Negatiivsed arvud

Mõiste

Negatiivsed arvud on nullist väiksemad arvud. Arvteljel asuvad nad nullist vasakul.

Eeldus: oskad arve arvteljel järjestada ning tunned liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist naturaalarvudega.

Enne märgireegli kasutamist ütle, mida miinus selles olukorras tähendab: võlga, langust, vastassuunda või nullist väiksemat arvu.

Vastandarvud asuvad nullist sama kaugel, aga eri pooltel. Näiteks $5$ ja $-5$ on vastandarvud.

Negatiivne arv kirjeldab sageli puudujääki või suunda:

Arvteljel võib liitmist mõelda liikumisena:

• positiivse arvu liitmine viib paremale;
• negatiivse arvu liitmine viib vasakule;
• lahutamine viib vastassuunas, sest $a-b=a+(-b)$.

Reeglid

• Positiivse ja negatiivse arvu korrutis on negatiivne.
• Kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne.
• Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.

$$a-b=a+(-b).$$

Märgireeglid korrutamisel ja jagamisel:

Sulgude avamisel:

$$+(a-b)=a-b$$

$$-(a-b)=-a+b.$$

Miinus sulgude ees vahetab sulgudes olevate liikmete märgid.

Näide

$$-4+9=5.$$

Arvteljel tähendab see: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu paremale. Jõuad arvuni $5$.

$$-4-9=-13.$$

See tähendab: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu vasakule. Jõuad arvuni $-13$.

$$(-4)\cdot(-9)=36.$$

Temperatuuri näide: hommikul oli temperatuur $-7^\circ\text{C}$. Päeval tõusis see 5 kraadi:

$$-7+5=-2.$$

Pärastlõunal oli temperatuur $-2^\circ\text{C}$.

Raha näide: kui kontol on $-18$ eurot ja sinna laekub 25 eurot, siis uus seis on

$$-18+25=7.$$

Kui kontol on 7 eurot ja maksad 10 eurot, siis

$$7-10=-3,$$

ehk jääd 3 euroga miinusesse.

Sulgude avamine:

$$7-(3-8)=7-3+8=12.$$

Negatiivse arvuga korrutamine:

$$-2(5-9)=-10+18=8.$$

Vastus: näidetes saadakse 5, -13, 36, $-2^\circ\text{C}$, 7 eurot, -3 eurot, 12 ja 8.

Tüüpviga

Avaldised $-3^2$ ja $(-3)^2$ on erinevad:

$$-3^2=-9,\qquad (-3)^2=9.$$

Teine tüüpviga on miinusmärgi kaotamine sulgude ees:

$$10-(4+3)\ne10-4+3.$$

Õige on

$$10-(4+3)=10-4-3=3.$$

Kolmas tüüpviga on arvata, et suurem absoluutväärtus tähendab alati suuremat arvu. Tegelikult

$$-12< -3,$$

sest $-12$ asub arvteljel rohkem vasakul. Külma ilma näites on $-12^\circ\text{C}$ külmem kui $-3^\circ\text{C}$.

Neljas tüüpviga on lugeda avaldist $12-(-5)$ kui "12 miinus 5". Sulgudes olev miinus kuulub arvule -5; selle arvu lahutamine tähendab liikumist paremale.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $-7+12$.
2. Arvuta $-6\cdot4$.
3. Arvuta $(-6)\cdot(-4)$.
4. Ava sulud ja lihtsusta: $15-(8-5)$.

Rakendus

1. Ava sulud ja lihtsusta: $-3(2-7)$.
2. Hommikul oli temperatuur $-9^\circ\text{C}$. Päeval tõusis temperatuur 6 kraadi. Mis oli uus temperatuur?
3. Kontol on $-15$ eurot. Kontole laekub 40 eurot. Mis on uus kontoseis?

Mõtlemisülesanne

1. Arvteljel alustad arvust 3 ja liigud 8 sammu vasakule. Mis arvuni jõuad?
2. Kumb arv on suurem: $-4$ või $-11$? Põhjenda arvtelje abil.
3. Arvuta $12-(-5)$ ja selgita, miks vastus suureneb.
4. Poe kassa seis muutus hommikul -20 eurost õhtuks 35 euroni. Kui suur oli muutus?

Vastused

1. $5$, sest arvust -7 liigud 12 sammu paremale.
2. $-24$.
3. $24$.
4. $15-8+5=12$.
5. $-6+21=15$.
6. $-9+6=-3^\circ\text{C}$.
7. $-15+40=25$ eurot.
8. $3-8=-5$.
9. $-4$ on suurem, sest see asub arvteljel paremal.
10. $12-(-5)=12+5=17$. Negatiivse arvu lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.
11. Muutus oli $35-(-20)=55$ eurot.

Seosed

Negatiivseid arve on vaja võrrandites, koordinaatteljestikus, funktsioonides ja muutuse kirjeldamisel. Järgmises protsentide ja suhete peatükis kasutatakse sama mõtet muutuse arvutamisel: enne protsenti tuleb aru saada, kas suurus kasvas või vähenes.

Tehted ratsionaalarvudega

Mõiste

Ratsionaalarv on arv, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena

$$\frac ab,\qquad b\ne0.$$

Ratsionaalarv võib olla positiivne, negatiivne või null. Näiteks $-\frac34$, $1,2$ ja $-5$ on ratsionaalarvud, sest

$$1,2=\frac65,\qquad -5=\frac{-5}{1}.$$

Eeldus: oskad harilikke murde taandada, laiendada ja võrrelda ning tunned negatiivsete arvude märgireegleid.

Arvutamisel vali kuju, mis teeb tehte lihtsaks:

• harilike murdude liitmisel ja lahutamisel leia ühine nimetaja;
• lõplike kümnendmurdude puhul võib olla mugavam arvutada kümnendkujul;
• jagamisel asenda jagamine pöördarvuga korrutamisega;
• kui arvud on eri kujul, teisenda need enne tehet samasse sobivasse kujusse.

Kõiki harilikke murde ei saa kirjutada lõpliku kümnendmurruna. Näiteks $\frac13=0,333\ldots$, seega on täpses arvutuses sageli parem jätta vastus hariliku murruna.

Reeglid

Tehete järjekord on:

1. sulud;
2. astendamine;
3. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
4. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Murdude liitmine ja jagamine:

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,\qquad c\ne0.$$

Kahe arvu kaugus arvteljel on nende vahe absoluutväärtus:

$$d(a,b)=|a-b|.$$

Enne täpset arvutust hinda vastuse märki ja suurust. Näiteks $-2,9+1,1$ peab olema negatiivne ning ligikaudu $-2$.

Näide

Arvutame eri nimetajatega negatiivsete murdude summa:

$$-\frac34+\frac56=-\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac1{12}.$$

Jagame kümnendmurde:

$$-1,2:0,3=-4.$$

Segaarvuga avaldises teisendame kõigepealt segaarvu liigmurruks:

$$1\frac12-\frac23=\frac32-\frac23=\frac56.$$

Leidkem arvude $-2,5$ ja $1,25$ vaheline kaugus:

$$|-2,5-1,25|=|-3,75|=3,75.$$

Vastus: $\frac1{12}$, $-4$, $\frac56$ ja $3,75$.

