Astmed, juured ja standardkuju

Mõiste

Aste $a^n$ tähendab, et arvu $a$ korrutatakse iseendaga $n$ korda. Ruutjuur $\sqrt a$ on arv, mis ruutu tõstes annab $a$; märgi $\sqrt{\ }$ all peetakse silmas positiivset või nulliga võrdset vastust.

Eeldus: oskad korrutada, jagada, töötada negatiivsete arvudega ning lugeda kümnendmurde kohaväärtuste järgi.

VII klassi põhitee on naturaalarvulise astendajaga aste, tehete järjekord, arvu kümme positiivsed ja negatiivsed astmed ning standardkuju. Ruutjuur ja üldine negatiivne astendaja on siin edasivaade, mida kasutatakse järgmistes klassides rohkem.

Reeglid

Standardkuju:

$$a\cdot10^n,\qquad 1\le a<10.$$

Standardkujus on arv kirjutatud nii, et esimene tegur on vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Astendaja näitab, mitu kohta koma liigub.

Kümne astendaja annab suurusjärgu: $10^7$ tähendab kümneid miljoneid, $10^{-4}$ väga väikest arvu.

Standardkuju leidmiseks:

1. Nihuta koma nii, et ette jääb arv vahemikus $1$ kuni $10$.
2. Loe, mitu kohta koma nihkus.
3. Kui algne arv oli suur ja koma liikus vasakule, on astendaja positiivne.
4. Kui algne arv oli väike ja koma liikus paremale, on astendaja negatiivne.

Näide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Siin liigub koma 5 kohta paremale, sest astendaja on positiivne. Kui astendaja oleks negatiivne, liiguks koma vasakule:

$$3,08\cdot10^{-5}=0,0000308.$$

Kontrollküsimus standardkuju puhul: kas vastus on algse arvuga sama suurusjärku? Näiteks $0,00045$ on väga väike arv, seega peab standardkujus olema negatiivne kümne astendaja.

Juurte näide:

$$\sqrt{49}=7,\qquad \sqrt{0,25}=0,5.$$

Vastus: $0,00045=4,5\cdot10^{-4}$, $72\,000\,000=7,2\cdot10^7$, $\sqrt{49}=7$.

Tüüpviga

Negatiivne astendaja ei tee arvu negatiivseks:

$$10^{-3}=0,001.$$

Ruutjuure märk $\sqrt a$ annab positiivse või nulliga võrdse ruutjuure:

$$\sqrt{16}=4,$$

mitte $\pm4$. Võrrandil $x^2=16$ on aga kaks lahendit: $x=4$ ja $x=-4$.

Standardkujus on tavaline komaviga panna astendajale vale märk:

$$0,00082\ne8,2\cdot10^4.$$

Õige on

$$0,00082=8,2\cdot10^{-4}.$$

Kui korrutad arvuga $10^4$, muutub arv suuremaks. Väikese arvu kirjeldamiseks peab siin olema $10^{-4}$.

Teine tüüpviga on jätta esimene tegur standardkujus liiga suureks:

$$72\cdot10^6$$

ei ole standardkuju, sest $72$ ei ole väiksem kui $10$. Standardkuju on

$$7,2\cdot10^7.$$

Kolmas tüüpviga on sulud ära jätta negatiivse arvu astendamisel:

$$(-3)^2=9,\qquad -3^2=-9.$$

Esimeses avaldises tõstetakse ruutu kogu arv -3; teises avaldises tõstetakse ruutu ainult 3 ja miinus jääb ette.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $2^5\cdot2^3$.
2. Lihtsusta $\frac{7^6}{7^2}$.
3. Kirjuta standardkujus $0,00082$.
4. Kirjuta tavakujus $6,4\cdot10^3$.

Rakendus

1. Leia $\sqrt{81}$.
2. Kirjuta standardkujus $53\,000\,000$.
3. Kirjuta standardkujus $0,000031$.
4. Arvuta $(-4)^2$ ja $-4^2$.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjuta tavakujus $4,7\cdot10^{-3}$.
2. Paranda viga: $0,006=6\cdot10^3$.
3. Miks $18,2\cdot10^5$ ei ole standardkuju?
4. Maa läbimõõt on ligikaudu $12\,700$ km. Kirjuta see standardkujus.

Vastused

1. $2^8=256$, sest sama alusega astmete korrutamisel astendajad liituvad.
2. $7^4$, sest jagamisel astendajad lahutuvad: $6-2=4$.
3. $8,2\cdot10^{-4}$, sest koma liigub arvuni 8,2 neli kohta paremale.
4. $6400$, sest $10^3$ nihutab koma kolm kohta paremale.
5. $9$, sest $9^2=81$.
6. $5,3\cdot10^7$, seega arv on kümnete miljonite suurusjärgus.
7. $3,1\cdot10^{-5}$, sest arv on väiksem kui üks ja koma liigub 5 kohta paremale.
8. $(-4)^2=16$, aga $-4^2=-16$; sulud näitavad, kas ruutu tõstetakse ka miinus.
9. $0,0047$, sest $10^{-3}$ nihutab koma kolm kohta vasakule.
10. Õige on $0,006=6\cdot10^{-3}$, sest algne arv on väike.
11. Esimene tegur peab olema vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Õige standardkuju on $1,82\cdot10^6$.
12. $1,27\cdot10^4$ km, suurusjärk on kümned tuhanded kilomeetrid.

Seosed

Astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks $\sqrt2$ kaudu.

Muutuja ja avaldis

Mõiste

Muutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.

Tekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses "$p$ on pileti hind eurodes" on $p$ arv ja euro on ühik.

Erista kolme asja: täht on muutuja nimi, asendatav arv on muutuja väärtus ja ühik ütleb, mida see arv mõõdab.

Eeldus: oskad tehete järjekorda, negatiivsete arvudega arvutamist ja lihtsat tekstülesannet arvutuseks tõlkida.

Avaldises ei pea olema võrdusmärki. Võrrand tekib siis, kui kaks avaldist pannakse võrduma.

Avaldise väärtuse leidmiseks asenda muutujad antud arvudega ja järgi tehete järjekorda.

Asendamisel tee kolm sammu:

1. kirjuta avaldis ümber nii, et muutujate asemele tulevad sulgudes arvud;
2. arvuta astmed, sulud ja korrutised;
3. lõpuks liida ja lahuta.

Näide

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Kui $a=4$ ja $b=7$, siis

$$S=4\cdot7=28.$$

Avaldise väärtus:

$$2x+3y$$

kui $x=5$ ja $y=-2$, on

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4.$$

Mitmeastmeline asendamine:

$$3x^2-2y+4$$

kui $x=-2$ ja $y=5$, on

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot5+4=3\cdot4-10+4=12-10+4=6.$$

Pane tähele, et negatiivne arv pannakse astme korral sulgudesse: $(-2)^2=4$.

Vastus: ristküliku pindala on 28, avaldise $2x+3y$ väärtus on 4 ja avaldise $3x^2-2y+4$ väärtus on 6.

Kontroll: asendamisel pannakse negatiivne arv sulgudesse, et aste rakenduks kogu arvule, mitte ainult numbrile 2.

Lihtsustamine

Sarnaseid liikmeid saab koondada:

$$3x+5x=8x.$$

Sarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:

$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$

Sulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Kui sulgude ees on miinusmärk, muutuvad märgid:

$$-(x-4)=-x+4.$$

Mitmeastmeline lihtsustamine:

$$2(x+3)-4x+5(x-1).$$

Kõigepealt ava sulud:

$$2x+6-4x+5x-5.$$

Seejärel koonda sarnased liikmed:

$$2x-4x+5x+6-5=3x+1.$$

Kui avaldises on mitu muutujat, koonda iga tüüpi liikmed eraldi:

$$4a-3b+2a+7b-5=6a+4b-5.$$

Tüüpviga

Avaldis $3x$ tähendab $3\cdot x$, mitte arvu, mille kümneliste number on 3.

Teine tüüpviga on koondada mittesarnaseid liikmeid:

$$3x+5\ne8x.$$

Kolmas tüüpviga on sulgude avamisel korrutada ainult esimest liiget:

$$2(x+5)\ne2x+5.$$

Õige on

$$2(x+5)=2x+10.$$

Neljas tüüpviga on kaotada asendamisel negatiivse arvu sulud:

$$x^2\text{ kui }x=-3\quad\text{on}\quad(-3)^2=9,$$

mitte $-3^2=-9$.

Viies tüüpviga on koondada ainult kordajad ja unustada muutujad:

$$2a+3b$$

ei lihtsustu kujule $5ab$. Need ei ole sarnased liikmed.

Teine seletusviis

Muutuja on nagu tühi koht lauses. Enne arvutamist ütle see lause välja: "$x$ tähendab ...".

Tekstist avaldiseks minnes küsi, mis kordub ja mis lisandub üks kord. Kui teenustasu lisandub kogu ostule, on 4 pileti hind $4p+2$; kui teenustasu lisandub iga pileti juurde, on hind $4(p+2)$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia avaldise $4x-3$ väärtus, kui $x=5$.
2. Leia avaldise $2a+b$ väärtus, kui $a=-1$ ja $b=7$.
3. Lihtsusta $6x+2x-5$.
4. Lihtsusta $3y^2+4y-y^2$.

Rakendus

1. Ava sulud ja lihtsusta $2(x-3)+5x$.
2. Leia avaldise $3x^2-2x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $4(a+2)-3a+5$.

Mõtlemisülesanne

1. Lihtsusta $2x-3y+5x+7y-4$.
2. Ava sulud ja lihtsusta $5-(2x-3)$.
3. Leia avaldise $ab+2a-b$ väärtus, kui $a=3$ ja $b=-4$.
4. Pilet maksab $p$ eurot ja teenustasu on 2 eurot. Kirjuta avaldis 4 pileti koguhinna jaoks.
5. Kirjuta avaldis 4 pileti hinna jaoks, kui 2-eurone teenustasu lisandub iga pileti juurde eraldi.

