Murrud ja kümnendmurrud

Mõiste

Murd kirjeldab osa tervikust:

$$\frac{a}{b},$$

kus $a$ on lugeja ja $b$ nimetaja. Nimetaja ei tohi olla 0.

Eeldus: oskad naturaalarve jagada, tunned jaguvust ning tead, et lugejat ja nimetajat võib taandamisel jagada sama ühise teguriga.

Samaväärsed murrud kirjeldavad sama suurust, kuigi nad näevad erinevad välja:

$$\frac12=\frac24=\frac48.$$

Neid võib mõelda sama punktina arvteljel või sama osana tervikust. Kui jagad pitsa kaheks ja võtad ühe osa, on see sama suur osa kui jagada sama pitsa neljaks ja võtta kaks osa.

Kontrolli pildilt: kui osa on sama, peavad murd, kümnendmurd ja protsent andma sama väärtuse.

Reeglid

Murdu võib laiendada: korruta lugeja ja nimetaja sama nullist erineva arvuga.

$$\frac12=\frac{1\cdot4}{2\cdot4}=\frac48.$$

Murdu võib taandada: jaga lugeja ja nimetaja sama ühise teguriga.

$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac23.$$

Suurima ühisteguriga taandades saad kohe lihtsaima kuju.

Samanimelisi murde liidetakse lugejate kaudu:

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.$$

Murdude korrutamisel korrutatakse lugejad ja nimetajad:

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$$

Erinimeliste murdude liitmisel ja võrdlemisel vii murrud ühisele nimetajale.

$$\frac12=\frac36,\qquad \frac23=\frac46,\qquad \frac12<\frac23.$$

Murru saab kirjutada kümnendmurruna jagades lugeja nimetajaga:

$$\frac14=0,25.$$

Mõnikord tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd:

$$\frac13=0,333\ldots,\qquad \frac16=0,1666\ldots.$$

Kümnendkujuks teisendamisel on hea kontrollida suurusjärku. Kui murd on väiksem kui 1, peab ka kümnendmurd olema väiksem kui 1. Kui $\frac34$ kirjutatakse kogemata $7,5$, on vastus kohe kahtlane, sest $\frac34$ on alla ühe terviku.

Näide

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$

Võrdleme murde $\frac34$ ja $\frac57$. Ühine nimetaja on $28$:

$$\frac34=\frac{21}{28},\qquad \frac57=\frac{20}{28}.$$

Seega

$$\frac34>\frac57.$$

Kümnendkujuga kontroll:

$$\frac34=0,75,\qquad \frac57\approx0,714.$$

See kinnitab sama tulemust. Kontrolliks ei pea alati pikka jagamist tegema; vahel piisab ühise nimetaja kaudu saadud vastuse võrdlemisest lihtsa hinnanguga.

Vastus: summa on $\frac56$ ja võrdluses on $\frac34>\frac57$.

Tüüpviga

Murde ei liideta nii:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne\frac{2}{5}.$$

Kõigepealt tuleb leida ühine nimetaja.

Teine tüüpviga on arvata, et lõpmatu kümnendmurd ei saa olla harilik murd. Kui kümnendmurd on perioodiline, siis ta on ratsionaalarv. Näiteks

$$0,333\ldots=\frac13.$$

Kolmas tüüpviga on võrrelda kümnendmurde ainult esimese numbri järgi. Arv $0,7$ ja arv $0,70$ on võrdsed, sest lõppu lisatud null ei muuda väärtust. Aga $0,7<0,75$, sest seitsme kümnendiku järel on teisel arvul veel viis sajandikku.

Neljas tüüpviga on taandada ainult lugejat või ainult nimetajat. Murru väärtus jääb samaks ainult siis, kui jagad mõlemad sama nullist erineva arvuga.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Murd on piltlikult osa tervikust, arvuliselt jagatis ja algebraliselt võrdsete osade suhe. Näiteks $\frac12$, $0,5$ ja $\frac48$ kirjeldavad sama väärtust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Laienda murdu $\frac35$ nimetajani $20$.
2. Taanda murd $\frac{18}{24}$.

Rakendus

1. Võrdle murde $\frac56$ ja $\frac78$.
2. Kirjuta $\frac18$ kümnendmurruna.

Mõtlemisülesanne

1. Millise hariliku murruga võrdub $0,333\ldots$?
2. Kumb on suurem: $\frac34$ või $0,7$?
3. Kirjuta kolm samaväärset murdu arvule $\frac23$.
4. Kirjuta $0,125$ hariliku murruna ja taanda.
5. Kontrolli kahel viisil, kumb on suurem: $\frac{7}{10}$ või $\frac23$.
6. Kirjuta sama arv kolmel kujul: harilik murd, kümnendmurd ja protsent, kui osa on 3 tükki 4 võrdsest tükist.

Vastused

1. $\frac35=\frac{12}{20}$.
2. $\frac{18}{24}=\frac34$.
3. $\frac56=\frac{20}{24}$ ja $\frac78=\frac{21}{24}$, seega $\frac56<\frac78$.
4. $\frac18=0,125$.
5. $0,333\ldots=\frac13$.
6. $\frac34=0,75$, seega $\frac34$ on suurem.
7. Näiteks $\frac23=\frac46=\frac69=\frac8{12}$.
8. $0,125=\frac{125}{1000}=\frac18$.
9. $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$ ja $\frac23=\frac{20}{30}$, seega $\frac{7}{10}$ on suurem. Kümnendkujuga: $0,7>0,666\ldots$.
10. $\frac34=0,75=75\%$, sest 3 osa 4 võrdsest osast on kolm neljandikku tervikust.

Seosed

Kümnendmurd, protsent ja harilik murd on sama arvu eri kirjutusviisid. Järgmistes arvude peatükkides kasutatakse sama mõtet negatiivsete arvude võrdlemisel ning protsendi-, suhte- ja võrdeülesannetes.

Negatiivsed arvud

Mõiste

Negatiivsed arvud on nullist väiksemad arvud. Arvteljel asuvad nad nullist vasakul.

Eeldus: oskad arve arvteljel järjestada ning tunned liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist naturaalarvudega.

Enne märgireegli kasutamist ütle, mida miinus selles olukorras tähendab: võlga, langust, vastassuunda või nullist väiksemat arvu.

Vastandarvud asuvad nullist sama kaugel, aga eri pooltel. Näiteks $5$ ja $-5$ on vastandarvud.

Negatiivne arv kirjeldab sageli puudujääki või suunda:

Arvteljel võib liitmist mõelda liikumisena:

• positiivse arvu liitmine viib paremale;
• negatiivse arvu liitmine viib vasakule;
• lahutamine viib vastassuunas, sest $a-b=a+(-b)$.

Reeglid

• Positiivse ja negatiivse arvu korrutis on negatiivne.
• Kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne.
• Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.

$$a-b=a+(-b).$$

Märgireeglid korrutamisel ja jagamisel:

Sulgude avamisel:

$$+(a-b)=a-b$$

$$-(a-b)=-a+b.$$

Miinus sulgude ees vahetab sulgudes olevate liikmete märgid.

Näide

$$-4+9=5.$$

Arvteljel tähendab see: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu paremale. Jõuad arvuni $5$.

$$-4-9=-13.$$

See tähendab: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu vasakule. Jõuad arvuni $-13$.

$$(-4)\cdot(-9)=36.$$

Temperatuuri näide: hommikul oli temperatuur $-7^\circ\text{C}$. Päeval tõusis see 5 kraadi:

$$-7+5=-2.$$

Pärastlõunal oli temperatuur $-2^\circ\text{C}$.

Raha näide: kui kontol on $-18$ eurot ja sinna laekub 25 eurot, siis uus seis on

$$-18+25=7.$$

Kui kontol on 7 eurot ja maksad 10 eurot, siis

$$7-10=-3,$$

ehk jääd 3 euroga miinusesse.

Sulgude avamine:

$$7-(3-8)=7-3+8=12.$$

Negatiivse arvuga korrutamine:

$$-2(5-9)=-10+18=8.$$

Vastus: näidetes saadakse 5, -13, 36, $-2^\circ\text{C}$, 7 eurot, -3 eurot, 12 ja 8.

Tüüpviga

Avaldised $-3^2$ ja $(-3)^2$ on erinevad:

$$-3^2=-9,\qquad (-3)^2=9.$$

Teine tüüpviga on miinusmärgi kaotamine sulgude ees:

$$10-(4+3)\ne10-4+3.$$

Õige on

$$10-(4+3)=10-4-3=3.$$

Kolmas tüüpviga on arvata, et suurem absoluutväärtus tähendab alati suuremat arvu. Tegelikult

$$-12< -3,$$

sest $-12$ asub arvteljel rohkem vasakul. Külma ilma näites on $-12^\circ\text{C}$ külmem kui $-3^\circ\text{C}$.

Neljas tüüpviga on lugeda avaldist $12-(-5)$ kui "12 miinus 5". Sulgudes olev miinus kuulub arvule -5; selle arvu lahutamine tähendab liikumist paremale.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $-7+12$.
2. Arvuta $-6\cdot4$.
3. Arvuta $(-6)\cdot(-4)$.
4. Ava sulud ja lihtsusta: $15-(8-5)$.

Rakendus

1. Ava sulud ja lihtsusta: $-3(2-7)$.
2. Hommikul oli temperatuur $-9^\circ\text{C}$. Päeval tõusis temperatuur 6 kraadi. Mis oli uus temperatuur?
3. Kontol on $-15$ eurot. Kontole laekub 40 eurot. Mis on uus kontoseis?

Mõtlemisülesanne

1. Arvteljel alustad arvust 3 ja liigud 8 sammu vasakule. Mis arvuni jõuad?
2. Kumb arv on suurem: $-4$ või $-11$? Põhjenda arvtelje abil.
3. Arvuta $12-(-5)$ ja selgita, miks vastus suureneb.
4. Poe kassa seis muutus hommikul -20 eurost õhtuks 35 euroni. Kui suur oli muutus?

Vastused

1. $5$, sest arvust -7 liigud 12 sammu paremale.
2. $-24$.
3. $24$.
4. $15-8+5=12$.
5. $-6+21=15$.
6. $-9+6=-3^\circ\text{C}$.
7. $-15+40=25$ eurot.
8. $3-8=-5$.
9. $-4$ on suurem, sest see asub arvteljel paremal.
10. $12-(-5)=12+5=17$. Negatiivse arvu lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.
11. Muutus oli $35-(-20)=55$ eurot.

Seosed

Negatiivseid arve on vaja võrrandites, koordinaatteljestikus, funktsioonides ja muutuse kirjeldamisel. Järgmises protsentide ja suhete peatükis kasutatakse sama mõtet muutuse arvutamisel: enne protsenti tuleb aru saada, kas suurus kasvas või vähenes.

Protsendid, suhted ja võrded

Mõiste

Protsent tähendab sajandikku:

$$1\%=\frac{1}{100}=0,01.$$

Promill tähendab tuhandikku:

$$1\text{‰}=\frac{1}{1000}=0,001=0,1\%.$$

Suhe võrdleb kahte suurust. Võrre on kahe suhte võrdsus.

Eeldus: oskad murde ja kümnendmurde teisendada ning saad aru, et protsent, murd ja kümnendmurd võivad kirjeldada sama osa tervikust.

Põhireeglid

Arvu $p\%$ leidmine arvust $A$:

$$\frac{p}{100}\cdot A.$$

Enne arvutamist määra tervik: mis on siin $100\%$? Alles siis küsi, millist osa otsid.

Kui suurus kasvab $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1+\frac{p}{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1-\frac{p}{100}.$$

Protsendi muutus sõltub alati algsest suurusest. Kui hind muutub $80$ eurolt $92$ eurole, siis muutus on

$$92-80=12$$

ja protsendiline muutus on

$$\frac{12}{80}\cdot100\%=15\%.$$

Protsendipunkt kirjeldab kahe protsendi vahet. Kui intress tõuseb $3\%$ pealt $5\%$ peale, siis muutus on $2$ protsendipunkti. Suhteline kasv on aga

$$\frac{5-3}{3}\cdot100\%\approx66,7\%.$$

Võrret saab lahendada ristkorrutisega:

$$\frac ab=\frac cd \quad \Longleftrightarrow \quad a\cdot d=b\cdot c.$$

Suhet $2:3$ võib lugeda nii: iga 2 osa esimese suuruse kohta on 3 osa teist suurust. Kui joogis on mahla ja vett suhtes $2:3$, siis kokku on 5 osa. Mahla osa kogu joogist on $\frac25=40\%$.

Promilli kasutatakse siis, kui sajandik on kirjeldamiseks liiga suur ühik. Näiteks $4\text{‰}=0,004=0,4\%$.

Näide

Kui 80 eurot kallineb 15%, siis uus hind on

$$80\cdot1,15=92.$$

Kui 92 eurot odavneb 15%, siis uus hind ei ole 80 eurot, vaid

$$92\cdot0,85=78,20.$$

Võrde näide:

$$\frac{x}{12}=\frac{5}{3}.$$

Ristkorrutis annab

$$3x=12\cdot5=60,$$

seega

$$x=20.$$

Suhte näide: kui klassis on poisse ja tüdrukuid suhtes $2:3$ ning õpilasi on kokku 25, siis kokku on 5 võrdset osa. Üks osa on

$$25:5=5.$$

Poisse on $2\cdot5=10$ ja tüdrukuid $3\cdot5=15$.

Promilli näide: $3\text{‰}$ arvust 5000 on

$$5000\cdot\frac3{1000}=15.$$

Vastus: uued hinnad on 92 eurot ja 78,20 eurot; võrrandist $x=20$; klassis on 10 poissi ja 15 tüdrukut; $3\text{‰}$ arvust 5000 on 15.

Tüüpviga

Kui hind langeb 20% ja siis tõuseb 20%, ei jõua hind tagasi algsele tasemele. Protsendid võetakse erinevatest alustest.

Enne protsendi leidmist nimeta tervik ehk $100\%$. Kui tervik vahetub, vahetub ka protsendi väärtus.

Teine tüüpviga on ajada protsent ja protsendipunkt segi. Muutus $40\%$ pealt $50\%$ peale on $10$ protsendipunkti, mitte $10\%$ suhteline muutus.

Kolmas tüüpviga on lugeda suhet $2:3$ nii, nagu esimene suurus oleks $\frac23$ tervikust. Tegelikult on tervik $2+3=5$ osa, seega esimene suurus on $\frac25$ tervikust.

Teine seletusviis

Protsenti saab näha pildina: 100 võrdsest ruudust 25 ruutu on $25\%$. Sama mõte arvuna on $\frac{25}{100}=0,25$.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Protsent on piltlikult osa sajast, arvuliselt kümnendmurd ja algebraliselt võrre. $25\%=0,25=\frac14$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $25\%$ arvust $160$.
2. Hind $120$ eurot kallineb $10\%$. Leia uus hind.
3. Kirjuta $75\%$ hariliku murru ja kümnendmurruna.
4. Kirjuta $6\text{‰}$ kümnendmurru ja protsendina.

Rakendus

1. Hind $120$ eurot odavneb $10\%$. Leia uus hind.
2. Lahenda võrre $\frac{x}{9}=\frac43$.
3. Koolilaadal maksis kohvikus pirukas 1,60 eurot. Päeva lõpus tehti hinnale 25% allahindlust. Mis oli uus hind?
4. Mahl ja vesi on suhtes $2:3$. Kui jooki on kokku 1 liiter, mitu liitrit on mahla?

Mõtlemisülesanne

1. Töötuse määr tõusis $6\%$ pealt $8\%$ peale. Mitme protsendipunkti võrra see tõusis?
2. Klassis on 24 õpilast. Neist 75% sõidab kooli bussi või trammiga. Mitu õpilast see on?
3. Hind tõusis 50 eurolt 60 euroni. Leia protsendiline muutus.
4. Hind 100 eurot langeb 20% ja tõuseb siis uuelt hinnalt 20%. Kas hind on jälle 100 eurot?

Vastused

1. $40$, sest see on veerand arvust 160.
2. $132$ eurot, sest tervik on 120 eurot ja 10% sellest on 12 eurot.
3. $75\%=\frac34=0,75$, see tähendab 75 osa sajast ehk kolm neljandikku tervikust.
4. $6\text{‰}=0,006=0,6\%$; promill on tuhandik ja protsent sajandik.
5. $108$ eurot.
6. $x=12$.
7. $1,60\cdot0,75=1,20$ eurot.
8. Kokku on $2+3=5$ osa; mahla on 2 osa, seega $\frac25$ liitrit ehk 0,4 liitrit.
9. $2$ protsendipunkti, sest $8\%-6\%=2\%$-punkti.
10. $24\cdot0,75=18$ õpilast.
11. Muutus on 10 eurot ja $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
12. Ei. Pärast langust on hind 80 eurot ja pärast tõusu $80\cdot1,20=96$ eurot.

Seosed

Protsendid on seotud statistika, intressi, tõenäosuse ja lineaarsete mudelitega. Järgmistes peatükkides kasutatakse sama osa-terviku mõtet astmete, standardkuju ja hiljem funktsioonide kasvumudelite juures.

Astmed, juured ja standardkuju

Mõiste

Aste $a^n$ tähendab, et arvu $a$ korrutatakse iseendaga $n$ korda. Ruutjuur $\sqrt a$ on arv, mis ruutu tõstes annab $a$; märgi $\sqrt{\ }$ all peetakse silmas positiivset või nulliga võrdset vastust.

Eeldus: oskad korrutada, jagada, töötada negatiivsete arvudega ning lugeda kümnendmurde kohaväärtuste järgi.

VII klassi põhitee on naturaalarvulise astendajaga aste, tehete järjekord, arvu kümme positiivsed ja negatiivsed astmed ning standardkuju. Ruutjuur ja üldine negatiivne astendaja on siin edasivaade, mida kasutatakse järgmistes klassides rohkem.

Reeglid

Standardkuju:

$$a\cdot10^n,\qquad 1\le a<10.$$

Standardkujus on arv kirjutatud nii, et esimene tegur on vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Astendaja näitab, mitu kohta koma liigub.

Kümne astendaja annab suurusjärgu: $10^7$ tähendab kümneid miljoneid, $10^{-4}$ väga väikest arvu.

Standardkuju leidmiseks:

1. Nihuta koma nii, et ette jääb arv vahemikus $1$ kuni $10$.
2. Loe, mitu kohta koma nihkus.
3. Kui algne arv oli suur ja koma liikus vasakule, on astendaja positiivne.
4. Kui algne arv oli väike ja koma liikus paremale, on astendaja negatiivne.

Näide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Siin liigub koma 5 kohta paremale, sest astendaja on positiivne. Kui astendaja oleks negatiivne, liiguks koma vasakule:

$$3,08\cdot10^{-5}=0,0000308.$$

Kontrollküsimus standardkuju puhul: kas vastus on algse arvuga sama suurusjärku? Näiteks $0,00045$ on väga väike arv, seega peab standardkujus olema negatiivne kümne astendaja.

Juurte näide:

$$\sqrt{49}=7,\qquad \sqrt{0,25}=0,5.$$

Vastus: $0,00045=4,5\cdot10^{-4}$, $72\,000\,000=7,2\cdot10^7$, $\sqrt{49}=7$.

Tüüpviga

Negatiivne astendaja ei tee arvu negatiivseks:

$$10^{-3}=0,001.$$

Ruutjuure märk $\sqrt a$ annab positiivse või nulliga võrdse ruutjuure:

$$\sqrt{16}=4,$$

mitte $\pm4$. Võrrandil $x^2=16$ on aga kaks lahendit: $x=4$ ja $x=-4$.

Standardkujus on tavaline komaviga panna astendajale vale märk:

$$0,00082\ne8,2\cdot10^4.$$

Õige on

$$0,00082=8,2\cdot10^{-4}.$$

Kui korrutad arvuga $10^4$, muutub arv suuremaks. Väikese arvu kirjeldamiseks peab siin olema $10^{-4}$.

Teine tüüpviga on jätta esimene tegur standardkujus liiga suureks:

$$72\cdot10^6$$

ei ole standardkuju, sest $72$ ei ole väiksem kui $10$. Standardkuju on

$$7,2\cdot10^7.$$

Kolmas tüüpviga on sulud ära jätta negatiivse arvu astendamisel:

$$(-3)^2=9,\qquad -3^2=-9.$$

Esimeses avaldises tõstetakse ruutu kogu arv -3; teises avaldises tõstetakse ruutu ainult 3 ja miinus jääb ette.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $2^5\cdot2^3$.
2. Lihtsusta $\frac{7^6}{7^2}$.
3. Kirjuta standardkujus $0,00082$.
4. Kirjuta tavakujus $6,4\cdot10^3$.

Rakendus

1. Leia $\sqrt{81}$.
2. Kirjuta standardkujus $53\,000\,000$.
3. Kirjuta standardkujus $0,000031$.
4. Arvuta $(-4)^2$ ja $-4^2$.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjuta tavakujus $4,7\cdot10^{-3}$.
2. Paranda viga: $0,006=6\cdot10^3$.
3. Miks $18,2\cdot10^5$ ei ole standardkuju?
4. Maa läbimõõt on ligikaudu $12\,700$ km. Kirjuta see standardkujus.

Vastused

1. $2^8=256$, sest sama alusega astmete korrutamisel astendajad liituvad.
2. $7^4$, sest jagamisel astendajad lahutuvad: $6-2=4$.
3. $8,2\cdot10^{-4}$, sest koma liigub arvuni 8,2 neli kohta paremale.
4. $6400$, sest $10^3$ nihutab koma kolm kohta paremale.
5. $9$, sest $9^2=81$.
6. $5,3\cdot10^7$, seega arv on kümnete miljonite suurusjärgus.
7. $3,1\cdot10^{-5}$, sest arv on väiksem kui üks ja koma liigub 5 kohta paremale.
8. $(-4)^2=16$, aga $-4^2=-16$; sulud näitavad, kas ruutu tõstetakse ka miinus.
9. $0,0047$, sest $10^{-3}$ nihutab koma kolm kohta vasakule.
10. Õige on $0,006=6\cdot10^{-3}$, sest algne arv on väike.
11. Esimene tegur peab olema vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Õige standardkuju on $1,82\cdot10^6$.
12. $1,27\cdot10^4$ km, suurusjärk on kümned tuhanded kilomeetrid.

Seosed

Astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks $\sqrt2$ kaudu.

Arvuhulgad ja reaalarvud

Mõiste

Arvuhulk on arvude rühm. Sama arv võib kuuluda mitmesse rühma korraga. Põhilised arvuhulgad on:

Eeldus: oskad töötada murdude, kümnendmurdude ja negatiivsete arvudega ning tead, et sama arvu saab vahel kirjutada mitmel kujul.

• $\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
• $\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Reaalarvud ei ole eraldi “uus kast ainult uutele arvudele”: sinna kuuluvad ka kõik eelnevate hulkade arvud.

Need hulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

See tähendab, et iga naturaalarv on ka täisarv, iga täisarv on ka ratsionaalarv ja iga ratsionaalarv on ka reaalarv. Reaalarvude hulka kuuluvad lisaks irratsionaalarvud, mis ei kuulu ratsionaalarvude hulka.