Tüüpviga

Murdude nimetajaid ei liideta:

$$\frac12+\frac13\ne\frac25.$$

Õige on kasutada ühist nimetajat:

$$\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56.$$

Teine tüüpviga on märgi otsustamine enne jagamist valesti. Arvude absoluutväärtused annavad $1,2:0,3=4$, aga eri märgid annavad negatiivse vastuse $-4$.

Kolmas tüüpviga on teha liitmine enne korrutamist:

$$-2+3\cdot4=-2+12=10,$$

mitte $4$.

Neljas tüüpviga on ümardada vahetulemusi liiga vara. Kui täpne murd on olemas, hoia seda võimalikult kaua ja ümarda alles lõppvastus ülesandes nõutud järguni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $-\frac25+\frac3{10}$.
2. Arvuta $-1,8+0,65$.
3. Arvuta $\frac34:\left(-\frac12\right)$.
4. Arvuta $-2+5\cdot(-3)$.

Rakendus

1. Arvuta $2\frac14-\frac56$.
2. Leia arvude $-3,2$ ja $1,7$ vaheline kaugus arvteljel.
3. Hommikul oli temperatuur $-4,5^\circ\text{C}$ ja see tõusis $6,8^\circ\text{C}$. Leia uus temperatuur.
4. Kontoseis oli $-12,50$ eurot. Kontole laekus $30$ eurot ja seejärel tasuti $8,75$ eurot. Leia uus kontoseis.

Mõtlemisülesanne

1. Kumb on suurem: $-\frac58$ või $-0,6$? Põhjenda teisendamisega.
2. Arvuta $\left(-\frac23+\frac12\right):\frac5{12}$.
3. Leia viga arvutuses $-3+2\cdot(-4)=(-1)\cdot(-4)=4$ ja kirjuta õige lahendus.
4. Koosta avaldis, mille väärtus on $-2$ ning milles on üks negatiivne murd ja üks kümnendmurd.

Vastused

1. $-\frac25+\frac3{10}=-\frac4{10}+\frac3{10}=-\frac1{10}$.
2. $-1,15$, sest $1,8-0,65=1,15$ ja suurema absoluutväärtusega arv on negatiivne.
3. $\frac34\cdot(-2)=-\frac32=-1\frac12$.
4. $-2-15=-17$; korrutamine tehakse enne liitmist.
5. $\frac94-\frac56=\frac{27}{12}-\frac{10}{12}=\frac{17}{12}=1\frac5{12}$.
6. $|-3,2-1,7|=|-4,9|=4,9$ ühikut.
7. $-4,5+6,8=2,3^\circ\text{C}$.
8. $-12,50+30-8,75=8,75$ eurot.
9. $-0,6=-\frac35=-\frac{24}{40}$ ja $-\frac58=-\frac{25}{40}$; seega $-0,6$ on suurem, sest see asub arvteljel paremal.
10. $\left(-\frac46+\frac36\right):\frac5{12}=-\frac16\cdot\frac{12}{5}=-\frac25$.
11. Korrutamine tuleb teha enne liitmist: $-3+2\cdot(-4)=-3-8=-11$.
12. Näiteks $-\frac52+0,5=-2$. Võimalikke õigeid vastuseid on palju.

Seosed

Ratsionaalarvudega tehted on astendamise, protsentarvutuse, avaldiste, võrrandite ja funktsiooniväärtuste arvutamise alus. Järgmises arvuhulkade peatükis saab nähtavaks, kuhu ratsionaalarvud teiste arvude seas kuuluvad.

Arvuhulgad ja reaalarvud

Mõiste

Arvuhulk on arvude rühm. Sama arv võib kuuluda mitmesse rühma korraga. Põhilised arvuhulgad on:

Eeldus: oskad töötada murdude, kümnendmurdude ja negatiivsete arvudega ning tead, et sama arvu saab vahel kirjutada mitmel kujul.

• $\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
• $\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Reaalarvud ei ole eraldi “uus kast ainult uutele arvudele”: sinna kuuluvad ka kõik eelnevate hulkade arvud.

Need hulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

See tähendab, et iga naturaalarv on ka täisarv, iga täisarv on ka ratsionaalarv ja iga ratsionaalarv on ka reaalarv. Reaalarvude hulka kuuluvad lisaks irratsionaalarvud, mis ei kuulu ratsionaalarvude hulka.

Täisarvud kuuluvad ka ratsionaalarvude hulka, sest näiteks $-3=\frac{-3}{1}$. Sama ratsionaalarvu saab sageli kirjutada mitme murruna: näiteks $\frac12$, $\frac24$ ja $\frac48$ tähistavad sama arvu. Üldiselt tähistavad murrud $\frac ab$ ja $\frac cd$ sama ratsionaalarvu, kui $a\cdot d=b\cdot c$.

Murd on kirjutusviis; arv on väärtus, mida see kirjutusviis tähistab.

Mõnda ratsionaalarvu saab kirjutada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna: näiteks $\frac13=0,333\ldots$. Irratsionaalarvu ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Näide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Kuuluvust saab kontrollida tabelina:

Vastus: tabelis kuuluvad kõik arvud reaalarvude hulka, aga naturaalarvude hulka ainult $7$.

Tüüpviga

Lõpmatu kümnendmurd ei ole automaatselt irratsionaalne. Näiteks $0,333\ldots=\frac13$.

Teine tüüpviga on arvata, et iga ruutjuurega arv on irratsionaalne. Näiteks $\sqrt2$ on irratsionaalarv, aga $\sqrt9=3$ on naturaalarv.

Kolmas tüüpviga on märkida arv ainult kõige väiksemasse hulka. Kui arv $7$ on naturaalarv, siis ta kuulub ka hulkadesse $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$.

Praktiline kontroll: leia kõige kitsam sobiv hulk, siis lisa kõik sellest suuremad hulgad. Näiteks $-5$ algab täisarvudest, aga kuulub edasi ka ratsionaal- ja reaalarvudesse.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millistesse arvuhulkadesse kuulub -7?
2. Kirjuta 0,125 hariliku murruna.

Rakendus

1. Too üks irratsionaalarvu näide.
2. Millistesse arvuhulkadesse kuulub $\frac56$?

Mõtlemisülesanne

1. Kas $\sqrt9$ on irratsionaalarv?
2. Millistesse hulkadesse kuulub arv $\frac{7}{2}$?
3. Kas $\frac48$ ja $\frac12$ tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.
4. Millistesse hulkadesse kuulub arv $0$, kui sinu kokkuleppes $0\notin\mathbb{N}$?