Vastused

1. $17$, sest $4\cdot5-3=17$.
2. $5$, sest $2\cdot(-1)+7=5$.
3. $8x-5$, sest koondada saab ainult $x$-liikmed.
4. $2y^2+4y$, sest $y^2$ ja $y$ ei ole sarnased liikmed.
5. $2x-6+5x=7x-6$, sest sulgude ees olev 2 korrutab mõlemat liiget.
6. $3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)+1=12+4+1=17$, sest negatiivne arv pannakse astme jaoks sulgudesse.
7. $4a+8-3a+5=a+13$, sest $a$-liikmed ja arvliikmed koondatakse eraldi.
8. $7x+4y-4$, sest $x$-liikmed ja $y$-liikmed koondatakse eraldi.
9. $5-2x+3=8-2x$, sest miinus sulgude ees muudab märgid.
10. $3\cdot(-4)+2\cdot3-(-4)=-12+6+4=-2$.
11. $4p+2$, kui teenustasu lisandub kogu ostule ühe korra.
12. $4(p+2)$, sest iga pileti hinnale lisandub 2 eurot.

Seosed

Avaldised on võrrandite, funktsioonide ja valemite keel. Järgmises peatükis kasutatakse avaldisi juba võrduste ja võrratuste koostamiseks.

Võrrandid ja võrratused

Mõiste

Võrrandis otsime tundmatu väärtust, mis teeb võrduse tõeseks. Võrratus kirjeldab, millal üks avaldis on teisest suurem või väiksem.

Eeldus: oskad lihtsustada avaldisi, töötada negatiivsete arvudega ja kontrollida vastust asendamisega.

Lahendihulk on kõigi lahendite hulk. Näiteks kui võrrandi ainus lahend on $5$, siis lahendihulk on

$$L=\{5\}.$$

Võrrand võib anda ühe arvu; võrratus annab sageli terve piirkonna arvteljel.

Võrratusel võib olla lõpmatult palju lahendeid. Näiteks $x>3$ tähendab kõiki arve, mis on suuremad kui $3$.

Tekstülesande muutmine võrrandiks:

1. vali tundmatu ja ütle, mida see tähendab;
2. kirjuta tekstist avaldised;
3. pane avaldised võrrandisse või võrratusse;
4. lahenda;
5. kontrolli vastust algses olukorras.

Tekstülesandes peab vastus sobima ühiku ja piiranguga: inimeste arv ei saa olla 2,5 ning pikkus ei saa olla negatiivne.

Reegel

Võrrandi mõlemal poolel võib teha sama tehte. Võrratuse puhul pöördub märk, kui korrutada või jagada negatiivse arvuga.

Näiteks:

$$-2x<6.$$

Jagame mõlemad pooled arvuga $-2$. Kuna jagame negatiivse arvuga, pöördub märk:

$$x>-3.$$

Näide

$$3x-5=10$$

$$3x=15$$

$$x=5.$$

Kontroll:

$$3\cdot5-5=15-5=10.$$

Seega

$$L=\{5\}.$$

Võrratuse näide:

$$4-3x\le 13$$

$$-3x\le9$$

$$x\ge-3.$$

Kontrollime lahendihulka prooviväärtustega. Kui $x=-3$, siis

$$4-3\cdot(-3)=13,$$

seega piirpunkt sobib, sest märk on $\le$. Kui $x=0$, siis

$$4-3\cdot0=4\le13,$$

sobib. Kui $x=-4$, siis

$$4-3\cdot(-4)=16,$$

ei sobi, sest $16\le13$ on väär. See kinnitab, et lahendihulk on kõik arvud, mille korral $x\ge-3$.

Tekstülesande mudel

Kinopilet maksab 6 eurot ja broneerimistasu on 2 eurot. Kui palju pileteid saab osta, kui raha on kuni 32 eurot?

Olgu $x$ piletite arv. Kulu on

$$6x+2.$$

Kuna raha võib kuluda kuni 32 eurot, saame võrratuse

$$6x+2\le32.$$

Lahendame:

$$6x\le30,$$

$$x\le5.$$

Kuna piletite arv peab olema täisarv ja mitte negatiivne, saab osta kuni 5 piletit.

Tüüpviga

Võrrandi lahend peab sobima algsesse võrrandisse. Kontroll asendamisega aitab vigu leida.

Võrratuse kõige sagedasem viga on märgi pööramata jätmine negatiivsega korrutamisel või jagamisel:

$$-x<4 \quad \Longrightarrow \quad x>-4.$$

Teine tüüpviga on kontrollida võrratust ainult ühe sobiva arvuga. Kui saad $x>-4$, kontrolli ühte arvu lahendihulgast ja ühte väljastpoolt. Siis näed, kas suund on õige.

Kolmas tüüpviga on tekstülesandes unustada piirangud. Kui $x$ loendab inimesi või pileteid, siis $x$ peab olema täisarv ja $x\ge0$.

Neljas tüüpviga on piirpunkti valesti kaasata. $x\ge4$ sisaldab arvu $4$, aga $x>4$ ei sisalda.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Võrrandit saab näha tasakaaluna, arvulise kontrollina ja algebraliselt samade tehete tegemisena mõlemal poolel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x+7=15$.
2. Lahenda $5x-3=2x+9$.
3. Lahenda $x+4>10$.
4. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

1. Kontrolli, kas $x=4$ on võrrandi $3x-2=10$ lahend.
2. Lahenda $7-2x<15$ ja kontrolli lahendihulka kahe prooviväärtusega.
3. Tekstülesanne: vihik maksab 2 eurot ja pliiats 1 euro. Kui ostetakse $x$ vihikut ja üks pliiats ning kulub 11 eurot, leia $x$.
4. Tallinna klassiekskursiooni eelarves arvestatakse õpilase kinopiletiks 6 eurot ja joogipudeliks 2 eurot. Kui kulus 26 eurot ning osteti $x$ piletit ja üks joogipudel, leia $x$.

Mõtlemisülesanne

1. Tekstülesanne: bussipilet maksab 3 eurot. Sul on 20 eurot. Mitu piletit saad kõige rohkem osta?
2. Lahenda $4x+1\ge 2x+9$.
3. Kontrolli, kas $x=-5$ kuulub võrratuse $-2x\le8$ lahendihulka.
4. Lahenda $2x-5<3$ ja otsusta, kas $x=4$ kuulub lahendihulka.

Vastused

1. $x=4$, $L=\{4\}$.
2. $3x=12$, seega $x=4$ ja $L=\{4\}$.
3. $x>6$.
4. $x\ge-4$, sest negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk pöördub.
5. Jah, sest $3\cdot4-2=10$.
6. $-2x<8$, seega $x>-4$. Näiteks $x=0$ sobib: $7<15$; $x=-5$ ei sobi: $17<15$ on väär.
7. $2x+1=11$, seega $x=5$; vastus sobib, sest vihikute arv on täisarv.
8. $6x+2=26$, seega $x=4$; vastus sobib, sest piletite arv on täisarv.
9. $3x\le20$, seega $x\le\frac{20}{3}$. Kõige rohkem saab osta 6 piletit, sest 6 piletit maksab 18 eurot ja 7 piletit maksaks 21 eurot.
10. $2x\ge8$, seega $x\ge4$; kontrolliks $x=4$ teeb pooled võrdseks.
11. Ei. $-2\cdot(-5)=10$ ja $10\le8$ on väär.
12. $2x<8$, seega $x<4$. Arv $4$ ei kuulu lahendihulka, sest märk on range.

Seosed

Võrrandid on tekstülesannete, funktsioonide nullkohtade ja geomeetriliste mudelite tööriist. Järgmistes algebra peatükkides lahendatakse neid avaldiste teisendamise, hulkliikmete ja tegurdamise abil.

Hulkliikmed ja tegurdamine

Mõiste

Hulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises

$$3x^2-5x+7$$

on kolm liiget: $3x^2$, $-5x$ ja $7$. Liikme ees olev arv on kordaja; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.

Eeldus: oskad avada sulge, koondada sarnaseid liikmeid ja kasutada astmete põhireegleid.

Hulkliikme väärtuse leidmiseks asenda muutuja etteantud arvuga. Kui $P(x)=3x^2-5x+7$, siis

$$P(-2)=3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+7=29.$$

Tegurdamine tähendab avaldise kirjutamist korrutisena. See on sulgude avamise vastassuunaline võte.

Tegurdamine ei muuda avaldise väärtust, vaid kuju: sama avaldis kirjutatakse nii, et tegurid oleksid nähtavad.

Põhitehted

Hulkliikmete liitmisel ja lahutamisel ava sulud ning koonda ainult sarnased liikmed:

$$\begin{aligned} (3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)&=4x^2+3x-3,\\ (3x^2-2x+1)-(x^2+5x-4)&=2x^2-7x+5. \end{aligned}$$

Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.

Üksliikmega korrutamisel korruta sellega hulkliikme iga liige:

$$3x(2x^2-x+4)=6x^3-3x^2+12x.$$

Hulkliikme jagamisel üksliikmega jaga iga liige eraldi. Jagaja ei tohi olla null:

$$\frac{12x^3-8x^2+4x}{4x}=3x^2-2x+1,\qquad x\ne0.$$

Kahe hulkliikme korrutamisel korruta esimese hulkliikme iga liige teise iga liikmega ning koonda tulemus:

$$\begin{aligned} (x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\ &=x^2-x-6. \end{aligned}$$

Abivalemid

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Korrutamisel kasutatakse samu valemeid teises suunas. Näiteks

$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$

Tegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Tegurdamise valik

Alusta tegurdamisel sellest järjekorrast:

1. Kas kõigil liikmetel on ühine tegur?
2. Kas avaldis sobib mõne abivalemiga?

Valikupuu tabelina:

Pärast tegurdamist kontrolli korrutades, kas saad algse avaldise tagasi.

Ühine tegur:

$$6x^2+9x=3x(2x+3).$$

Näide

Lihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel $x=2$:

$$\begin{aligned} 2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\ &=x^2+10x. \end{aligned}$$

Algne avaldis annab $x=2$ korral $24, lihtsustatud avaldis samuti $4+20=24$.

