha+\beta)=180^\circ,$$

$$\alpha+\beta=90^\circ.$$

Aga $\angle ACB=\alpha+\beta$, järelikult

$$\angle ACB=90^\circ.$$

Tõlgendus: raadiused tekitavad kaks võrdhaarset kolmnurka; nurkade summa annab $\angle ACB=90^\circ$.

Tüüpviga

Üks täpne joonis ei ole tõestus. Joonis aitab mõelda, aga põhjendus peab kasutama teadaolevaid omadusi.

Teine tüüpviga on kasutada väidet, mida tegelikult pole antud ega tõestatud. Näiteks ei tohi eeldada, et kaks lõiku on võrdsed ainult sellepärast, et nad joonisel paistavad võrdsed.

Kolmas tüüpviga on jätta põhjendamata, miks kaks nurka või lõiku on võrdsed. Tõestuses peab iga selline samm toetuma näiteks raadiuste võrdsusele, võrdhaarse kolmnurga omadusele või mõnele teoreemile.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Miks ei piisa tõestuseks sellest, et joonisel kaks nurka paistavad võrdsed?
2. Kui piirdenurgad toetuvad samale kaarele, mida saab nende kohta öelda?
3. Kui kesknurk toetub samale kaarele kui piirdenurk $35^\circ$, kui suur on kesknurk?
4. Kui $AB$ on ringjoone diameeter ja $C$ ringjoonel, kui suur on $\angle ACB$?

Rakendus

1. Mis nurga moodustavad puutuja ja puutepunkti tõmmatud raadius?
2. Miks on lõigud $OA$, $OB$ ja $OC$ Thalese tõestuses võrdsed?
3. Millist kolmnurga omadust kasutati võrrandis $\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ$?

Mõtlemisülesanne

1. Kui piirdenurk on $48^\circ$, kui suur on sama kaare kesknurk?
2. Kui puutuja puudutab ringjoont punktis $T$ ja $OT$ on raadius, siis mis on nurk puutuja ja $OT$ vahel?
3. Nimeta üks asi, mida tõestuses ei tohi eeldada ainult joonise põhjal.

Vastused

1. Joonis võib olla ebatäpne; vaja on loogilist põhjendust.
2. Need on võrdsed, sest sama kaarega toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
3. $70^\circ$, sest kesknurk on sama kaare piirdenurgast kaks korda suurem.
4. $90^\circ$, sest diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk.
5. Täisnurga ehk $90^\circ$.
6. Need kõik on sama ringjoone raadiused.
7. Kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$.
8. $96^\circ$, sest kesknurk on piirdenurgast kaks korda suurem.
9. $90^\circ$, sest puutepunkti raadius on puutujaga risti.
10. Näiteks seda, et kaks lõiku on võrdsed või kaks nurka on võrdsed, kui see pole antud ega põhjendatud.

Seosed

Tõestamine valmistab ette gümnaasiumi geomeetriat, loogikat, analüüsi ja täpsemat matemaatilist argumentatsiooni. Järgmine vektorite peatükk kasutab sama täpsust suuna, pikkuse ja nihke põhjendamisel.