Hajuvus ja jaotused

Mõiste

Hajuvus näitab, kas andmed on üksteise lähedal või laiali. Näiteks hinded 4, 4, 5 on koos, aga hinded 1, 4, 5 on rohkem laiali.

Keskmine vastab küsimusele “kus on tüüpiline tase?”, hajuvus vastab küsimusele “kui palju väärtused selle ümber kõiguvad?”.

Järelduses ütle alati, mida hajuvus tähendab: kas tulemused on ühtlased või sõltuvad palju inimesest, katsest või päevast.

Enne üldistamist küsi, kas andmeid on piisavalt ja kas need kirjeldavad õiget rühma.

Eeldus: oskad andmeid järjestada ning leida keskmist, mediaani ja suurimat-väikseimat väärtust.

Olulised näitajad

• Ulatus: suurim väärtus miinus väikseim väärtus.
• Kvartiilid jagavad järjestatud andmed neljaks osaks.
• Standardhälve näitab, kui kaugel väärtused keskmisest enamasti paiknevad.

Kvartiilide mõte:

Karpdiagrammi kast ulatub $Q_1$-st $Q_3$-ni. See näitab keskmist poolt väärtustest. Mida pikem kast, seda rohkem on väärtused keskel laiali.

Standardhälbe täpne valem tuleb hiljem. Siin piisab mõttest: väike standardhälve tähendab, et väärtused on keskmise lähedal; suur standardhälve tähendab, et väärtused on rohkem laiali.

Gümnaasiumis vaadatakse ka jaotusi. Jaotus kirjeldab, millised väärtused on tõenäolised ja kui sageli need esinevad. Binoomjaotus sobib siis, kui kordub sama jah/ei-katse; normaaljaotus on kellukakujuline mudel paljude mõõtmistulemuste jaoks.

Usaldusvahemik annab hinnangu, millisesse vahemikku üldkogumi tegelik keskmine mõistliku kindlusega jääb. See ei ole kindel lubadus, vaid valimi põhjal tehtud hinnang.

Näide

Andmete 3, 4, 8, 10 ulatus on

$$10-3=7.$$

Andmed: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Mediaan on $7$. Alumine pool on 2, 3, 5, seega

$$Q_1=3.$$

Ülemine pool on 11, 13, 17, seega

$$Q_3=13.$$

Karpdiagrammi viis arvu on

$$\min=2,\quad Q_1=3,\quad \text{mediaan}=7,\quad Q_3=13,\quad \max=17.$$

Võrdlus: andmestikel 4, 5, 6 ja 1, 5, 9 on mõlemal keskmine 5, aga teisel on hajuvus suurem.

Vastus: ulatus on 7, viis arvu on 2, 3, 7, 13 ja 17 ning teise võrdlusandmestiku hajuvus on suurem.

Tüüpviga

Keskmise teadmine üksi ei ütle, kas väärtused on keskmise lähedal või väga laiali.

Teine tüüpviga on kvartiile otsida enne andmete järjestamist. Kvartiilid ja mediaan leitakse järjestatud andmetest.

Kolmas tüüpviga on nimetada iga kellukakujulist pilti automaatselt normaaljaotuseks. Enne mudeli kasutamist tuleb küsida, kas andmete kuju ja olukord seda toetavad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 2, 3, 9, 11, 15 ulatus.
2. Miks on mediaan mõnikord parem kui keskmine?

Rakendus

1. Mida näitab karpdiagrammi pikk kast?
2. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 mediaan.

Mõtlemisülesanne

1. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 ligikaudsed $Q_1$ ja $Q_3$, kui mediaan jäetakse poolte leidmisel välja.
2. Leia sama andmestiku ulatus.
3. Millal sobib binoomjaotus paremini kui tavaline keskmise arvutamine?
4. Mida ütleb lai usaldusvahemik valimi põhjal tehtud hinnangu kohta?
5. Kahel andmestikul on sama ulatus 10. Ühel on karpdiagrammi kast lühike, teisel pikk. Mida see tähendab?

Vastused

1. $15-2=13$; andmed ulatuvad väikseimast suurimani 13 ühiku võrra.
2. Mediaan on erandite suhtes vähem tundlik, sest ta sõltub järjestatud andmete keskosast.
3. Keskmine pool andmetest on rohkem laiali: vahe $Q_1$-st $Q_3$-ni on suurem.
4. $5$, sest järjestatud andmestiku keskel on 5.
5. Alumine pool 1, 4 annab $Q_1=2,5$; ülemine pool 8, 10 annab $Q_3=9$. Keskmine pool jääb nende vahele.
6. $10-1=9$; see on äärmuste vahe, mitte tüüpiline kõikumine keskosa ümber.
7. Siis, kui kordub sama kahe tulemusega katse, näiteks õnnestub või ei õnnestu.
8. Hinnang on ebatäpsem; valim võib olla väike või andmed on väga hajuvad.
9. Mõlemal on äärmuste vahe sama, aga pika kastiga andmestikus on keskmine pool väärtustest rohkem hajunud.

Seosed

Hajuvus aitab hinnata, kas üks arv, näiteks keskmine, kirjeldab andmeid piisavalt hästi. Järgmises andmete peatükis kasutatakse sama mõtet valimi, usaldusvahemiku ja statistilise järelduse hindamisel.