Vastused

1. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $-7=\frac{-7}{1}$.
2. $0,125=\frac18$, seega arv on ratsionaalne.
3. Näiteks $\sqrt2$ või $\pi$, sest neid ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada.
4. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac56$ on kahe täisarvu jagatis.
5. Ei. $\sqrt9=3$, seega see on naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv ja reaalarv.
6. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac72=3,5$ ei ole täisarv.
7. Jah, sest $4\cdot2=8\cdot1$; mõlemad tähistavad arvu $\frac12$.
8. Siis $0\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{Q}$ ja $0\in\mathbb{R}$, sest $0=\frac01$; valitud kokkuleppes ei ole ta naturaalarv.

Seosed

Arvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.

Astmed, juured ja standardkuju

Mõiste

Aste $a^n$ tähendab, et arvu $a$ korrutatakse iseendaga $n$ korda. Ruutjuur $\sqrt a$ on arv, mis ruutu tõstes annab $a$; märgi $\sqrt{\ }$ all peetakse silmas positiivset või nulliga võrdset vastust.

Eeldus: oskad korrutada, jagada, töötada negatiivsete arvudega ning lugeda kümnendmurde kohaväärtuste järgi.

VII klassi põhitee on naturaalarvulise astendajaga aste, tehete järjekord, arvu kümme positiivsed ja negatiivsed astmed ning standardkuju. Ruutjuur ja üldine negatiivne astendaja on siin edasivaade, mida kasutatakse järgmistes klassides rohkem.

Reeglid

Standardkuju:

$$a\cdot10^n,\qquad 1\le a<10.$$

Standardkujus on arv kirjutatud nii, et esimene tegur on vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Astendaja näitab, mitu kohta koma liigub.

Kümne astendaja annab suurusjärgu: $10^7$ tähendab kümneid miljoneid, $10^{-4}$ väga väikest arvu.

Standardkuju leidmiseks:

1. Nihuta koma nii, et ette jääb arv vahemikus $1$ kuni $10$.
2. Loe, mitu kohta koma nihkus.
3. Kui algne arv oli suur ja koma liikus vasakule, on astendaja positiivne.
4. Kui algne arv oli väike ja koma liikus paremale, on astendaja negatiivne.

Näide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Siin liigub koma 5 kohta paremale, sest astendaja on positiivne. Kui astendaja oleks negatiivne, liiguks koma vasakule:

$$3,08\cdot10^{-5}=0,0000308.$$

Kontrollküsimus standardkuju puhul: kas vastus on algse arvuga sama suurusjärku? Näiteks $0,00045$ on väga väike arv, seega peab standardkujus olema negatiivne kümne astendaja.

Juurte näide:

$$\sqrt{49}=7,\qquad \sqrt{0,25}=0,5.$$

Vastus: $0,00045=4,5\cdot10^{-4}$, $72\,000\,000=7,2\cdot10^7$, $\sqrt{49}=7$.

Tüüpviga

Negatiivne astendaja ei tee arvu negatiivseks:

$$10^{-3}=0,001.$$

Ruutjuure märk $\sqrt a$ annab positiivse või nulliga võrdse ruutjuure:

$$\sqrt{16}=4,$$

mitte $\pm4$. Võrrandil $x^2=16$ on aga kaks lahendit: $x=4$ ja $x=-4$.

Standardkujus on tavaline komaviga panna astendajale vale märk:

$$0,00082\ne8,2\cdot10^4.$$

Õige on

$$0,00082=8,2\cdot10^{-4}.$$

Kui korrutad arvuga $10^4$, muutub arv suuremaks. Väikese arvu kirjeldamiseks peab siin olema $10^{-4}$.

Teine tüüpviga on jätta esimene tegur standardkujus liiga suureks:

$$72\cdot10^6$$

ei ole standardkuju, sest $72$ ei ole väiksem kui $10$. Standardkuju on

$$7,2\cdot10^7.$$

Kolmas tüüpviga on sulud ära jätta negatiivse arvu astendamisel:

$$(-3)^2=9,\qquad -3^2=-9.$$

Esimeses avaldises tõstetakse ruutu kogu arv -3; teises avaldises tõstetakse ruutu ainult 3 ja miinus jääb ette.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $2^5\cdot2^3$.
2. Lihtsusta $\frac{7^6}{7^2}$.
3. Kirjuta standardkujus $0,00082$.
4. Kirjuta tavakujus $6,4\cdot10^3$.

Rakendus

1. Leia $\sqrt{81}$.
2. Kirjuta standardkujus $53\,000\,000$.
3. Kirjuta standardkujus $0,000031$.
4. Arvuta $(-4)^2$ ja $-4^2$.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjuta tavakujus $4,7\cdot10^{-3}$.
2. Paranda viga: $0,006=6\cdot10^3$.
3. Miks $18,2\cdot10^5$ ei ole standardkuju?
4. Maa läbimõõt on ligikaudu $12\,700$ km. Kirjuta see standardkujus.

Vastused

1. $2^8=256$, sest sama alusega astmete korrutamisel astendajad liituvad.
2. $7^4$, sest jagamisel astendajad lahutuvad: $6-2=4$.
3. $8,2\cdot10^{-4}$, sest koma liigub arvuni 8,2 neli kohta paremale.
4. $6400$, sest $10^3$ nihutab koma kolm kohta paremale.
5. $9$, sest $9^2=81$.
6. $5,3\cdot10^7$, seega arv on kümnete miljonite suurusjärgus.
7. $3,1\cdot10^{-5}$, sest arv on väiksem kui üks ja koma liigub 5 kohta paremale.
8. $(-4)^2=16$, aga $-4^2=-16$; sulud näitavad, kas ruutu tõstetakse ka miinus.
9. $0,0047$, sest $10^{-3}$ nihutab koma kolm kohta vasakule.
10. Õige on $0,006=6\cdot10^{-3}$, sest algne arv on väike.
11. Esimene tegur peab olema vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Õige standardkuju on $1,82\cdot10^6$.
12. $1,27\cdot10^4$ km, suurusjärk on kümned tuhanded kilomeetrid.

Seosed

Astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks $\sqrt2$ kaudu.

Protsendid, suhted ja võrded

Mõiste

Protsent tähendab sajandikku:

$$1\%=\frac{1}{100}=0,01.$$

Promill tähendab tuhandikku:

$$1\text{‰}=\frac{1}{1000}=0,001=0,1\%.$$

Suhe võrdleb kahte suurust. Võrre on kahe suhte võrdsus.

Eeldus: oskad murde ja kümnendmurde teisendada ning saad aru, et protsent, murd ja kümnendmurd võivad kirjeldada sama osa tervikust.

Põhireeglid

Arvu $p\%$ leidmine arvust $A$:

$$\frac{p}{100}\cdot A.$$

Enne arvutamist määra tervik: mis on siin $100\%$? Alles siis küsi, millist osa otsid.

