Skalaarkorrutis ja vektorite nurk

Mõiste

Kahe vektori skalaarkorrutis on arv, mis seob nende pikkused ja vahelise nurga. Tasandil

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2.$$

Eeldus: oskad vektoreid komponentide kaupa liita, leida vektori pikkust ning kasutada koosinust.

Geomeetriliselt

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha,$$

kus $\alpha$ on vektorite vaheline nurk vahemikus $0^\circ$ kuni $180^\circ$.

Seega mittenullvektorite korral

$$\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}.$$

• Kui $\vec a\cdot\vec b>0$, on nurk terav.
• Kui $\vec a\cdot\vec b=0$, on mittenullvektorid risti.
• Kui $\vec a\cdot\vec b<0$, on nurk nüri.

Vektorid on kollineaarsed, kui üks on teise arvkordne: $\vec b=k\vec a$. Samasuunaliste korral $k>0$, vastassuunaliste korral $k<0$.

Näide

Olgu

$$\vec a=(3;4),\qquad \vec b=(-4;3).$$

Siis

$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot(-4)+4\cdot3=0.$$

Mõlemad vektorid on mittenullvektorid, seega on nad risti.

Olgu nüüd $\vec u=(1;0)$ ja $\vec v=(1;1)$. Siis

$$\cos\alpha=\frac{1}{1\cdot\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},$$

seega $alpha=45^\circ$.

Vastus: $\vec a$ ja $\vec b$ on risti ning $\vec u$ ja $\vec v$ moodustavad 45-kraadise nurga.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et skalaarkorrutis on vektor. Tulemus on arv ehk skalaar.

Teine tüüpviga on järeldada võrdusest $\vec a\cdot\vec b=0$ ristseisu, kontrollimata nullvektorit. Nullvektoril pole kindlat suunda ega vektoritevahelist nurka.

Kolmas tüüpviga on kasutada nurga valemis ainult skalaarkorrutist ja unustada vektorite pikkused.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $(2;3)\cdot(4;-1)$.
2. Kas vektorid (1;2) ja (2;-1) on risti?
3. Kas (2;4) ja (-1;-2) on kollineaarsed?

Rakendus

1. Leia vektorite (1;0) ja (0;5) vaheline nurk.
2. Jõuvektor on $(6;8)$ njuutonit ja nihkevektor $(3;4)$ meetrit. Leia nende skalaarkorrutis ehk tehtud töö.
3. Leia vektorite (1;1) ja (-1;1) vaheline nurk.

Mõtlemisülesanne

1. Miks on vastassuunaliste mittenullvektorite skalaarkorrutis negatiivne?
2. Leia $k$, et vektorid (k;2) ja (4;-2) oleksid risti.
3. Kas sama pikkusega vektorid peavad olema võrdsed? Põhjenda skalaarkorrutise või suuna abil.

Vastused

1. $5$, sest $2\cdot4+3\cdot(-1)=5$.
2. Jah, sest $1\cdot2+2\cdot(-1)=0$ ja kumbki pole nullvektor.
3. Jah, sest $(-1;-2)=-\frac12(2;4)$; suunad on vastupidised.
4. $90^\circ$, sest skalaarkorrutis on 0.
5. $50\ \text{J}$, sest $6\cdot3+8\cdot4=50$ ja njuutonmeeter on džaul.
6. $90^\circ$, sest skalaarkorrutis $-1+1=0$.
7. Nende nurk on $180^\circ$ ja $\cos180^\circ=-1$.
8. $k=1$, sest $4k-4=0$.
9. Ei. Sama pikkusega vektorid võivad olla eri suundades; võrdsus nõuab nii sama pikkust kui ka sama suunda.

Seosed

Skalaarkorrutis annab koordinaatgeomeetriale ristseisu ja nurga kontrolli. Järgmistes peatükkides kasutatakse seda sirgete asendi ning geomeetriliste mudelite kirjeldamisel.