Koordinaatgeomeetria

Mõiste

Koordinaatgeomeetria kasutab geomeetriliste objektide kirjeldamiseks arve ja võrrandeid.

Eeldus: oskad lugeda koordinaate, arvutada vektori pikkust ja leida lineaarfunktsiooni tõusu.

Punkti asukohta kirjeldavad koordinaadid, lõigu pikkust saab arvutada Pythagorase teoreemi abil ning sirget saab kirjeldada võrrandiga.

Samad arvud võivad olla eri rollis: punkt (3;2) ütleb asukoha, vektor (3;2) või nihe (3;2) ütleb, kui palju liikuda $x$- ja $y$-suunas.

Sirge võrrand ei ole sirge ise; see on tingimus, mida täidavad täpselt selle sirge punktide koordinaadid.

Kaugus ja keskpunkt

Kahe punkti $A(x_1;y_1)$ ja $B(x_2;y_2)$ vaheline kaugus:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$

Lõigu keskpunkt:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right).$$

Keskpunkti mõlemas koordinaadis võetakse otspunktide vastavate koordinaatide keskmine.

Kauguse valem tuleb sellest, et punktide vaheline nihe on

$$(x_2-x_1;\ y_2-y_1),$$

ja selle komponendid moodustavad täisnurkse kolmnurga kaatetid.

Enne valemi kasutamist ütle, milline on horisontaalne vahe ja milline vertikaalne vahe; siis on näha, kust kaatetid tulevad.

Kaugus ise on alati mittenegatiivne; suund kaob ruutu tõstes ära.

Sirge võrrand

Kõige sagedamini kirjutatakse sirge võrrand kujul

$$y=kx+b.$$

Siin $k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Sirge lõikab $y$-telge punktis (0;b).

Kui sirgel on kaks punkti $A(x_1;y_1)$ ja $B(x_2;y_2)$, siis tõus on

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_1\ne x_2.$$

Pärast tõusu leidmist saab $b$ leida, asendades sirge võrrandisse ühe teadaoleva punkti.

Kui $x_1=x_2$, on sirge vertikaalne. Seda ei saa kirjutada kujul $y=kx+b$; selle võrrand on

$$x=x_1.$$

Kui $y_1=y_2$, on sirge horisontaalne ja selle võrrand on $y=y_1$.

Näide

Punktide (1; 2) ja (4; 6) kaugus:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Nende keskpunkt on

$$M\left(\frac{1+4}{2};\frac{2+6}{2}\right)=(2{,}5;4).$$

Leiame sirge võrrandi, mis läbib punkte (1;3) ja (3;7).

Tõus on

$$k=\frac{7-3}{3-1}=2.$$

Seega on sirge kujul $y=2x+b$. Asendame punkti (1;3):

$$3=2\cdot 1+b,$$

$$b=1.$$

Sirge võrrand on

$$y=2x+1.$$

Vastus: kaugus on 5, keskpunkt (2,5;4) ja sirge võrrand $y=2x+1$.

Tüüpviga

Kauguse valemis ruudud kaotavad märgi. Seepärast ei ole vahet, kumb punkt enne lahutada.

Sirge tõusu valemis peab järjekord olema mõlemas vahes sama:

$$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},$$

mitte näiteks $\frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$.

Veel üks tüüpviga on proovida vertikaalset sirget kirjutada kujul $y=kx+b$. Kui kõik sirge punktid on näiteks $x=4$, siis sirge võrrand on $x=4$.

Neljas tüüpviga on ajada segi horisontaalne ja vertikaalne sirge: $y=3$ on horisontaalne, $x=3$ on vertikaalne.

Teine seletusviis

Kahe punkti kaugus on peidetud täisnurkne kolmnurk: horisontaalne vahe on üks kaatet ja vertikaalne vahe teine.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia punktide (0; 0) ja (5; 12) kaugus.
2. Leia lõigu otspunktidega (-2; 4) ja (6; 8) keskpunkt.
3. Kuidas on kauguse valem seotud Pythagorase teoreemiga?

Rakendus

1. Matkaraja profiil läbib punktid (2;1) ja (5;7). Leia tõus ja selgita selle märki.
2. Tee läbib punktid (0;-3) ja (4;5). Leia tee sirgvõrrand ning kontrolli teise punktiga.

Mõtlemisülesanne

1. Mis on vertikaalse sirge võrrand, kui ta läbib punkti (6;-2)?
2. Leia punktide (-1;-1) ja (2;3) kaugus ning keskpunkt.
3. Kas vertikaalset sirget $x=6$ saab kirjutada kujul $y=kx+b$? Põhjenda.

Vastused

1. 13, sest vahed on 5 ja 12 ning $\sqrt{5^2+12^2}=13$.
2. (2;6), sest keskpunktis võetakse mõlema koordinaadi keskmine.
3. Punktide koordinaatide vahed on täisnurkse kolmnurga kaatetid; kaugus on hüpotenuus.
4. $k=\frac{7-1}{5-2}=2$; positiivne tõus tähendab, et $x$ kasvades kasvab ka $y$.
5. $y=2x-3$, sest tõus on 2 ja punkt (0;-3) annab algordinaadi; punkt (4;5) sobib kontrolliks.
6. $x=6$, sest vertikaalsel sirgel on kõigil punktidel sama $x$.
7. Kaugus on 5, keskpunkt on $(0{,}5;1)$; vahed on 3 ja 4, seega kasutatakse Pythagorast.
8. Ei. Vertikaalsel sirgel ei ole lõplikku tõusu ja ühele $x$-ile vastab mitu $y$ väärtust; võrrand jääb $x=6$.

Seosed

Koordinaatgeomeetria ühendab vektorid, lineaarfunktsiooni ja Pythagorase teoreemi. Järgmine ruumigeomeetria peatükk laiendab sama koordinaatide ja pikkuste mõtte kolmemõõtmeliseks.