Jagamise näide:

$$\frac{15x^3+10x^2-5x}{5x}=3x^2+2x-1,\qquad x\ne0.$$

Tegurdamise näide:

$$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5).$$

Täisruudu näide:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Abivalemi äratundmine:

$$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5).$$

Täisruudu kontroll:

$$4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x+3)^2.$$

Vastus: lihtsustatud avaldis on $x^2+10x$, jagatis $3x^2+2x-1$ ning tegurdatud kujud $(x-5)(x+5)$, $(x-5)^2`, `$(3x-5)(3x+5) ja $(2x+3)^2$.

Tüüpviga

$$(a+b)^2\ne a^2+b^2.$$

Keskmine liige $2ab$ ei tohi kaduda.

Teine tüüpviga on muuta miinusmärgiga sulgude avamisel ainult esimese liikme märki:

$$5x-(2x-3)=5x-2x+3=3x+3.$$

Kolmas tüüpviga on jagada üksliikmega ainult hulkliikme esimene liige. Jagada tuleb iga liige.

Neljas tüüpviga on ühise teguri välja võtmisel mõni liige vahele jätta. Näiteks

$$4x^2+8x=4x(x+2),$$

mitte $4x(x)+8x$.

Viies tüüpviga on ruutude vahe valemit kasutada plussmärgiga:

$$x^2+25$$

ei tegurdu reaalarvudes kujule $(x-5)(x+5), sest see annaks $x^2-25$.

Pärast tegurdamist korruta tegurid kontrolliks lahti. Kui sa ei saa algset avaldist tagasi, on tegurdamises viga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Nimeta hulkliikme $4x^2-3x+8$ liikmed ja nende kordajad.
2. Arvuta $2x^2-3x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-5)$.
4. Korruta $3x(2x^2-x+4)$.

Rakendus

1. Jaga $(12x^3-8x^2+4x):(4x)$, kus $x\ne0$.
2. Korruta $(x+4)(x-2)$.
3. Ava sulud abivalemiga: $(x-5)^2$.
4. Tegurda $5x^2+10x$.

Mõtlemisülesanne

1. Tegurda $9x^2-1$.
2. Tegurda $x^2-14x+49$.
3. Ristküliku küljed on $x+2$ ja $x+5$. Avalda selle pindala hulkliikmena.
4. Selgita valemi $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ geomeetrilist tähendust ruudu pindalade abil.

Vastused

1. Liikmed on $4x^2$, $-3x$ ja $8$; kordajad on vastavalt 4, -3 ja 8.
2. $2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+1=15$.
3. $3x^2-2x+1-x^2-4x+5=2x^2-6x+6$.
4. $6x^3-3x^2+12x$.
5. $3x^2-2x+1$, sest iga liige jagatakse $4x$-ga.
6. $x^2+2x-8$.
7. $x^2-10x+25$.
8. $5x(x+2)$, sest ühine tegur on $5x$.
9. $(3x-1)(3x+1)$, sest see on ruutude vahe.
10. $(x-7)^2$, sest avaldis on täisruutkolmliige.
11. $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$.
12. Küljega $a+b$ ruut jaguneb ruuduks pindalaga $a^2$, ruuduks pindalaga $b^2$ ja kaheks ristkülikuks pindalaga $ab$.

Seosed

Hulkliikmete põhitehted ja abivalemid valmistavad ette 9. klassi ruutvõrrandi ning ruutfunktsiooni. Üldise ruutkolmliikme tegurdamine ja nullkorrutise abil võrrandi lahendamine kuuluvad järgmisse õpitee ossa.

VIII klassi funktsiooni sild

Mõiste

Funktsioon kirjeldab, kuidas üks suurus sõltub teisest. VIII klassis näe seost neljal kujul:

Eeldus: oskad koostada avaldist, lahendada lihtsat võrrandit ja märkida punkte koordinaatteljestikule.

Võrrand küsib "millal on väärtus kindel?", funktsioon "kuidas väärtus muutub?".

Kontrollküsimus: kas iga sisendi kohta tekib täpselt üks väljund? Kui jah, on seos funktsioon.

Lineaarfunktsioonis $y=ax+b$ näitab $a$, kui kiiresti väärtus muutub, ja $b$ algväärtust.

Näide

Jalutaja liigub kiirusega 4 km tunnis. Teepikkus sõltub ajast:

$$s=4t.$$

Tabel:

Iga veerg annab graafikule ühe punkti samades ühikutes.

Kui küsitakse, millal teepikkus on 20 km:

$$4t=20,$$

$$t=5.$$

Vastus: 20 km saavutatakse 5 tunniga; muutumise kiirus on 4 km/h ja algväärtus 0 km.

Tüüpviga

Tüüpviga on segada sisend ja väljund. Aeg $t$ on sisend, teepikkus $s$ on väljund. Kui vahetad need ära, muutub ka tähendus.

Teine tüüpviga on joonistada graafik ilma telgede nimetusteta. Teljed peavad näitama, mis suurusi võrreldakse.

Kolmas tüüpviga on lugeda graafikult ainult üks punkt. Funktsioonis on tähtis kogu seos.

Neljas tüüpviga on ajada segi $a$ ja $b$ valemis $y=ax+b$: $a$ pole algväärtus, vaid muutus ühe sisendiühiku kohta.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Koosta tabel valemile $y=2x+1$, kui $x=0,1,2,3$.
2. Kui $y=2x+1$, leia $y$, kui $x=5$.

Rakendus

1. Kui $y=2x+1$ ja $y=15$, leia $x$.
2. Bussipilet maksab 2 eurot. Kirjuta valem $n$ pileti hinna kohta.

Mõtlemisülesanne

1. Sama valemi põhjal leia 7 pileti hind.
2. Kirjuta ühe lausega, mis vahe on võrrandil ja funktsioonil.
3. Kas seos "õpilasele vastab tema sünnikuu" on funktsioon? Põhjenda.
4. Kas seos "kuupäevale vastavad kõik selle päeva sünnipäevalapsed klassis" on alati funktsioon? Põhjenda.
5. Tabelis on punktid (0;3), (1;5), (2;7). Kirjuta valem kujul $y=ax+b$.
6. Valemis $y=4x-1$ nimeta muutumise kiirus ja algväärtus.

Vastused

1. Kui $x=0,1,2,3$, siis $y=1,3,5,7$.
2. $11$.
3. $x=7$.
4. $h=2n$.
5. 7 pileti hind on 14 eurot.
6. Võrrand otsib tundmatut kindlas olukorras, funktsioon kirjeldab muutuvat seost.
7. Jah, igal õpilasel on üks sünnikuu.
8. Mitte tingimata, sest samal kuupäeval võib olla mitu õpilast või mitte ühtegi.
9. $y=2x+3$, sest muutus on 2 ja algväärtus 3.
10. Muutumise kiirus on 4 ja algväärtus on -1.

Valmisolek võrrandisüsteemideks

Enne kahe tundmatuga võrrandisüsteeme kontrolli viit oskust:

1. Kas oskad tabelist valemi leida, kui muutus on ühtlane?
2. Kas eristad muutumise kiirust ja algväärtust?
3. Kas oskad graafiku teljed nimetada?
4. Kas saad funktsiooni väärtusest koostada võrrandi?
5. Kas oskad tekstülesandes öelda, mis on sisend ja mis väljund?

Segakontroll: kohviku kuukaart maksab 5 eurot ja iga lõuna 3 eurot. Kirjuta valem $y=3x+5$ tähendus sõnadega, leia hind 8 lõuna korral ning leia, mitu lõunat saab 29 euro eest.

Vastus: $x$ on lõunate arv ja $y$ kogukulu eurodes; 8 lõuna korral $y=29$; 29 euro eest saab 8 lõunat.

Seosed

Funktsiooni sild ühendab tekstülesande, tabeli, valemi ja graafiku. Järgmises peatükis kujutab kumbki kahe tundmatuga lineaarvõrrand üht sirget ning süsteemi lahend on nende ühine punkt. Ruutmudel ja parabool tulevad põhiteemana 9. klassis.

Lineaarvõrrandisüsteemid

Mõiste

Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.

Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrrandeid, teisendada sirge võrrandit ja lugeda koordinaate.

Enne lahendamist kirjuta, mida $x$ ja $y$ tähistavad ning mis ühikus. Alles siis vali võte.

Võtted:

Võtte valik:

Graafiline lahendus aitab mõista. Ebatäpse joonise korral leia täpne vastus algebra abil.

Lõikepunkt sobib mõlemasse võrrandisse.

Näide

Geomeetriline tähendus

Kahe muutujaga lineaarvõrrand on sirge; süsteemi lahend on sirgete lõikepunkt.

Lõikuvatel sirgetel on üks lahend, paralleelsetel sirgetel lahend puudub ja kokkulangevatel sirgetel lahendeid lõpmata palju.

Süsteemi

lõikepunkti saab leida paremaid pooli võrdsustades:

$$x+1=-x+5$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

Siis $y=2+1=3$; lahend on (2;3).

Asendusvõte

Süsteem

Esimene võrrand annab $y$, seega asendame selle teise võrrandisse:

$$x+(2x+1)=10$$

$$3x+1=10$$

$$x=3.$$

Siis

$$y=2\cdot3+1=7.$$

Lahend on (3;7).

Liitmisvõte

Süsteem

sobib liitmisvõtteks pärast ettevalmistust. Korrutame teise võrrandi arvuga 3, et $y$ kordajad oleksid vastandarvud:

Liidame:

$$8x=36,$$

$$x=4,5.$$

Asendame algsesse võrrandisse:

$$2\cdot4,5-y=6,$$

$$9-y=6,$$

$$y=3.$$

Lahend on (4,5;3).

Vastus: näidete lahendid on (2;3), (3;7) ja (4,5;3).

Tüüpviga

Kui sirged on paralleelsed, ei ole süsteemil lahendit. Kui võrrandid kirjeldavad sama sirget, on lahendeid lõpmata palju.

Teine tüüpviga on leida $x$, aga jätta $y$ arvutamata. Süsteemi lahend on arvupaar, mitte üks arv.

Kolmas tüüpviga on kontrollida lahendit ainult ühes võrrandis.

Neljas tüüpviga on graafikult ligikaudne lõikepunkt lugeda täpseks vastuseks. Kui joonis on ebatäpne, kontrolli vastust algebra abil.

