Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Pythagorase teoreem ei ole ainult arvutusreegel. Seda saab tõestada pindalade võrdlemisega.

Eeldus: oskad kasutada seost $a^2+b^2=c^2$, arvutada kolmnurga pindala ja jagada korrapärase hulknurga keskpunktist kolmnurkadeks.

Paigutame neli kaatetitega $a$ ja $b$ täisnurkset kolmnurka küljega $a+b$ ruutu. Keskele jääb küljega $c$ ruut.

$$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$

Avades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb

$$a^2+b^2=c^2.$$

Korrapärase hulknurga keskpunktist tõmmatud lõigud jagavad kujundi võrdseteks kolmnurkadeks. Apoteem $r$ on nende kolmnurkade kõrgus, seega

$$S=\frac{Pr}{2},$$

kus $P$ on hulknurga ümbermõõt.

Näide

Korrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast. Ühe kolmnurga kõrgus on

$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$

Ühe kolmnurga pindala on $\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala

$$S=6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\text{ cm}^2.$$

Kontroll: sama tulemuse annab $P=24$ ja $r=2\sqrt3$ asetamine valemisse $S=\frac{Pr}{2}$.

Tüüpviga

Pindalatõestuses tuleb võrrelda sama suure ruudu kahte kirjeldust; joonis üksi ei ole tõestus. Teine tüüpviga on kasutada apoteemi asemel ümberringjoone raadiust. Apoteem lõpeb külje keskpunktis ja on küljega risti.

Kolmas tüüpviga on arvata, et korrapärase kuusnurga keskpunktist tekivad täisnurksed kolmnurgad kohe tervikuna. Esmalt tekivad võrdkülgsed kolmnurgad; apoteem poolitab ühe neist kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui palju on nelja kaatetitega $a,b$ kolmnurga pindala kokku?
2. Leia ruudu diagonaal, kui külg on 5 cm.

Rakendus

1. Leia võrdkülgse kolmnurga kõrgus, kui külg on 6 cm.
2. Leia sama kolmnurga pindala.
3. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 6 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Selgita pindalade abil, miks tõestusest kaob liige $2ab$.
2. Leia korrapärase kuusnurga pindala, kui külg on 2 cm.
3. Kas valem $S=\frac{Pr}{2}$ sobib igale hulknurgale? Põhjenda.

Vastused

1. $4\cdot\frac{ab}{2}=2ab$.
2. $d=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2$ cm.
3. $h=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3$ cm.
4. $S=\frac{6\cdot3\sqrt3}{2}=9\sqrt3\text{ cm}^2$.
5. $S=\frac{40\cdot6}{2}=120\text{ cm}^2$.
6. Liige $2ab$ on nelja kolmnurga kogupindala mõlemas sama ruudu pindala kirjelduses ja lahutatakse mõlemalt poolelt.
7. Ühe kolmnurga pindala on $\sqrt3$, seega kokku $6\sqrt3\text{ cm}^2$.
8. Ei. Valem eeldab, et keskpunktist külgedele tõmmatud kõrgused on sama pikad; see kehtib korrapärasel hulknurgal.

Seosed

Pythagorase teoreemi tõestus ühendab algebra ja pindala. Korrapäraste hulknurkade poolitamisel tekkivad täisnurksed kolmnurgad valmistavad ette siinuse, koosinuse ja tangensi kasutamist.