Vektorid

Mõiste

Vektor kirjeldab nihet. Vektoril on pikkus ja suund, aga tal ei ole kindlat asukohta: sama vektorit võib joonisel nihkena ümber paigutada, kui pikkus ja suund jäävad samaks.

Eeldus: oskad lugeda koordinaate, kasutada Pythagorase teoreemi ja eristada punkti asukohta nihkest.

Koordinaatteljestikus saab vektorit kirjeldada komponentidega. Näiteks vektor $\vec a=(3;2)$

tähendab nihet 3 ühikut $x$-suunas ja 2 ühikut $y$-suunas.

Negatiivne komponent tähendab liikumist vastassuunas: $(4;-2)$ liigub 4 ühikut paremale ja 2 ühikut alla.

Kui vektor viib punktist $A(x_1;y_1)$ punkti $B(x_2;y_2)$, siis

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1).$$

Tehted

Kui

$$\vec a=(a_1;a_2),\qquad \vec b=(b_1;b_2),$$

siis

$$\vec a+\vec b=(a_1+b_1;\ a_2+b_2),$$

$$\vec a-\vec b=(a_1-b_1;\ a_2-b_2),$$

$$k\vec a=(ka_1;\ ka_2).$$

Vektorite liitmisel võib mõelda nii: pane teise vektori algus esimese vektori lõppu. Summa läheb esimese algusest teise lõppu.

Sama mõte töötab ka mitme vektoriga. Aseta vektorid järjestikku; summa ühendab esimese vektori alguse ja viimase vektori lõpu.

Kontrolli pildilt: kui alustad punktist (0;0), peab viimase noole lõpp olema sama punkt, mille saad komponentide summana.

Näiteks

$$(2;3)+(4;-2)+(1;4)+(2;-1)=(9;4).$$

Võid liita järjest või rühmitada:

$$(2;3)+(4;-2)=(6;1),$$

$$(1;4)+(2;-1)=(3;3),$$

$$(6;1)+(3;3)=(9;4).$$

Vektori pikkus:

$$|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.$$

Nullvektor on $\vec 0=(0;0)$. Selle pikkus on 0 ja suunda tavaliselt ei määrata.

Kolmemõõtmeline vektor

Ruumis on vektoril kolm komponenti:

$$\vec v=(x;y;z).$$

Esimene komponent kirjeldab liikumist $x$-suunas, teine $y$-suunas ja kolmas $z$-suunas.

Näiteks $(2;3;1)$ tähendab: 2 ühikut $x$-suunas, 3 ühikut $y$-suunas ja 1 ühik $z$-suunas.

3D vektorite liitmine käib samuti komponentide kaupa:

$$(x_1;y_1;z_1)+(x_2;y_2;z_2)=(x_1+x_2;\ y_1+y_2;\ z_1+z_2).$$

3D vektori pikkus on

$$|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Näiteks vektori $(2;3;1) pikkus on

$$\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}.$$

Joonisel ja arvutustes loetakse komponente alati samas järjekorras: esmalt $x$, siis $y$, ruumis lisaks $z$.

Näide

Kui $\vec a=(2;1)$ ja $\vec b=(3;-2)$, siis

$$\vec a+\vec b=(2+3;\ 1+(-2))=(5;-1).$$

Kui punktid on $A(1;2)$ ja $B(4;6)$, siis

$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\ 6-2)=(3;4).$$

Vektori (3; 4) pikkus on

$$|(3;4)|=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Vastus: vektorite summa on (5;-1), punktide vaheline nihe on (3;4) ja selle pikkus on 5.

Tüüpviga

Punkt ja vektor võivad olla sama koordinaatpaariga, aga tähendavad eri asja: punkt on asukoht, vektor on nihe.

Teine sage viga on liita vektori pikkusi, kui on vaja liita vektoreid. Enne pikkuse leidmist liida komponendid:

$$(2;1)+(3;-2)=(5;-1),$$

ja alles siis leia summa pikkus, kui seda küsitakse.

Kolmas tüüpviga on ajada segi $\overrightarrow{AB}$ ja $\overrightarrow{BA}$. Need on vastandvektorid: suund on teine ja komponendid on vastasmärgiga.

Kui jäid kinni

Korda koordinaatteljestikul punkti lugemist ja kahe punkti vahe leidmist. Vaata näitest, kuidas punktidest $A$ ja $B$ tekib nihe $\overrightarrow{AB}$. Alusta harjutustest 1 ja 3; pikkuse leidmist tee pärast seda, kui komponentide liitmine on kindel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia (2; -1)+(5; 3).
2. Leia vektori (-6; 8) pikkus.
3. Mis vektor viib punktist (1; 2) punkti (4; 6)?
4. Leia 2(3; -1).

Rakendus

1. Robot liigub ruumis nihetega (1;2;3) ja (4;-2;0). Leia kogunihe.
2. Drooni nihe stardipunktist on (1;2;2) meetrit. Kui kaugel on droon?
3. Leia vektor punktist $A(2;-5)$ punkti $B(-3;4)$.

Mõtlemisülesanne

1. Kui $\overrightarrow{AB}=(2;3)$ ja $\overrightarrow{BC}=(4;-1)$, leia $\overrightarrow{AC}$ ning põhjenda liitmist.
2. Kas vektoritel (5;12) ja (-5;-12) on sama pikkus ja suund? Põhjenda.
3. Leia vektorite (2;-1;4) ja (-3;5;1) summa ning selle summa pikkus.
4. Kui $\overrightarrow{AB}=(4;-3)$, siis mis on $\overrightarrow{BA}$?

Vastused

1. Summa on (7;2), ehk nihe 7 ühikut paremale ja 2 ühikut üles.
2. 10, sest $\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{100}$.
3. (3;4), sest nihe on 3 ühikut paremale ja 4 ühikut üles.
4. Tulemus on (6;-2), sest mõlemad komponendid korrutatakse arvuga 2.
5. (5;0;3), sest liitmine käib komponentide kaupa.
6. 3, sest $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9$.
7. (-5;9), sest lõpp-punktist lahutatakse alguspunkt.
8. (6;2), sest $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
9. Mõlema pikkus on 13, kuid suunad on vastupidised, sest komponendid on vastasmärgiga.
10. Summa on (-1;4;5) ja pikkus on $\sqrt{42}$; enne pikkust liida komponendid.
11. (-4;3), sest vastassuunaline vektor muudab mõlema komponendi märgi.

Seosed

Vektorid seovad koordinaate, suunda ja pikkust. Järgmine koordinaatgeomeetria peatükk kasutab samu ideid sirgete, kauguste ja keskpunktide leidmisel.