Viies tüüpviga on asendus- või liitmisvõttes muuta ainult ühte poolt. Kui korrutad võrrandit ettevalmistuseks arvuga, korruta kõik liikmed läbi.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda süsteem x+y=8, x-y=2.
2. Mida tähendab graafiliselt lahend (3; 5)?
3. Too näide süsteemist, millel lahend puudub.
4. Lahenda asendusvõttega: $y=x+4$, $x+y=12$.

Rakendus

1. Millal on süsteemil lõpmata palju lahendeid?
2. Lahenda liitmisvõttega: $x+y=9$, $x-y=1$.
3. Lahenda asendusvõttega: $y=3x-2$, $x+y=10$.

Mõtlemisülesanne

1. Kontrolli, kas (2;3) on süsteemi $y=x+1$, $y=-x+5$ lahend.
2. Milline võte sobib hästi süsteemile $2x+y=7$, $y=5-x$? Põhjenda.
3. Too näide süsteemist, millel on lõpmata palju lahendeid.
4. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=10$. Mitu lahendit on?
5. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=12$. Mitu lahendit on?

Vastused

1. $x=5$, $y=3$; kontroll: $5+3=8$ ja $5-3=2$.
2. See on kahe sirge lõikepunkt ja arvupaar, mis sobib mõlemasse võrrandisse.
3. Näiteks $y=x+1$ ja $y=x+3$.
4. $x+(x+4)=12$, seega $x=4$ ja $y=8$; arvupaar (4;8) sobib mõlemasse võrrandisse.
5. Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad sama sirget.
6. Lahenduskäik: liida võrrandid $x+y=9$ ja $x-y=1$, siis $2x=10$ ja $x=5$. Asendades saad $5+y=9$, seega $y=4$.
7. Lahenduskäik: asenda $y=3x-2$ teise võrrandisse: $x+3x-2=10$, seega $x=3$. Siis $y=7$; kontroll: $3+7=10$.
8. Jah, sest arvupaar (2;3) annab mõlemas võrrandis tõese võrduse: $3=2+1$ ja $3=-2+5$.
9. Asendusvõte, sest teine võrrand annab kohe $y=5-x$.
10. Näiteks $y=2x+1$ ja $2y=4x+2$, sest need kirjeldavad sama sirget.
11. Teine võrrand on esimese kahekordne, seega kirjeldavad need sama sirget. Lahendeid on lõpmata palju.
12. Vasak pool on esimese võrrandi kahekordne, aga parem pool peaks siis olema $10$, mitte $12$. Lahend puudub.

Seosed

Süsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.

Võrrandisüsteemide tekstülesanded

Mõiste

Tekstülesandes ei ole süsteem ette antud: see tuleb olukorrast ise koostada. Kahe tundmatu kasutamine sobib siis, kui otsitakse kaht seotud suurust ja tekst annab nende kohta kaks sõltumatut seost.

Eeldus: oskad lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi ning kontrollida arvupaari mõlemas võrrandis.

Tööjärjekord:

1. nimeta tundmatud koos ühikutega;
2. koosta kummagi seose kohta võrrand;
3. lahenda süsteem sobiva võttega;
4. kontrolli arvupaari mõlemas võrrandis;
5. kontrolli, kas arvud sobivad olukorda;
6. kirjuta sõnaline vastus.

Kui tekstis on „kokku”, saad sageli summa võrrandi. Hinna, teepikkuse või tehtud töö seos annab teise võrrandi.

Näide

Koolietendusele müüdi 34 piletit. Täiskasvanu pilet maksis 8 eurot ja õpilase pilet 5 eurot. Pileteid müüdi kokku 218 euro eest. Mitu kummagi hinnaga piletit müüdi?

Olgu $x$ täiskasvanupiletite ja $y$ õpilaspiletite arv. Siis

Korrutame esimese võrrandi arvuga 5 ja lahutame selle teisest:

$$3x=48,\qquad x=16,\qquad y=18.$$

Kontroll: $16+18=34$ ja $8\cdot16+5\cdot18=218$.

Vastus: müüdi 16 täiskasvanupiletit ja 18 õpilaspiletit.

Tüüpviga

Tüüpviga on jätta tundmatute tähendus kirjutamata. Siis võib õige arvupaar saada vale sõnalise vastuse.

Teine viga on koostada kaks sama sisuga võrrandit. Süsteem vajab kahte sõltumatut seost.

Kolmas viga on kontrollida ainult tehteid. Näiteks inimeste arv peab olema mittenegatiivne täisarv ja pikkus peab sobima ülesande tingimustega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kahe arvu summa on 24 ja vahe 6. Tähista arvud ning koosta süsteem.
2. Klassis on kokku 28 õpilast. Tüdrukuid on poistest 4 rohkem. Koosta süsteem.
3. Selgita, miks tuleb tekstülesande lõpus kirjutada ühikuga vastus.

Rakendus

1. Muuseumisse osteti 20 piletit. Täiskasvanupilet maksis 7 eurot ja õpilaspilet 4 eurot, kokku maksti 98 eurot. Leia kummagi liigi piletite arv.
2. Ristküliku ümbermõõt on 30 cm ja pikkus laiusest 3 cm suurem. Leia küljed.
3. Kahe arvu summa on 41. Üks arv on teisest 7 võrra suurem. Leia arvud.

Mõtlemisülesanne

1. Koosta ise piletihindade ülesanne, mille lahend on 12 täiskasvanu- ja 18 õpilaspiletit.
2. Jalgrattur ja jalakäija läbisid kokku 39 km. Jalgrattur läbis jalakäijast kolm korda pikema maa. Koosta süsteem, lahenda ning hinda, kas vastus on mõistlik.
3. Miks ei piisa tekstülesandes alati ainult sellest, et arvupaar rahuldab võrrandeid?

Vastused

1. Näiteks $x+y=24$ ja $x-y=6$; lahend on $x=15$, $y=9$.
2. Kui $t$ on tüdrukute ja $p$ poiste arv, siis $t+p=28$ ning $t-p=4$.
3. Ühik näitab, mida leitud arv olukorras tähendab.
4. Süsteem on $x+y=20$ ja $7x+4y=98$; lahend on 6 täiskasvanu- ning 14 õpilaspiletit.
5. Kui pikkus on $x$ ja laius $y$, siis $x+y=15$ ning $x-y=3$; küljed on 9 cm ja 6 cm.
6. Arvud on 24 ja 17.
7. Näiteks: müüdi 30 piletit hinnaga 8 ja 5 eurot ning saadi 186 eurot.
8. Kui vahemaad on $x$ ja $y$, siis $x+y=39$ ning $x=3y$; jalgrattur läbis 29,25 km ja jalakäija 9,75 km.
9. Lahend peab lisaks sobima olukorra piirangutega, näiteks inimeste arv ei saa olla negatiivne ega murdarvuline.

Seosed

Tekstülesanne on matemaatiline mudel: sõnadest saavad muutujad ja võrrandid, kuid lõpus tuleb tulemus alati algsesse olukorda tagasi tõlgendada.

Punkt, sirge ja nurk

Mõiste

Punkt tähistab asukohta. Sirge ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel.

Eeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning tead, et joonisel märgitud andmed on tähtsamad kui silma järgi hinnang.

Nurk tekib kahest samast punktist lähtuvast kiirest.

Enne arvutamist märgi joonisel punktid, antud suurused ja otsitav suurus.

Põhiobjektid on sarnased, aga nende ulatus on erinev:

Kui sama tähis $AB$ esineb eri kohtades, otsusta joonise ja teksti järgi, kas mõeldakse sirget või lõiku.

Lõigu $AB$ puhul on punktid $A$ ja $B$ otspunktid. Kiire $\overrightarrow{AB}$ puhul on $A$ alguspunkt ja kiir läheb läbi punkti $B$.

Põhireeglid

• Täisnurk on $90^\circ$.
• Sirgnurk on $180^\circ$.
• Täispööre on $360^\circ$.

Nurkade liigid:

Kõrvunurgad on kaks nurka, millel on üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad sirge. Kõrvunurkade summa on

$$180^\circ.$$

Tippnurgad tekivad kahe sirge lõikumisel. Tippnurgad on võrdsed.

Näide

Kui kaks kõrvunurka moodustavad sirgnurga ja üks on $65^\circ$, siis teine on

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ.$$

Kui kaks sirget lõikuvad ja üks nurk on $42^\circ$, siis tema tippnurk on samuti $42^\circ$.

Sama lõikumise kõrval olev nurk on kõrvunurk:

$$180^\circ-42^\circ=138^\circ.$$

Kui ümber punkti on mitu nurka, siis nende summa on täispööre:

$$360^\circ.$$

Näiteks kui punkti ümber on nurgad $90^\circ$, $120^\circ$ ja $x$, siis

$$x=360^\circ-90^\circ-120^\circ=150^\circ.$$

Vastus: kõrvunurk on $115^\circ$, tippnurk on $42^\circ$, kõrval olev kõrvunurk on $138^\circ$ ja puuduva täispöörde nurk on $150^\circ$.

Kontroll: kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$, tippnurgad on võrdsed ja ümber punkti olevad nurgad annavad kokku $360^\circ$.

Tüüpviga

Joonis võib olla ebatäpne. Geomeetrias tuleb lähtuda antud andmetest, mitte ainult sellest, kuidas pilt paistab.

Teine tüüpviga on kõrvunurki ja tippnurki segi ajada. Kõrvunurgad liituvad $180^\circ$-ks, tippnurgad on omavahel võrdsed.

Kolmas tüüpviga on lõiku ja sirget samastada. Lõigul on kaks otspunkti ja selle pikkust saab mõõta. Sirgel otspunkte ei ole ning ta ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis liiki nurk on $35^\circ$?
2. Mis liiki nurk on $125^\circ$?
3. Üks kõrvunurk on $73^\circ$. Leia teine.
4. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on tema tippnurk?

Rakendus

1. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on selle kõrval olev kõrvunurk?
2. Mis vahe on lõigul $AB$ ja kiirel $\overrightarrow{AB}$?
3. Üks kõrvunurk on $41^\circ$. Leia teine.