Kui suurus kasvab $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1+\frac{p}{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1-\frac{p}{100}.$$

Protsendi muutus sõltub alati algsest suurusest. Kui hind muutub $80$ eurolt $92$ eurole, siis muutus on

$$92-80=12$$

ja protsendiline muutus on

$$\frac{12}{80}\cdot100\%=15\%.$$

Protsendipunkt kirjeldab kahe protsendi vahet. Kui intress tõuseb $3\%$ pealt $5\%$ peale, siis muutus on $2$ protsendipunkti. Suhteline kasv on aga

$$\frac{5-3}{3}\cdot100\%\approx66,7\%.$$

Võrret saab lahendada ristkorrutisega:

$$\frac ab=\frac cd \quad \Longleftrightarrow \quad a\cdot d=b\cdot c.$$

Suhet $2:3$ võib lugeda nii: iga 2 osa esimese suuruse kohta on 3 osa teist suurust. Kui joogis on mahla ja vett suhtes $2:3$, siis kokku on 5 osa. Mahla osa kogu joogist on $\frac25=40\%$.

Promilli kasutatakse siis, kui sajandik on kirjeldamiseks liiga suur ühik. Näiteks $4\text{‰}=0,004=0,4\%$.

Näide

Kui 80 eurot kallineb 15%, siis uus hind on

$$80\cdot1,15=92.$$

Kui 92 eurot odavneb 15%, siis uus hind ei ole 80 eurot, vaid

$$92\cdot0,85=78,20.$$

Võrde näide:

$$\frac{x}{12}=\frac{5}{3}.$$

Ristkorrutis annab

$$3x=12\cdot5=60,$$

seega

$$x=20.$$

Suhte näide: kui klassis on poisse ja tüdrukuid suhtes $2:3$ ning õpilasi on kokku 25, siis kokku on 5 võrdset osa. Üks osa on

$$25:5=5.$$

Poisse on $2\cdot5=10$ ja tüdrukuid $3\cdot5=15$.

Promilli näide: $3\text{‰}$ arvust 5000 on

$$5000\cdot\frac3{1000}=15.$$

Vastus: uued hinnad on 92 eurot ja 78,20 eurot; võrrandist $x=20$; klassis on 10 poissi ja 15 tüdrukut; $3\text{‰}$ arvust 5000 on 15.

Tüüpviga

Kui hind langeb 20% ja siis tõuseb 20%, ei jõua hind tagasi algsele tasemele. Protsendid võetakse erinevatest alustest.

Enne protsendi leidmist nimeta tervik ehk $100\%$. Kui tervik vahetub, vahetub ka protsendi väärtus.

Teine tüüpviga on ajada protsent ja protsendipunkt segi. Muutus $40\%$ pealt $50\%$ peale on $10$ protsendipunkti, mitte $10\%$ suhteline muutus.

Kolmas tüüpviga on lugeda suhet $2:3$ nii, nagu esimene suurus oleks $\frac23$ tervikust. Tegelikult on tervik $2+3=5$ osa, seega esimene suurus on $\frac25$ tervikust.

Teine seletusviis

Protsenti saab näha pildina: 100 võrdsest ruudust 25 ruutu on $25\%$. Sama mõte arvuna on $\frac{25}{100}=0,25$.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Protsent on piltlikult osa sajast, arvuliselt kümnendmurd ja algebraliselt võrre. $25\%=0,25=\frac14$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $25\%$ arvust $160$.
2. Hind $120$ eurot kallineb $10\%$. Leia uus hind.
3. Kirjuta $75\%$ hariliku murru ja kümnendmurruna.
4. Kirjuta $6\text{‰}$ kümnendmurru ja protsendina.

Rakendus

1. Hind $120$ eurot odavneb $10\%$. Leia uus hind.
2. Lahenda võrre $\frac{x}{9}=\frac43$.
3. Koolilaadal maksis kohvikus pirukas 1,60 eurot. Päeva lõpus tehti hinnale 25% allahindlust. Mis oli uus hind?
4. Mahl ja vesi on suhtes $2:3$. Kui jooki on kokku 1 liiter, mitu liitrit on mahla?

Mõtlemisülesanne

1. Töötuse määr tõusis $6\%$ pealt $8\%$ peale. Mitme protsendipunkti võrra see tõusis?
2. Klassis on 24 õpilast. Neist 75% sõidab kooli bussi või trammiga. Mitu õpilast see on?
3. Hind tõusis 50 eurolt 60 euroni. Leia protsendiline muutus.
4. Hind 100 eurot langeb 20% ja tõuseb siis uuelt hinnalt 20%. Kas hind on jälle 100 eurot?

Vastused

1. $40$, sest see on veerand arvust 160.
2. $132$ eurot, sest tervik on 120 eurot ja 10% sellest on 12 eurot.
3. $75\%=\frac34=0,75$, see tähendab 75 osa sajast ehk kolm neljandikku tervikust.
4. $6\text{‰}=0,006=0,6\%$; promill on tuhandik ja protsent sajandik.
5. $108$ eurot.
6. $x=12$.
7. $1,60\cdot0,75=1,20$ eurot.
8. Kokku on $2+3=5$ osa; mahla on 2 osa, seega $\frac25$ liitrit ehk 0,4 liitrit.
9. $2$ protsendipunkti, sest $8\%-6\%=2\%$-punkti.
10. $24\cdot0,75=18$ õpilast.
11. Muutus on 10 eurot ja $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
12. Ei. Pärast langust on hind 80 eurot ja pärast tõusu $80\cdot1,20=96$ eurot.

Seosed

Protsendid on seotud statistika, intressi, tõenäosuse ja lineaarsete mudelitega. Järgmistes peatükkides kasutatakse sama osa-terviku mõtet astmete, standardkuju ja hiljem funktsioonide kasvumudelite juures.

Tabelid, diagrammid ja keskmised

Mõiste

Statistika aitab andmeid tõlgendada.

Eeldus: oskad liita, jagada, järjestada arve ning lugeda lihtsat tabelit.

Põhimõisted

• Sagedus: mitu korda väärtus esineb.
• Suhteline sagedus: sageduse osa kõigist andmetest.
• Aritmeetiline keskmine: summa jagatud väärtuste arvuga.
• Mediaan: järjestatud andmete keskmine väärtus.
• Mood: kõige sagedasem väärtus.

Sagedustabel näitab, mitu korda väärtused korduvad.

Andmete analüüsimisel on hea liikuda kindlas järjekorras:

1. korrasta andmed tabelisse;
2. leia sagedused;
3. arvuta keskmine, mediaan ja mood;
4. vaata, kas andmetes on erandeid;
5. sõnasta järeldus.

Näide

Andmed: 2, 4, 4, 5, 10.

Keskmine:

$$\frac{2+4+4+5+10}{5}=5.$$

Mediaan on 4 ja mood on 4.

Sagedustabel:

Erandi korral võib mediaan olla tüüpilisem kui keskmine. Näiteks andmetes 2, 4, 4, 5, 100 on keskmine

$$\frac{2+4+4+5+100}{5}=23,$$

aga mediaan on 4.