Täisarvud kuuluvad ka ratsionaalarvude hulka, sest näiteks $-3=\frac{-3}{1}$. Sama ratsionaalarvu saab sageli kirjutada mitme murruna: näiteks $\frac12$, $\frac24$ ja $\frac48$ tähistavad sama arvu. Üldiselt tähistavad murrud $\frac ab$ ja $\frac cd$ sama ratsionaalarvu, kui $a\cdot d=b\cdot c$.

Murd on kirjutusviis; arv on väärtus, mida see kirjutusviis tähistab.

Mõnda ratsionaalarvu saab kirjutada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna: näiteks $\frac13=0,333\ldots$. Irratsionaalarvu ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Näide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Kuuluvust saab kontrollida tabelina:

Vastus: tabelis kuuluvad kõik arvud reaalarvude hulka, aga naturaalarvude hulka ainult $7$.

Tüüpviga

Lõpmatu kümnendmurd ei ole automaatselt irratsionaalne. Näiteks $0,333\ldots=\frac13$.

Teine tüüpviga on arvata, et iga ruutjuurega arv on irratsionaalne. Näiteks $\sqrt2$ on irratsionaalarv, aga $\sqrt9=3$ on naturaalarv.

Kolmas tüüpviga on märkida arv ainult kõige väiksemasse hulka. Kui arv $7$ on naturaalarv, siis ta kuulub ka hulkadesse $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$.

Praktiline kontroll: leia kõige kitsam sobiv hulk, siis lisa kõik sellest suuremad hulgad. Näiteks $-5$ algab täisarvudest, aga kuulub edasi ka ratsionaal- ja reaalarvudesse.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millistesse arvuhulkadesse kuulub -7?
2. Kirjuta 0,125 hariliku murruna.

Rakendus

1. Too üks irratsionaalarvu näide.
2. Millistesse arvuhulkadesse kuulub $\frac56$?

Mõtlemisülesanne

1. Kas $\sqrt9$ on irratsionaalarv?
2. Millistesse hulkadesse kuulub arv $\frac{7}{2}$?
3. Kas $\frac48$ ja $\frac12$ tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.
4. Millistesse hulkadesse kuulub arv $0$, kui sinu kokkuleppes $0\notin\mathbb{N}$?

Vastused

1. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $-7=\frac{-7}{1}$.
2. $0,125=\frac18$, seega arv on ratsionaalne.
3. Näiteks $\sqrt2$ või $\pi$, sest neid ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada.
4. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac56$ on kahe täisarvu jagatis.
5. Ei. $\sqrt9=3$, seega see on naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv ja reaalarv.
6. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac72=3,5$ ei ole täisarv.
7. Jah, sest $4\cdot2=8\cdot1$; mõlemad tähistavad arvu $\frac12$.
8. Siis $0\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{Q}$ ja $0\in\mathbb{R}$, sest $0=\frac01$; valitud kokkuleppes ei ole ta naturaalarv.

Seosed

Arvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.

Ruutjuur ja juuravaldised

Mõiste

Arvu $a\ge0$ aritmeetiline ruutjuur $\sqrt a$ on mittenegatiivne arv, mille ruut on $a$.

$$\sqrt{49}=7,\qquad 7^2=49.$$

Eeldus: oskad astendada, tunned reaalarve ja leiad taskuarvutiga kümnendlähendi.

Ruutjuure märk annab ühe mittenegatiivse väärtuse. Võrrandil $x^2=49$ on aga kaks lahendit, $x=7$ ja $x=-7$, sest mõlema ruut on 49.

Kui $a,b\ge0$ ja $b>0$, siis

$$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

Need reeglid lubavad täisruudu juuremärgi alt välja tuua. Näiteks $72=36\cdot2$, seega $\sqrt{72}=6\sqrt2$.

Näide

Lihtsustame ja hindame avaldist $\sqrt{72}$.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.$$

Kuna $1,414^2\approx1,999$, on $\sqrt2\approx1,414$. Seega

$$6\sqrt2\approx6\cdot1,414=8,484\approx8,49.$$

Kontroll: $8^2<72<9^2$, mistõttu peab tulemus jääma 8 ja 9 vahele. Täpne vastus on $6\sqrt2$, kümnendlähend on umbes 8,49.

Tüüpviga

Ruutjuur ei jaotu summa liikmete vahel:

$$\sqrt{9+16}=5,\qquad \sqrt9+\sqrt{16}=7.$$

Teine tüüpviga on kirjutada $\sqrt{25}=\pm5$. Õige on $\sqrt{25}=5$; märk $\pm$ tekib võrrandi $x^2=25$ lahendamisel.

Kolmas tüüpviga on kümnendlähendit pimesi uskuda. Võrdle tulemust alati naaberruutudega: kui $25<30<36$, siis $5<\sqrt{30}<6$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\sqrt{121}$.
2. Milliste täisarvude vahel asub $\sqrt{50}$?

Rakendus

1. Lihtsusta $\sqrt{48}$.
2. Arvuta $\sqrt{18}\cdot\sqrt2$.
3. Leia $\sqrt{\frac{81}{16}}$.

Mõtlemisülesanne

1. Ruudu pindala on 200 cm². Leia külje täpne pikkus ja kümnendlähend.
2. Paranda viga: $\sqrt{4+5}=\sqrt4+\sqrt5$.
3. Selgita, miks võrrandil $x^2=36$ on kaks lahendit, kuid $\sqrt{36}$ on üks arv.

Vastused

1. 11, sest $11^2=121$.
2. 7 ja 8 vahel, sest $7^2=49<50<64=8^2$.
3. $\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3$.
4. $\sqrt{36}=6$.
5. $\frac94$, sest ruutjuur võetakse lugejast ja nimetajast.
6. $a=\sqrt{200}=10\sqrt2\approx14,14$ cm.
7. Vasak pool on $\sqrt9=3$, parem pool $2+\sqrt5$; ruutjuur ei jaotu summa vahel.
8. Nii 6 kui ka -6 annavad ruutu tõstes 36. Sümbol $\sqrt{36}$ tähistab kokkuleppeliselt mittenegatiivset juurt 6.

Seosed

Juuravaldised valmistavad ette ruutvõrrandi lahendivalemit, Pythagorase teoreemi ja täpsete pikkuste esitamist. Järgmises algebraplokis otsustad lisaks, millal ruutjuure võtmisel tuleb arvestada kahe märgiga.

Ühikud ja mõõtmine

Mõiste

Mõõtmine tähendab võrdlemist kindla ühikuga. Kui laud on 2 meetrit pikk, mahub meetripikkune lõik laua pikkusesse kaks korda.

Eeldus: oskad korrutada ja jagada arvudega 10, 100 ja 1000 ning saad aru, et sama suurust saab kirjutada eri ühikutes.

Olulised teisendused

Sama suurus jääb samaks, aga arv muutub: väiksemas ühikus rohkem, suuremas vähem.

Enne teisendamist nimeta lähteühik ja sihtühik. Otsusta suund: meetrist sentimeetriks minnes on ühik väiksem ja arvu rohkem.

$$3,4\text{ km}=3400\text{ m},\qquad 250\text{ cm}=2,5\text{ m}.$$

Kontrollküsimus: kas sama asi mõõdetakse väiksema ühikuga? Kui jah, peab ühikuid olema rohkem.

Ütle ka mõõdetav suurus: pikkus, mass, aeg, pindala, ruumala või maht. Sama arv võib eri suuruste juures tähendada eri asja.

Pindalaühikutes muutub ruut:

$$1\text{ m}^2=100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}=10\,000\text{ cm}^2.$$

Ruumalaühikutes muutub kuup:

$$1\text{ m}^3=100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}=1\,000\,000\text{ cm}^3.$$

Pikkuse, pindala ja ruumala kordajad erinevad: mõõtmeid on üks, kaks või kolm.

Samamoodi detsimeetritega:

Näide

3,4 km meetrites:

$$3,4\cdot1000=3400\text{ m}.$$

0,75 kg grammides:

$$0,75\cdot1000=750\text{ g}.$$

2,5 m² ruutsentimeetrites:

$$2,5\text{ m}^2=2,5\cdot10\,000=25\,000\text{ cm}^2.$$

0,003 m³ liitrites:

$$1\text{ m}^3=1000\text{ dm}^3=1000\text{ l},$$

seega

$$0,003\text{ m}^3=0,003\cdot1000=3\text{ l}.$$

Vastus: $3400\text{ m}$, $750\text{ g}$, $25\,000\text{ cm}^2$, $3\text{ l}$.

Tüüpviga

Ühikute teisendamisel peab teadma, kas liigud suuremast ühikust väiksemasse või vastupidi.

Eriti ettevaatlik tuleb olla ruut- ja kuupühikutega. Kuna $1\text{ m}=100\text{ cm}$, siis ei ole $1\text{ m}^2=100\text{ cm}^2$. Õige on

$$1\text{ m}^2=10\,000\text{ cm}^2.$$

Teine levinud viga on segada mahuühikuid ja ruumalaühikuid. Pea meeles:

$$1\text{ l}=1\text{ dm}^3,\qquad 1\text{ ml}=1\text{ cm}^3.$$

Seetõttu on $2\text{ l}=2\text{ dm}^3=2000\text{ cm}^3$.

Kolmas tüüpviga on ajaühikuid teisendada nagu kümnendsüsteemi. Ühes tunnis ei ole 100 minutit, vaid 60 minutit; ühes minutis on 60 sekundit.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Teisenda $4,2\text{ m}$ sentimeetriteks.
2. Teisenda $8500\text{ g}$ kilogrammideks.
3. Teisenda $2\text{ h }15\text{ min}$ minutiteks.
4. Teisenda $3\text{ m}^2$ ruutsentimeetriteks.

Rakendus

1. Teisenda $0,5\text{ m}^3$ kuupsentimeetriteks.
2. Teisenda $0,75\text{ km}$ meetriteks.
3. Teisenda $125\text{ cm}$ meetriteks.

Mõtlemisülesanne

1. Teisenda $4\text{ m}^2$ ruutdetsimeetriteks.
2. Teisenda $6\text{ l}$ kuupsentimeetriteks.
3. Selgita, miks $1\text{ m}^2$ ei võrdu $100\text{ cm}^2$.
4. Vali mõistlik ühik: klassiruumi pikkus, õuna mass, vihiku pindala, veepudeli maht.

Vastused

1. $4,2\text{ m}=420\text{ cm}$, sest meetrist sentimeetriks minnes korrutad 100-ga.
2. $8500\text{ g}=8,5\text{ kg}$, sest grammist kilogrammiks minnes jagad 1000-ga.
3. $2\text{ h}=120\text{ min}$, seega kokku $135\text{ min}$.
4. $30\,000\text{ cm}^2$, sest ruutmeetri kordaja on $100^2=10\,000$.
5. $0,5\cdot1\,000\,000=500\,000\text{ cm}^3$.
6. $750\text{ m}$, sest kilomeeter on meetrist 1000 korda suurem.
7. $1,25\text{ m}$, sest sentimeetrist meetriks minnes jagad 100-ga.
8. $400\text{ dm}^2$.
9. $6\text{ l}=6000\text{ cm}^3$.
10. Meeter koosneb 100 sentimeetrist mõlemas suunas, seega ruudus on $100\cdot100=10\,000$ ruutsentimeetrit.
11. Näiteks klassiruumi pikkus meetrites, õuna mass grammides, vihiku pindala ruutsentimeetrites, veepudeli maht liitrites või milliliitrites.

Seosed

Mõõtmine on vajalik geomeetrias, füüsikas, protsentülesannetes ja mudelites. Järgmine samm on pindala ja ruumala: seal ei piisa enam ühiku teisendamisest, vaid tuleb valida ka kujundile või kehale sobiv valem.

Punkt, sirge ja nurk

Mõiste

Punkt tähistab asukohta. Sirge ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel.

Eeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning tead, et joonisel märgitud andmed on tähtsamad kui silma järgi hinnang.

Nurk tekib kahest samast punktist lähtuvast kiirest.

Enne arvutamist märgi joonisel punktid, antud suurused ja otsitav suurus.

Põhiobjektid on sarnased, aga nende ulatus on erinev:

Kui sama tähis $AB$ esineb eri kohtades, otsusta joonise ja teksti järgi, kas mõeldakse sirget või lõiku.

Lõigu $AB$ puhul on punktid $A$ ja $B$ otspunktid. Kiire $\overrightarrow{AB}$ puhul on $A$ alguspunkt ja kiir läheb läbi punkti $B$.

Põhireeglid

• Täisnurk on $90^\circ$.
• Sirgnurk on $180^\circ$.
• Täispööre on $360^\circ$.

Nurkade liigid:

Kõrvunurgad on kaks nurka, millel on üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad sirge. Kõrvunurkade summa on

$$180^\circ.$$

Tippnurgad tekivad kahe sirge lõikumisel. Tippnurgad on võrdsed.

Näide

Kui kaks kõrvunurka moodustavad sirgnurga ja üks on $65^\circ$, siis teine on

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ.$$

Kui kaks sirget lõikuvad ja üks nurk on $42^\circ$, siis tema tippnurk on samuti $42^\circ$.

Sama lõikumise kõrval olev nurk on kõrvunurk:

$$180^\circ-42^\circ=138^\circ.$$

Kui ümber punkti on mitu nurka, siis nende summa on täispööre:

$$360^\circ.$$

Näiteks kui punkti ümber on nurgad $90^\circ$, $120^\circ$ ja $x$, siis

$$x=360^\circ-90^\circ-120^\circ=150^\circ.$$

Vastus: kõrvunurk on $115^\circ$, tippnurk on $42^\circ$, kõrval olev kõrvunurk on $138^\circ$ ja puuduva täispöörde nurk on $150^\circ$.

Kontroll: kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$, tippnurgad on võrdsed ja ümber punkti olevad nurgad annavad kokku $360^\circ$.

Tüüpviga

Joonis võib olla ebatäpne. Geomeetrias tuleb lähtuda antud andmetest, mitte ainult sellest, kuidas pilt paistab.

Teine tüüpviga on kõrvunurki ja tippnurki segi ajada. Kõrvunurgad liituvad $180^\circ$-ks, tippnurgad on omavahel võrdsed.

Kolmas tüüpviga on lõiku ja sirget samastada. Lõigul on kaks otspunkti ja selle pikkust saab mõõta. Sirgel otspunkte ei ole ning ta ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis liiki nurk on $35^\circ$?
2. Mis liiki nurk on $125^\circ$?
3. Üks kõrvunurk on $73^\circ$. Leia teine.
4. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on tema tippnurk?

Rakendus

1. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on selle kõrval olev kõrvunurk?
2. Mis vahe on lõigul $AB$ ja kiirel $\overrightarrow{AB}$?
3. Üks kõrvunurk on $41^\circ$. Leia teine.

Mõtlemisülesanne

1. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $67^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.
2. Punkti ümber on kolm nurka: $80^\circ$, $95^\circ$ ja $x$. Leia $x$.
3. Nurk $x$ ja nurk $35^\circ$ moodustavad täisnurga. Leia $x$.
4. Joonisel paistab nurk umbes $90^\circ$, aga juurde on kirjutatud $87^\circ$. Millist väärtust kasutad arvutuses ja miks?

Vastused

1. Teravnurk.
2. Nürinurk.
3. $107^\circ$, sest kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
4. $108^\circ$, sest tippnurgad on võrdsed.
5. $72^\circ$, sest kõrval olev kõrvunurk on $180^\circ-108^\circ$.
6. Lõigu $AB$ otspunktid on $A$ ja $B$. Kiir $\overrightarrow{AB}$ algab punktist $A$, läbib punkti $B$ ja jätkub samas suunas.
7. $139^\circ$, sest $180^\circ-41^\circ=139^\circ$.
8. Ülejäänud kolm nurka on $67^\circ$, $113^\circ$ ja $113^\circ$, sest tippnurk on võrdne ja kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
9. $x=360^\circ-80^\circ-95^\circ=185^\circ$.
10. $x=90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
11. Kasutan $87^\circ$, sest arvutustes lähtutakse antud andmetest, mitte joonise silmaga hinnatud kujust.

Seosed

Sirged ja nurgad on kolmnurkade, hulknurkade, trigonomeetria ja tõestuste alus. Järgmises peatükis kasutatakse neid kolmnurga nurkade summa, hulknurkade, ümbermõõdu ja pindala leidmisel.

Kolmnurgad ja nelinurgad

Mõiste

Kolmnurgal on kolm külge ja kolm nurka. Nelinurgal on neli külge ja neli nurka.

Eeldus: tunned nurkade liike, oskad leida ümbermõõtu ja eristad pindala pikkusest.

Kolmnurki saab liigitada külgede järgi:

Kolmnurki saab liigitada ka nurkade järgi:

Kolm pikkust saavad moodustada kolmnurga ainult siis, kui kaks lühemat külge kokku on pikemad kui pikim külg. Näiteks 2 cm, 3 cm ja 6 cm ei sobi, sest $2+3<6$.

Nelinurkade erijuhud:

Rööpküliku vastasküljed ja vastasnurgad on võrdsed ning diagonaalid poolitavad teineteist. Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed; rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja rombi nurki.

Valemid

Kolmnurga nurkade summa:

$$180^\circ.$$

Nelinurga nurkade summa:

$$360^\circ.$$

Kumera $n$-nurga sisenurkade summa:

$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Kolmnurga pindala:

$$S=\frac{ah}{2}.$$

Kõrgus peab olema valitud alusega risti.

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Ruudu pindala:

$$S=a^2.$$

Rombi pindala diagonaalide $d_1$ ja $d_2$ abil:

$$S=\frac{d_1d_2}{2}.$$

Ümbermõõt liidab küljed. Pindala mõõdab kaetud pinda.

Näide

Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:

$$S=\frac{10\cdot6}{2}=30\text{ cm}^2.$$

Kui kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $72^\circ$, siis kolmas nurk on

$$180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ.$$

Kui nelinurga kolm nurka on $90^\circ$, $110^\circ$ ja $80^\circ$, siis neljas nurk on

$$360^\circ-90^\circ-110^\circ-80^\circ=80^\circ.$$

Kuusnurga sisenurkade summa on

$$S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ.$$

Vastus: pindala on $30\text{ cm}^2$, kolmas kolmnurga nurk $60^\circ$, neljas nelinurga nurk $80^\circ$ ja kuusnurga sisenurkade summa $720^\circ$.

Tüüpviga

Kõrgus peab olema risti alusega. Külgjoon ei ole alati kõrgus.

Teine tüüpviga on arvata, et iga nelinurk, millel on üks paar paralleelseid külgi, on rööpkülik. Rööpkülikul peavad mõlemad vastaskülgede paarid olema paralleelsed.

Kolmas tüüpviga on ajada ümbermõõt ja pindala segi. Aia pikkus on ümbermõõt; aia sisse jääva maa suurus on pindala.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga kaks nurka on $35^\circ$ ja $65^\circ$. Leia kolmas nurk.
2. Kas kolmnurk nurkadega $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$ on täisnurkne?
3. Leia kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.

Rakendus

1. Nelinurga kolm nurka on $100^\circ$, $80^\circ$ ja $90^\circ$. Leia neljas.
2. Millisel nelinurgal on kõik küljed võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad?
3. Ristküliku küljed on 8 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Rööpküliku alus on 12 cm ja kõrgus 5 cm. Leia pindala.
2. Ristküliku üks külg on 7 cm ja pindala on 35 cm². Leia teine külg.
3. Kolmnurga nurgad on $x$, $2x$ ja $3x$. Leia nurgad.
4. Kas pikkustest 4 cm, 5 cm ja 10 cm saab moodustada kolmnurga?
5. Leia korrapärase kuusnurga ühe sisenurga suurus.
6. Rombi diagonaalid on 6 cm ja 10 cm. Leia rombi pindala.

Vastused

1. $80^\circ$, sest kolmnurga nurgad annavad kokku $180^\circ$.
2. Jah, sest üks nurk on $90^\circ$.
3. Ümbermõõt on $4+5+6=15\text{ cm}$.
4. $90^\circ$, sest nelinurga nurgad annavad kokku $360^\circ$.
5. Ruut, sest ruudul on võrdsed küljed ja täisnurgad.
6. Ümbermõõt $2(8+3)=22\text{ cm}$, pindala $8\cdot3=24\text{ cm}^2$; üks mõõdab äärt, teine pinda.
7. $S=12\cdot5=60\text{ cm}^2$.
8. Teine külg on $35:7=5\text{ cm}$, sest ristkülikul $S=ab$.
9. $x+2x+3x=180^\circ$, seega $x=30^\circ$; nurgad on $30^\circ,60^\circ,90^\circ$.
10. Ei, sest $4+5=9<10$; kahe lühema külje summa peab olema pikem kui pikim külg.
11. Sisenurkade summa on $(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$. Kõik kuus nurka on võrdsed, seega üks nurk on $720^\circ:6=120^\circ$.
12. $S=\frac{6\cdot10}{2}=30\text{ cm}^2$.

Seosed

Kolmnurgad viivad Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja trigonomeetriani. Nelinurkade ja pindala mõte valmistab ette ringi, sümmeetria ja teisenduste peatükke.

Pindala ja ruumala

Mõiste

Pindala mõõdab pinda. Ruumala mõõdab mahtu.

Eeldus: tunned ühikuid, korrutamist, jagamist, külge, kõrgust, pinda ja serva.

Enne valemit otsusta:

Valemid

Pindala

Ruumala

Välispind tähendab pindala, mahutavus ruumala.

Näide

Ristküliku küljed on 4 cm ja 7 cm. Pindala on

$$S=4\cdot7=28\text{ cm}^2.$$

Kui risttahuka mõõtmed on 2 cm, 3 cm ja 5 cm, siis

$$V=2\cdot3\cdot5=30\text{ cm}^3.$$

Kolmnurga alus on 8 cm ja kõrgus 5 cm. Pindala on

$$S=\frac{8\cdot5}{2}=20\text{ cm}^2.$$

Vastus: $28\text{ cm}^2$, $30\text{ cm}^3$ ja $20\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Pindalaühikud on ruutühikud, näiteks cm². Ruumalaühikud on kuupühikud, näiteks cm³.

Kolmnurgas peavad alus ja kõrgus olema risti.

Ära aja pindala ja ümbermõõtu segi: vaip vajab pindala, liist ümbermõõtu.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia ristküliku pindala, kui küljed on 6 cm ja 9 cm.
2. Leia kolmnurga pindala, kui alus on 10 cm ja kõrgus 7 cm.
3. Kas otsitakse pikkust, pindala või ruumala: karbi maht; aia pikkus; laua katmiseks vajalik lina?

Rakendus

1. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
2. Leia silindri ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=5$ cm.
3. Ristkülikukujuline tuba on 5 m pikk ja 4 m lai. Kui suur on põranda pindala?

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei sobi ruumala vastuseks $\text{cm}^2$?
2. Risttahuka mõõtmed on 2 cm, 4 cm ja 6 cm. Leia ruumala.
3. Kolmnurga pindala on 24 cm² ja alus 8 cm. Leia kõrgus.
4. Põranda pindala on 20 m². Kas sellest piisab, et leida toa ümbermõõt? Põhjenda.
5. Karpi täidetakse liivaga ja kaetakse paberiga. Kummal juhul otsid ruumala ja kummal pindala?