Mõtlemisülesanne

1. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $67^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.
2. Punkti ümber on kolm nurka: $80^\circ$, $95^\circ$ ja $x$. Leia $x$.
3. Nurk $x$ ja nurk $35^\circ$ moodustavad täisnurga. Leia $x$.
4. Joonisel paistab nurk umbes $90^\circ$, aga juurde on kirjutatud $87^\circ$. Millist väärtust kasutad arvutuses ja miks?

Vastused

1. Teravnurk.
2. Nürinurk.
3. $107^\circ$, sest kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
4. $108^\circ$, sest tippnurgad on võrdsed.
5. $72^\circ$, sest kõrval olev kõrvunurk on $180^\circ-108^\circ$.
6. Lõigu $AB$ otspunktid on $A$ ja $B$. Kiir $\overrightarrow{AB}$ algab punktist $A$, läbib punkti $B$ ja jätkub samas suunas.
7. $139^\circ$, sest $180^\circ-41^\circ=139^\circ$.
8. Ülejäänud kolm nurka on $67^\circ$, $113^\circ$ ja $113^\circ$, sest tippnurk on võrdne ja kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
9. $x=360^\circ-80^\circ-95^\circ=185^\circ$.
10. $x=90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
11. Kasutan $87^\circ$, sest arvutustes lähtutakse antud andmetest, mitte joonise silmaga hinnatud kujust.

Seosed

Sirged ja nurgad on kolmnurkade, hulknurkade, trigonomeetria ja tõestuste alus. Järgmises peatükis kasutatakse neid kolmnurga nurkade summa, hulknurkade, ümbermõõdu ja pindala leidmisel.

Kolmnurgad ja nelinurgad

Mõiste

Kolmnurgal on kolm külge ja kolm nurka. Nelinurgal on neli külge ja neli nurka.

Eeldus: tunned nurkade liike, oskad leida ümbermõõtu ja eristad pindala pikkusest.

Kolmnurki saab liigitada külgede järgi:

Kolmnurki saab liigitada ka nurkade järgi:

Kolm pikkust saavad moodustada kolmnurga ainult siis, kui kaks lühemat külge kokku on pikemad kui pikim külg. Näiteks 2 cm, 3 cm ja 6 cm ei sobi, sest $2+3<6$.

Nelinurkade erijuhud:

Rööpküliku vastasküljed ja vastasnurgad on võrdsed ning diagonaalid poolitavad teineteist. Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed; rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja rombi nurki.

Valemid

Kolmnurga nurkade summa:

$$180^\circ.$$

Nelinurga nurkade summa:

$$360^\circ.$$

Kumera $n$-nurga sisenurkade summa:

$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Kolmnurga pindala:

$$S=\frac{ah}{2}.$$

Kõrgus peab olema valitud alusega risti.

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Ruudu pindala:

$$S=a^2.$$

Rombi pindala diagonaalide $d_1$ ja $d_2$ abil:

$$S=\frac{d_1d_2}{2}.$$

Ümbermõõt liidab küljed. Pindala mõõdab kaetud pinda.

Näide

Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:

$$S=\frac{10\cdot6}{2}=30\text{ cm}^2.$$

Kui kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $72^\circ$, siis kolmas nurk on

$$180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ.$$

Kui nelinurga kolm nurka on $90^\circ$, $110^\circ$ ja $80^\circ$, siis neljas nurk on

$$360^\circ-90^\circ-110^\circ-80^\circ=80^\circ.$$

Kuusnurga sisenurkade summa on

$$S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ.$$

Vastus: pindala on $30\text{ cm}^2$, kolmas kolmnurga nurk $60^\circ$, neljas nelinurga nurk $80^\circ$ ja kuusnurga sisenurkade summa $720^\circ$.

Tüüpviga

Kõrgus peab olema risti alusega. Külgjoon ei ole alati kõrgus.

Teine tüüpviga on arvata, et iga nelinurk, millel on üks paar paralleelseid külgi, on rööpkülik. Rööpkülikul peavad mõlemad vastaskülgede paarid olema paralleelsed.

Kolmas tüüpviga on ajada ümbermõõt ja pindala segi. Aia pikkus on ümbermõõt; aia sisse jääva maa suurus on pindala.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga kaks nurka on $35^\circ$ ja $65^\circ$. Leia kolmas nurk.
2. Kas kolmnurk nurkadega $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$ on täisnurkne?
3. Leia kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.

Rakendus

1. Nelinurga kolm nurka on $100^\circ$, $80^\circ$ ja $90^\circ$. Leia neljas.
2. Millisel nelinurgal on kõik küljed võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad?
3. Ristküliku küljed on 8 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Rööpküliku alus on 12 cm ja kõrgus 5 cm. Leia pindala.
2. Ristküliku üks külg on 7 cm ja pindala on 35 cm². Leia teine külg.
3. Kolmnurga nurgad on $x$, $2x$ ja $3x$. Leia nurgad.
4. Kas pikkustest 4 cm, 5 cm ja 10 cm saab moodustada kolmnurga?
5. Leia korrapärase kuusnurga ühe sisenurga suurus.
6. Rombi diagonaalid on 6 cm ja 10 cm. Leia rombi pindala.

Vastused

1. $80^\circ$, sest kolmnurga nurgad annavad kokku $180^\circ$.
2. Jah, sest üks nurk on $90^\circ$.
3. Ümbermõõt on $4+5+6=15\text{ cm}$.
4. $90^\circ$, sest nelinurga nurgad annavad kokku $360^\circ$.
5. Ruut, sest ruudul on võrdsed küljed ja täisnurgad.
6. Ümbermõõt $2(8+3)=22\text{ cm}$, pindala $8\cdot3=24\text{ cm}^2$; üks mõõdab äärt, teine pinda.
7. $S=12\cdot5=60\text{ cm}^2$.
8. Teine külg on $35:7=5\text{ cm}$, sest ristkülikul $S=ab$.
9. $x+2x+3x=180^\circ$, seega $x=30^\circ$; nurgad on $30^\circ,60^\circ,90^\circ$.
10. Ei, sest $4+5=9<10$; kahe lühema külje summa peab olema pikem kui pikim külg.
11. Sisenurkade summa on $(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$. Kõik kuus nurka on võrdsed, seega üks nurk on $720^\circ:6=120^\circ$.
12. $S=\frac{6\cdot10}{2}=30\text{ cm}^2$.

Seosed

Kolmnurgad viivad Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja trigonomeetriani. Nelinurkade ja pindala mõte valmistab ette ringi, sümmeetria ja teisenduste peatükke.

Ring ja sümmeetria

Mõiste

Ringjoon on kinnine piirjoon keskpunkti ümber. Kõik ringjoone punktid on keskpunktist sama kaugel; seda kaugust nimetatakse raadiuseks.

Eeldus: oskad eristada pikkust ja pindala ning tunned sirget, lõiku ja sümmeetriatelge.

Ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega. Igapäevases kõnes öeldakse vahel mõlema kohta "ring", aga matemaatikas on neil vahe:

• ringjoon on piirjoon;
• ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega.

Ringi olulised osad:

Valemid

Ringjoone pikkus:

$$C=2\pi r.$$

Ringi pindala:

$$S=\pi r^2.$$

Need valemid vastavad eri küsimustele:

Kui antud on diameeter, leia enne raadius või kasuta ringjoone pikkuse jaoks valemit $C=\pi d$.

Ringil on palju sümmeetriatelgi: iga keskpunkti läbiv sirge jaotab ringi kaheks võrdseks pooleks. Diameeter asub alati sellisel sümmeetriateljel.

Näide

Kui $r=5$, siis

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78,5.$$

Ringjoone pikkus sama raadiusega on

$$C=2\pi\cdot5=10\pi\approx31,4.$$

Kui diameeter on $12$, siis raadius on

$$r=\frac{12}{2}=6.$$

Sama ringi pindala on

$$S=\pi\cdot6^2=36\pi\approx113,1.$$

Ringjoone pikkus on

$$C=\pi\cdot12=12\pi\approx37,7.$$

Kui tahad katta ümmarguse laua pinna, vajad pindala. Kui tahad panna laua serva ümber paela, vajad ringjoone pikkust.

Vastus: raadiusega 5 on pindala umbes 78,5 ja ringjoone pikkus umbes 31,4; diameetriga 12 on pindala umbes 113,1 ja ringjoone pikkus umbes 37,7.

Tüüpviga

Raadius ja diameeter ehk läbimõõt lähevad tihti segi. Diameeter on kaks raadiust:

$$d=2r.$$

Teine tüüpviga on ringjoone pikkust ja ringi pindala segi ajada. Ringjoone pikkus kasutab pikkusühikut, näiteks cm. Ringi pindala kasutab ruutühikut, näiteks cm².

Kontrolli ühikut:

• kui vastus on $\text{cm}$, mõõdad pikkust;
• kui vastus on $\text{cm}^2$, mõõdad pindala.

Kolmas tüüpviga on kasutada diameetrit raadiuse asemel pindala valemis. Kui $d=10$, siis $r=5$, seega

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi,$$

mitte $\pi\cdot10^2$.

Neljas tüüpviga on arvata, et sümmeetriatelg peab olema joonisel püstine või rõhtne. Ringil sobib iga keskpunkti läbiv sirge.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia diameeter, kui raadius on 7 cm.
2. Leia raadius, kui diameeter on 18 cm.
3. Leia ringi pindala, kui $r=4$.
4. Leia ringjoone pikkus, kui $r=4$.

Rakendus

1. Mis vahe on kõõlul ja diameetril?
2. Leia ringjoone pikkus, kui diameeter on 20 cm.
3. Leia ringi pindala, kui diameeter on 14 cm.

Mõtlemisülesanne

1. Kas ülesandes “ümber lillepeenra pannakse ääris” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
2. Kas ülesandes “ümmargune vaip katab põrandat” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
3. Mitu sümmeetriatelge on ringil?
4. Kas sirge, mis lõikab ringi kahte võrdsesse poolde, peab läbima keskpunkti?