Väikese andmestiku täielik analüüs

Küsiti 10 õpilaselt, mitu minutit nad eelmisel päeval matemaatikat harjutasid:

$$10,\ 15,\ 20,\ 20,\ 25,\ 30,\ 30,\ 30,\ 45,\ 75.$$

Sagedustabel:

Keskmine:

$$\frac{10+15+20+20+25+30+30+30+45+75}{10}=\frac{300}{10}=30.$$

Mediaan: andmeid on 10, seega võtame 5. ja 6. väärtuse:

$$\frac{25+30}{2}=27,5.$$

Mood on 30, sest 30 minutit esineb kõige sagedamini.

Vastus: tüüpiline harjutamise aeg oli umbes 30 minutit. Väärtus 75 tõstab keskmist üles; mediaan on 27,5 minutit.

Diagrammi valik sõltub küsimusest: tulpdiagramm võrdleb rühmi, joondiagramm muutust ajas ja sektordiagramm terviku jaotust.

Tüüpviga

Keskmine ei pruugi kirjeldada tüüpilist väärtust, kui andmetes on suur erand.

Teine tüüpviga on mediaani leidmine ilma andmeid järjestamata. Mediaani jaoks tuleb andmed alati enne suuruse järjekorda panna.

Kolmas tüüpviga on kirjutada järeldus ilma andmeteta. Väide “õpilased harjutasid palju” on ebamäärane. Parem on: “Kõige sagedasem harjutamise aeg oli 30 minutit ja mediaan oli 27,5 minutit.”

Teine seletusviis

Andmeid saab lugeda jutuna: mida mõõdeti, mida võrreldakse ja mis on tavaline või erandlik.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 aritmeetiline keskmine.
2. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mediaan.
3. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mood.
4. Andmed on 1, 2, 2, 3, 40. Kumb kirjeldab tüüpilist väärtust paremini: keskmine või mediaan?

Rakendus

1. Tee sagedustabel andmetele 1, 1, 2, 4, 4, 4.
2. Leia andmete 6, 8, 8, 10, 13, 15 aritmeetiline keskmine.
3. Leia samade andmete mediaan.
4. Tartu kooli spordipäeval koguti kaugushüppe tulemused meetrites: 2,1; 2,4; 2,4; 2,8; 3,0. Leia mediaan.

Mõtlemisülesanne

1. Leia samade andmete mood.
2. Õpilaste lugemisaeg minutites oli 5, 10, 10, 15, 20, 60. Leia keskmine ja mediaan. Kumb kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini?
3. Millist diagrammi kasutaksid, kui võrdled lemmikspordialade valikuid?
4. Kui 30 õpilasest 12 valis korvpalli, leia korvpalli suhteline sagedus.

Vastused

1. $6$, sest summa 30 jagatakse 5 väärtusega.
2. $4$, sest järjestatud andmete keskel on 4.
3. $3$, sest see esineb kõige sagedamini.
4. Mediaan, sest $40$ tõstab aritmeetilist keskmist palju.
5. $1$: 2 korda, $2$: 1 kord, $4$: 3 korda.
6. $\frac{6+8+8+10+13+15}{6}=10$.
7. $\frac{8+10}{2}=9$.
8. $2,4$ m.
9. $8$.
10. Keskmine on $\frac{120}{6}=20$, mediaan on $\frac{10+15}{2}=12,5$. Mediaan kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini, sest 60 minutit on erandlikult suur.
11. Tulpdiagrammi, sest võrreldakse valikurühmi.
12. $\frac{12}{30}=0,4=40\%$ õpilastest; suhteline sagedus on osa kõigist.

Seosed

Statistika toetab tõenäosust, uurimistöid, mudelite hindamist ja andmepõhist otsustamist. Järgmises peatükis muutub suhteline sagedus sillaks tõenäosuse mõisteni.

Tõenäosuse alused

Mõiste

Tõenäosus näitab sündmuse toimumise võimalust. See on arv vahemikus 0 kuni 1.

Eeldus: oskad töötada murdudega, lugeda sagedustabelit ja eristada soodsaid tulemusi kõigist võimalikest tulemustest.

Valem

Kui kõik tulemused on võrdvõimalikud, siis

$$P(A)=\frac{\text{soodsate tulemuste arv}}{\text{kõikide tulemuste arv}}.$$

Pildi või tabeli järgi kontrolli: lugejas on soodsad tulemused, nimetajas kõik sama katse võrdvõimalikud tulemused.

Kindel sündmus on tõenäosusega $1$. Võimatu sündmus on tõenäosusega $0$.

$$0\le P(A)\le1.$$

Kui arvutus annab alla 0 või üle 1, on kuskil loenduse, nimetaja või sündmuste kattumise viga.

Tõenäosus on mudeli järgi oodatav osa. Suhteline sagedus on päris katse tulemus: kui sündmus toimus 30 katsest 12 korda, siis suhteline sagedus on $\frac{12}{30}=0,4$. Paljude katsete korral võib see anda hinnangu tõenäosusele, kuid väheste katsete puhul võib juhus palju kõikuda.

Gümnaasiumis lisandub tinglik tõenäosus: kui tead, et sündmus $B$ juba toimus, siis küsid sündmuse $A$ tõenäosust selle uue info korral.

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0.$$

Näide

Täringut visates on paarisarvu saamise tõenäosus

$$P=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Soodsad tulemused on 2, 4 ja 6. Kõik võimalikud tulemused on 1, 2, 3, 4, 5 ja 6.

Kahe mündiviske võimalusi saab näidata puudiagrammiga.

Kahe mündiviske tulemused on HH, HK, KH ja KK. Täpselt ühe kulli saamiseks on soodsad tulemused HK ja KH, seega

$$P(\text{täpselt üks kull})=\frac24=\frac12.$$

Vastus: paarisarvu tõenäosus täringul on $\frac12$ ja täpselt ühe kulli tõenäosus kahe mündiviske korral on $\frac12$.

Kui klassis on 12 tüdrukut ja 8 poissi ning loositakse üks õpilane nende hulgast, kes käivad matemaatikaringis, siis nimetaja ei ole kogu klass, vaid ainult matemaatikaringis käijad. See on tingliku tõenäosuse mõte.

Tüüpviga

Tõenäosused liidetakse ainult siis, kui sündmused ei kattu, või tuleb kattuv osa eraldi arvesse võtta.

Näiteks täringul sündmused "paarisarv" ja "suurem kui 3" kattuvad tulemuste 4 ja 6 juures. Seetõttu ei saa nende tõenäosusi otse liita.

Teine tüüpviga on kasutada tinglikus tõenäosuses vale nimetajat. Kui tingimus kitsendab valikut, tuleb kõik võimalused lugeda ainult selle tingimuse seest.

Kolmas tüüpviga on eeldada, et kõik tulemused on alati võrdvõimalikud. Täringu tulemused on tavaliselt võrdvõimalikud, aga näiteks klassist juhuslikult valitud õpilase huviring ei pruugi olla igas rühmas sama jaotusega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv 5?
2. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv, mis on suurem kui 4?