Vastused

1. $54\text{ cm}^2$, sest $6\cdot9=54$ ja otsitakse pinda.
2. $35\text{ cm}^2$, sest kolmnurga pindala on $\frac{10\cdot7}{2}$.
3. Karbi maht ehk ruumala; aia pikkus: pikkus; lina: pindala.
4. $64\text{ cm}^3$, sest kuubi ruumala on $4^3$.
5. $45\pi\text{ cm}^3\approx141,4\text{ cm}^3$, sest silindril $V=\pi r^2h$.
6. $5\cdot4=20\text{ m}^2$, sest põrand on ristkülik.
7. Ruumala mõõdetakse kuupühikutes, näiteks $\text{cm}^3$; $\text{cm}^2$ katab pinda, mitte ruumi.
8. $2\cdot4\cdot6=48\text{ cm}^3$, sest risttahukal $V=abc$.
9. Valemist $24=\frac{8h}{2}$ saame $24=4h$, seega $h=6$ cm.
10. Ei piisa alati. Näiteks ristkülikud 4 m × 5 m ja 2 m × 10 m on mõlemad pindalaga 20 m², aga ümbermõõdud on erinevad.
11. Liivaga täitmisel otsid ruumala; paberiga katmisel otsid välispinna pindala.

Seosed

Pindala ja ruumala seovad arvutamise geomeetria, mõõtkava ja päriseluliste mõõtmistega. Järgmises mõõtkava peatükis kasutatakse sama mõtet: pikkuste mõõtkava ei teisendu pindala mõõtkavaks sama kordajaga.

Mõõtkava ja proportsioon

Mõiste

Mõõtkava näitab, mitu korda on joonis tegelikkusest väiksem või suurem. 1 : 50 000 tähendab, et 1 cm kaardil vastab 50 000 cm tegelikkuses.

Eeldus: oskad teisendada pikkusühikuid ning saad aru suhtest ja võrdest.

Mõõtkava on suhe:

$$\frac{\text{joonisel}}{\text{tegelikkuses}}=\frac1{50\,000}.$$

Võrdes on kaks suhet võrdsed. Mõõtkaval 1 : 50 000:

$$\frac{1\text{ cm}}{50\,000\text{ cm}}=\frac{x\text{ cm}}{y\text{ cm}},$$

kus $y$ on tegelik kaugus samas ühikus.

Mõlemal pool suhet peab olema sama ühik. Arvuta sentimeetrites ja teisenda lõpus.

Enne arvutust ütle suund: kas otsid tegelikku pikkust joonise järgi või joonise pikkust tegelikkuse järgi.

Ühikukontroll:

$$1000\text{ cm}=10\text{ m},$$

mitte 1000 m. Mõõtkava ja ühiku teisendus on eri sammud.

Näide

Kaart

Kui kaardil on vahemaa 4 cm ja mõõtkava on 1 : 25 000, siis tegelik vahemaa on

$$4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}=1\text{ km}.$$

Proportsioonina:

$$\frac{1}{25\,000}=\frac{4}{x}.$$

Ristkorrutis annab

$$x=4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}.$$

Plaan

Toa plaani mõõtkava on 1 : 100. Kui sein on plaanil 4,2 cm, siis tegelik sein on

$$4,2\cdot100=420\text{ cm}=4,2\text{ m}.$$

Mudelauto mõõtkava on 1 : 20. Kui mudelauto pikkus on 22 cm, siis tegeliku auto pikkus on

$$22\cdot20=440\text{ cm}=4,4\text{ m}.$$

Kui tegelik pikkus on teada, jagame teguriga. Näiteks 1 : 50 plaanil vastab 3 m ehk 300 cm pikkusele

$$300:50=6\text{ cm}.$$

Mõnikord on mudel suurem, näiteks raku mudel. Mõõtkava 20 : 1 tähendab, et mudel on 20 korda suurem.

Vastus: 1 km, 4,2 m ja 4,4 m.

Tüüpviga

Pikkused muutuvad mõõtkava järgi $k$ korda, pindalad aga $k^2$ korda.

Näiteks mõõtkavas 1 : 10 on pikkused 10 korda väiksemad, aga pindalad 100 korda väiksemad.

Teine viga on ühikute vahele jätmine:

$$4\cdot25\,000=100\,000.$$

See arv tähendab sentimeetreid, sest kaardil mõõdeti sentimeetrites. Alles siis teisenda:

$$100\,000\text{ cm}=1000\text{ m}=1\text{ km}.$$

Kolmas viga on jagada siis, kui peaks korrutama. Kui kaardipikkusest otsid tegelikku pikkust, peab tegelikkus olema suurem.

Neljas viga on lugeda suurendavat mõõtkava nagu vähendavat. 20 : 1 tähendab, et mudel on 20 korda suurem.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui mõõtkava on 1 : 100 000, mitu kilomeetrit vastab 3 cm-le?
2. Mudelauto on tegelikust autost 20 korda väiksem. Mis on mõõtkava?
3. Miks pindala mõõtkava ei ole sama mis pikkuse mõõtkava?
4. Plaani mõõtkava on 1 : 50. Kui laud on tegelikult 150 cm pikk, kui pikk on see plaanil?

Rakendus

1. Kaardil on vahemaa 7 cm ja mõõtkava 1 : 200 000. Kui pikk on vahemaa tegelikkuses kilomeetrites?
2. Toa plaanil on kapi laius 3,6 cm. Mõõtkava on 1 : 25. Kui lai on kapp tegelikult sentimeetrites ja meetrites?
3. Kahe linna vahe on kaardil 8,5 cm. Mõõtkava on 1 : 500 000. Leia tegelik kaugus kilomeetrites.
4. Matkaplaanil on Otepää matkaraja lõik 4,2 cm. Mõõtkava on 1 : 50 000. Leia lõigu tegelik pikkus kilomeetrites.

Mõtlemisülesanne

1. Tegelik aed on 18 m pikk. Kui pikk on see plaanil mõõtkavas 1 : 200?
2. Mudeli mõõtkava on 5 : 1. Kui tegelik detail on 4 cm pikk, kui pikk on mudelil sama detail?
3. Leia viga: õpilane arvutas mõõtkaval 1 : 100 000, et 2 cm kaardil on $2:100\,000=0,00002$ km.
4. Kaart on mõõtkavas 1 : 10 000. Kui tegelik teelõik on 600 m, kui pikk on see kaardil?

Vastused

1. $3\cdot100\,000=300\,000\text{ cm}=3\text{ km}$.
2. 1 : 20, sest mudeli 1 osa vastab tegelikkuse 20 osale.
3. Pindala muutub pikkuse muutuse ruuduga.
4. $150:50=3\text{ cm}$, sest tegelikkusest plaanile minnes jagad.
5. $7\cdot200\,000=1\,400\,000\text{ cm}=14\text{ km}$.
6. $3,6\cdot25=90\text{ cm}=0,9\text{ m}$, sest plaanilt tegelikkusesse minnes korrutad.
7. $8,5\cdot500\,000=4\,250\,000\text{ cm}=42,5\text{ km}$.
8. $4,2\cdot50\,000=210\,000\text{ cm}=2,1\text{ km}$.
9. $18\text{ m}=1800\text{ cm}$, seega $1800:200=9\text{ cm}$.
10. $4\cdot5=20\text{ cm}$, sest 5 : 1 suurendab mudelit.
11. Kui kaardipikkusest otsitakse tegelikku pikkust, tuleb korrutada: $2\cdot100\,000=200\,000\text{ cm}=2\text{ km}$.
12. $600\text{ m}=60\,000\text{ cm}$, seega $60\,000:10\,000=6\text{ cm}$.

Seosed

Mõõtkava kasutab sama suhte mõtet, mida hiljem läheb vaja sarnaste kolmnurkade, trigonomeetria ja mudelite juures.

Ring ja sümmeetria

Mõiste

Ringjoon on kinnine piirjoon keskpunkti ümber. Kõik ringjoone punktid on keskpunktist sama kaugel; seda kaugust nimetatakse raadiuseks.

Eeldus: oskad eristada pikkust ja pindala ning tunned sirget, lõiku ja sümmeetriatelge.

Ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega. Igapäevases kõnes öeldakse vahel mõlema kohta "ring", aga matemaatikas on neil vahe:

• ringjoon on piirjoon;
• ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega.

Ringi olulised osad:

Valemid

Ringjoone pikkus:

$$C=2\pi r.$$

Ringi pindala:

$$S=\pi r^2.$$

Need valemid vastavad eri küsimustele:

Kui antud on diameeter, leia enne raadius või kasuta ringjoone pikkuse jaoks valemit $C=\pi d$.

Ringil on palju sümmeetriatelgi: iga keskpunkti läbiv sirge jaotab ringi kaheks võrdseks pooleks. Diameeter asub alati sellisel sümmeetriateljel.

Näide

Kui $r=5$, siis

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78,5.$$

Ringjoone pikkus sama raadiusega on

$$C=2\pi\cdot5=10\pi\approx31,4.$$

Kui diameeter on $12$, siis raadius on

$$r=\frac{12}{2}=6.$$

Sama ringi pindala on

$$S=\pi\cdot6^2=36\pi\approx113,1.$$

Ringjoone pikkus on

$$C=\pi\cdot12=12\pi\approx37,7.$$

Kui tahad katta ümmarguse laua pinna, vajad pindala. Kui tahad panna laua serva ümber paela, vajad ringjoone pikkust.

Vastus: raadiusega 5 on pindala umbes 78,5 ja ringjoone pikkus umbes 31,4; diameetriga 12 on pindala umbes 113,1 ja ringjoone pikkus umbes 37,7.

Tüüpviga

Raadius ja diameeter ehk läbimõõt lähevad tihti segi. Diameeter on kaks raadiust:

$$d=2r.$$

Teine tüüpviga on ringjoone pikkust ja ringi pindala segi ajada. Ringjoone pikkus kasutab pikkusühikut, näiteks cm. Ringi pindala kasutab ruutühikut, näiteks cm².

Kontrolli ühikut:

• kui vastus on $\text{cm}$, mõõdad pikkust;
• kui vastus on $\text{cm}^2$, mõõdad pindala.

Kolmas tüüpviga on kasutada diameetrit raadiuse asemel pindala valemis. Kui $d=10$, siis $r=5$, seega

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi,$$

mitte $\pi\cdot10^2$.

Neljas tüüpviga on arvata, et sümmeetriatelg peab olema joonisel püstine või rõhtne. Ringil sobib iga keskpunkti läbiv sirge.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia diameeter, kui raadius on 7 cm.
2. Leia raadius, kui diameeter on 18 cm.
3. Leia ringi pindala, kui $r=4$.
4. Leia ringjoone pikkus, kui $r=4$.

Rakendus

1. Mis vahe on kõõlul ja diameetril?
2. Leia ringjoone pikkus, kui diameeter on 20 cm.
3. Leia ringi pindala, kui diameeter on 14 cm.

Mõtlemisülesanne

1. Kas ülesandes “ümber lillepeenra pannakse ääris” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
2. Kas ülesandes “ümmargune vaip katab põrandat” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
3. Mitu sümmeetriatelge on ringil?
4. Kas sirge, mis lõikab ringi kahte võrdsesse poolde, peab läbima keskpunkti?

Vastused

1. $14\text{ cm}$, sest diameeter on kaks raadiust.
2. $9\text{ cm}$, sest raadius on pool diameetrist.
3. $16\pi\approx50,3$ ruutühikut, sest $S=\pi r^2$.
4. $8\pi\approx25,1$ pikkusühikut, sest $C=2\pi r$.
5. Diameeter on kõõl, mis läbib keskpunkti. Kõik kõõlud ei läbi keskpunkti.
6. $C=\pi d=20\pi\approx62,8\text{ cm}$.
7. $r=7\text{ cm}$, seega $S=49\pi\approx153,9\text{ cm}^2$.
8. Ringjoone pikkust, sest ääris käib ümber peenra piiri.
9. Pindala, sest vaip katab põranda osa, mitte ainult serva.
10. Lõpmata palju; iga keskpunkti läbiv sirge on sümmeetriatelg.
11. Jah. Ringi sümmeetriatelg läbib keskpunkti, sest ainult siis jäävad pooled peegeldamisel kokku.

Seosed

Ring on oluline geomeetrias, trigonomeetrias, radiaanides ja ringliikumise mudelites. Järgmises peatükis kasutatakse sümmeetriat koos peegelduse, lükke ja pööramisega.

Tabelid, diagrammid ja keskmised

Mõiste

Statistika aitab andmeid tõlgendada.

Eeldus: oskad liita, jagada, järjestada arve ning lugeda lihtsat tabelit.

Põhimõisted

• Sagedus: mitu korda väärtus esineb.
• Suhteline sagedus: sageduse osa kõigist andmetest.
• Aritmeetiline keskmine: summa jagatud väärtuste arvuga.
• Mediaan: järjestatud andmete keskmine väärtus.
• Mood: kõige sagedasem väärtus.

Sagedustabel näitab, mitu korda väärtused korduvad.

Andmete analüüsimisel on hea liikuda kindlas järjekorras:

1. korrasta andmed tabelisse;
2. leia sagedused;
3. arvuta keskmine, mediaan ja mood;
4. vaata, kas andmetes on erandeid;
5. sõnasta järeldus.

Näide

Andmed: 2, 4, 4, 5, 10.

Keskmine:

$$\frac{2+4+4+5+10}{5}=5.$$

Mediaan on 4 ja mood on 4.

Sagedustabel:

Erandi korral võib mediaan olla tüüpilisem kui keskmine. Näiteks andmetes 2, 4, 4, 5, 100 on keskmine

$$\frac{2+4+4+5+100}{5}=23,$$

aga mediaan on 4.

Väikese andmestiku täielik analüüs

Küsiti 10 õpilaselt, mitu minutit nad eelmisel päeval matemaatikat harjutasid:

$$10,\ 15,\ 20,\ 20,\ 25,\ 30,\ 30,\ 30,\ 45,\ 75.$$

Sagedustabel:

Keskmine:

$$\frac{10+15+20+20+25+30+30+30+45+75}{10}=\frac{300}{10}=30.$$

Mediaan: andmeid on 10, seega võtame 5. ja 6. väärtuse:

$$\frac{25+30}{2}=27,5.$$

Mood on 30, sest 30 minutit esineb kõige sagedamini.

Vastus: tüüpiline harjutamise aeg oli umbes 30 minutit. Väärtus 75 tõstab keskmist üles; mediaan on 27,5 minutit.

Diagrammi valik sõltub küsimusest: tulpdiagramm võrdleb rühmi, joondiagramm muutust ajas ja sektordiagramm terviku jaotust.

Tüüpviga

Keskmine ei pruugi kirjeldada tüüpilist väärtust, kui andmetes on suur erand.

Teine tüüpviga on mediaani leidmine ilma andmeid järjestamata. Mediaani jaoks tuleb andmed alati enne suuruse järjekorda panna.

Kolmas tüüpviga on kirjutada järeldus ilma andmeteta. Väide “õpilased harjutasid palju” on ebamäärane. Parem on: “Kõige sagedasem harjutamise aeg oli 30 minutit ja mediaan oli 27,5 minutit.”

Teine seletusviis

Andmeid saab lugeda jutuna: mida mõõdeti, mida võrreldakse ja mis on tavaline või erandlik.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 aritmeetiline keskmine.
2. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mediaan.
3. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mood.
4. Andmed on 1, 2, 2, 3, 40. Kumb kirjeldab tüüpilist väärtust paremini: keskmine või mediaan?

Rakendus

1. Tee sagedustabel andmetele 1, 1, 2, 4, 4, 4.
2. Leia andmete 6, 8, 8, 10, 13, 15 aritmeetiline keskmine.
3. Leia samade andmete mediaan.
4. Tartu kooli spordipäeval koguti kaugushüppe tulemused meetrites: 2,1; 2,4; 2,4; 2,8; 3,0. Leia mediaan.

Mõtlemisülesanne

1. Leia samade andmete mood.
2. Õpilaste lugemisaeg minutites oli 5, 10, 10, 15, 20, 60. Leia keskmine ja mediaan. Kumb kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini?
3. Millist diagrammi kasutaksid, kui võrdled lemmikspordialade valikuid?
4. Kui 30 õpilasest 12 valis korvpalli, leia korvpalli suhteline sagedus.

Vastused

1. $6$, sest summa 30 jagatakse 5 väärtusega.
2. $4$, sest järjestatud andmete keskel on 4.
3. $3$, sest see esineb kõige sagedamini.
4. Mediaan, sest $40$ tõstab aritmeetilist keskmist palju.
5. $1$: 2 korda, $2$: 1 kord, $4$: 3 korda.
6. $\frac{6+8+8+10+13+15}{6}=10$.
7. $\frac{8+10}{2}=9$.
8. $2,4$ m.
9. $8$.
10. Keskmine on $\frac{120}{6}=20$, mediaan on $\frac{10+15}{2}=12,5$. Mediaan kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini, sest 60 minutit on erandlikult suur.
11. Tulpdiagrammi, sest võrreldakse valikurühmi.
12. $\frac{12}{30}=0,4=40\%$ õpilastest; suhteline sagedus on osa kõigist.

Seosed

Statistika toetab tõenäosust, uurimistöid, mudelite hindamist ja andmepõhist otsustamist. Järgmises peatükis muutub suhteline sagedus sillaks tõenäosuse mõisteni.

Tõenäosuse alused

Mõiste

Tõenäosus näitab sündmuse toimumise võimalust. See on arv vahemikus 0 kuni 1.

Eeldus: oskad töötada murdudega, lugeda sagedustabelit ja eristada soodsaid tulemusi kõigist võimalikest tulemustest.

Valem

Kui kõik tulemused on võrdvõimalikud, siis

$$P(A)=\frac{\text{soodsate tulemuste arv}}{\text{kõikide tulemuste arv}}.$$

Pildi või tabeli järgi kontrolli: lugejas on soodsad tulemused, nimetajas kõik sama katse võrdvõimalikud tulemused.

Kindel sündmus on tõenäosusega $1$. Võimatu sündmus on tõenäosusega $0$.

$$0\le P(A)\le1.$$

Kui arvutus annab alla 0 või üle 1, on kuskil loenduse, nimetaja või sündmuste kattumise viga.

Tõenäosus on mudeli järgi oodatav osa. Suhteline sagedus on päris katse tulemus: kui sündmus toimus 30 katsest 12 korda, siis suhteline sagedus on $\frac{12}{30}=0,4$. Paljude katsete korral võib see anda hinnangu tõenäosusele, kuid väheste katsete puhul võib juhus palju kõikuda.

Gümnaasiumis lisandub tinglik tõenäosus: kui tead, et sündmus $B$ juba toimus, siis küsid sündmuse $A$ tõenäosust selle uue info korral.

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0.$$

Näide

Täringut visates on paarisarvu saamise tõenäosus

$$P=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Soodsad tulemused on 2, 4 ja 6. Kõik võimalikud tulemused on 1, 2, 3, 4, 5 ja 6.

Kahe mündiviske võimalusi saab näidata puudiagrammiga.

Kahe mündiviske tulemused on HH, HK, KH ja KK. Täpselt ühe kulli saamiseks on soodsad tulemused HK ja KH, seega

$$P(\text{täpselt üks kull})=\frac24=\frac12.$$

Vastus: paarisarvu tõenäosus täringul on $\frac12$ ja täpselt ühe kulli tõenäosus kahe mündiviske korral on $\frac12$.

Kui klassis on 12 tüdrukut ja 8 poissi ning loositakse üks õpilane nende hulgast, kes käivad matemaatikaringis, siis nimetaja ei ole kogu klass, vaid ainult matemaatikaringis käijad. See on tingliku tõenäosuse mõte.

Tüüpviga

Tõenäosused liidetakse ainult siis, kui sündmused ei kattu, või tuleb kattuv osa eraldi arvesse võtta.

Näiteks täringul sündmused "paarisarv" ja "suurem kui 3" kattuvad tulemuste 4 ja 6 juures. Seetõttu ei saa nende tõenäosusi otse liita.

Teine tüüpviga on kasutada tinglikus tõenäosuses vale nimetajat. Kui tingimus kitsendab valikut, tuleb kõik võimalused lugeda ainult selle tingimuse seest.

Kolmas tüüpviga on eeldada, et kõik tulemused on alati võrdvõimalikud. Täringu tulemused on tavaliselt võrdvõimalikud, aga näiteks klassist juhuslikult valitud õpilase huviring ei pruugi olla igas rühmas sama jaotusega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv 5?
2. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv, mis on suurem kui 4?

Rakendus

1. Münti kaks korda visates, kui suur on tõenäosus saada kaks kulli?
2. Kotis on 3 punast ja 2 sinist palli. Kui valid ühe palli, kui suur on tõenäosus saada sinine?
3. Klassi loosikastis on 6 sinist, 3 rohelist ja 1 kollane pilet. Kui valid ühe pileti, kui suur on tõenäosus saada roheline?

Mõtlemisülesanne

1. Miks peab kontrollima, kas sündmused kattuvad?
2. Spordipäeva loosimisel võidavad auhinna kõik, kes tõmbavad sinise või kollase pileti. Kui loosikast on eelmise ülesande oma, kui suur on võidu tõenäosus?
3. Klassis on 10 tüdrukut ja 14 poissi. Matemaatikaringis käib 4 tüdrukut ja 2 poissi. Kui tead, et loositud õpilane käib matemaatikaringis, kui suur on tõenäosus, et ta on tüdruk?
4. Kui katset tehti 40 korda ja sündmus toimus 18 korda, mis on sündmuse suhteline sagedus?

Vastused

1. Üks soodne tulemus kuuest: $\frac16$, mis jääb vahemikku 0 kuni 1.
2. Soodsad tulemused on 5 ja 6, kokku kaks tulemust kuuest: $\frac26=\frac13$.
3. Üks soodne tulemus neljast võrdvõimalikust tulemuste paarist: $\frac14$.
4. Siniseid palle on 2 ja palle kokku 5, seega $\frac25$.
5. Rohelisi pileteid on 3 ja pileteid kokku 10, seega $\frac3{10}$.
6. Kui sündmused kattuvad, loetakse kattuvad tulemused lihtsal liitmisel kaks korda.
7. Sinised ja kollased piletid ei kattu, seega soodsaid on 7 kõigist 10-st: $\frac7{10}$.
8. Tingimus kitsendab valiku matemaatikaringi: seal on 6 õpilast, neist 4 tüdrukut, seega $P=\frac46=\frac23$.
9. Suhteline sagedus on $\frac{18}{40}=0,45=45\%$; see on katse tulemus, mitte kindel tõenäosus.

Seosed

Tõenäosus seostub statistika, kombinatoorika, juhuslike protsesside ja riskide hindamisega. Järgmises kombinatoorika peatükis õpid loendama kõiki võimalusi siis, kui ükshaaval üleskirjutamine muutub liiga aeglaseks või veaohtlikuks.

Muutuja ja avaldis

Mõiste

Muutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.

Tekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses "$p$ on pileti hind eurodes" on $p$ arv ja euro on ühik.

Erista kolme asja: täht on muutuja nimi, asendatav arv on muutuja väärtus ja ühik ütleb, mida see arv mõõdab.