Vastused

1. $14\text{ cm}$, sest diameeter on kaks raadiust.
2. $9\text{ cm}$, sest raadius on pool diameetrist.
3. $16\pi\approx50,3$ ruutühikut, sest $S=\pi r^2$.
4. $8\pi\approx25,1$ pikkusühikut, sest $C=2\pi r$.
5. Diameeter on kõõl, mis läbib keskpunkti. Kõik kõõlud ei läbi keskpunkti.
6. $C=\pi d=20\pi\approx62,8\text{ cm}$.
7. $r=7\text{ cm}$, seega $S=49\pi\approx153,9\text{ cm}^2$.
8. Ringjoone pikkust, sest ääris käib ümber peenra piiri.
9. Pindala, sest vaip katab põranda osa, mitte ainult serva.
10. Lõpmata palju; iga keskpunkti läbiv sirge on sümmeetriatelg.
11. Jah. Ringi sümmeetriatelg läbib keskpunkti, sest ainult siis jäävad pooled peegeldamisel kokku.

Seosed

Ring on oluline geomeetrias, trigonomeetrias, radiaanides ja ringliikumise mudelites. Järgmises peatükis kasutatakse sümmeetriat koos peegelduse, lükke ja pööramisega.

Mis on tõestus?

Mõiste

Tõestus on põhjendus, mis näitab, miks matemaatiline väide kehtib kõigil lubatud juhtudel. Näide aitab väidet mõista, aga näide üksi ei tõesta üldist väidet.

Eeldus: oskad eristada väidet, näidet ja vastunäidet ning tunned paarisarvu ja jaguvuse mõtet.

Tõestust on vaja, sest matemaatikas ei piisa uskumisest, joonise järgi paistmisest ega mõnest õnnestunud proovist. Tõestus ütleb, millistest eeldustest alustame ja miks järeldus neist kindlasti järgneb.

Peamised tõestusviisid:

Enne meetodi valimist küsi: kas tahan väidet tõestada kõigil lubatud juhtudel või piisab selle ümberlükkamiseks ühest vastunäitest?

Tõestuse lõpus kontrolli, kas iga kasutatud samm tuleb eeldusest, definitsioonist või varem teada teoreemist.

Näide

Väide: kui täisarv $n$ jagub 4-ga, siis $n$ on paarisarv.

Otsene tõestus: kui $n$ jagub 4-ga, siis leidub täisarv $k$, nii et

$$n=4k.$$

Aga

$$4k=2(2k).$$

Kuna $2k$ on täisarv, saab $n$ kirjutada kujul $2\cdot\text{täisarv}$. Seega $n$ on paarisarv.

Sama teema vastupidine väide ei kehti: "kui arv on paarisarv, siis ta jagub 4-ga" on väär, sest $6$ on paarisarv, aga ei jagu 4-ga.

Tõlgendus: esimene väide on tõestatud, vastupidine väide on ühe vastunäitega ümber lükatud.

Tüüpviga

Tüüpviga on tuua kolm näidet ja nimetada seda tõestuseks. Näited võivad anda idee, aga üldväite puhul peavad kaetud olema kõik lubatud juhud.

Teine tüüpviga on tõestada vale suunda. Väide "kui $P$, siis $Q$" ei tähenda sama mis "kui $Q$, siis $P$".

Kolmas tüüpviga on kasutada joonist tõestusena ilma põhjenduseta. Joonis võib anda vihje, aga arvutus või loogiline seos peab ütlema, miks asi alati kehtib.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas üks näide tõestab väite "kõik paarisarvud jaguvad 4-ga"?
2. Too vastunäide väitele "kõik täisarvud on positiivsed".

Rakendus

1. Tõesta otseselt: kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga.
2. Kas väide "kui arv jagub 3-ga, siis ta jagub 6-ga" on tõene?

Mõtlemisülesanne

1. Miks tuleb väites "parajasti siis, kui" tõestada kaks suunda?
2. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga paarisarv on kujul $2k$" jaoks?
3. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga algarv on paaritu" kontrollimiseks?

Vastused

1. Ei. Näiteks $8$ jagub 4-ga, aga see ei ütle midagi kõigi paarisarvude kohta.
2. Näiteks $-2$ on täisarv, aga ei ole positiivne.
3. Kui $n=6k$, siis $n=3(2k)$; seega $n$ jagub 3-ga.
4. Ei. Näiteks $9$ jagub 3-ga, aga ei jagu 6-ga.
5. Sest ekvivalents väidab, et kumbki tingimus annab teise.
6. Otsest tõestust definitsiooni abil.
7. Vastunäidet: $2$ on algarv, aga ei ole paaritu.

Seosed

See leht valmistab ette loogika, hulkade, geomeetrilise tõestamise, induktsiooni ja algoritmide korrektsuse peatükke. Küsimus ei ole ainult "mis vastus tuli?", vaid "miks see vastus peab alati nii tulema?".

Geomeetriline definitsioon ja tõestus

Mõiste

Definitsioon ütleb täpselt, mida mõiste tähendab. Teoreem on matemaatiline väide, mille tõesus tuleb tõestada. Tõestus seob antud tingimused põhjendatud sammude kaudu järeldusega.

Eeldus: oskad eristada näidet, väidet ja vastunäidet ning tunned punkti, sirget, lõiku ja nurka.

Näiteks rööpküliku definitsioon on: rööpkülik on nelinurk, mille mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed. Väide „rööpküliku vastasküljed on võrdsed” on omadus, mitte definitsioon; see tuleb põhjendada.

Mõnda põhimõistet, näiteks punkti, sirget ja tasandit, kasutatakse teiste mõistete defineerimiseks. Neid nimetatakse algmõisteteks. Aksioom on lähteväide, mida selles teoorias eraldi ei tõestata. Näiteks paralleelide aksioom ütleb:

> Läbi sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe antud sirgega paralleelse sirge.

Teoreemi on mugav sõnastada kujul „kui ..., siis ...”. „Kui”-osa on eeldus ja „siis”-osa väide. Näiteks teoreemis „kui nelinurk on rööpkülik, siis selle vastasküljed on võrdsed” on rööpkülikuks olemine eeldus ja vastaskülgede võrdsus väide.

Ka aritmeetika põhiteoreem on teoreemi näide: iga ühest suurem naturaalarv esitatakse algarvude korrutisena üheselt, kui tegurite järjekorda mitte arvestada.

Geomeetrilise tõestuse tööjärjekord:

1. kirjuta antud andmed;
2. sõnasta tõestada olev väide;
3. märgi joonisele ainult teadaolev;
4. kirjuta iga vaheväite juurde põhjus;
5. lõpeta otsese järeldusega.

Näide

Tõestame, et kahe lõikuva sirge tippnurgad on võrdsed.

Antud: sirged lõikuvad ning tekivad nurgad $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$, kus $\alpha$ ja $\gamma$ on tippnurgad.

Kõrvunurkade summa on $180^\circ$, seega

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

ja

$$\beta+\gamma=180^\circ.$$

Järelikult $\alpha+\beta=\beta+\gamma$. Lahutades mõlemalt poolelt $\beta$, saame $\alpha=\gamma$.

Vastus: tippnurgad on võrdsed, sest mõlemad täiendavad sama nurga sirgnurgaks.

Teine näide: tõestame, et kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$.

Tõmbame läbi kolmnurga tipu $C$ vastasküljega $AB$ paralleelse sirge. Kolmnurga nurkadega $A$ ja $B$ võrdsed põiknurgad paiknevad nüüd tipu $C$ juures. Need kaks nurka ja kolmnurga nurk $C$ moodustavad sirgnurga. Seega

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Siin kasutati paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust.

Tüüpviga

Tüüpviga on kirjutada „jooniselt on näha”. Joonis aitab seost märgata, kuid tõestus peab nimetama definitsiooni, nurgaomaduse või teoreemi.

Teine viga on kasutada tõestatavat väidet tõestuse keskel põhjusena. Nii tekib ringpõhjendus.

Kolmas viga on ajada definitsioon ja omadus segi. Väide „ruudu kõik küljed on võrdsed” on osa ruudu definitsioonist; diagonaalide ristseis on sellest tuletatav omadus.

Neljas viga on ajada segi teoreemi eeldus ja väide. Teoreemi vastupidine suund ei kehti automaatselt ning vajab eraldi põhjendust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas „kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$” on definitsioon, aksioom või teoreem?
2. Sõnasta trapetsi definitsioon.
3. Sõnasta paralleelide aksioom oma sõnadega.

Rakendus

1. Kirjuta tippnurkade tõestusest välja antu ja eesmärk.
2. Nimeta kolmnurga sisenurkade summa teoreemi eeldus ja väide.
3. Leia viga põhjenduses „nurgad on võrdsed, sest nad paistavad võrdsed”.

Mõtlemisülesanne

1. Milliseid kolme varasemat seost kasutatakse kolmnurga sisenurkade summa tõestuses?
2. Kas vastunäide tõestab väite või lükkab üldväite ümber?
3. Koosta kaheveeruline väite-põhjuse tabel tippnurkade tõestusele.

Vastused

1. Teoreem, sest see on põhjendatav väide kolmnurkade kohta.
2. Trapets on nelinurk, millel on vähemalt üks paar paralleelseid vastaskülgi.
3. Läbi antud sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe selle sirgega paralleelse sirge.
4. Antud: kaks sirget lõikuvad. Eesmärk: näidata, et vastastikku asuvad tippnurgad on võrdsed.
5. Eeldus: kujund on kolmnurk. Väide: selle kolme sisenurga summa on $180^\circ$.
6. Võrdsus pole põhjendatud definitsiooni ega teoreemiga.
7. Paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust $180^\circ$.
8. Vastunäide lükkab üldväite ümber.
9. Näiteks „$\alpha+\beta=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\beta+\gamma=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\alpha=\gamma$ — võrdsetest summadest lahutati sama nurk”.

Seosed

Järgmistes peatükkides kasutatakse seda tõestuse vormi paralleelsete sirgete, kolmnurga, ringjoone ja sarnasuse omaduste põhjendamiseks.

Paralleelsed sirged ja nurgad

Mõiste

Paralleelsed sirged asuvad samal tasandil ega lõiku. Kui kolmas sirge ehk lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget, tekivad kindlad nurgaseosed.

Eeldus: tunned kõrvunurki ja tippnurki ning oskad lühikese põhjenduse sammud kirja panna.