Rakendus

1. Münti kaks korda visates, kui suur on tõenäosus saada kaks kulli?
2. Kotis on 3 punast ja 2 sinist palli. Kui valid ühe palli, kui suur on tõenäosus saada sinine?
3. Klassi loosikastis on 6 sinist, 3 rohelist ja 1 kollane pilet. Kui valid ühe pileti, kui suur on tõenäosus saada roheline?

Mõtlemisülesanne

1. Miks peab kontrollima, kas sündmused kattuvad?
2. Spordipäeva loosimisel võidavad auhinna kõik, kes tõmbavad sinise või kollase pileti. Kui loosikast on eelmise ülesande oma, kui suur on võidu tõenäosus?
3. Klassis on 10 tüdrukut ja 14 poissi. Matemaatikaringis käib 4 tüdrukut ja 2 poissi. Kui tead, et loositud õpilane käib matemaatikaringis, kui suur on tõenäosus, et ta on tüdruk?
4. Kui katset tehti 40 korda ja sündmus toimus 18 korda, mis on sündmuse suhteline sagedus?

Vastused

1. Üks soodne tulemus kuuest: $\frac16$, mis jääb vahemikku 0 kuni 1.
2. Soodsad tulemused on 5 ja 6, kokku kaks tulemust kuuest: $\frac26=\frac13$.
3. Üks soodne tulemus neljast võrdvõimalikust tulemuste paarist: $\frac14$.
4. Siniseid palle on 2 ja palle kokku 5, seega $\frac25$.
5. Rohelisi pileteid on 3 ja pileteid kokku 10, seega $\frac3{10}$.
6. Kui sündmused kattuvad, loetakse kattuvad tulemused lihtsal liitmisel kaks korda.
7. Sinised ja kollased piletid ei kattu, seega soodsaid on 7 kõigist 10-st: $\frac7{10}$.
8. Tingimus kitsendab valiku matemaatikaringi: seal on 6 õpilast, neist 4 tüdrukut, seega $P=\frac46=\frac23$.
9. Suhteline sagedus on $\frac{18}{40}=0,45=45\%$; see on katse tulemus, mitte kindel tõenäosus.

Seosed

Tõenäosus seostub statistika, kombinatoorika, juhuslike protsesside ja riskide hindamisega. Järgmises kombinatoorika peatükis õpid loendama kõiki võimalusi siis, kui ükshaaval üleskirjutamine muutub liiga aeglaseks või veaohtlikuks.

Muutuja ja avaldis

Mõiste

Muutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.

Tekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses "$p$ on pileti hind eurodes" on $p$ arv ja euro on ühik.

Erista kolme asja: täht on muutuja nimi, asendatav arv on muutuja väärtus ja ühik ütleb, mida see arv mõõdab.

Eeldus: oskad tehete järjekorda, negatiivsete arvudega arvutamist ja lihtsat tekstülesannet arvutuseks tõlkida.

Avaldises ei pea olema võrdusmärki. Võrrand tekib siis, kui kaks avaldist pannakse võrduma.

Avaldise väärtuse leidmiseks asenda muutujad antud arvudega ja järgi tehete järjekorda.

Asendamisel tee kolm sammu:

1. kirjuta avaldis ümber nii, et muutujate asemele tulevad sulgudes arvud;
2. arvuta astmed, sulud ja korrutised;
3. lõpuks liida ja lahuta.

Näide

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Kui $a=4$ ja $b=7$, siis

$$S=4\cdot7=28.$$

Avaldise väärtus:

$$2x+3y$$

kui $x=5$ ja $y=-2$, on

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4.$$

Mitmeastmeline asendamine:

$$3x^2-2y+4$$

kui $x=-2$ ja $y=5$, on

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot5+4=3\cdot4-10+4=12-10+4=6.$$

Pane tähele, et negatiivne arv pannakse astme korral sulgudesse: $(-2)^2=4$.

Vastus: ristküliku pindala on 28, avaldise $2x+3y$ väärtus on 4 ja avaldise $3x^2-2y+4$ väärtus on 6.

Kontroll: asendamisel pannakse negatiivne arv sulgudesse, et aste rakenduks kogu arvule, mitte ainult numbrile 2.

Lihtsustamine

Sarnaseid liikmeid saab koondada:

$$3x+5x=8x.$$

Sarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:

$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$

Sulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Kui sulgude ees on miinusmärk, muutuvad märgid:

$$-(x-4)=-x+4.$$

Mitmeastmeline lihtsustamine:

$$2(x+3)-4x+5(x-1).$$

Kõigepealt ava sulud:

$$2x+6-4x+5x-5.$$

Seejärel koonda sarnased liikmed:

$$2x-4x+5x+6-5=3x+1.$$

Kui avaldises on mitu muutujat, koonda iga tüüpi liikmed eraldi:

$$4a-3b+2a+7b-5=6a+4b-5.$$

Tüüpviga

Avaldis $3x$ tähendab $3\cdot x$, mitte arvu, mille kümneliste number on 3.

Teine tüüpviga on koondada mittesarnaseid liikmeid:

$$3x+5\ne8x.$$

Kolmas tüüpviga on sulgude avamisel korrutada ainult esimest liiget:

$$2(x+5)\ne2x+5.$$

Õige on

$$2(x+5)=2x+10.$$

Neljas tüüpviga on kaotada asendamisel negatiivse arvu sulud:

$$x^2\text{ kui }x=-3\quad\text{on}\quad(-3)^2=9,$$

mitte $-3^2=-9$.

Viies tüüpviga on koondada ainult kordajad ja unustada muutujad:

$$2a+3b$$

ei lihtsustu kujule $5ab$. Need ei ole sarnased liikmed.

Teine seletusviis

Muutuja on nagu tühi koht lauses. Enne arvutamist ütle see lause välja: "$x$ tähendab ...".

Tekstist avaldiseks minnes küsi, mis kordub ja mis lisandub üks kord. Kui teenustasu lisandub kogu ostule, on 4 pileti hind $4p+2$; kui teenustasu lisandub iga pileti juurde, on hind $4(p+2)$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia avaldise $4x-3$ väärtus, kui $x=5$.
2. Leia avaldise $2a+b$ väärtus, kui $a=-1$ ja $b=7$.
3. Lihtsusta $6x+2x-5$.
4. Lihtsusta $3y^2+4y-y^2$.

Rakendus

1. Ava sulud ja lihtsusta $2(x-3)+5x$.
2. Leia avaldise $3x^2-2x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $4(a+2)-3a+5$.

Mõtlemisülesanne

1. Lihtsusta $2x-3y+5x+7y-4$.
2. Ava sulud ja lihtsusta $5-(2x-3)$.
3. Leia avaldise $ab+2a-b$ väärtus, kui $a=3$ ja $b=-4$.
4. Pilet maksab $p$ eurot ja teenustasu on 2 eurot. Kirjuta avaldis 4 pileti koguhinna jaoks.
5. Kirjuta avaldis 4 pileti hinna jaoks, kui 2-eurone teenustasu lisandub iga pileti juurde eraldi.