Eeldus: oskad tehete järjekorda, negatiivsete arvudega arvutamist ja lihtsat tekstülesannet arvutuseks tõlkida.

Avaldises ei pea olema võrdusmärki. Võrrand tekib siis, kui kaks avaldist pannakse võrduma.

Avaldise väärtuse leidmiseks asenda muutujad antud arvudega ja järgi tehete järjekorda.

Asendamisel tee kolm sammu:

1. kirjuta avaldis ümber nii, et muutujate asemele tulevad sulgudes arvud;
2. arvuta astmed, sulud ja korrutised;
3. lõpuks liida ja lahuta.

Näide

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Kui $a=4$ ja $b=7$, siis

$$S=4\cdot7=28.$$

Avaldise väärtus:

$$2x+3y$$

kui $x=5$ ja $y=-2$, on

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4.$$

Mitmeastmeline asendamine:

$$3x^2-2y+4$$

kui $x=-2$ ja $y=5$, on

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot5+4=3\cdot4-10+4=12-10+4=6.$$

Pane tähele, et negatiivne arv pannakse astme korral sulgudesse: $(-2)^2=4$.

Vastus: ristküliku pindala on 28, avaldise $2x+3y$ väärtus on 4 ja avaldise $3x^2-2y+4$ väärtus on 6.

Kontroll: asendamisel pannakse negatiivne arv sulgudesse, et aste rakenduks kogu arvule, mitte ainult numbrile 2.

Lihtsustamine

Sarnaseid liikmeid saab koondada:

$$3x+5x=8x.$$

Sarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:

$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$

Sulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Kui sulgude ees on miinusmärk, muutuvad märgid:

$$-(x-4)=-x+4.$$

Mitmeastmeline lihtsustamine:

$$2(x+3)-4x+5(x-1).$$

Kõigepealt ava sulud:

$$2x+6-4x+5x-5.$$

Seejärel koonda sarnased liikmed:

$$2x-4x+5x+6-5=3x+1.$$

Kui avaldises on mitu muutujat, koonda iga tüüpi liikmed eraldi:

$$4a-3b+2a+7b-5=6a+4b-5.$$

Tüüpviga

Avaldis $3x$ tähendab $3\cdot x$, mitte arvu, mille kümneliste number on 3.

Teine tüüpviga on koondada mittesarnaseid liikmeid:

$$3x+5\ne8x.$$

Kolmas tüüpviga on sulgude avamisel korrutada ainult esimest liiget:

$$2(x+5)\ne2x+5.$$

Õige on

$$2(x+5)=2x+10.$$

Neljas tüüpviga on kaotada asendamisel negatiivse arvu sulud:

$$x^2\text{ kui }x=-3\quad\text{on}\quad(-3)^2=9,$$

mitte $-3^2=-9$.

Viies tüüpviga on koondada ainult kordajad ja unustada muutujad:

$$2a+3b$$

ei lihtsustu kujule $5ab$. Need ei ole sarnased liikmed.

Teine seletusviis

Muutuja on nagu tühi koht lauses. Enne arvutamist ütle see lause välja: "$x$ tähendab ...".

Tekstist avaldiseks minnes küsi, mis kordub ja mis lisandub üks kord. Kui teenustasu lisandub kogu ostule, on 4 pileti hind $4p+2$; kui teenustasu lisandub iga pileti juurde, on hind $4(p+2)$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia avaldise $4x-3$ väärtus, kui $x=5$.
2. Leia avaldise $2a+b$ väärtus, kui $a=-1$ ja $b=7$.
3. Lihtsusta $6x+2x-5$.
4. Lihtsusta $3y^2+4y-y^2$.

Rakendus

1. Ava sulud ja lihtsusta $2(x-3)+5x$.
2. Leia avaldise $3x^2-2x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $4(a+2)-3a+5$.

Mõtlemisülesanne

1. Lihtsusta $2x-3y+5x+7y-4$.
2. Ava sulud ja lihtsusta $5-(2x-3)$.
3. Leia avaldise $ab+2a-b$ väärtus, kui $a=3$ ja $b=-4$.
4. Pilet maksab $p$ eurot ja teenustasu on 2 eurot. Kirjuta avaldis 4 pileti koguhinna jaoks.
5. Kirjuta avaldis 4 pileti hinna jaoks, kui 2-eurone teenustasu lisandub iga pileti juurde eraldi.

Vastused

1. $17$, sest $4\cdot5-3=17$.
2. $5$, sest $2\cdot(-1)+7=5$.
3. $8x-5$, sest koondada saab ainult $x$-liikmed.
4. $2y^2+4y$, sest $y^2$ ja $y$ ei ole sarnased liikmed.
5. $2x-6+5x=7x-6$, sest sulgude ees olev 2 korrutab mõlemat liiget.
6. $3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)+1=12+4+1=17$, sest negatiivne arv pannakse astme jaoks sulgudesse.
7. $4a+8-3a+5=a+13$, sest $a$-liikmed ja arvliikmed koondatakse eraldi.
8. $7x+4y-4$, sest $x$-liikmed ja $y$-liikmed koondatakse eraldi.
9. $5-2x+3=8-2x$, sest miinus sulgude ees muudab märgid.
10. $3\cdot(-4)+2\cdot3-(-4)=-12+6+4=-2$.
11. $4p+2$, kui teenustasu lisandub kogu ostule ühe korra.
12. $4(p+2)$, sest iga pileti hinnale lisandub 2 eurot.

Seosed

Avaldised on võrrandite, funktsioonide ja valemite keel. Järgmises peatükis kasutatakse avaldisi juba võrduste ja võrratuste koostamiseks.

Võrrandid ja võrratused

Mõiste

Võrrandis otsime tundmatu väärtust, mis teeb võrduse tõeseks. Võrratus kirjeldab, millal üks avaldis on teisest suurem või väiksem.

Eeldus: oskad lihtsustada avaldisi, töötada negatiivsete arvudega ja kontrollida vastust asendamisega.

Lahendihulk on kõigi lahendite hulk. Näiteks kui võrrandi ainus lahend on $5$, siis lahendihulk on

$$L=\{5\}.$$

Võrrand võib anda ühe arvu; võrratus annab sageli terve piirkonna arvteljel.

Võrratusel võib olla lõpmatult palju lahendeid. Näiteks $x>3$ tähendab kõiki arve, mis on suuremad kui $3$.

Tekstülesande muutmine võrrandiks:

1. vali tundmatu ja ütle, mida see tähendab;
2. kirjuta tekstist avaldised;
3. pane avaldised võrrandisse või võrratusse;
4. lahenda;
5. kontrolli vastust algses olukorras.

Tekstülesandes peab vastus sobima ühiku ja piiranguga: inimeste arv ei saa olla 2,5 ning pikkus ei saa olla negatiivne.

Reegel

Võrrandi mõlemal poolel võib teha sama tehte. Võrratuse puhul pöördub märk, kui korrutada või jagada negatiivse arvuga.

Näiteks:

$$-2x<6.$$

Jagame mõlemad pooled arvuga $-2$. Kuna jagame negatiivse arvuga, pöördub märk:

$$x>-3.$$

Näide

$$3x-5=10$$

$$3x=15$$

$$x=5.$$

Kontroll:

$$3\cdot5-5=15-5=10.$$

Seega

$$L=\{5\}.$$

Võrratuse näide:

$$4-3x\le 13$$

$$-3x\le9$$

$$x\ge-3.$$

Kontrollime lahendihulka prooviväärtustega. Kui $x=-3$, siis

$$4-3\cdot(-3)=13,$$

seega piirpunkt sobib, sest märk on $\le$. Kui $x=0$, siis

$$4-3\cdot0=4\le13,$$

sobib. Kui $x=-4$, siis

$$4-3\cdot(-4)=16,$$

ei sobi, sest $16\le13$ on väär. See kinnitab, et lahendihulk on kõik arvud, mille korral $x\ge-3$.

Tekstülesande mudel

Kinopilet maksab 6 eurot ja broneerimistasu on 2 eurot. Kui palju pileteid saab osta, kui raha on kuni 32 eurot?

Olgu $x$ piletite arv. Kulu on

$$6x+2.$$

Kuna raha võib kuluda kuni 32 eurot, saame võrratuse

$$6x+2\le32.$$

Lahendame:

$$6x\le30,$$

$$x\le5.$$

Kuna piletite arv peab olema täisarv ja mitte negatiivne, saab osta kuni 5 piletit.

Tüüpviga

Võrrandi lahend peab sobima algsesse võrrandisse. Kontroll asendamisega aitab vigu leida.

Võrratuse kõige sagedasem viga on märgi pööramata jätmine negatiivsega korrutamisel või jagamisel:

$$-x<4 \quad \Longrightarrow \quad x>-4.$$

Teine tüüpviga on kontrollida võrratust ainult ühe sobiva arvuga. Kui saad $x>-4$, kontrolli ühte arvu lahendihulgast ja ühte väljastpoolt. Siis näed, kas suund on õige.

Kolmas tüüpviga on tekstülesandes unustada piirangud. Kui $x$ loendab inimesi või pileteid, siis $x$ peab olema täisarv ja $x\ge0$.

Neljas tüüpviga on piirpunkti valesti kaasata. $x\ge4$ sisaldab arvu $4$, aga $x>4$ ei sisalda.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Võrrandit saab näha tasakaaluna, arvulise kontrollina ja algebraliselt samade tehete tegemisena mõlemal poolel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x+7=15$.
2. Lahenda $5x-3=2x+9$.
3. Lahenda $x+4>10$.
4. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

1. Kontrolli, kas $x=4$ on võrrandi $3x-2=10$ lahend.
2. Lahenda $7-2x<15$ ja kontrolli lahendihulka kahe prooviväärtusega.
3. Tekstülesanne: vihik maksab 2 eurot ja pliiats 1 euro. Kui ostetakse $x$ vihikut ja üks pliiats ning kulub 11 eurot, leia $x$.
4. Tallinna klassiekskursiooni eelarves arvestatakse õpilase kinopiletiks 6 eurot ja joogipudeliks 2 eurot. Kui kulus 26 eurot ning osteti $x$ piletit ja üks joogipudel, leia $x$.

Mõtlemisülesanne

1. Tekstülesanne: bussipilet maksab 3 eurot. Sul on 20 eurot. Mitu piletit saad kõige rohkem osta?
2. Lahenda $4x+1\ge 2x+9$.
3. Kontrolli, kas $x=-5$ kuulub võrratuse $-2x\le8$ lahendihulka.
4. Lahenda $2x-5<3$ ja otsusta, kas $x=4$ kuulub lahendihulka.

Vastused

1. $x=4$, $L=\{4\}$.
2. $3x=12$, seega $x=4$ ja $L=\{4\}$.
3. $x>6$.
4. $x\ge-4$, sest negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk pöördub.
5. Jah, sest $3\cdot4-2=10$.
6. $-2x<8$, seega $x>-4$. Näiteks $x=0$ sobib: $7<15$; $x=-5$ ei sobi: $17<15$ on väär.
7. $2x+1=11$, seega $x=5$; vastus sobib, sest vihikute arv on täisarv.
8. $6x+2=26$, seega $x=4$; vastus sobib, sest piletite arv on täisarv.
9. $3x\le20$, seega $x\le\frac{20}{3}$. Kõige rohkem saab osta 6 piletit, sest 6 piletit maksab 18 eurot ja 7 piletit maksaks 21 eurot.
10. $2x\ge8$, seega $x\ge4$; kontrolliks $x=4$ teeb pooled võrdseks.
11. Ei. $-2\cdot(-5)=10$ ja $10\le8$ on väär.
12. $2x<8$, seega $x<4$. Arv $4$ ei kuulu lahendihulka, sest märk on range.

Seosed

Võrrandid on tekstülesannete, funktsioonide nullkohtade ja geomeetriliste mudelite tööriist. Järgmistes algebra peatükkides lahendatakse neid avaldiste teisendamise, hulkliikmete ja tegurdamise abil.

Hulkliikmed ja tegurdamine

Mõiste

Hulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises

$$3x^2-5x+7$$

on kolm liiget: $3x^2$, $-5x$ ja $7$. Liikme ees olev arv on kordaja; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.

Eeldus: oskad avada sulge, koondada sarnaseid liikmeid ja kasutada astmete põhireegleid.

Hulkliikme väärtuse leidmiseks asenda muutuja etteantud arvuga. Kui $P(x)=3x^2-5x+7$, siis

$$P(-2)=3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+7=29.$$

Tegurdamine tähendab avaldise kirjutamist korrutisena. See on sulgude avamise vastassuunaline võte.

Tegurdamine ei muuda avaldise väärtust, vaid kuju: sama avaldis kirjutatakse nii, et tegurid oleksid nähtavad.

Põhitehted

Hulkliikmete liitmisel ja lahutamisel ava sulud ning koonda ainult sarnased liikmed:

$$\begin{aligned} (3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)&=4x^2+3x-3,\\ (3x^2-2x+1)-(x^2+5x-4)&=2x^2-7x+5. \end{aligned}$$

Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.

Üksliikmega korrutamisel korruta sellega hulkliikme iga liige:

$$3x(2x^2-x+4)=6x^3-3x^2+12x.$$

Hulkliikme jagamisel üksliikmega jaga iga liige eraldi. Jagaja ei tohi olla null:

$$\frac{12x^3-8x^2+4x}{4x}=3x^2-2x+1,\qquad x\ne0.$$

Kahe hulkliikme korrutamisel korruta esimese hulkliikme iga liige teise iga liikmega ning koonda tulemus:

$$\begin{aligned} (x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\ &=x^2-x-6. \end{aligned}$$

Abivalemid

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Korrutamisel kasutatakse samu valemeid teises suunas. Näiteks

$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$

Tegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Tegurdamise valik

Alusta tegurdamisel sellest järjekorrast:

1. Kas kõigil liikmetel on ühine tegur?
2. Kas avaldis sobib mõne abivalemiga?

Valikupuu tabelina:

Pärast tegurdamist kontrolli korrutades, kas saad algse avaldise tagasi.

Ühine tegur:

$$6x^2+9x=3x(2x+3).$$

Näide

Lihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel $x=2$:

$$\begin{aligned} 2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\ &=x^2+10x. \end{aligned}$$

Algne avaldis annab $x=2$ korral $24, lihtsustatud avaldis samuti $4+20=24$.

Jagamise näide:

$$\frac{15x^3+10x^2-5x}{5x}=3x^2+2x-1,\qquad x\ne0.$$

Tegurdamise näide:

$$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5).$$

Täisruudu näide:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Abivalemi äratundmine:

$$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5).$$

Täisruudu kontroll:

$$4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x+3)^2.$$

Vastus: lihtsustatud avaldis on $x^2+10x$, jagatis $3x^2+2x-1$ ning tegurdatud kujud $(x-5)(x+5)$, $(x-5)^2`, `$(3x-5)(3x+5) ja $(2x+3)^2$.

Tüüpviga

$$(a+b)^2\ne a^2+b^2.$$

Keskmine liige $2ab$ ei tohi kaduda.

Teine tüüpviga on muuta miinusmärgiga sulgude avamisel ainult esimese liikme märki:

$$5x-(2x-3)=5x-2x+3=3x+3.$$

Kolmas tüüpviga on jagada üksliikmega ainult hulkliikme esimene liige. Jagada tuleb iga liige.

Neljas tüüpviga on ühise teguri välja võtmisel mõni liige vahele jätta. Näiteks

$$4x^2+8x=4x(x+2),$$

mitte $4x(x)+8x$.

Viies tüüpviga on ruutude vahe valemit kasutada plussmärgiga:

$$x^2+25$$

ei tegurdu reaalarvudes kujule $(x-5)(x+5), sest see annaks $x^2-25$.

Pärast tegurdamist korruta tegurid kontrolliks lahti. Kui sa ei saa algset avaldist tagasi, on tegurdamises viga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Nimeta hulkliikme $4x^2-3x+8$ liikmed ja nende kordajad.
2. Arvuta $2x^2-3x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-5)$.
4. Korruta $3x(2x^2-x+4)$.

Rakendus

1. Jaga $(12x^3-8x^2+4x):(4x)$, kus $x\ne0$.
2. Korruta $(x+4)(x-2)$.
3. Ava sulud abivalemiga: $(x-5)^2$.
4. Tegurda $5x^2+10x$.

Mõtlemisülesanne

1. Tegurda $9x^2-1$.
2. Tegurda $x^2-14x+49$.
3. Ristküliku küljed on $x+2$ ja $x+5$. Avalda selle pindala hulkliikmena.
4. Selgita valemi $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ geomeetrilist tähendust ruudu pindalade abil.

Vastused

1. Liikmed on $4x^2$, $-3x$ ja $8$; kordajad on vastavalt 4, -3 ja 8.
2. $2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+1=15$.
3. $3x^2-2x+1-x^2-4x+5=2x^2-6x+6$.
4. $6x^3-3x^2+12x$.
5. $3x^2-2x+1$, sest iga liige jagatakse $4x$-ga.
6. $x^2+2x-8$.
7. $x^2-10x+25$.
8. $5x(x+2)$, sest ühine tegur on $5x$.
9. $(3x-1)(3x+1)$, sest see on ruutude vahe.
10. $(x-7)^2$, sest avaldis on täisruutkolmliige.
11. $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$.
12. Küljega $a+b$ ruut jaguneb ruuduks pindalaga $a^2$, ruuduks pindalaga $b^2$ ja kaheks ristkülikuks pindalaga $ab$.

Seosed

Hulkliikmete põhitehted ja abivalemid valmistavad ette 9. klassi ruutvõrrandi ning ruutfunktsiooni. Üldise ruutkolmliikme tegurdamine ja nullkorrutise abil võrrandi lahendamine kuuluvad järgmisse õpitee ossa.

Koordinaatteljestik

Mõiste

Punkti asukohta tasandil kirjeldab paar (x; y). Esimene arv näitab liikumist horisontaalselt, teine vertikaalselt.

Selles materjalis eraldab koordinaate semikoolon, sest koma kasutatakse kümnendkohana.

Eeldus: oskad kasutada negatiivseid arve ja lugeda arvteljel paremat, vasakut, üles- ja allasuunda.

Horisontaalne telg on $x$-telg. Vertikaalne telg on $y$-telg. Telgede lõikepunkt on alguspunkt (0;0).

Punkti lugemise järjekord:

1. alusta alguspunktist;
2. liigu $x$ järgi paremale või vasakule;
3. liigu $y$ järgi üles või alla.

Märgid ütlevad suuna:

Koordinaatide märgid veerandites:

Kui üks koordinaat on null, asub punkt teljel:

Näide

Punkt (3; -2) asub 3 ühikut paremal ja 2 ühikut allpool alguspunkti.

Punkt (-4; 2) asub 4 ühikut vasakul ja 2 ühikut üleval. See on II veerandis.

Punkt (0; -5) ei ole üheski veerandis, sest ta asub $y$-teljel.

Punktide lugemisel kontrolli alati järjekorda:

$$P(x;y).$$

Esimene arv on horisontaalne liikumine, teine vertikaalne liikumine.

Funktsiooni graafikul saab sama punktipaar tähendada sisendit ja väljundit: $x$ on sisend, $y$ on sellele vastav väärtus.

Tõlgendus: funktsiooni punkt (x;y) tähendab seost $y=f(x)$: vali sisend $x$, arvuta väljund $y$.

Kui seos on antud tabeli, valemi ja graafikuna, peavad samad sisendid andma samad väljundid.

Tüüpviga

Koordinaatide järjekord on oluline. Punkt (3; -2) ei ole sama mis (-2; 3).

Teine tüüpviga on vahetada telgede suunad: positiivne $x$ liigub paremale ja positiivne $y$ liigub üles.

Kolmas tüüpviga on arvata, et teljel olev punkt kuulub mõnda veerandisse. Veerandid on telgede vahelised piirkonnad; teljed ise veerandisse ei kuulu.

Neljas tüüpviga on graafikul punktid ühendada enne, kui on selge, mida punktid tähendavad. Mõnikord on mõistlik ainult üksikud punktid, mõnikord pidev joon.

Teine seletusviis

Koordinaat on teejuhis: esimene arv ütleb liikumise paremale või vasakule, teine üles või alla.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millises veerandis asub punkt (4;5)?
2. Millises veerandis asub punkt (-4;5)?
3. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini (-3;-2).
4. Mis on punkti (0;6) eriline omadus?

Rakendus

1. Kas punktid (2;-1) ja (-1;2) on samad?
2. Millises veerandis asub punkt (-6;-1)?
3. Millises veerandis asub punkt (7;-3)?

Mõtlemisülesanne

1. Kus asub punkt (8;0)?
2. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini (5;-4).
3. Kirjuta üks punkt igast veerandist.
4. Kui punkt (4;9) on funktsiooni graafikul, siis mis on sisend ja mis on väljund?

Vastused

1. I veerandis, sest mõlemad koordinaadid on positiivsed.
2. II veerandis, sest $x$ on negatiivne ja $y$ positiivne.
3. 3 ühikut vasakule ja 2 ühikut alla; esimene arv juhib horisontaalselt, teine vertikaalselt.
4. See asub $y$-teljel, sest $x=0$.
5. Ei. Punktis (2;-1) on $x=2$ ja $y=-1$; punktis (-1;2) on need vastupidi.
6. III veerandis, sest mõlemad koordinaadid on negatiivsed.
7. IV veerandis, sest $x$ on positiivne ja $y$ negatiivne.
8. $x$-teljel, sest $y=0$.
9. 5 ühikut paremale ja 4 ühikut alla; kontrolli alati järjekorda (x;y).
10. Näiteks (1;1), (-1;1), (-1;-1), (1;-1).
11. Sisend on $x=4$ ja väljund on $y=9$, sest punkt kirjutatakse kujul (x;y).

Seosed

Koordinaatteljestik on funktsioonide, vektorite, analüütilise geomeetria ja andmegraafikute alus. Järgmine funktsiooni mõiste peatükk kasutab punkte sisendi ja väljundi seose näitamiseks.

Lineaarfunktsioon

Mõiste

Lineaarfunktsiooni kuju on $$y=kx+b.$$

Eeldus: oskad võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna kirjeldada ning lahendada lihtsat võrrandit.

Sama mõtet kirjutatakse ka kujul $f(x)=kx+b$. Täht $f$ on funktsiooni nimi ja $x$ sisend. Kui ülesandes on $h(t)=t+5$, siis nimi on $h$ ja sisend $t$; seose tüüp ei muutu.

Tabel, valem ja graafik kirjeldavad sama seost.

$k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Graafiku lõikepunkt $y$-teljega on (0;b).

• Kui $k>0$, siis sirge tõuseb vasakult paremale.
• Kui $k<0$, siis sirge langeb vasakult paremale.
• Kui $k=0$, siis funktsioon on konstantne: $y=b$.

Kui $x=0$, siis $y=b$. Seetõttu määrab algordinaat $b$ graafiku lõikepunkti (0;b) $y$-teljega.

Tõus näitab, kui palju $y$ muutub, kui $x$ suureneb 1 võrra:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Tekstülesandes on tõusul ühik: $h(t)=t+5$ korral 1 euro lisatunni kohta.

Kahe punkti (x_1;y_1) ja (x_2;y_2) järgi:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Kui $k$ on teada, leia $b$ ühe punkti asendamisega valemisse.