Kui $a\parallel b$, siis:

• vastavad nurgad on võrdsed;
• põiknurgad on võrdsed;
• samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.

Need väited töötavad ka vastupidise tunnusena: kui lõikaja tekitab võrdsed vastavad nurgad, on sirged paralleelsed.

Näide

Sirged $a$ ja $b$ on paralleelsed. Lõikaja tekitab sirgel $a$ nurga $64^\circ$.

Sellele vastav nurk sirgel $b$ on samuti $64^\circ$. Tema kõrvunurk on

$$180^\circ-64^\circ=116^\circ.$$

Sama tulemuse annab samapoolsete sisenurkade summa.

Vastus: vastav nurk on $64^\circ$ ja selle kõrval olev nurk $116^\circ$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada paralleelsete sirgete nurgareeglit, kuigi paralleelsust pole antud ega tõestatud.

Teine viga on nimetada kõik võrdsed nurgad tippnurkadeks. Tippnurgad tekivad ühe lõikepunkti juures; vastavad ja põiknurgad asuvad eri lõikepunktides.

Kolmas viga on jätta vastuse juurde põhjus. Nurga suurus üksi ei näita, kas kasutati tippnurki, vastavaid nurki või kõrvunurki.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Üks vastav nurk on $52^\circ$. Kui suur on teine?
2. Üks samapoolne sisenurk on $71^\circ$. Leia teine.
3. Kas põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed?

Rakendus

1. Leia $138^\circ$ nurga kõrval olev kõrvunurk.
2. Lõikaja tekitab võrdse paari vastavaid nurki. Mida saab sirgete kohta järeldada?
3. Selgita, miks $83^\circ$ põiknurgale vastav põiknurk on samuti $83^\circ$.

Mõtlemisülesanne

1. Paralleelsete sirgete üks nurk on $x$ ja selle samapoolne sisenurk $3x$. Leia mõlemad.
2. Miks ei piisa paralleelsuse tõestamiseks sellest, et sirged joonisel ei paista lõikuvat?
3. Koosta kolmesammuline põhjendus, kuidas $47^\circ$ nurga abil leida kõrvalasuva lõikepunkti nürinurk.

Vastused

1. $52^\circ$, sest vastavad nurgad on võrdsed.
2. $109^\circ$, sest samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.
3. Jah, põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed.
4. $42^\circ$, sest kõrvunurkade summa on $180^\circ$.
5. Sirged on paralleelsed vastavate nurkade tunnuse järgi.
6. Paralleelseid sirgeid lõikava sirge tekitatud põiknurgad on võrdsed.
7. $x+3x=180^\circ$, seega nurgad on $45^\circ$ ja $135^\circ$.
8. Sirged võivad lõikuda väljaspool joonise nähtavat osa; vaja on nurgaseost või muud põhjendust.
9. Vastav nurk on $47^\circ$; selle tippnurk on $47^\circ$; kõrval olev kõrvunurk on $180^\circ-47^\circ=133^\circ$.

Seosed

Paralleelsete sirgete nurgaseosed annavad kolmnurga kesklõigu, trapetsi ja sarnaste kolmnurkade põhjendustele vajaliku keele.

Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Mõiste

Kolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.

Eeldus: tunned kolmnurga ja trapetsi osi ning oskad kasutada paralleelsete sirgete nurgaseoseid.

Kui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis

$$MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.$$

Kolmnurga mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse raskuskeskeks. Raskuskese jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on kaks korda pikem kui küljepoolne osa.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte, on alustega paralleelne ja selle pikkus on aluste aritmeetiline keskmine:

$$m=\frac{a+b}{2}.$$

Trapetsi kõrgus $h$ on aluste vaheline ristkaugus. Trapetsi pindala on

$$S=\frac{(a+b)h}{2}=mh.$$

Sama haara lähisnurkade summa on $180^\circ$, sest trapetsi alused on paralleelsed. Võrdhaarse trapetsi kummagi aluse lähisnurgad on paarikaupa võrdsed.

Näide

Kolmnurga kolmas külg $BC$ on 14 cm. Selle küljega paralleelne kesklõik on

$$MN=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$

Trapetsi alused on 8 cm ja 16 cm. Trapetsi kesklõik on

$$m=\frac{8+16}{2}=12\text{ cm}.$$

Kui selle trapetsi kõrgus on 5 cm, siis

$$S=mh=12\cdot5=60\text{ cm}^2.$$

Kolmnurga mediaani pikkus on 12 cm. Raskuskese jagab selle tipust alates osadeks

$$12\cdot\frac23=8\text{ cm}\quad\text{ja}\quad12\cdot\frac13=4\text{ cm}.$$

Vastus: kolmnurga kesklõik on 7 cm, trapetsi kesklõik 12 cm ja pindala 60 cm²; mediaani osad on 8 cm ja 4 cm.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga kolmnurga sees olevat paralleelset lõiku kesklõiguks. Selle otspunktid peavad olema kahe külje keskpunktid.

Teine viga on liita trapetsi alused, kuid unustada jagamine kahega.

Kolmas viga on kasutada trapetsi haarasid alustena. Alused on paralleelsed küljed.

Neljas viga on ajada mediaan ja kesklõik segi. Mediaan algab kolmnurga tipust; kesklõigu mõlemad otspunktid on külgede keskpunktid.

Viies viga on kasutada trapetsi pindala valemis haarapikkust kõrgusena. Kõrgus peab olema alustega risti.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga külg $BC=18$ cm. Leia sellega paralleelne kesklõik.
2. Trapetsi alused on 6 cm ja 10 cm. Leia kesklõik.
3. Milliste trapetsi külgedega on kesklõik paralleelne?
4. Milliseid punkte ühendab kolmnurga mediaan?

Rakendus

1. Kolmnurga kesklõik on 9 cm. Leia paralleelse kolmanda külje pikkus.
2. Trapetsi kesklõik on 13 cm ja üks alus 8 cm. Leia teine alus.
3. Trapetsi alused on 9 cm ja 15 cm ning kõrgus 6 cm. Leia pindala.
4. Mediaan on 15 cm. Leia raskuskeskme tekitatud kahe osa pikkused.

Mõtlemisülesanne

1. Trapetsi alused on $x$ ja $x+6$, kesklõik 12. Leia alused.
2. Miks on kolmnurga kesklõigu paralleelsus oluline nurgaseoste jaoks?
3. Trapetsi üks alus suureneb 4 cm ja teine ei muutu. Kui palju muutub kesklõik?
4. Võrdhaarse trapetsi üks alumine alusnurk on $68^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.

Vastused

1. 9 cm, sest kesklõik on kolmanda külje pool.
2. 8 cm, sest $(6+10):2=8$.
3. Mõlema alusega.
4. Kolmnurga tippu ja vastaskülje keskpunkti.
5. 18 cm, sest kolmas külg on kesklõigust kaks korda pikem.
6. $26-8=18$ cm, sest aluste summa on $2m=26$ cm.
7. $S=(9+15)\cdot6:2=72$ cm².
8. Tipupoolne osa on 10 cm ja küljepoolne osa 5 cm.
9. $(x+x+6):2=12$, seega $x=9$; alused on 9 cm ja 15 cm.
10. Paralleelsus tekitab võrdsed vastavad ja põiknurgad, mida saab põhjendustes kasutada.
11. 2 cm, sest kesklõigus jagatakse aluste summa kahega.
12. Alumised alusnurgad on mõlemad $68^\circ$ ja ülemised mõlemad $112^\circ$.

Seosed

Kesklõik loob silla paralleelsete sirgete ja sarnasuse vahel. Mediaani raskuskese kirjeldab kolmnurga tasakaalu ning trapetsi kesklõik seob alused vahetult pindala valemiga.

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Kesknurga tipp on ringi keskpunktis. Piirdenurga tipp on ringjoonel. Kui mõlemad toetuvad samale kaarele, on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem:

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Eeldus: tunned ringjoone osi, kolmnurga nurkade summat ja põhjenduse põhietappe.

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Kõõl ühendab ringjoone kaht punkti ja kaar on nende punktide vaheline ringjoone osa. Lõikaja läbib ringjoont kahes punktis. Puutuja puudutab ringjoont ühes punktis ning on selles punktis raadiusega risti. Ühest ringjoonevälisest punktist tõmmatud kahe puutujalõigu pikkused on võrdsed.

Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ümberringjoone keskpunktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad siseringjoone keskpunktis. Esimene punkt on kõigist tippudest, teine kõigist külgedest võrdsel kaugusel.

Korrapärasel hulknurgal on kõik küljed ja kõik nurgad võrdsed. Kui hulknurgal on $n$ külge, on keskpunkti ümber tekkiv kesknurk

$$\frac{360^\circ}{n}.$$

Ühe sisenurga suurus on

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$

Korrapärase hulknurga apoteem on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. Kui ümbermõõt on $P$ ja apoteem $r$, saab hulknurga jagada võrdseteks kolmnurkadeks ning

$$S=\frac{Pr}{2}.$$

Näide

Piirdenurk toetub samale kaarele kui kesknurk $124^\circ$. Piirdenurk on

$$124^\circ:2=62^\circ.$$

Korrapärase kuusnurga kesknurk on

$$360^\circ:6=60^\circ,$$

ja üks sisenurk

$$\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ.$$

Ringjoone puutepunkti tõmmatud raadiuse ja puutuja vaheline nurk on alati $90^\circ$.

Korrapärase ruudu külg on 8 cm ja apoteem 4 cm. Selle ümbermõõt on 32 cm ning pindala

$$S=\frac{32\cdot4}{2}=64\text{ cm}^2.$$

Vastus: piirdenurk on $62^\circ$; korrapärase kuusnurga kesk- ja sisenurk on vastavalt $60^\circ$ ning $120^\circ$; ruudu pindala on 64 cm².

Tüüpviga

Tüüpviga on võrrelda nurki, mis ei toetu samale kaarele.

Teine viga on ajada segi kesk- ja piirdenurga tegur: kesknurk on kaks korda suurem, piirdenurk kaks korda väiksem.

Kolmas viga on arvata, et võrdsete külgedega hulknurk on alati korrapärane. Korrapärasel hulknurgal peavad võrdsed olema ka nurgad.