Vastused

1. $17$, sest $4\cdot5-3=17$.
2. $5$, sest $2\cdot(-1)+7=5$.
3. $8x-5$, sest koondada saab ainult $x$-liikmed.
4. $2y^2+4y$, sest $y^2$ ja $y$ ei ole sarnased liikmed.
5. $2x-6+5x=7x-6$, sest sulgude ees olev 2 korrutab mõlemat liiget.
6. $3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)+1=12+4+1=17$, sest negatiivne arv pannakse astme jaoks sulgudesse.
7. $4a+8-3a+5=a+13$, sest $a$-liikmed ja arvliikmed koondatakse eraldi.
8. $7x+4y-4$, sest $x$-liikmed ja $y$-liikmed koondatakse eraldi.
9. $5-2x+3=8-2x$, sest miinus sulgude ees muudab märgid.
10. $3\cdot(-4)+2\cdot3-(-4)=-12+6+4=-2$.
11. $4p+2$, kui teenustasu lisandub kogu ostule ühe korra.
12. $4(p+2)$, sest iga pileti hinnale lisandub 2 eurot.

Seosed

Avaldised on võrrandite, funktsioonide ja valemite keel. Järgmises peatükis kasutatakse avaldisi juba võrduste ja võrratuste koostamiseks.

Võrrandid ja võrratused

Mõiste

Võrrandis otsime tundmatu väärtust, mis teeb võrduse tõeseks. Võrratus kirjeldab, millal üks avaldis on teisest suurem või väiksem.

Eeldus: oskad lihtsustada avaldisi, töötada negatiivsete arvudega ja kontrollida vastust asendamisega.

Lahendihulk on kõigi lahendite hulk. Näiteks kui võrrandi ainus lahend on $5$, siis lahendihulk on

$$L=\{5\}.$$

Võrrand võib anda ühe arvu; võrratus annab sageli terve piirkonna arvteljel.

Võrratusel võib olla lõpmatult palju lahendeid. Näiteks $x>3$ tähendab kõiki arve, mis on suuremad kui $3$.

Tekstülesande muutmine võrrandiks:

1. vali tundmatu ja ütle, mida see tähendab;
2. kirjuta tekstist avaldised;
3. pane avaldised võrrandisse või võrratusse;
4. lahenda;
5. kontrolli vastust algses olukorras.

Tekstülesandes peab vastus sobima ühiku ja piiranguga: inimeste arv ei saa olla 2,5 ning pikkus ei saa olla negatiivne.

Reegel

Võrrandi mõlemal poolel võib teha sama tehte. Võrratuse puhul pöördub märk, kui korrutada või jagada negatiivse arvuga.

Näiteks:

$$-2x<6.$$

Jagame mõlemad pooled arvuga $-2$. Kuna jagame negatiivse arvuga, pöördub märk:

$$x>-3.$$

Näide

$$3x-5=10$$

$$3x=15$$

$$x=5.$$

Kontroll:

$$3\cdot5-5=15-5=10.$$

Seega

$$L=\{5\}.$$

Võrratuse näide:

$$4-3x\le 13$$

$$-3x\le9$$

$$x\ge-3.$$

Kontrollime lahendihulka prooviväärtustega. Kui $x=-3$, siis

$$4-3\cdot(-3)=13,$$

seega piirpunkt sobib, sest märk on $\le$. Kui $x=0$, siis

$$4-3\cdot0=4\le13,$$

sobib. Kui $x=-4$, siis

$$4-3\cdot(-4)=16,$$

ei sobi, sest $16\le13$ on väär. See kinnitab, et lahendihulk on kõik arvud, mille korral $x\ge-3$.

Tekstülesande mudel

Kinopilet maksab 6 eurot ja broneerimistasu on 2 eurot. Kui palju pileteid saab osta, kui raha on kuni 32 eurot?

Olgu $x$ piletite arv. Kulu on

$$6x+2.$$

Kuna raha võib kuluda kuni 32 eurot, saame võrratuse

$$6x+2\le32.$$

Lahendame:

$$6x\le30,$$

$$x\le5.$$

Kuna piletite arv peab olema täisarv ja mitte negatiivne, saab osta kuni 5 piletit.

Tüüpviga

Võrrandi lahend peab sobima algsesse võrrandisse. Kontroll asendamisega aitab vigu leida.

Võrratuse kõige sagedasem viga on märgi pööramata jätmine negatiivsega korrutamisel või jagamisel:

$$-x<4 \quad \Longrightarrow \quad x>-4.$$

Teine tüüpviga on kontrollida võrratust ainult ühe sobiva arvuga. Kui saad $x>-4$, kontrolli ühte arvu lahendihulgast ja ühte väljastpoolt. Siis näed, kas suund on õige.

Kolmas tüüpviga on tekstülesandes unustada piirangud. Kui $x$ loendab inimesi või pileteid, siis $x$ peab olema täisarv ja $x\ge0$.

Neljas tüüpviga on piirpunkti valesti kaasata. $x\ge4$ sisaldab arvu $4$, aga $x>4$ ei sisalda.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Võrrandit saab näha tasakaaluna, arvulise kontrollina ja algebraliselt samade tehete tegemisena mõlemal poolel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x+7=15$.
2. Lahenda $5x-3=2x+9$.
3. Lahenda $x+4>10$.
4. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

1. Kontrolli, kas $x=4$ on võrrandi $3x-2=10$ lahend.
2. Lahenda $7-2x<15$ ja kontrolli lahendihulka kahe prooviväärtusega.
3. Tekstülesanne: vihik maksab 2 eurot ja pliiats 1 euro. Kui ostetakse $x$ vihikut ja üks pliiats ning kulub 11 eurot, leia $x$.
4. Tallinna klassiekskursiooni eelarves arvestatakse õpilase kinopiletiks 6 eurot ja joogipudeliks 2 eurot. Kui kulus 26 eurot ning osteti $x$ piletit ja üks joogipudel, leia $x$.

Mõtlemisülesanne

1. Tekstülesanne: bussipilet maksab 3 eurot. Sul on 20 eurot. Mitu piletit saad kõige rohkem osta?
2. Lahenda $4x+1\ge 2x+9$.
3. Kontrolli, kas $x=-5$ kuulub võrratuse $-2x\le8$ lahendihulka.
4. Lahenda $2x-5<3$ ja otsusta, kas $x=4$ kuulub lahendihulka.