Näide

Funktsioon

$$y=2x-1$$

läbib punktid (-1; -3), (0; -1), (1; 1) ja (2; 3).

Tabelis on samad paarid; graafikul on need punktid sirgel.

Kontrolliks asenda graafiku punkt valemisse: pooled peavad võrduma.

Siin $b=-1$, sest graafik lõikab $y$-telge punktis (0;-1). Tõus $k=2$: kui $x$ suureneb 1 võrra, suureneb $y$ 2 võrra.

Lineaarse mudeli ühesammu muutus on igal pool sama.

Punktide (1;2) ja (4;8) tõus on

$$k=\frac{8-2}{4-1}=\frac63=2.$$

Leiame nende kahe punkti järgi kogu sirge valemi.

Kasutame punktis (1;2) valemit $y=2x+b$:

$$2=2\cdot1+b,$$

$$b=0.$$

Seega sirge valem on

$$y=2x.$$

Sirge läbib punkte (-2;5) ja (4;-1). Tõus on

$$k=\frac{-1-5}{4-(-2)}=\frac{-6}{6}=-1.$$

Seega $y=-x+b$. Kasutame punkti (4;-1):

$$-1=-4+b,$$

$$b=3.$$

Sirge valem on

$$y=-x+3.$$

Vastus: $y=2x$ ja $y=-x+3$.

Tüüpviga

Kui $b\ne0$, ei ole seos võrdeline. Võrdeline seos on kujul $y=kx$.

Teine tüüpviga on ajada segi algordinaat ja telje lõikepunkt. Algordinaat on arv $b$; graafiku lõikepunkt $y$-teljega on punkt (0;b).

Kolmas tüüpviga on koordinaadid segamini lahutada. Kui alustad $y_2-y_1$, kasuta nimetajas sama järjekorda $x_2-x_1$.

Näiteks punktide (1;2) ja (4;8) korral:

$$\frac{8-2}{4-1}=2.$$

Sama järjekorra ümberpööramine annab samuti õige vastuse:

$$\frac{2-8}{1-4}=2.$$

Aga segamini järjekord annaks vale märgi.

Neljas tüüpviga on oletada, et iga kasvav seos on lineaarne. Lineaarse seose tunnus on püsiv muutus: iga sama $x$-sammu kohta muutub $y$ sama palju.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ tõus?
2. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ algordinaat?
3. Kas funktsioon $y=-2x+1$ tõuseb või langeb?
4. Leia tõus punktide (0;4) ja (2;10) järgi.

Rakendus

1. Millises punktis lõikab $y=4x-7$ graafik $y$-telge?
2. Leia tõus punktide (2;3) ja (6;11) järgi.
3. Leia tõus punktide (-1;4) ja (3;-4) järgi.
4. Kujuteldavas Tartu rattalaenutuses maksab päevapilet 5 eurot ja iga lisatund 1 euro. Kirjuta hinna valem $h(t)$, kui $t$ on lisatundide arv.

Mõtlemisülesanne

1. Sirge tõus on $k=3$ ja ta läbib punkti (2;7). Leia $b$.
2. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte (0;-2) ja (4;6).
3. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte (1;5) ja (3;9).
4. Rong liigub ühtlase kiirusega. Kell 10.00 on ta Tallinnast 40 km kaugusel ja kell 11.00 130 km kaugusel. Kirjuta kauguse valem tundide arvu $t$ järgi pärast kella 10.00.
5. Tabelis on $x=1,2,3,4$ ja $y=4,7,10,13$. Kas seos on lineaarne? Põhjenda.
6. Valemis $h(t)=2t+5$ kirjeldab $h$ hinda eurodes ja $t$ aega tundides. Mida tähendab tõus 2?

Vastused

1. Tõus on $3$: kui $x$ kasvab 1 võrra, kasvab $y$ 3 võrra.
2. Algordinaat on $5$, sest $x=0$ korral on $y=5$.
3. Langeb, sest tõus $k=-2$ on negatiivne.
4. $k=\frac{10-4}{2-0}=3$.
5. (0;-7), sest $y$-teljel on $x=0$ ja siis $y=-7$.
6. $k=\frac{11-3}{6-2}=2$.
7. $k=\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2$.
8. $h(t)=t+5$; $t$ on sisend ja $h(t)$ hind eurodes.
9. $7=3\cdot2+b$, seega $b=1$; kontrolliks annab punkt (2;7) valemis õige väärtuse.
10. Tõus $k=\frac{6-(-2)}{4-0}=2$, algordinaat on -2, seega $y=2x-2$.
11. $k=\frac{9-5}{3-1}=2$. Kasutades punkti (1;5): $5=2\cdot1+b$, seega $b=3$ ja $y=2x+3$.
12. Kiirus on $90$ km/h, seega $s(t)=90t+40$.
13. Jah, sest $y$ suureneb iga kord 3 võrra, kui $x$ suureneb 1 võrra.
14. Tõus 2 tähendab, et iga lisatund kasvatab hinda 2 euro võrra; ühik on eurot tunnis.

Seosed

Lineaarfunktsioon on mudel püsiva muutumiskiirusega olukordadele: hind, teepikkus, palk, temperatuurimuutus. Järgmine pöördvõrdeline seos näitab teistsugust sõltuvust, kus korrutis püsib, aga muutumiskiirus ei ole püsiv.

Lineaarvõrrandisüsteemid

Mõiste

Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.

Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrrandeid, teisendada sirge võrrandit ja lugeda koordinaate.

Enne lahendamist kirjuta, mida $x$ ja $y$ tähistavad ning mis ühikus. Alles siis vali võte.

Võtted:

Võtte valik:

Graafiline lahendus aitab mõista. Ebatäpse joonise korral leia täpne vastus algebra abil.

Lõikepunkt sobib mõlemasse võrrandisse.

Näide

Geomeetriline tähendus

Kahe muutujaga lineaarvõrrand on sirge; süsteemi lahend on sirgete lõikepunkt.

Lõikuvatel sirgetel on üks lahend, paralleelsetel sirgetel lahend puudub ja kokkulangevatel sirgetel lahendeid lõpmata palju.

Süsteemi

lõikepunkti saab leida paremaid pooli võrdsustades:

$$x+1=-x+5$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

Siis $y=2+1=3$; lahend on (2;3).

Asendusvõte

Süsteem

Esimene võrrand annab $y$, seega asendame selle teise võrrandisse:

$$x+(2x+1)=10$$

$$3x+1=10$$

$$x=3.$$

Siis

$$y=2\cdot3+1=7.$$

Lahend on (3;7).

Liitmisvõte

Süsteem

sobib liitmisvõtteks pärast ettevalmistust. Korrutame teise võrrandi arvuga 3, et $y$ kordajad oleksid vastandarvud:

Liidame:

$$8x=36,$$

$$x=4,5.$$

Asendame algsesse võrrandisse:

$$2\cdot4,5-y=6,$$

$$9-y=6,$$

$$y=3.$$

Lahend on (4,5;3).

Vastus: näidete lahendid on (2;3), (3;7) ja (4,5;3).

Tüüpviga

Kui sirged on paralleelsed, ei ole süsteemil lahendit. Kui võrrandid kirjeldavad sama sirget, on lahendeid lõpmata palju.

Teine tüüpviga on leida $x$, aga jätta $y$ arvutamata. Süsteemi lahend on arvupaar, mitte üks arv.

Kolmas tüüpviga on kontrollida lahendit ainult ühes võrrandis.

Neljas tüüpviga on graafikult ligikaudne lõikepunkt lugeda täpseks vastuseks. Kui joonis on ebatäpne, kontrolli vastust algebra abil.

Viies tüüpviga on asendus- või liitmisvõttes muuta ainult ühte poolt. Kui korrutad võrrandit ettevalmistuseks arvuga, korruta kõik liikmed läbi.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda süsteem x+y=8, x-y=2.
2. Mida tähendab graafiliselt lahend (3; 5)?
3. Too näide süsteemist, millel lahend puudub.
4. Lahenda asendusvõttega: $y=x+4$, $x+y=12$.

Rakendus

1. Millal on süsteemil lõpmata palju lahendeid?
2. Lahenda liitmisvõttega: $x+y=9$, $x-y=1$.
3. Lahenda asendusvõttega: $y=3x-2$, $x+y=10$.

Mõtlemisülesanne

1. Kontrolli, kas (2;3) on süsteemi $y=x+1$, $y=-x+5$ lahend.
2. Milline võte sobib hästi süsteemile $2x+y=7$, $y=5-x$? Põhjenda.
3. Too näide süsteemist, millel on lõpmata palju lahendeid.
4. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=10$. Mitu lahendit on?
5. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=12$. Mitu lahendit on?

Vastused

1. $x=5$, $y=3$; kontroll: $5+3=8$ ja $5-3=2$.
2. See on kahe sirge lõikepunkt ja arvupaar, mis sobib mõlemasse võrrandisse.
3. Näiteks $y=x+1$ ja $y=x+3$.
4. $x+(x+4)=12$, seega $x=4$ ja $y=8$; arvupaar (4;8) sobib mõlemasse võrrandisse.
5. Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad sama sirget.
6. Lahenduskäik: liida võrrandid $x+y=9$ ja $x-y=1$, siis $2x=10$ ja $x=5$. Asendades saad $5+y=9$, seega $y=4$.
7. Lahenduskäik: asenda $y=3x-2$ teise võrrandisse: $x+3x-2=10$, seega $x=3$. Siis $y=7$; kontroll: $3+7=10$.
8. Jah, sest arvupaar (2;3) annab mõlemas võrrandis tõese võrduse: $3=2+1$ ja $3=-2+5$.
9. Asendusvõte, sest teine võrrand annab kohe $y=5-x$.
10. Näiteks $y=2x+1$ ja $2y=4x+2$, sest need kirjeldavad sama sirget.
11. Teine võrrand on esimese kahekordne, seega kirjeldavad need sama sirget. Lahendeid on lõpmata palju.
12. Vasak pool on esimese võrrandi kahekordne, aga parem pool peaks siis olema $10$, mitte $12$. Lahend puudub.

Seosed

Süsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.

Võrrandisüsteemide tekstülesanded

Mõiste

Tekstülesandes ei ole süsteem ette antud: see tuleb olukorrast ise koostada. Kahe tundmatu kasutamine sobib siis, kui otsitakse kaht seotud suurust ja tekst annab nende kohta kaks sõltumatut seost.

Eeldus: oskad lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi ning kontrollida arvupaari mõlemas võrrandis.

Tööjärjekord:

1. nimeta tundmatud koos ühikutega;
2. koosta kummagi seose kohta võrrand;
3. lahenda süsteem sobiva võttega;
4. kontrolli arvupaari mõlemas võrrandis;
5. kontrolli, kas arvud sobivad olukorda;
6. kirjuta sõnaline vastus.

Kui tekstis on „kokku”, saad sageli summa võrrandi. Hinna, teepikkuse või tehtud töö seos annab teise võrrandi.

Näide

Koolietendusele müüdi 34 piletit. Täiskasvanu pilet maksis 8 eurot ja õpilase pilet 5 eurot. Pileteid müüdi kokku 218 euro eest. Mitu kummagi hinnaga piletit müüdi?

Olgu $x$ täiskasvanupiletite ja $y$ õpilaspiletite arv. Siis

Korrutame esimese võrrandi arvuga 5 ja lahutame selle teisest:

$$3x=48,\qquad x=16,\qquad y=18.$$

Kontroll: $16+18=34$ ja $8\cdot16+5\cdot18=218$.

Vastus: müüdi 16 täiskasvanupiletit ja 18 õpilaspiletit.

Tüüpviga

Tüüpviga on jätta tundmatute tähendus kirjutamata. Siis võib õige arvupaar saada vale sõnalise vastuse.

Teine viga on koostada kaks sama sisuga võrrandit. Süsteem vajab kahte sõltumatut seost.

Kolmas viga on kontrollida ainult tehteid. Näiteks inimeste arv peab olema mittenegatiivne täisarv ja pikkus peab sobima ülesande tingimustega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kahe arvu summa on 24 ja vahe 6. Tähista arvud ning koosta süsteem.
2. Klassis on kokku 28 õpilast. Tüdrukuid on poistest 4 rohkem. Koosta süsteem.
3. Selgita, miks tuleb tekstülesande lõpus kirjutada ühikuga vastus.

Rakendus

1. Muuseumisse osteti 20 piletit. Täiskasvanupilet maksis 7 eurot ja õpilaspilet 4 eurot, kokku maksti 98 eurot. Leia kummagi liigi piletite arv.
2. Ristküliku ümbermõõt on 30 cm ja pikkus laiusest 3 cm suurem. Leia küljed.
3. Kahe arvu summa on 41. Üks arv on teisest 7 võrra suurem. Leia arvud.

Mõtlemisülesanne

1. Koosta ise piletihindade ülesanne, mille lahend on 12 täiskasvanu- ja 18 õpilaspiletit.
2. Jalgrattur ja jalakäija läbisid kokku 39 km. Jalgrattur läbis jalakäijast kolm korda pikema maa. Koosta süsteem, lahenda ning hinda, kas vastus on mõistlik.
3. Miks ei piisa tekstülesandes alati ainult sellest, et arvupaar rahuldab võrrandeid?

Vastused

1. Näiteks $x+y=24$ ja $x-y=6$; lahend on $x=15$, $y=9$.
2. Kui $t$ on tüdrukute ja $p$ poiste arv, siis $t+p=28$ ning $t-p=4$.
3. Ühik näitab, mida leitud arv olukorras tähendab.
4. Süsteem on $x+y=20$ ja $7x+4y=98$; lahend on 6 täiskasvanu- ning 14 õpilaspiletit.
5. Kui pikkus on $x$ ja laius $y$, siis $x+y=15$ ning $x-y=3$; küljed on 9 cm ja 6 cm.
6. Arvud on 24 ja 17.
7. Näiteks: müüdi 30 piletit hinnaga 8 ja 5 eurot ning saadi 186 eurot.
8. Kui vahemaad on $x$ ja $y$, siis $x+y=39$ ning $x=3y$; jalgrattur läbis 29,25 km ja jalakäija 9,75 km.
9. Lahend peab lisaks sobima olukorra piirangutega, näiteks inimeste arv ei saa olla negatiivne ega murdarvuline.

Seosed

Tekstülesanne on matemaatiline mudel: sõnadest saavad muutujad ja võrrandid, kuid lõpus tuleb tulemus alati algsesse olukorda tagasi tõlgendada.

Pöördvõrdeline seos

Mõiste

Pöördvõrdeline seos on kujul

$$y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0.$$

Eeldus: oskad kasutada võrdeid ning kirjeldada võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna.

Kui $x$ kasvab, siis $y$ väheneb nii, et korrutis $xy$ jääb samaks.

Graafik on hüperbool. See läheneb telgedele ehk asümptootidele, aga ei läbi punkti, kus $x=0$.

Kontrollküsimus: kas korrutis jääb samaks? Kui $xy=k$, siis seos on pöördvõrdeline.

Kolme 7. klassi mudeli võrdlus:

Enne valemi valimist otsusta tabeli või olukorra järgi, milline suurus jääb muutumisel samaks.

Näide

Kui töö teeb valmis 12 tunniga 1 inimene, siis sama töö jaoks vajalike tundide arv ligikaudses mudelis on

$$y=\frac{12}{x},$$

kus $x$ on inimeste arv.

Kui töötegijaid on 3, siis

$$y=\frac{12}{3}=4.$$

Sama mudeli järgi kulub 3 inimesel 4 tundi ja $x\cdot y=12$.

Sama mõte töötab ühtlase liikumise korral. Kui vahemaa on 120 km, siis

$$t=\frac{120}{v}.$$

Vastus: $v=60$ km/h annab $t=2$ h ja $v=80$ km/h annab $t=1,5$ h; korrutis $v\cdot t=120$ jääb samaks.

Mudeli piirid

Pöördvõrdeline mudel on lihtsustus ega pruugi päriselus igavesti töötada.

Tüüpviga

Pöördvõrdeline ei tähenda “negatiivse tõusuga sirget”. Selle graafik ei ole sirge.

Teine tüüpviga on lubada $x=0$. Avaldis $\frac{k}{x}$ ei ole defineeritud, kui $x=0$.

Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Kui $v$ on km/h ja teepikkus on km, siis aeg tuleb tundides.

Neljas tüüpviga on kontrollida ainult seda, et üks suurus kasvab ja teine väheneb. Pöördvõrdelises seoses peab korrutis jääma samaks.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $y=\frac{20}{x}$, leia $y$, kui $x=4$.
2. Miks $x=0$ pole lubatud?
3. Too päriseluline pöördvõrdelise seose näide.
4. Kui 6 inimest teevad töö 5 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 3 inimesel?

Rakendus

1. Kui vahemaa on 180 km, kirjuta aeg $t$ kiiruse $v$ kaudu.
2. Kui 4 inimest teevad töö 9 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 6 inimesel?
3. Sama raha on 24 eurot. Kirjuta ostetav kogus $q$ ühikuhinna $p$ kaudu.

Mõtlemisülesanne

1. Kui $q=\frac{24}{p}$, leia $q$, kui $p=3$.
2. Miks ei sobi töötegijate mudel alati väga suure inimeste arvu korral?
3. Teepikkus on 240 km. Kui kiirus on 80 km/h, leia aeg. Mis ühikus vastus on?
4. Tabelis on paarid (2;12), (3;8), (4;6). Kas seos võib olla pöördvõrdeline? Põhjenda.

Vastused

1. $5$, sest $20:4=5$; kontrolliks $x\cdot y=4\cdot5=20$.
2. Nulliga ei saa jagada; valem $\frac{k}{x}$ pole siis defineeritud ja $x=0$ tuleb välistada.
3. Näiteks sama töö: rohkem tegijaid tähendab vähem aega, kui töö kogus püsib sama.
4. Töö kogus on $6\cdot5=30$ inimtundi, seega $30:3=10$ tundi.
5. $t=\frac{180}{v}$, kus $v\ne0$ ja konstant 180 on teepikkus.
6. Töö kogus on $4\cdot9=36$ inimtundi, seega $36:6=6$ tundi.
7. $q=\frac{24}{p}$, kus $p\ne0$ ja konstant 24 on raha kogus.
8. Kui sisend on $p=3$, siis väljund on $q=\frac{24}{3}$, ehk $q=8$.
9. Inimesed võivad üksteist segada, tööpind võib olla piiratud ja osa töid ei saa korraga teha.
10. $t=\frac{240}{80}=3$ tundi.
11. Jah, sest korrutis on alati 24: $2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6=24$.

Seosed

Pöördvõrdeline seos näitab, et mitte iga vähenemine ei ole lineaarne. Järgmine ruutfunktsiooni peatükk lisab veel ühe graafiku kuju: parabooli, kus muutumise kiirus ise muutub.

Ruutvõrrand

Mõiste

Ruutvõrrandi üldkuju on

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: oskad võrrandeid lahendada, kasutada korrutamise abivalemeid, tuua ühise teguri sulgude ette ja rakendada nullkorrutise reeglit.

Kui mõni liige puudub, on selle kordaja 0. Näiteks võrrandis $2x^2-8=0$ on $a=2$, $b=0$, $c=-8$.

Sama ruutmudelit saab vaadata kolmel kujul: ruutavaldis $ax^2+bx+c$ on arvutuskuju, ruutvõrrand $ax^2+bx+c=0$ küsib nullkohti ja ruutfunktsioon $f(x)=ax^2+bx+c$ näitab neid graafikul.

Lahendivalem

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Diskriminant:

$$D=b^2-4ac.$$

Diskriminant ütleb, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on:

Miks lahendivalem töötab?

Lahendivalem tuleb täisruudu eraldamisest. Eesmärk on teisendada võrrandit nii, et lõpuks jääks vasakule poole ainult $x=...$.

Selleks muudame alguses liikmed $ax^2$ ja $bx$ täisruuduks. Idee on lihtne: liidame ja lahutame sama lisaliikme, et võrrandi väärtus ei muutuks, aga tekiks tuttav ruudu valem.

Alustame üldkujust:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Kuna $a\ne0$, jagame võrrandi kõik liikmed arvuga $a$:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$

Nüüd liidame ja lahutame vasakul poolel sama lisaliikme $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Võrrand ei muutu, sest lisame kokku nulli:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Nüüd kirjutame esimesed kolm liiget täisruuduna:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Viime ülejäänud liikmed paremale poole:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}.$$

Parema poole võib kirjutada ühise nimetajaga:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

Võtame ruutjuure. Ruutjuurel on kaks märki:

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Viime liikme $\frac{b}{2a}$ teisele poole:

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

See ongi ruutvõrrandi lahendivalem.

Miks täisruudu samm töötab? Korrutamise abivalem ütleb:

$$(x+p)^2=x^2+2px+p^2.$$

Kui $p=\frac{b}{2a}$, siis

$$2px=2\cdot\frac{b}{2a}x=\frac{b}{a}x.$$

Seepärast ongi

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2.$$

Näide

$$x^2-5x+6=0$$

Tegurdame:

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Lahendid on $x=2$ ja $x=3$.

Lahendivalemiga:

$$2x^2+3x-2=0.$$

Siin $a=2$, $b=3$, $c=-2$.

$$D=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25.$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-3\pm5}{4}.$$

Seega

$$x_1=\frac12,\qquad x_2=-2.$$

Kui

$$x^2+4x+4=0,$$

siis

$$D=4^2-4\cdot1\cdot4=0,$$

ja võrrandil on üks kahekordne lahend:

$$x=\frac{-4}{2}=-2.$$

Vastus: esimese võrrandi lahendid on 2 ja 3, teise lahendid $\frac12$ ja -2, kolmandal on kahekordne lahend -2.

Tüüpviga

Kui korrutis on null, siis vähemalt üks tegur on null. See reegel ei kehti summa kohta.

Teine tüüpviga on diskriminandi märgi eiramine. Kui $D<0$, siis ruutjuure all on negatiivne arv ja reaalarvulisi lahendeid ei ole.

Kolmas tüüpviga on koefitsiendid valesti lugeda. Enne valemi kasutamist kirjuta võrrand üldkujule $ax^2+bx+c=0$ ja kanna märgid kaasa.

Neljas tüüpviga on ruutjuure võtmisel unustada kaks võimalust: $\sqrt{9}=3$, aga võrrandist $x^2=9$ tuleb $x=\pm3$.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Ruutvõrrandit saab lahendada tegurdamisega, täisruudu eraldamisega või valemiga. Graafikul on samad lahendid nullkohad.

Kui jäid kinni

Korda enne lineaarvõrrandi lahendamist, tegurdamist ja nullkorrutise reeglit. Vaata näitest, kuidas kordajad $a$, $b$, $c$ kõigepealt kirja pannakse. Alusta harjutustest 1 ja 2; kui need on kindlad, kasuta lahendivalemit ülesandes 4.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda tegurdamisega $x^2-7x+12=0$.
2. Leia diskriminant võrrandil $x^2-6x+9=0$.

Rakendus

1. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil $x^2+1=0$?
2. Lahenda valemiga $x^2+x-6=0$.

Mõtlemisülesanne

1. Mida tähendab $D=0$ ruutfunktsiooni graafikul?
2. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil $x^2-4x+4=0$?
3. Lahenda $2x^2-8=0$.
4. Kirjuta võrrandi $3x^2-12x=0$ kordajad $a$, $b$, $c$ ja lahenda tegurdamisega.