Neljas viga on arvata, et iga ringjoont puudutavana näiv sirge on puutuja. Puutepunkti raadius peab olema sirgega risti.

Viies viga on vahetada sise- ja ümberringjoone keskpunkti konstruktsioonid: siseringjoone jaoks kasutatakse nurgapoolitajaid, ümberringjoone jaoks külgede keskristsirgeid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kesknurk on $90^\circ$. Leia sama kaare piirdenurk.
2. Piirdenurk on $38^\circ$. Leia sama kaare kesknurk.
3. Leia korrapärase kaheksanurga kesknurk.
4. Kui suur on puutuja ja puutepunkti tõmmatud raadiuse vaheline nurk?

Rakendus

1. Kaks piirdenurka toetuvad samale kaarele. Üks on $52^\circ$. Leia teine.
2. Leia korrapärase viisnurga ühe sisenurga suurus.
3. Miks on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk?
4. Milliste sirgete lõikepunkt annab kolmnurga ümberringjoone keskpunkti?
5. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 6 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Korrapärase hulknurga kesknurk on $30^\circ$. Mitu külge hulknurgal on?
2. Korrapärase hulknurga üks sisenurk on $135^\circ$. Mitu külge sellel on?
3. Punktist $P$ on ringjoonele tõmmatud puutujad puutepunktidega $A$ ja $B$. Kui $PA=7$ cm, leia $PB$.
4. Selgita, miks korrapärase hulknurga kesknurkade summa on $360^\circ$.

Vastused

1. $45^\circ$, sest piirdenurk on sama kaare kesknurgast poole väiksem.
2. $76^\circ$, sest kesknurk on kaks korda suurem.
3. $45^\circ$, sest $360^\circ:8=45^\circ$.
4. $90^\circ$.
5. $52^\circ$, sest samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
6. $108^\circ$, sest $(5-2)\cdot180^\circ:5=108^\circ$.
7. Diameetrile vastav kesknurk on $180^\circ$, seega piirdenurk on $90^\circ$.
8. Kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunkt.
9. $S=40\cdot6:2=120$ cm².
10. 12 külge, sest $360^\circ:30^\circ=12$.
11. 8 külge, sest $180^\circ-360^\circ:n=135^\circ$, millest $n=8$.
12. $PB=7$ cm, sest ühest punktist tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.
13. Need paiknevad ühise keskpunkti ümber ja moodustavad täispöörde.

Seosed

Ringjoone nurgad, puutuja ning sise- ja ümberringjoon valmistavad ette Thalese teoreemi põhjalikku tõestust. Apoteem seob korrapärase hulknurga ringjoone, kolmnurkade ja pindalaga.

Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Mõiste

Sarnastel kujunditel on sama kuju: vastavad nurgad on võrdsed ja vastavate külgede pikkused on võrdelised. Sarnasustegur näitab, mitu korda vastavad pikkused erinevad.

Eeldus: oskad koostada võrret, tunned paralleelsete sirgete nurgaseoseid ning loed kolmnurkade tippude järjekorda.

Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

Kolmnurkade sarnasuse põhitunnused:

• kaks vastavat nurka on võrdsed;
• kolm vastavate külgede suhet on võrdsed;
• kahe vastava külje suhted ja nendevahelised nurgad on võrdsed.

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, muutuvad ümbermõõdud $k$ ja pindalad $k^2$ korda.

Näide

1,5 m pikkuse mõõdulati vari on 2 m. Samal ajal on puu vari 8 m. Päikesekiired tekitavad sarnased kolmnurgad, seega

$$\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}.$$

Siit

$$h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6\text{ m}.$$

Vastus: puu kõrgus on 6 m, eeldusel et mõlemat varju mõõdeti samal tasasel pinnal ja samal ajal.

Tüüpviga

Tüüpviga on panna võrdesse küljed, mis ei ole vastavas asendis.

Teine viga on järeldada sarnasust ainult selle põhjal, et kujundid paistavad sama kujuga. Vaja on sarnasuse tunnust.

Kolmas viga on kasutada pindala jaoks tegurit $k$. Pindala muutub teguriga $k^2$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Vastavad küljed on 4 cm ja 10 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab $BC$?
3. Kui pikkused suurenevad 3 korda, mitu korda suureneb pindala?

Rakendus

1. Sarnasustegur on 2,5 ja väiksema kujundi külg 6 cm. Leia vastav suurem külg.
2. Posti vari on 6 m ja 1 m pikkuse lati vari 1,5 m. Leia posti kõrgus.
3. Plaani mõõtkava on $1:500$. Kui pikk on plaanil 3 cm lõik tegelikkuses?

Mõtlemisülesanne

1. Väiksema kujundi pindala on 12 cm² ja sarnasustegur 2. Leia suurema pindala.
2. Kirjelda, kuidas mõõta jõe laiust ilma jõge ületamata, kasutades nähtavaid punkte ja sarnaseid kolmnurki.
3. Miks tuleb varjumeetodil mõõta lati ja objekti vari samal ajal?

Vastused

1. $k=10:4=2{,}5$.
2. Küljele $EF$, sest tipud vastavad samas järjekorras.
3. 9 korda, sest pindala tegur on $3^2$.
4. $6\cdot2{,}5=15$ cm.
5. $h:6=1:1{,}5$, seega $h=4$ m.
6. $3\cdot500=1500$ cm ehk 15 m.
7. $12\cdot2^2=48$ cm².
8. Märgi kaldal baaslõik ja sellega seotud vaatesuunad, konstrueeri kuival maal samade nurkadega väiksem kolmnurk ning kasuta vastavate külgede võrret.
9. Päikese kõrgus ja seega kiirte nurk muutub ajas; eri ajal mõõdetud kolmnurgad ei pruugi olla sama mudeli järgi sarnased.

Seosed

Sarnasus on mõõtkava, maa-ala plaanistamise, Pythagorase teoreemi rakenduste ja trigonomeetria oluline eeldus.

Probleemilahendus ja mudelid

Mõiste

Matemaatiline mudel on päriselulise olukorra lihtsustatud kirjeldus: valem, tabel, graafik, võrrand või simulatsioon.

Eeldus: oskad kasutada protsente, võrdeid, lihtsaid võrrandeid ja lineaarfunktsiooni.

Mudelil on sisend ja väljund. Sisend on suurus, mille mudelisse paned; väljund on arvutatud vastus. Täht saab tähenduse alles siis, kui ütled tema rolli ja ühiku.

Andmetest mudelini

Mudeli valik algab eeldusest, mitte valemist: punktid -> tabel, ruumiline olukord -> joonis, tundmatu -> võrrand, napid andmed -> hinnang.

Kontrollküsimused

Enne vastuse lõplikuks lugemist küsi:

• Kas vastasin sellele, mida küsiti?
• Kas ühikud on õiged?
• Kas tulemus on realistlik?
• Kas mudeli eeldused sobivad ka väga väikese või väga suure sisendi korral?
• Kas on vaja ümardada ning kuidas seda päriselus tõlgendada?

Näide

Kui rattalaenutus maksab 4 eurot alustasu ja 3 eurot tunnis, siis

$$y=3x+4.$$

Siin $x$ on sisend ehk tunnid ja $y$ on väljund ehk hind eurodes.

Kui küsitakse, mitu tundi saab sõita 19 euro eest, siis lahendame võrrandi

$$3x+4=19.$$

$$3x=15,$$

$$x=5.$$

Vastus: 19 euro eest saab sõita 5 tundi.

Kontroll:

• ühik on tund;
• $3\cdot5+4=19$;
• vastus on mõistlik, sest alustasu võtab 4 eurot ja ülejäänud 15 eurot katab 5 tundi.

Teine näide

Klass tellib märkmikke. Ühe märkmiku hind on 2,50 eurot ja kohaletoimetamine maksab 6 eurot. Kui tellitakse $n$ märkmikku, siis

$$C=2{,}50n+6.$$

Kui klassis on 24 õpilast ja igaüks saab ühe märkmiku, siis

$$C=2{,}50\cdot24+6=66.$$

Eeldus: tükihind on püsiv ja kohaletoimetamine ühekordne.

Tüüpviga

Mudel ei ole tegelikkus ise. See jätab osa asju välja, seega küsi, millal mudel sobib.

Teine tüüpviga on valida muutujad, aga mitte öelda, mida nad tähendavad. $x$ üksi ei ole piisav; kirjuta “$x$ on tundide arv”.

Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Valem $y=3x+4$ ei ütle ainult arve: $x$ on tunnid ja $y$ on eurod.

Neljas tüüpviga on kasutada mudelit väljaspool mõistlikku piirkonda. Rattalaenutuse valem ei pruugi sobida negatiivse aja, väga pika rendi või päevapileti erihinna korral.

Teine seletusviis

Mudelit saab alustada tabeli, joonise, võrrandi või hinnanguga. Vali kuju, mis teeb seose nähtavaks.

Harjutused

Kitsas fookus: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Lai fookus: nimeta eeldused ja piirangud.

Lihtne kontroll

1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.
2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?

Rakendus

1. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast $t$ minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.
2. Millist eeldust teeb lineaarne mudel $y=3x+4$ rattalaenutuse näites?

Mõtlemisülesanne

1. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.
2. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?
3. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.

Vastused

1. $C=8+0{,}05s$, kus $s$ on sõnumite arv.
2. $C=8+0{,}05\cdot120=14$ eurot.
3. $V=200+15t$, kus $t$ on minutites ja $V$ liitrites.
4. Iga lisatund maksab sama palju ja alustasu on ainult üks kord, seega sobib lineaarmudel.
5. Näiteks: kas ühikud on õiged ja kas vastus on realistlik?
6. Siis, kui muutus ei ole püsiv, näiteks kasv kiireneb või aeglustub.
7. Sisend on tundide arv $x$, väljund on hind $y$; eeldus on, et iga lisatund maksab 3 eurot.

Seosed

Modelleerimine ühendab arvud, algebra, funktsioonid, geomeetria, statistika ja analüüsi. Järgmine peatükk tugevdab mudeli kontrolli: ühikud ja suurusjärk näitavad, kas vastus saab päriselus õige olla.