Vastused

1. $(x-3)(x-4)=0$, seega $x=3$ või $x=4$; kontrolliks teeb kumbki tegur ühe lahendi korral nulliks.
2. $D=36-36=0$, seega on üks kahekordne lahend.
3. Mitte ühtegi reaalarvulist lahendit, sest $x^2$ ei saa olla -1.
4. Lahenduskäik: siin $a=1$, $b=1$, $c=-6$, seega $D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$. Siis $x=\frac{-1\pm5}{2}$, seega $x=2$ või $x=-3$.
5. Parabool puutub $x$-telge ühes punktis. Lahenduskäik: $D=0$ tähendab, et ruutjuure osa lahendivalemis on 0 ja kaks lahendit langevad kokku.
6. Üks, sest $x^2-4x+4=(x-2)^2$ ja sama tegur kordub.
7. $2x^2=8$, seega $x^2=4$ ja $x=\pm2$; kontrolliks mõlemal juhul $2x^2=8$.
8. $a=3$, $b=-12$, $c=0$. $3x^2-12x=3x(x-4)=0$, seega $x=0$ või $x=4$.

Seosed

Järgmine peatükk võrdleb täielikke ja mittetäielikke ruutvõrrandeid, kasutab Viète'i seost ning koostab ruutvõrrandi tekstülesandest. Seejärel muutuvad võrrandi lahendid ruutfunktsiooni nullkohtadeks.

Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused

Mõiste

Ruutvõrrand tuleb enne lahendamist viia normaalkujule

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: tunned ruutvõrrandi lahendivalemit, diskriminanti ja nullkorrutise reeglit.

Täielikus ruutvõrrandis on $a,b,c\ne0$. Mittetäielikus ruutvõrrandis on $b=0$, $c=0$ või mõlemad. Võtte valib võrrandi kuju:

Kui jagad normaalkuju kordajaga $a$, saad taandatud ruutvõrrandi $x^2+px+q=0$.

Viète'i seos ütleb selle lahendite kohta

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

See aitab lihtsate täisarvuliste lahendite leidmisel ja vastuse kontrollimisel.

Näide

Ristküliku pikkus on laiusest 2 cm suurem ja pindala on 48 cm². Olgu laius $x$, siis pikkus on $x+2$.

$$x(x+2)=48,$$

$$x^2+2x-48=0.$$

Viète'i järgi peab lahendite summa olema -2 ja korrutis -48. Need tingimused täidavad 6 ja -8. Seega

$$(x-6)(x+8)=0,$$

ning $x=-8$ või $x=6$. Negatiivne pikkus ei sobi. Ristküliku laius on 6 cm ja pikkus 8 cm. Kontroll: $6\cdot8=48$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada alati pikka lahendivalemit. Võrrand $3x^2-12x=0$ laheneb kiiremini kujul $3x(x-4)=0$.

Teine tüüpviga on jätta võrrand normaalkujule viimata. Kordajad $a,b,c$ saab õigesti lugeda alles siis, kui ühel poolel on null.

Kolmas tüüpviga on tekstülesandes võtta vastu kõik algebralised lahendid. Pikkus, aeg või esemete arv peab sobima olukorra tingimustega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $5x^2=0$.
2. Lahenda $2x^2-18=0$.
3. Lahenda $x^2-7x=0$.

Rakendus

1. Vii normaalkujule ja lahenda $x^2+4=5x$.
2. Leia Viète'i seosega võrrandi $x^2-9x+20=0$ lahendid.
3. Kontrolli Viète'i seosega võrrandi $x^2+2x-15=0$ lahendeid 3 ja -5.

Mõtlemisülesanne

1. Kahe järjestikuse positiivse täisarvu korrutis on 72. Leia arvud.
2. Ruudu pindala suureneb külje pikendamisel 3 cm võrra 45 cm² võrra. Leia algne külg.
3. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on 2 ja 7.

Vastused

1. $x=0$.
2. $x^2=9$, seega $x=\pm3$.
3. $x(x-7)=0$, seega $x=0$ või $x=7$.
4. $x^2-5x+4=0$, seega $x=1$ või $x=4$.
5. Arvud 4 ja 5 annavad summa 9 ning korrutise 20; lahendid on 4 ja 5.
6. $3+(-5)=-2$ ja $3\cdot(-5)=-15$, seega lahendid sobivad.
7. $n(n+1)=72, seega $n^2+n-72=0$; positiivsed arvud on 8 ja 9.
8. $(x+3)^2-x^2=45, seega $6x+9=45$ ja $x=6$ cm.
9. $(x-2)(x-7)=0 ehk $x^2-9x+14=0$.

Seosed

Ruutvõrrandi lahendid muutuvad ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Tekstülesandes lisandub alati viimane samm: tõlgenda lahendeid algse olukorra järgi ja jäta sobimatu väärtus kõrvale.

Ruutfunktsioon

Mõiste

Ruutfunktsiooni üldkuju on

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, lugeda koordinaatteljestikku ja eristada nullkohta $y$-telje lõikepunktist.

Selle graafik on parabool.

Graafikult loetud tähtis punkt peab asendamisel andma sama $y$-koordinaadi.

Olulised seosed

• Nullkohad leitakse ruutvõrrandist $ax^2+bx+c=0$.
• Kui $a>0$, avaneb parabool üles.
• Kui $a<0$, avaneb parabool alla.
• Parabooli haripunkt ehk tipp on sümmeetriateljel asuv parabooli kõige madalam või kõige kõrgem punkt.

Haripunkti $x$-koordinaat üldkujus $y=ax^2+bx+c$ on

$$x_h=-\frac{b}{2a}.$$

Haripunkti $y$-koordinaadi saab leida, asendades $x_h$ funktsiooni avaldisse.

Nullkohad on need $x$ väärtused, mille korral $y=0$. Seetõttu tekibki ruutvõrrand

$$ax^2+bx+c=0.$$

Olulised punktid graafikul:

Kontroll: $x$-teljel pane $y=0$; $y$-teljel pane $x=0$.

Kui nullkohti pole, parabool ei lõika $x$-telge. Kui nullkoht on üks, puutub ta telge haripunktis.

Diskriminant $D=b^2-4ac$: $D>0$ annab kaks nullkohta, $D=0$ ühe kahekordse nullkoha ja $D<0$ mitte ühtegi reaalarvulist nullkohta.

Näide

Funktsiooni $y=x^2-4$ nullkohad:

$$x^2-4=0$$

$$x=\pm2.$$

Haripunkt on punktis (0;-4), sest parabool on sümmeetriline $y$-telje suhtes ja kõige madalam punkt on seal.

Näide üldkujus:

$$y=2x^2-8x+3.$$

Siin $a=2$ ja $b=-8$, seega

$$x_h=-\frac{-8}{2\cdot2}=2.$$

Haripunkti $y$-koordinaat:

$$y_h=2\cdot2^2-8\cdot2+3=8-16+3=-5.$$

Haripunkt on (2;-5).

Leiame funktsiooni

$$y=x^2-6x+8$$

tähtsad punktid.

$y$-telje lõikepunkt:

$$x=0\quad\Rightarrow\quad y=8,$$

seega punkt (0;8).

Nullkohad:

$$x^2-6x+8=0,$$

$$(x-2)(x-4)=0,$$

seega $x=2$ ja $x=4$.

Haripunkti $x$-koordinaat:

$$x_h=-\frac{-6}{2\cdot1}=3.$$

Haripunkti $y$-koordinaat:

$$y_h=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1.$$

Vastus: $y$-telje lõikepunkt on (0;8), nullkohad on 2 ja 4 ning haripunkt on (3;-1).

Tüüpviga

Ruutliikme kordaja $a$ määrab avanemissuuna ja laiuse, mitte ainult “kas graafik on üleval või all”.

Teine tüüpviga on ajada segi nullkoht ja $y$-telje lõikepunkt. Nullkohas on $y=0$; $y$-telje lõikepunktis on $x=0$.

Kolmas tüüpviga on arvata, et $c$ on alati nullkoht. Tegelikult on $c$ väärtus kohal $x=0$, seega $y$-telje lõikepunkt.

Neljas tüüpviga on leida ainult $x_h$ ja nimetada seda haripunktiks. Haripunkt on punkt, seega vaja on nii $x_h$ kui $y_h$.

Viies tüüpviga on pidada ruutfunktsiooni kasvu samasuguseks nagu eksponentfunktsioonil. Ruutfunktsioon kasvab astme järgi, eksponentfunktsioon korrutab väärtust püsiva teguriga.

Kui jäid kinni

Korda enne ruutvõrrandi nullkohtade leidmist ja koordinaatteljestiku lugemist. Vaata näitest, kuidas nullkohad ja haripunkt samal graafikul kokku käivad. Alusta harjutustest 1-4; haripunkti ülesannete juurde mine siis, kui nullkohad ja teljelõige on selged.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $y=x^2-9$ nullkohad.
2. Kas funktsiooni $y=-x^2+4$ parabool avaneb üles või alla?
3. Leia funktsiooni $y=x^2+2x-3$ $y$-telje lõikepunkt.
4. Leia funktsiooni $y=x^2+2x-3$ nullkohad.

Rakendus

1. Leia funktsiooni $y=x^2-6x+8$ haripunkti $x$-koordinaat.
2. Leia funktsiooni $y=x^2-6x+8$ haripunkt.
3. Leia funktsiooni $y=-2x^2+5$ $y$-telje lõikepunkt ja avanemissuund.

Mõtlemisülesanne

1. Leia funktsiooni $y=x^2+4x+4$ nullkoht või nullkohad.
2. Leia funktsiooni $y=2x^2-4x-6$ $y$-telje lõikepunkt.
3. Mis on parabooli sümmeetriatelg, kui haripunkti $x$-koordinaat on 3?
4. Funktsioonidel $y=x^2$ ja $y=2^x$ on mõlemal kasvavad väärtused positiivsetel $x$-idel. Kumb on ruutfunktsioon ja kumb eksponentfunktsioon?

Vastused

1. $x=-3$ ja $x=3$, sest nullkohas $y=0$.
2. Alla, sest $a=-1<0$.
3. (0;-3), sest $y$-teljel on $x=0$.
4. $x=-3$ ja $x=1$; need on parabooli lõikepunktid $x$-teljega.
5. $x_h=3$, seega sümmeetriatelg on $x=3$.
6. Lahenduskäik: $x_h=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. Asendades saad $y_h=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1$, seega haripunkt on (3;-1).
7. Lõikepunkt on (0;5), avaneb alla, sest $a=-2<0$.
8. Lahenduskäik: $x^2+4x+4=(x+2)^2$. Nullkoht tekib siis, kui $(x+2)^2=0$, seega üks nullkoht $x=-2$.
9. (0;-6).
10. Sirge $x=3$.
11. $y=x^2$ on ruutfunktsioon, $y=2^x$ on eksponentfunktsioon.

Seosed

Ruutfunktsioon on seotud pindalade, viskeliikumise, optimeerimise ja paraboolidega. Järgmine peatükk kasutab nullkohti, haripunkti ja sümmeetriat parabooli käsitsi joonestamiseks ning ruutmudeli tõlgendamiseks.

Ruutfunktsiooni graafik ja mudel

Mõiste

Ruutfunktsiooni $y=ax^2+bx+c$ graafiku skitseerimiseks ei piisa ühest punktist. Vaja on avanemissuunda, sümmeetriatelge, haripunkti, nullkohti ja $y$-telje lõikepunkti.

Eeldus: oskad leida ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti ning kanda punkte teljestikku.

Tööjärjekord:

1. vaata $a$ märki;
2. leia nullkohad;
3. leia $x_h=-\frac{b}{2a}$ ja $y_h=f(x_h)$;
4. märgi punkt (0;c);
5. lisa sümmeetrilised kontrollpunktid ja joonesta sujuv parabool.

Kordaja absoluutväärtuse kasvades muutub parabool kitsamaks. Vabaliige $c$ määrab lõikepunkti $y$-teljega.

Näide

Joonestame funktsiooni $y=-x^2+2x+3$.

Parabool avaneb alla, sest $a=-1$. Nullkohad:

$$-x^2+2x+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0,$$

seega $x=-1$ ja $x=3$. Sümmeetriatelg on nullkohtade keskel $x=1$. Haripunkti väärtus on $f(1)=4$, seega haripunkt on (1;4). $y$-telje lõikepunkt on (0;3); selle sümmeetriline paariline on (2;3).

Vastus: viie tugipunkti (-1;0), (0;3), (1;4), (2;3), (3;0) kaudu saab joonestada allapoole avaneva parabooli.

Tüüpviga

Tüüpviga on ühendada punktid sirglõikudega. Parabool on sujuv kõver. Teine tüüpviga on joonestada ainult nullkohtade põhjal ja unustada, et kordaja $a$ muudab graafiku laiust.

Kolmas tüüpviga on lugeda haripunktiks ainult $x_h$. Haripunkt on kahe koordinaadiga punkt. Neljas tüüpviga on mudelis jätta tõlgendamata, milline osa paraboolist kirjeldab tegelikku aega, pikkust või kõrgust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis suunas avaneb $y=-2x^2+5$?
2. Leia funktsiooni $y=x^2-4x+3$ nullkohad.
3. Leia sama funktsiooni haripunkt.

Rakendus

1. Koosta funktsiooni $y=x^2-4$ jaoks viis sümmeetrilist tugipunkti.
2. Kontrolli arvutusega, kas punkt (4;5) asub graafikul $y=x^2-3x+1$.
3. Visanda $y=-x^2+4x$ ja märgi ajavahemik, kus $y\ge0$.

Mõtlemisülesanne

1. Pall liigub kõrgusmudeli $h(t)=-5t^2+20t+1$ järgi. Millal on pall kõige kõrgemal ja kui kõrgel?
2. Kuidas muutub $y=ax^2$ graafik, kui $a$ muutub arvust 1 arvuks 3?
3. Koosta ruutfunktsioon, mille nullkohad on 2 ja 6 ning $a=1$.

Vastused

1. Alla, sest $a<0$.
2. $x=1$ ja $x=3$.
3. $x_h=2$ ja $f(2)=-1$, seega (2;-1).
4. Näiteks (-2;0), (-1;-3), (0;-4), (1;-3), (2;0).
5. $f(4)=16-12+1=5$, seega punkt asub graafikul.
6. Nullkohad on 0 ja 4; mudel on mittenegatiivne vahemikus $0\le x\le4$.
7. $t_h=2$ s ja `$h(2)=21$ m.
8. Parabool jääb ülespoole avatuks, kuid muutub kitsamaks.
9. $y=(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$.

Seosed

Graafik seob ruutvõrrandi lahendid, funktsiooni väärtused ja olukorra tõlgenduse. Järgmises ratsionaalavaldiste plokis liigub tähelepanu graafikult avaldise lubatud väärtustele ja teisendustele.

Murdavaldised

Mõiste

Murdavaldis on avaldis, mille nimetajas on muutuja, näiteks

$$\frac{x+1}{x-3}.$$

Nimetaja ei tohi olla null.

Eeldus: oskad harilike murdudega arvutada, tegurdada ja lahendada lihtsaid võrrandeid, millega leitakse nimetaja nullkohad.

Määramispiirkond näitab, milliste muutujaväärtuste korral avaldis on defineeritud. Murdavaldise puhul tuleb välistada kõik väärtused, mis teevad nimetaja nulliks.

Näiteks avaldises

$$\frac{x+1}{x-3}$$

on keelatud väärtus $x=3$, sest siis nimetaja oleks null.

Reeglid

1. Leia keelatud väärtused algse nimetaja järgi.
2. Tegurda lugeja ja nimetaja.
3. Taanda ainult ühiseid tegureid.
4. Liitmisel või lahutamisel vii murdavaldised ühisele nimetajale.

Keelatud väärtused jäävad vastuse juurde ka siis, kui neid põhjustanud tegur hiljem taandub.

Lihtsustatud kuju on algse avaldisega samaväärne ainult algse määramispiirkonna sees.

Kui nimetaja on ruutavaldis, leia keelatud väärtused tegurdamise või ruutvõrrandi abil.

Hea tööjärjekord:

Näide

Avaldis

$$\frac{x^2-9}{x-3}$$

lihtsustub tegurdamise abil:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,$$

aga ainult tingimusel $x\ne3$.

Määramispiirkond enne taandamist:

$$\frac{x^2-4}{x^2-2x}.$$

Kõigepealt nimetaja:

$$x^2-2x=x(x-2).$$

Seega $x\ne0$ ja $x\ne2$. Nüüd tegurdame kogu avaldise:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}.$$

Taandame ühise teguri $x-2$:

$$\frac{x+2}{x},$$

aga tingimused jäävad alles:

$$x\ne0,\qquad x\ne2.$$

Kuigi lihtsustatud avaldises $\frac{x+2}{x}$ ei paista enam tegurit $x-2$, ei tohi $x=2$ algses avaldises lubatud olla.

Ühise nimetajaga liitmine:

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}.$$

Ühine nimetaja on $x(x+1)$, kus $x\ne0$ ja $x\ne-1$.

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\frac{3x}{x(x+1)}.$$

$$=\frac{2x+2+3x}{x(x+1)}=\frac{5x+2}{x(x+1)}.$$

Vastus: lihtsustatud avaldised on $x+3$, $\frac{x+2}{x}$ ja $\frac{5x+2}{x(x+1)}$; keelatud väärtused jäävad algsete nimetajate järgi.

Tüüpviga

Teguri taandamisel ei tohi unustada keelatud väärtust. Algne nimetaja määrab, millal avaldis pole defineeritud.

Teine tüüpviga on taandada liikmeid, mis ei ole tegurid:

$$\frac{x+2}{x}\ne2.$$

Taandada võib korrutustegureid, mitte summa liikmeid.

Kolmas tüüpviga on määramispiirkond leida pärast taandamist. Näiteks

$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$$

tingimusel $x\ne1$. Kui vaadata ainult lõppu $x+1$, jääb keelatud väärtus märkamatuks.

Neljas tüüpviga on ühise nimetaja leidmisel unustada, et ka uus ühine nimetaja annab tingimused algsete nimetajate järgi. Avaldises

$$\frac1{x-2}+\frac1{x+3}$$

on tingimused $x\ne2$ ja $x\ne-3$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millise $x$ korral pole $\frac{5}{x+2}$ defineeritud?
2. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x-2}$.
3. Miks ei saa avaldises $\frac{x+2}{x}$ taandada lugejast ainult $x$-liiget ära?
4. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-9}$.

Rakendus

1. Liida $\frac1x+\frac2{x+3}$.
2. Lihtsusta $\frac{x^2-16}{x-4}$ ja kirjuta tingimus.
3. Lihtsusta $\frac{x^2-3x}{x}$ ja kirjuta tingimus.

Mõtlemisülesanne

1. Leia määramispiirkond avaldisele $\frac{x+5}{x^2+x-6}$.
2. Liida $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}$ ja kirjuta tingimused.
3. Selgita, miks $\frac{(x-2)(x+4)}{x-2}$ ei ole defineeritud väärtusel $x=2$, kuigi pärast taandamist jääb $x+4$.
4. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-5x+6}$.

Vastused

1. Keelatud väärtus on $x=-2$, seega määramispiirkonnas peab $x\ne-2$.
2. $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne2$.
3. $x+2$ ei ole korrutis, kus $x$ oleks eraldi tegur.
4. Kuna $x^2-9=(x-3)(x+3)$, siis $x\ne3$ ja $x\ne-3$.
5. $\frac{x+3+2x}{x(x+3)}=\frac{3x+3}{x(x+3)}$, kus $x\ne0,-3$; tingimus tuleb algsetest nimetajatest $x$ ja $x+3$.
6. $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne4$.
7. $\frac{x(x-3)}{x}=x-3$, kus $x\ne0$; taandada tohib alles pärast selle tingimuse märkimist.
8. $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, seega $x\ne-3$ ja $x\ne2$.
9. $\frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}$, kus $x\ne1,-1$; need on algsete nimetajate nullkohad.
10. Algse avaldise nimetaja oleks siis $x-2=0$. Nulliga jagada ei saa; taandamine ei muuda algse avaldise keelatud väärtust.
11. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, seega $x\ne2$ ja $x\ne3$.

Seosed

Murdavaldised kasutavad samu ideid nagu arvumurrud, kuid lisavad määramispiirkonna. Järgmine peatükk rakendab neid tingimusi korrutamisel, jagamisel, astendamisel ning mitme tehtega ratsionaalavaldistes.

Ratsionaalavaldiste tehted

Mõiste

Algebraliste murdude tehted kasutavad samu põhimõtteid nagu arvumurrud. Erinevus on selles, et enne arvutamist tuleb leida muutujate keelatud väärtused ja avaldised sageli tegurdada.

Eeldus: oskad leida murdavaldise määramispiirkonda, tegurdada ning arvutada harilike murdudega.

Põhireeglid:

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,$$

$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},$$

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Jagamisel ei tohi jagaja olla null. Kõik tingimused leitakse algavaldise järgi enne taandamist.

Hea tööjärjekord on: tingimused, tegurdamine, tehe, taandamine, kontroll.

Näide

Lihtsustame

$$\frac{x^2-9}{x^2-x-6}:\frac{x+3}{x-3}.$$

Algavaldise tingimused: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne0$, seega $x\ne3,-2$. Jagaja \frac{x+3}{x-3} ei tohi olla null, mistõttu ka $x\ne-3$.

Tegurdame ja pöörame jagaja:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}\cdot\frac{x-3}{x+3} =\frac{x-3}{x+2}.$$

Vastus: $\frac{x-3}{x+2}$, kus $x\ne-3,-2,3$. Taandunud tegurid ei kaota algseid tingimusi.

Tüüpviga

Jagamisel pööratakse teine murd, mitte esimene. Teine tüüpviga on liita lugejad ja nimetajad eraldi: $\frac ab+\frac cd\ne\frac{a+c}{b+d}$.

Kolmas tüüpviga on hakata tegureid taandama üle liitmis- või lahutamismärgi. Enne taandamist peab lugeja ja nimetaja olema korrutiste kujul.

Neljas tüüpviga on unustada jagaja nulliks muutvad väärtused. Need võivad tulla jagaja lugejast, sest nullmurruga jagada ei saa.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Korruta $\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x+1}$.
2. Jaga $\frac{x}{5}:\frac{2x}{15}$.
3. Astenda $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2$.

Rakendus

1. Liida $\frac2x+\frac1{x-2}$ ja kirjuta tingimused.
2. Lahuta $\frac3{x+1}-\frac1{x-1}$.
3. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}$.

Mõtlemisülesanne

1. Lihtsusta $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}:\frac{x+1}{x-1}$ ja säilita kõik tingimused.
2. Selgita, miks jagamisel võib tekkida keelatud väärtus ka jagaja lugejast.
3. Lihtsusta $\frac1x+\frac1{x+1}-\frac1{x(x+1)}$.

Vastused

Kontroll: iga vastuse tingimused peavad pärinema algavaldise nimetajatest ja jagajast.

1. $\frac{2x}{x+1}$, kus $x\ne-1$.
2. $\frac{x}{5}\cdot\frac{15}{2x}=\frac32$, kus $x\ne0$.
3. $\frac{x^2}{(x-1)^2}$, kus $x\ne1$.
4. $\frac{3x-4}{x(x-2)}$, kus $x\ne0,2$.
5. $\frac{3(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-4}{x^2-1}$, kus $x\ne-1,1$.
6. $\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}=\frac{x-2}{x}$, kus $x\ne0,-2$.
7. Tulemuseks on 1, kuid algavaldis nõuab $x\ne-1,1$.
8. Kui jagaja lugeja on null, on jagaja ise null; nulliga jagada ei saa.
9. $\frac{x+1+x-1}{x(x+1)}=\frac{2}{x+1}$, kus $x\ne0,-1$.

Seosed

Ratsionaalavaldiste lihtsustamine ühendab murdude reeglid, tegurdamise ja määramispiirkonna. Sama oskus tuleb tagasi valemite teisendamisel ning ratsionaalvõrrandites.

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Kesknurga tipp on ringi keskpunktis. Piirdenurga tipp on ringjoonel. Kui mõlemad toetuvad samale kaarele, on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem:

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Eeldus: tunned ringjoone osi, kolmnurga nurkade summat ja põhjenduse põhietappe.

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Kõõl ühendab ringjoone kaht punkti ja kaar on nende punktide vaheline ringjoone osa. Lõikaja läbib ringjoont kahes punktis. Puutuja puudutab ringjoont ühes punktis ning on selles punktis raadiusega risti. Ühest ringjoonevälisest punktist tõmmatud kahe puutujalõigu pikkused on võrdsed.

Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ümberringjoone keskpunktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad siseringjoone keskpunktis. Esimene punkt on kõigist tippudest, teine kõigist külgedest võrdsel kaugusel.

Korrapärasel hulknurgal on kõik küljed ja kõik nurgad võrdsed. Kui hulknurgal on $n$ külge, on keskpunkti ümber tekkiv kesknurk

$$\frac{360^\circ}{n}.$$

Ühe sisenurga suurus on

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$

Korrapärase hulknurga apoteem on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. Kui ümbermõõt on $P$ ja apoteem $r$, saab hulknurga jagada võrdseteks kolmnurkadeks ning

$$S=\frac{Pr}{2}.$$

Näide

Piirdenurk toetub samale kaarele kui kesknurk $124^\circ$. Piirdenurk on

$$124^\circ:2=62^\circ.$$

Korrapärase kuusnurga kesknurk on

$$360^\circ:6=60^\circ,$$

ja üks sisenurk

$$\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ.$$

Ringjoone puutepunkti tõmmatud raadiuse ja puutuja vaheline nurk on alati $90^\circ$.

Korrapärase ruudu külg on 8 cm ja apoteem 4 cm. Selle ümbermõõt on 32 cm ning pindala

$$S=\frac{32\cdot4}{2}=64\text{ cm}^2.$$

Vastus: piirdenurk on $62^\circ$; korrapärase kuusnurga kesk- ja sisenurk on vastavalt $60^\circ$ ning $120^\circ$; ruudu pindala on 64 cm².

Tüüpviga

Tüüpviga on võrrelda nurki, mis ei toetu samale kaarele.

Teine viga on ajada segi kesk- ja piirdenurga tegur: kesknurk on kaks korda suurem, piirdenurk kaks korda väiksem.

Kolmas viga on arvata, et võrdsete külgedega hulknurk on alati korrapärane. Korrapärasel hulknurgal peavad võrdsed olema ka nurgad.

Neljas viga on arvata, et iga ringjoont puudutavana näiv sirge on puutuja. Puutepunkti raadius peab olema sirgega risti.

Viies viga on vahetada sise- ja ümberringjoone keskpunkti konstruktsioonid: siseringjoone jaoks kasutatakse nurgapoolitajaid, ümberringjoone jaoks külgede keskristsirgeid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kesknurk on $90^\circ$. Leia sama kaare piirdenurk.
2. Piirdenurk on $38^\circ$. Leia sama kaare kesknurk.
3. Leia korrapärase kaheksanurga kesknurk.
4. Kui suur on puutuja ja puutepunkti tõmmatud raadiuse vaheline nurk?

Rakendus

1. Kaks piirdenurka toetuvad samale kaarele. Üks on $52^\circ$. Leia teine.
2. Leia korrapärase viisnurga ühe sisenurga suurus.
3. Miks on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk?
4. Milliste sirgete lõikepunkt annab kolmnurga ümberringjoone keskpunkti?
5. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 6 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Korrapärase hulknurga kesknurk on $30^\circ$. Mitu külge hulknurgal on?
2. Korrapärase hulknurga üks sisenurk on $135^\circ$. Mitu külge sellel on?
3. Punktist $P$ on ringjoonele tõmmatud puutujad puutepunktidega $A$ ja $B$. Kui $PA=7$ cm, leia $PB$.
4. Selgita, miks korrapärase hulknurga kesknurkade summa on $360^\circ$.

Vastused

1. $45^\circ$, sest piirdenurk on sama kaare kesknurgast poole väiksem.
2. $76^\circ$, sest kesknurk on kaks korda suurem.
3. $45^\circ$, sest $360^\circ:8=45^\circ$.
4. $90^\circ$.
5. $52^\circ$, sest samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
6. $108^\circ$, sest $(5-2)\cdot180^\circ:5=108^\circ$.
7. Diameetrile vastav kesknurk on $180^\circ$, seega piirdenurk on $90^\circ$.
8. Kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunkt.
9. $S=40\cdot6:2=120$ cm².
10. 12 külge, sest $360^\circ:30^\circ=12$.
11. 8 külge, sest $180^\circ-360^\circ:n=135^\circ$, millest $n=8$.
12. $PB=7$ cm, sest ühest punktist tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.
13. Need paiknevad ühise keskpunkti ümber ja moodustavad täispöörde.

Seosed

Ringjoone nurgad, puutuja ning sise- ja ümberringjoon valmistavad ette Thalese teoreemi põhjalikku tõestust. Apoteem seob korrapärase hulknurga ringjoone, kolmnurkade ja pindalaga.

Pythagoras ja sarnasus

Mõiste

Täisnurkses kolmnurgas kehtib Pythagorase teoreem:

$$a^2+b^2=c^2.$$

Siin $c$ tähistab hüpotenuusi ehk täisnurga vastaskülge.

Eeldus: tunned täisnurkset kolmnurka ja sarnasust ning oskad arvutada ruutjuurt.

Sarnastel kujunditel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad küljed võrdelised.

Sarnasustegur $k$ näitab, mitu korda on ühe kujundi vastavad pikkused teise omadest suuremad:

$$k=\frac{\text{uue kujundi külg}}{\text{algse kujundi vastav külg}}.$$

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, siis pindalad muutuvad $k^2$ korda.

Vastavate külgede leidmiseks:

1. leia võrdsed nurgad;
2. vaata, millised küljed on nende nurkade vastas;
3. pane samas rollis küljed ühte suhtesse;
4. kontrolli, et kõik suhted annaksid sama sarnasusteguri.

Kui kolmnurgad on kirjutatud kujul $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavus käib samas järjekorras:

Näide

Kui kaatetid on 6 ja 8, siis

$$c^2=6^2+8^2=100,$$

seega $c=10$.

Sarnasuse näide: kaks kolmnurka on sarnased. Väiksema kolmnurga külg on 4 cm ja vastav suurema kolmnurga külg 10 cm. Siis sarnasustegur väiksemalt suuremale on

$$k=\frac{10}{4}=2,5.$$

Kui väiksema kolmnurga pindala on $12\text{ cm}^2$, siis suurema kolmnurga pindala on

$$12\cdot2,5^2=12\cdot6,25=75\text{ cm}^2.$$

Vastavate külgede näide: olgu

$$\triangle ABC\sim\triangle DEF,$$

kus $AB=6$, $BC=8$, $AC=10$ ning $DE=9$. Kuna $AB$ vastab küljele $DE$, on sarnasustegur

$$k=\frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=1,5.$$

Siis

$$EF=BC\cdot1,5=8\cdot1,5=12,$$

ja

$$DF=AC\cdot1,5=10\cdot1,5=15.$$

Vastus: suurem kolmnurk on külgedega 9, 12 ja 15; juhuslikult $BC$ ja $DE$ võrreldes saaks vale teguri.

Tüüpviga

Pythagorase teoreemi saab kasutada ainult täisnurkses kolmnurgas.

Sarnasuses tuleb võrrelda vastavaid külgi. Kõige tavalisem viga on võtta juhuslikult kaks külge, mis ei ole samas asendis. Vastavad küljed on nende võrdsete nurkade vastas või samas rollis kujundis.

Teine tüüpviga on pindala puhul kasutada tegurit $k$, kuigi pindala muutub teguriga $k^2$.

Kolmas tüüpviga on hüpotenuusi ja kaateti segiajamine Pythagorase teoreemis. Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg ja on kõige pikem külg.

Neljas tüüpviga on lugeda sarnaste kolmnurkade tippude järjekorda hooletult. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis $AB$ ei vasta küljele $EF$, vaid küljele $DE$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 5 ja 12. Leia hüpotenuus.
2. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 13 ja üks kaatet 5. Leia teine kaatet.
3. Kaks kujundit on sarnased. Vastavad küljed on 6 cm ja 15 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
4. Kui sarnasustegur on 3, mitu korda muutub pindala?

Rakendus

1. Väikese kujundi pindala on 20 cm² ja sarnasustegur suuremale on 2. Leia suurema kujundi pindala.
2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab külg $BC$?
3. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, $AB=4$, $DE=10$ ja $BC=7$, leia $EF$.
4. Koolimaja ees oleva lipumasti vari on 9 m ja samal ajal 1,5 m pikkuse õpilase vari on 1 m. Kui kõrge on lipumast?

Mõtlemisülesanne

1. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 2,5 ja väiksema ümbermõõt on 18 cm, leia suurema ümbermõõt.
2. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 4, mitu korda on suurema kujundi pindala suurem?
3. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus 10 ja üks kaatet 8. Leia teine kaatet.
4. Päästeameti redel ulatub 8 m kõrgusele, kui redeli alumine ots on seinast 6 m kaugusel. Kui pikk peab redel vähemalt olema?

Vastused

1. $13$, sest täisnurkses kolmnurgas $5^2+12^2=13^2$.
2. $12$, sest teine kaatet rahuldab $13^2-5^2=144$.
3. $k=\frac{15}{6}=2,5$.
4. $3^2=9$ korda.
5. $20\cdot2^2=80\text{ cm}^2$.
6. Küljele $EF$, sest vastavus käib järjekorras $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.
7. $k=\frac{10}{4}=2,5$, seega $EF=7\cdot2,5=17,5$.
8. Lipumast on $9\cdot1,5=13,5$ m kõrge; kasutatakse sarnaste kolmnurkade võrdelisi külgi.
9. $18\cdot2,5=45\text{ cm}$.
10. $4^2=16$ korda.
11. $b^2=10^2-8^2=100-64=36$, seega $b=6$.
12. $\sqrt{8^2+6^2}=10$ m.

Seosed

Pythagoras ja sarnasus on trigonomeetria, mõõtkava ning analüütilise geomeetria alus. Järgmine peatükk põhjendab Pythagorase teoreemi pindalade abil ja rakendab seda korrapäraste hulknurkade joonelementide leidmisel.

Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Pythagorase teoreem ei ole ainult arvutusreegel. Seda saab tõestada pindalade võrdlemisega.

Eeldus: oskad kasutada seost $a^2+b^2=c^2$, arvutada kolmnurga pindala ja jagada korrapärase hulknurga keskpunktist kolmnurkadeks.

Paigutame neli kaatetitega $a$ ja $b$ täisnurkset kolmnurka küljega $a+b$ ruutu. Keskele jääb küljega $c$ ruut.

$$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$

Avades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb

$$a^2+b^2=c^2.$$

Korrapärase hulknurga keskpunktist tõmmatud lõigud jagavad kujundi võrdseteks kolmnurkadeks. Apoteem $r$ on nende kolmnurkade kõrgus, seega

$$S=\frac{Pr}{2},$$

kus $P$ on hulknurga ümbermõõt.

Näide

Korrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast. Ühe kolmnurga kõrgus on

$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$

Ühe kolmnurga pindala on $\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala

$$S=6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\text{ cm}^2.$$

Kontroll: sama tulemuse annab $P=24$ ja $r=2\sqrt3$ asetamine valemisse $S=\frac{Pr}{2}$.

Tüüpviga

Pindalatõestuses tuleb võrrelda sama suure ruudu kahte kirjeldust; joonis üksi ei ole tõestus. Teine tüüpviga on kasutada apoteemi asemel ümberringjoone raadiust. Apoteem lõpeb külje keskpunktis ja on küljega risti.

Kolmas tüüpviga on arvata, et korrapärase kuusnurga keskpunktist tekivad täisnurksed kolmnurgad kohe tervikuna. Esmalt tekivad võrdkülgsed kolmnurgad; apoteem poolitab ühe neist kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui palju on nelja kaatetitega $a,b$ kolmnurga pindala kokku?
2. Leia ruudu diagonaal, kui külg on 5 cm.

Rakendus

1. Leia võrdkülgse kolmnurga kõrgus, kui külg on 6 cm.
2. Leia sama kolmnurga pindala.
3. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 6 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Selgita pindalade abil, miks tõestusest kaob liige $2ab$.
2. Leia korrapärase kuusnurga pindala, kui külg on 2 cm.
3. Kas valem $S=\frac{Pr}{2}$ sobib igale hulknurgale? Põhjenda.

Vastused

1. $4\cdot\frac{ab}{2}=2ab$.
2. $d=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2$ cm.
3. $h=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3$ cm.
4. $S=\frac{6\cdot3\sqrt3}{2}=9\sqrt3\text{ cm}^2$.
5. $S=\frac{40\cdot6}{2}=120\text{ cm}^2$.
6. Liige $2ab$ on nelja kolmnurga kogupindala mõlemas sama ruudu pindala kirjelduses ja lahutatakse mõlemalt poolelt.
7. Ühe kolmnurga pindala on $\sqrt3$, seega kokku $6\sqrt3\text{ cm}^2$.
8. Ei. Valem eeldab, et keskpunktist külgedele tõmmatud kõrgused on sama pikad; see kehtib korrapärasel hulknurgal.

Seosed

Pythagorase teoreemi tõestus ühendab algebra ja pindala. Korrapäraste hulknurkade poolitamisel tekkivad täisnurksed kolmnurgad valmistavad ette siinuse, koosinuse ja tangensi kasutamist.

Trigonomeetria

Mõiste

Täisnurkses kolmnurgas seovad siinus, koosinus ja tangens nurka külgedega.

Eeldus: oskad kasutada Pythagorase teoreemi, tunned täisnurkse kolmnurga külgi ja oskad lahendada lihtsat võrret.

Vaatleme nurka $\alpha$. Selle nurga suhtes:

• hüpotenuus on täisnurga vastas olev pikim külg;
• lähiskaatet on nurga $\alpha$ kõrval olev kaatet;
• vastaskaatet on nurga $\alpha$ vastas olev kaatet.

Märgi vaadeldav nurk alati enne külgede nimetamist.

Joonisel on nurga $\alpha$ vastaskaatet $a$, lähiskaatet $b$ ja hüpotenuus $c$. Täisnurkne kolmnurk annab teravnurga küljesuhted; sama hüpotenuus ringjoone raadiusena aitab hiljem sama mõtet laiendada suurematele nurkadele ja funktsioonidele.

$$\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc,\qquad \tan\alpha=\frac ab.$$

Iga valem seob nurga $\alpha$ ja kaks külge.

Põhilised ümberavaldused:

$$a=c\cdot\sin\alpha.$$

$$b=c\cdot\cos\alpha.$$

$$a=b\cdot\tan\alpha.$$

$$c=\frac a{\sin\alpha}.$$

$$c=\frac b{\cos\alpha}.$$

Kui kaks külge on teada ja nurka ei küsita, kasuta Pythagorase teoreemi:

$$a^2+b^2=c^2.$$

Näide

Vastaskaateti leidmine

Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on $c=10$ cm ja $\sin\alpha=\frac35$. Leia vastaskaatet $a$.

$$\frac35=\frac a{10}$$

$$a=10\cdot\frac35=6.$$

Vastaskaatet on $6$ cm.

Hüpotenuusi leidmine

Täisnurkse kolmnurga vastaskaatet on $a=8$ cm ja $\sin\alpha=0,8$. Leia hüpotenuus $c$.

$$0,8=\frac8c$$

$$c=\frac8{0,8}=10.$$

Hüpotenuus on $10$ cm.

Nurga leidmine

Täisnurkse kolmnurga vastaskaatet on $a=6$ cm ja hüpotenuus $c=10$ cm. Leia nurk $\alpha$.

$$\sin\alpha=\frac6{10}=0,6$$

$$\alpha=\arcsin 0,6\approx36,9^\circ.$$

Vastus: näidetes on $a=6$ cm, $c=10$ cm ja $\alpha\approx36,9^\circ$.

Tüüpviga

Enne valemit otsusta, milline külg on vaadeldava nurga suhtes vastas- ja milline lähiskaatet.

Teine tüüpviga on kasutada tangensit hüpotenuusiga. Tangens võrdleb ainult kahte kaatetit:

$$\tan\alpha=\frac ab.$$

Kalkulaatoris kontrolli, kas kasutad kraade või radiaane. Selles peatükis on nurgad kraadides; radiaanides nurk märgitakse eraldi.

Kolmas tüüpviga on valida valem mälu, mitte teadaolevate külgede järgi.

Teine seletusviis

Trigonomeetria on külgede võrdlus. Enne valemit küsi: millist külge võrreldakse hüpotenuusiga või teise kaatetiga?

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Siinus on pildil vastaskaateti osa hüpotenuusist, arvuna suhe $a:c$ ja valemina $\sin\alpha=\frac ac$.

Kui jäid kinni

Korda Pythagorase teoreemi, täisnurkse kolmnurga külgede nimetusi ja võrde lahendamist. Vaata jooniselt, milline kaatet on nurga $\alpha$ suhtes vastas ja milline kõrval. Alusta harjutustest 1 ja 2; nurga leidmise juurde mine alles siis, kui külgede suhted on selged.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Milline külg on täisnurkses kolmnurgas alati hüpotenuus?
2. Kui $\cos\alpha=\frac45$ ja hüpotenuus on $15$, siis kui pikk on lähiskaatet?

Rakendus

1. 5-meetrine redel ulatub mööda seina 4 meetri kõrgusele. Leia redeli nurk maapinnaga.
2. Kaldtee tõuseb 1,2 meetrit 6-meetrise horisontaalse vahemaa jooksul. Leia kaldtee kaldenurk.

Mõtlemisülesanne

1. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 9 ja 12. Leia hüpotenuus ja väiksem teravnurk.
2. Kahel sarnasel täisnurksel kolmnurgal on $\sin\alpha=\frac12$. Hüpotenuus kasvab 10-lt 20-le. Kuidas muutub vastaskaatet? Põhjenda.
3. Täisnurkses kolmnurgas on teada lähiskaatet $b=7$ ja $\tan\alpha=2$. Millise külje saad kohe leida ja kui pikk see on?

Vastused

1. Täisnurga vastas olev pikim külg ehk hüpotenuus.
2. $12$, sest $\cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}$ ja $\frac45\cdot15=12$.
3. $\sin\alpha=\frac45$, seega $\alpha=\arcsin\frac45\approx53{,}1^\circ$.
4. $\tan\alpha=\frac{1{,}2}{6}=0{,}2$, seega $\alpha\approx11{,}3^\circ$.
5. $c=15$; väiksem nurk on lühema kaateti vastas: $\arcsin\frac9{15}\approx36{,}9^\circ$.
6. Vastaskaatet kasvab 5-lt 10-le, sest suhe vastaskaatet/hüpotenuus jääb võrdseks arvuga $\frac12$.
7. Vastaskaateti: $a=b\tan\alpha=7\cdot2=14$, sest tangens võrdleb kahte kaatetit.

Seosed

Trigonomeetria ühendab geomeetria, füüsika ja mõõtmise. Järgmine peatükk kasutab Pythagorase teoreemi ning siinus-, koosinus- ja tangensseost ühe täisnurkse kolmnurga täielikuks lahendamiseks.

Täisnurkse kolmnurga lahendamine

Mõiste

Kolmnurga lahendamine tähendab kõigi puuduvate külgede ja nurkade leidmist. Täisnurkses kolmnurgas piisab tavaliselt kahest sõltumatust antud suurusest, millest vähemalt üks on külg.

Eeldus: oskad nimetada hüpotenuusi ja kaateteid, kasutada Pythagorase teoreemi ning leida kalkulaatoriga trigonomeetrilise suhte või nurga.

Tööjärjekord:

1. joonista ja märgi täisnurk;
2. kirjuta teadaolevad suurused joonisele;
3. vali seos, milles on otsitav ja teadaolevad suurused;
4. leia ülejäänud külg või nurk;
5. kontrolli $\alpha+\beta=90^\circ$ ja seda, et hüpotenuus on pikim.

Näide

Täisnurkse kolmnurga lähiskaatet nurga $\alpha=38^\circ$ suhtes on 5 cm. Leiame ülejäänud suurused.

$$a=5\tan38^\circ\approx3,91\text{ cm},$$

$$c=\frac5{\cos38^\circ}\approx6,35\text{ cm}.$$

Teine teravnurk on $\beta=90^\circ-38^\circ=52^\circ$. Pindala on

$$S=\frac{ab}{2}\approx\frac{3,91\cdot5}{2}\approx9,78\text{ cm}^2.$$

Kontroll: $c$ on mõlemast kaatetist pikem ja nurkade summa on $180^\circ$.

Tüüpviga

Tüüpviga on hakata valemit valima enne joonise märkimist. Sama külg võib ühe teravnurga suhtes olla vastas-, teise suhtes lähiskaatet.

Teine tüüpviga on ümardada iga vahesamm liiga vara. Hoia kalkulaatoris rohkem numbreid ja ümarda lõppvastus ülesandes nõutud täpsuseni.

Kolmas tüüpviga on unustada teine teravnurk või pindala, kuigi ülesanne palub lahendada kogu kolmnurga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Üks teravnurk on $27^\circ$. Leia teine teravnurk.
2. Kaatetid on 6 cm ja 8 cm. Leia hüpotenuus.

Rakendus

1. Hüpotenuus on 12 cm ja nurk $35^\circ$. Leia selle nurga vastaskaatet.
2. Lähiskaatet on 7 cm ja vastaskaatet 4 cm. Leia väiksem teravnurk.
3. Kaatetid on 5 cm ja 9 cm. Leia pindala ning mõlemad teravnurgad.

Mõtlemisülesanne

1. Täisnurkse trapetsi kõrgus on 6 cm ja kaldhaar moodustab alusega nurga $45^\circ$. Kui palju erinevad aluste pikkused?
2. 8-meetrine lipumast heidab 11-meetrise varju. Leia päikese tõusunurk.
3. Miks ei piisa täisnurkse kolmnurga lahendamiseks ainult kahe teravnurga teadmisest?

Vastused

Kontroll: kahe teravnurga summa peab olema $90^\circ$ ja hüpotenuus peab jääma pikimaks küljeks.

1. $63^\circ$.
2. 10 cm.
3. $a=12\sin35^\circ\approx6,88$ cm.
4. $\alpha=\arctan\frac47\approx29,7^\circ$.
5. $S=22,5\text{ cm}^2$; väiksem nurk on $\arctan\frac59\approx29,1^\circ$, teine umbes $60,9^\circ$.
6. Erinevus on $6: \tan45^\circ=6$ cm.
7. $\alpha=\arctan\frac8{11}\approx36,0^\circ$.
8. Nurgad määravad kuju, kuid mitte mõõtkava; sama nurgaga kolmnurki saab suurendada või vähendada.

Seosed

Täisnurkse kolmnurga terviklahendus on tasandi- ja ruumiülesannete tööriist. Gümnaasiumis laiendavad siinus- ja koosinusteoreem sama mõtte kolmnurkadele, milles täisnurka ei ole.

Ruumigeomeetria

Mõiste

Ruumigeomeetrias töötame kolmemõõtmeliste kehadega: prismad, püramiidid, silindrid, koonused ja kerad. Neid saab käes hoida, ehitada või joonisel kujutada.

Eeldus: oskad arvutada pindala ja ruumala, kasutada Pythagorase teoreemi ning eristada keha põhja, kõrgust ja külgpinda.

Kolmemõõtmelise keha puhul küsitakse sageli kahte asja:

• pindala: kui suur on keha välispind;
• ruumala: kui palju ruumi keha hõivab või mahutab.

Keha pindala tähendab kogu välispinda kokku, mitte ainult põhja pindala.

Tahukad

Tahukas on keha, mille tahud on hulknurgad. Näiteks kuup, risttahukas, prisma ja püramiid on tahukad.

Prisma ruumala:

$$V=S_p h,$$

kus $S_p$ on põhja pindala ja $h$ on kõrgus.

Püramiidi ruumala:

$$V=\frac13 S_p h.$$

Kuubi erijuht, kui serv on $a$:

$$V=a^3,\qquad S=6a^2.$$

Risttahuka ruumala, kui servad on $a,b,c$:

$$V=abc.$$

Pöördkehad

Pöördkeha tekib siis, kui tasandiline kujund pöörleb ümber sirge. Näiteks ristküliku pöörlemisel tekib silinder, täisnurkse kolmnurga pöörlemisel koonus.

Olulisemad valemid:

Koonuse valemis on $s$ moodustaja ehk külgjoone pikkus.

Lõiked

Lõige on kujund, mis tekib, kui keha mõttes tasandiga läbi lõigata. Lõike kuju sõltub sellest, mis suunast keha lõigata.

Näiteks:

• silindri horisontaalne lõige on ring;
• silindri telglõige on ristkülik;
• koonuse telglõige on võrdhaarne kolmnurk;
• kera iga tasandlõige on ring, kui tasand kera üldse lõikab.

Lõigete ülesannetes aitab kõigepealt joonistada nähtavale tasandiline kujund: sageli muutub ruumiülesanne kolmnurga või ristküliku ülesandeks.

Märgi abijoonisel eraldi pikkused, kõrgused ja otsitav lõik.

Näide

Silindri raadius on 3 cm ja kõrgus 5 cm:

$$V=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi.$$

Kui kuubi serv on 4 cm, siis

$$V=4^3=64\text{ cm}^3,$$

ja pindala on

$$S=6\cdot4^2=96\text{ cm}^2.$$

Kui püramiidi põhja pindala on 30 cm² ja kõrgus 9 cm, siis

$$V=\frac13\cdot30\cdot9=90\text{ cm}^3.$$

Vastus: silindri ruumala on $45\pi$, kuubi ruumala 64 cm³, kuubi pindala 96 cm² ja püramiidi ruumala 90 cm³.

Tüüpviga

Ruumala ja pindala valemid mõõdavad eri asju. Pindala ühik on ruutühik, ruumala ühik kuupühik.

Teine tüüpviga on kasutada püramiidi või koonuse puhul prisma või silindri valemit. Püramiidi ja koonuse ruumala on sama põhja ja kõrgusega prisma või silindri ruumalast kolm korda väiksem:

$$V=\frac13 S_p h.$$

Kolmas tüüpviga on segada koonuse kõrgus ja moodustaja. Kõrgus on risti põhjaga, moodustaja kulgeb mööda külgpinda.

Neljas tüüpviga on lõikeülesandes jätta tasandiline abijoonis tegemata. Sageli peitub ruumiülesandes tavaline täisnurkne kolmnurk.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
2. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ ja $h=10$.
3. Miks kera ruumala valemis on $r^3$?

Rakendus

1. Leia risttahuka ruumala, kui mõõtmed on 2 cm, 5 cm ja 7 cm.
2. Leia püramiidi ruumala, kui põhja pindala on 18 cm² ja kõrgus 12 cm.
3. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ ja $h=8$.

Mõtlemisülesanne

1. Mis kujuga on silindri telglõige?
2. Mis kujuga on kera tasandlõige?
3. Koonusel on raadius 3 cm ja kõrgus 4 cm. Leia moodustaja.
4. Miks tuleb koonuse külgpindala valemis kasutada moodustajat, mitte kõrgust?

Vastused

1. 64 cm³, sest kuubi ruumala on $4^3$.
2. $V=\pi\cdot2^2\cdot10=40\pi$; kui mõõdud on sentimeetrites, siis ühik on $\text{cm}^3$.
3. Ruumala mõõdab kolmemõõtmelist suurust; raadius mõjutab pikkust, laiust ja kõrgust, seega ühik on kuupühik.
4. 70 cm³, sest risttahuka ruumala on $2\cdot5\cdot7$.
5. 72 cm³, sest püramiidi ruumala on kolmandik $S_p h$-st.
6. $24\pi\text{ cm}^3$, sest koonuse ruumala on $\frac13\pi r^2h$.
7. Ristkülik; telglõige läbib silindri telge.
8. Ring, kui tasand kera lõikab.
9. $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
10. Külgpind kulgeb mööda koonuse külge; kõrgus on keha sees põhjaga risti ja ei mõõda külgpinna kallakut.

Seosed

Ruumigeomeetria kasutab pindala, ruumala, Pythagorase teoreemi ja lõikejooniseid. Järgmine ruumigeomeetria peatükk eristab kõrgust, apoteemi ja moodustajat ning ühendab need püramiidi ja pöördkehade arvutustes.

Püramiid ja pöördkehade arvutused

Mõiste

Ruumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.

Eeldus: tunned püramiidi, silindrit, koonust ja kera ning oskad kasutada Pythagorase teoreemi.

Korrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus. See ei ole keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja $s$.

Sfäär on kera pind; kera sisaldab ka sisemust. Silindri telglõige on ristkülik, koonuse telglõige võrdhaarne kolmnurk ja kera suurringi raadius võrdub kera raadiusega.

Näide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:

$$m=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$$

Põhja pindala on $36\text{ cm}^2$. Nelja külgtahu pindala kokku on

$$S_k=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=60\text{ cm}^2.$$

Seega täispindala on 96 cm² ja ruumala

$$V=\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3.$$

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada püramiidi külgtahu pindalas keha kõrgust. Külgtahu kolmnurga kõrgus on apoteem. Teine tüüpviga on panna koonuse ruumala valemisse moodustaja $s$; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust $h$.

Kolmas tüüpviga on jätta täispindalast põhi või teine põhi välja. Silindril on kaks ringikujulist põhja, koonusel üks. Neljas tüüpviga on vastata pindalale kuupühikuga või ruumalale ruutühikuga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhja on silindril ja mitu koonusel?
2. Leia kera pindala, kui $r=3$ cm.
3. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ cm ja $h=5$ cm.

Rakendus

1. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=4$ cm.
2. Koonuse raadius on 5 cm ja kõrgus 12 cm. Leia moodustaja.
3. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja kõrgus 3 cm. Leia apoteem.

Mõtlemisülesanne

1. Leia eelmise püramiidi täispindala ja ruumala.
2. Silindri raadius kahekordistub, kõrgus ei muutu. Mitu korda muutub ruumala?
3. Kumb mahutab rohkem: silinder või sama põhja ja kõrgusega koonus? Mitu korda?

Vastused

1. Silindril kaks, koonusel üks põhi.
2. $4\pi\cdot3^2=36\pi\text{ cm}^2$.
3. $20\pi\text{ cm}^3$.
4. $\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\text{ cm}^3$.
5. $s=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm.
6. $m=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
7. $S=8^2+4\cdot\frac{8\cdot5}{2}=144\text{ cm}^2$; $V=\frac13\cdot64\cdot3=64\text{ cm}^3$.
8. Neli korda, sest ruumala sisaldab tegurit $r^2$.
9. Silinder mahutab kolm korda rohkem; koonuse ruumala on sama $S_p$ ja $h$ korral kolmandik.

Seosed

Ruumiliste kehade arvutused ühendavad tasandiliste kujundite pindala, Pythagorase teoreemi, trigonomeetria ja ühikud. Keerukas ruumiülesanne muutub enamasti lihtsamaks, kui joonistad telglõike või ühe külgtahu eraldi.

Probleemilahendus ja mudelid

Mõiste

Matemaatiline mudel on päriselulise olukorra lihtsustatud kirjeldus: valem, tabel, graafik, võrrand või simulatsioon.

Eeldus: oskad kasutada protsente, võrdeid, lihtsaid võrrandeid ja lineaarfunktsiooni.

Mudelil on sisend ja väljund. Sisend on suurus, mille mudelisse paned; väljund on arvutatud vastus. Täht saab tähenduse alles siis, kui ütled tema rolli ja ühiku.

Andmetest mudelini

Mudeli valik algab eeldusest, mitte valemist: punktid -> tabel, ruumiline olukord -> joonis, tundmatu -> võrrand, napid andmed -> hinnang.

Kontrollküsimused

Enne vastuse lõplikuks lugemist küsi:

• Kas vastasin sellele, mida küsiti?
• Kas ühikud on õiged?
• Kas tulemus on realistlik?
• Kas mudeli eeldused sobivad ka väga väikese või väga suure sisendi korral?
• Kas on vaja ümardada ning kuidas seda päriselus tõlgendada?

Näide

Kui rattalaenutus maksab 4 eurot alustasu ja 3 eurot tunnis, siis

$$y=3x+4.$$

Siin $x$ on sisend ehk tunnid ja $y$ on väljund ehk hind eurodes.

Kui küsitakse, mitu tundi saab sõita 19 euro eest, siis lahendame võrrandi

$$3x+4=19.$$

$$3x=15,$$

$$x=5.$$

Vastus: 19 euro eest saab sõita 5 tundi.

Kontroll:

• ühik on tund;
• $3\cdot5+4=19$;
• vastus on mõistlik, sest alustasu võtab 4 eurot ja ülejäänud 15 eurot katab 5 tundi.

Teine näide

Klass tellib märkmikke. Ühe märkmiku hind on 2,50 eurot ja kohaletoimetamine maksab 6 eurot. Kui tellitakse $n$ märkmikku, siis

$$C=2{,}50n+6.$$

Kui klassis on 24 õpilast ja igaüks saab ühe märkmiku, siis

$$C=2{,}50\cdot24+6=66.$$

Eeldus: tükihind on püsiv ja kohaletoimetamine ühekordne.

Tüüpviga

Mudel ei ole tegelikkus ise. See jätab osa asju välja, seega küsi, millal mudel sobib.

Teine tüüpviga on valida muutujad, aga mitte öelda, mida nad tähendavad. $x$ üksi ei ole piisav; kirjuta “$x$ on tundide arv”.

Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Valem $y=3x+4$ ei ütle ainult arve: $x$ on tunnid ja $y$ on eurod.

Neljas tüüpviga on kasutada mudelit väljaspool mõistlikku piirkonda. Rattalaenutuse valem ei pruugi sobida negatiivse aja, väga pika rendi või päevapileti erihinna korral.

Teine seletusviis

Mudelit saab alustada tabeli, joonise, võrrandi või hinnanguga. Vali kuju, mis teeb seose nähtavaks.

Harjutused

Kitsas fookus: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Lai fookus: nimeta eeldused ja piirangud.

Lihtne kontroll

1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.
2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?

Rakendus

1. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast $t$ minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.
2. Millist eeldust teeb lineaarne mudel $y=3x+4$ rattalaenutuse näites?

Mõtlemisülesanne

1. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.
2. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?
3. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.

Vastused

1. $C=8+0{,}05s$, kus $s$ on sõnumite arv.
2. $C=8+0{,}05\cdot120=14$ eurot.
3. $V=200+15t$, kus $t$ on minutites ja $V$ liitrites.
4. Iga lisatund maksab sama palju ja alustasu on ainult üks kord, seega sobib lineaarmudel.
5. Näiteks: kas ühikud on õiged ja kas vastus on realistlik?
6. Siis, kui muutus ei ole püsiv, näiteks kasv kiireneb või aeglustub.
7. Sisend on tundide arv $x$, väljund on hind $y$; eeldus on, et iga lisatund maksab 3 eurot.

Seosed

Modelleerimine ühendab arvud, algebra, funktsioonid, geomeetria, statistika ja analüüsi. Järgmine peatükk tugevdab mudeli kontrolli: ühikud ja suurusjärk näitavad, kas vastus saab päriselus õige olla.

IX klassi ruutmudeli sild

Mõiste

IX klassis kohtuvad ruutvõrrand ja ruutfunktsioon. Mõlemad kasutavad avaldist kujul

$$ax^2+bx+c.$$

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, arvutada diskriminanti ja lugeda graafikult nullkohti.

Kui mõni neist kolmest oskusest kõigub, korda seda enne ruutmudeli tervikülesannet.

Ruutvõrrand küsib, millal avaldis on null:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Ruutfunktsioon kirjeldab kogu graafikut:

$$y=ax^2+bx+c.$$

Nullkohad on need $x$ väärtused, kus ruutfunktsiooni graafik lõikab $x$-telge; lõikepunktid ise on kujul (x;0).

Enne lahendamist küsi: kas otsin sisendit $x$, mille korral midagi juhtub, või väärtust $y$, mis selle sisendi juures saadakse?

Kui antakse sihtväärtus $y=k$, lahenda võrrand $ax^2+bx+c=k$.

Tekstülesandes tõlgi see tagasi olukorda: nullkoht võib tähendada hetke, kaugust või hinda, kus tulemus saab nulliks.

Diskriminant $D=b^2-4ac$ ütleb nullkohtade arvu: kui $D>0$, on kaks nullkohta; kui $D=0$, on üks kahekordne nullkoht; kui $D<0$, reaalarvulisi nullkohti ei ole.

Näide

Olgu

$$y=x^2-5x+6.$$

Nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi

$$x^2-5x+6=0.$$

Tegurdame:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Seega

$$x=2\quad \text{või}\quad x=3.$$

Graafikul tähendab see, et parabool lõikab $x$-telge punktides (2; 0) ja (3; 0).

Teine kiire kontroll: sama avaldise diskriminant on

$$D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1.$$

Kuna $D>0$, peab olema kaks reaalarvulist nullkohta. See ei anna veel nullkohtade väärtusi, aga kontrollib, et vastuse kuju on mõistlik.

Sama parabooli sümmeetriatelg on nullkohtade keskel:

$$x=\frac{2+3}{2}=2,5.$$

Vastus: nullkohad on 2 ja 3, lõikepunktid (2;0) ja (3;0), sümmeetriatelg $x=2,5$.

Tüüpviga

Tüüpviga on öelda, et ruutvõrrandil on "graafik". Graafik on ruutfunktsioonil. Ruutvõrrandi lahendid on need kohad, kus vastav funktsioon võtab väärtuse 0.

Teine tüüpviga on unustada, et ruutvõrrandil võib olla kaks lahendit, üks lahend või mitte ühtegi reaalarvulist lahendit.

Kolmas tüüpviga on segada ära sisend ja tulemus. Avaldises $y=x^2-5x+6$ valid kõigepealt $x$, arvutad sellest $y$. Nullkoha leidmisel otsid vastupidi, millise $x$ korral tuleb $y=0$.

Neljas tüüpviga on arvata, et kaks nullkohta määravad alati kogu vastuse. Graafiku kuju sõltub ka kordajast $a$ ja haripunktist.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $y=x^2-4$ nullkohad.
2. Mis punktides lõikab eelmise ülesande graafik $x$-telge?
3. Arvuta funktsiooni $y=x^2-5x+6$ väärtus kohal $x=1$.

Rakendus

1. Lahenda $x^2+2x+1=0$.
2. Mitu nullkohta on funktsioonil $y=x^2+2x+1$?
3. Otsusta diskriminandi järgi, mitu nullkohta on funktsioonil $y=x^2+4x+7$.

Mõtlemisülesanne

1. Lahenda süsteem $\begin{cases}y=x+1\\y=5\end{cases}$.
2. Pall liigub kõrgusmudeli $h(t)=-t^2+4t$ järgi, kus $h$ on kõrgus ja $t$ aeg. Millal on pall pärast viskamist maapinnal?
3. Selgita, kuidas süsteem ja nullkoha leidmine on sarnased: mõlemal juhul otsitakse, kus tingimus täitub.
4. Funktsiooni $y=x^2-6x+8$ nullkohad on $2$ ja $4$. Mis on sümmeetriatelje võrrand?

Vastused

1. Nullkohad on $x=-2$ ja $x=2$.
2. Graafikul on need lõikepunktid (-2; 0) ja (2; 0).
3. $1^2-5\cdot1+6=2$, seega punkt on (1; 2).
4. $x=-1$; see on kahekordne nullkoht, sest $(x+1)^2=0$.
5. Üks nullkoht, sest $D=0$ ja parabool puudutab telge.
6. $D=4^2-4\cdot1\cdot7=-12<0$, seega reaalarvulisi nullkohti ei ole.
7. $x=4,\ y=5$; lõikepunkt on (4; 5).
8. Maapinnal tähendab $h=0$: $-t^2+4t=0$, seega $t(4-t)=0$. Lahend $t=0$ on alghetk; pärast viskamist $t=4$ s.
9. Mõlemas pannakse seosele lisatingimus ja otsitakse seda rahuldavad väärtused.
10. $x=3$, sest sümmeetriatelg asub nullkohtade keskel: $\frac{2+4}{2}=3$. Sama keskmise idee aitab hiljem parabooli tipu asukohta kontrollida.

Seosed

See sild valmistab ette eksamikordamist: ruutvõrrand annab arvulised lahendid, ruutfunktsioon aitab näha, mida need lahendid graafikul tähendavad. Järgmine moodul paneb need oskused kokku põhikooli lõpuülesannetes.

IX klassi eksamikordamine

Mõiste

Põhikooli lõpukordamisel ei piisa peatükkide eraldi oskamisest. Eksamilaadne ülesanne seob sageli arvutamise, algebra, funktsiooni, geomeetria ja andmete tõlgendamise.

Eeldus: kordad enne põhivalemeid, ruutvõrrandit, lineaarvõrrandisüsteemi, Pythagorase teoreemi ning protsendi kasutamist.

Hea lahenduskäik näitab:

1. pane kirja, mida otsitakse;
2. vali valem või mudel;
3. tee arvutus;
4. kontrolli, kas vastus sobib olukorraga;
5. kirjuta vastus koos ühikuga, kui ühik on olemas.

Kordamisel küsi: kas see on arvutamise, mudeli valimise või põhjendamise ülesanne?

Kiire võttevalik:

Näide

Silindrikujulise veemahuti raadius on 0,5 m, kõrgus 1,2 m ja mahuti on täidetud 80% ulatuses. Mitu liitrit vett on mahutis?

Kogu ruumala on

$$V=\pi r^2h=\pi\cdot0,5^2\cdot1,2=0,3\pi\approx0,942\text{ m}^3.$$

Vett on

$$0,8\cdot0,942\approx0,754\text{ m}^3\approx754\text{ l}.$$

Vastus: mahutis on ligikaudu 754 liitrit vett. Lahendus ühendab ruumala, protsendi, ümardamise ja ühikute teisendamise.

Tüüpviga

Tüüpviga on lahendada ainult esimene nähtav tehe. Kui ülesandes küsitakse kahte suurust, näiteks pindala ja ümbermõõtu, tuleb mõlemad eraldi leida.

Teine tüüpviga on jätta ruutvõrrandi lahenditest sobimatu vastus välja valimata. Kui vastus kirjeldab pikkust, peab see olema positiivne.

Kolmas tüüpviga on kaotada ühikud lahenduse keskel. Kui arvutad pindala, ruumala, kiirust või protsenti, märgi ühik vähemalt lõppvastuses kindlalt.

Neljas tüüpviga on vastata arvuga, aga mitte küsimusele. Kui küsitakse "mitu protsenti suurenes", ei piisa uuest väärtusest.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $\sqrt{75}$.
2. Lahenda $x^2-5x+6=0$.
3. Lihtsusta $\frac{x^2-9}{x-3}$ ja kirjuta tingimus.

Rakendus

1. Leia funktsiooni $y=x^2-4x+3$ nullkohad ja haripunkt.
2. Lahenda süsteem $\begin{cases}x+y=11\\x-y=3\end{cases}$.
3. Kotis on 5 sinist ja 3 punast kuuli. Leia punase kuuli tõenäosus.
4. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus 10 cm ja teravnurk $35^\circ$. Leia nurga vastaskaatet.

Mõtlemisülesanne

1. Koonuse raadius on 3 cm ja kõrgus 4 cm. Leia moodustaja ning ruumala.
2. Pall liigub mudeli $h(t)=-5t^2+20t$ järgi. Millal on pall pärast viskamist maapinnal tagasi?
3. Kas väite "kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga" tõestamiseks piisab ühest näitest? Põhjenda.

Vastused

1. $\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3$.
2. $(x-2)(x-3)=0, seega $x=2$ või $x=3$.
3. $x+3$, kuid $x\ne3$.
4. Nullkohad on 1 ja 3; $x_h=2$, $y_h=-1$, seega haripunkt (2;-1).
5. Liites võrrandid saad $2x=14$, seega $x=7$ ja $y=4$.
6. $\frac38=0,375=37,5\%$.
7. $10\sin35^\circ\approx5,74$ cm.
8. Moodustaja on $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm; $V=\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\text{ cm}^3$.
9. $-5t(t-4)=0$; pärast alghetke on vastus $t=4$ s.
10. Ei piisa. Üldiselt saab arvu kirjutada kujul $6k=3\cdot2k$, mistõttu ta jagub 3-ga.

Lõpukontroll

Enne eksamit kontrolli iga segatüüpi ülesande juures:

1. Kas kirjutasid, mida otsitakse?
2. Kas valitud valem või võrrand vastab olukorrale?
3. Kas jätsid välja sobimatud lahendid, näiteks negatiivse pikkuse?
4. Kas lõppvastuses on ühik või protsendimärk, kui seda on vaja?

Ühe lausega kontroll: kui vastus panna algsesse olukorda tagasi, peab ülesande tekst jääma loogiliseks.

Seosed

See kordamine seob põhikooli lõpuks algebra, funktsioonid, geomeetria ja andmed üheks lahendusoskuseks. Gümnaasiumi sillad ehitavad sellele täpsema tõestamise, trigonomeetria ja funktsioonide analüüsi.