Vastused

1. $x=4$, $L=\{4\}$.
2. $3x=12$, seega $x=4$ ja $L=\{4\}$.
3. $x>6$.
4. $x\ge-4$, sest negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk pöördub.
5. Jah, sest $3\cdot4-2=10$.
6. $-2x<8$, seega $x>-4$. Näiteks $x=0$ sobib: $7<15$; $x=-5$ ei sobi: $17<15$ on väär.
7. $2x+1=11$, seega $x=5$; vastus sobib, sest vihikute arv on täisarv.
8. $6x+2=26$, seega $x=4$; vastus sobib, sest piletite arv on täisarv.
9. $3x\le20$, seega $x\le\frac{20}{3}$. Kõige rohkem saab osta 6 piletit, sest 6 piletit maksab 18 eurot ja 7 piletit maksaks 21 eurot.
10. $2x\ge8$, seega $x\ge4$; kontrolliks $x=4$ teeb pooled võrdseks.
11. Ei. $-2\cdot(-5)=10$ ja $10\le8$ on väär.
12. $2x<8$, seega $x<4$. Arv $4$ ei kuulu lahendihulka, sest märk on range.

Seosed

Võrrandid on tekstülesannete, funktsioonide nullkohtade ja geomeetriliste mudelite tööriist. Järgmistes algebra peatükkides lahendatakse neid avaldiste teisendamise, hulkliikmete ja tegurdamise abil.

Koordinaatteljestik

Mõiste

Punkti asukohta tasandil kirjeldab paar (x; y). Esimene arv näitab liikumist horisontaalselt, teine vertikaalselt.

Selles materjalis eraldab koordinaate semikoolon, sest koma kasutatakse kümnendkohana.

Eeldus: oskad kasutada negatiivseid arve ja lugeda arvteljel paremat, vasakut, üles- ja allasuunda.

Horisontaalne telg on $x$-telg. Vertikaalne telg on $y$-telg. Telgede lõikepunkt on alguspunkt (0;0).

Punkti lugemise järjekord:

1. alusta alguspunktist;
2. liigu $x$ järgi paremale või vasakule;
3. liigu $y$ järgi üles või alla.

Märgid ütlevad suuna:

Koordinaatide märgid veerandites:

Kui üks koordinaat on null, asub punkt teljel:

Näide

Punkt (3; -2) asub 3 ühikut paremal ja 2 ühikut allpool alguspunkti.

Punkt (-4; 2) asub 4 ühikut vasakul ja 2 ühikut üleval. See on II veerandis.

Punkt (0; -5) ei ole üheski veerandis, sest ta asub $y$-teljel.

Punktide lugemisel kontrolli alati järjekorda:

$$P(x;y).$$

Esimene arv on horisontaalne liikumine, teine vertikaalne liikumine.

Funktsiooni graafikul saab sama punktipaar tähendada sisendit ja väljundit: $x$ on sisend, $y$ on sellele vastav väärtus.

Tõlgendus: funktsiooni punkt (x;y) tähendab seost $y=f(x)$: vali sisend $x$, arvuta väljund $y$.

Kui seos on antud tabeli, valemi ja graafikuna, peavad samad sisendid andma samad väljundid.

Tüüpviga

Koordinaatide järjekord on oluline. Punkt (3; -2) ei ole sama mis (-2; 3).

Teine tüüpviga on vahetada telgede suunad: positiivne $x$ liigub paremale ja positiivne $y$ liigub üles.

Kolmas tüüpviga on arvata, et teljel olev punkt kuulub mõnda veerandisse. Veerandid on telgede vahelised piirkonnad; teljed ise veerandisse ei kuulu.

Neljas tüüpviga on graafikul punktid ühendada enne, kui on selge, mida punktid tähendavad. Mõnikord on mõistlik ainult üksikud punktid, mõnikord pidev joon.

Teine seletusviis

Koordinaat on teejuhis: esimene arv ütleb liikumise paremale või vasakule, teine üles või alla.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millises veerandis asub punkt (4;5)?
2. Millises veerandis asub punkt (-4;5)?
3. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini (-3;-2).
4. Mis on punkti (0;6) eriline omadus?

Rakendus

1. Kas punktid (2;-1) ja (-1;2) on samad?
2. Millises veerandis asub punkt (-6;-1)?
3. Millises veerandis asub punkt (7;-3)?

Mõtlemisülesanne

1. Kus asub punkt (8;0)?
2. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini (5;-4).
3. Kirjuta üks punkt igast veerandist.
4. Kui punkt (4;9) on funktsiooni graafikul, siis mis on sisend ja mis on väljund?

Vastused

1. I veerandis, sest mõlemad koordinaadid on positiivsed.
2. II veerandis, sest $x$ on negatiivne ja $y$ positiivne.
3. 3 ühikut vasakule ja 2 ühikut alla; esimene arv juhib horisontaalselt, teine vertikaalselt.
4. See asub $y$-teljel, sest $x=0$.
5. Ei. Punktis (2;-1) on $x=2$ ja $y=-1$; punktis (-1;2) on need vastupidi.
6. III veerandis, sest mõlemad koordinaadid on negatiivsed.
7. IV veerandis, sest $x$ on positiivne ja $y$ negatiivne.
8. $x$-teljel, sest $y=0$.
9. 5 ühikut paremale ja 4 ühikut alla; kontrolli alati järjekorda (x;y).
10. Näiteks (1;1), (-1;1), (-1;-1), (1;-1).
11. Sisend on $x=4$ ja väljund on $y=9$, sest punkt kirjutatakse kujul (x;y).

Seosed

Koordinaatteljestik on funktsioonide, vektorite, analüütilise geomeetria ja andmegraafikute alus. Järgmine funktsiooni mõiste peatükk kasutab punkte sisendi ja väljundi seose näitamiseks.

VII klassi algebra sild

Mõiste

Algebra põhitee on: muutuja nimetab arvu, avaldis arvutust, võrrand tingimust ja teljestik näitab seost pildina.

Eeldus: oskad arvutada harilike ja kümnendmurdudega, lahendada lihtsat võrrandit ning märkida punkti koordinaatteljestikule.

Arvutamises antakse arvud ette. Algebras annad tundmatule arvule nime: muutuja.

Näiteks olukorda "pilet maksab 3 eurot ja ostetakse $x$ piletit" saab kirjutada avaldisena

$$3x.$$

Kui kokku kulus 24 eurot, tekib võrrand

$$3x=24.$$

Kui tahad näha, kuidas hind piletite arvust sõltub, tee tabel ja punktid teljestikule.

Tekstist algebrasse:

Näide

Rattalaenutus maksab 4 eurot alustuseks ja 2 eurot iga tunni eest.

Tähistame: $t$ on laenutuse aeg tundides.

Avaldis koguhinna jaoks:

$$2t+4.$$

Kui hind oli 14 eurot, siis

$$2t+4=14.$$

Lahendame:

$$2t=10,$$

$$t=5.$$

Vastus: ratast laenutati 5 tundi.

Sama seost kontrollib tabel:

Kui $t=5$, annab avaldis 14 eurot.

Tüüpviga

Tüüpviga on jätta muutuja tähendus ainult pähe. Kui $t$ tähendab tunde, kirjuta see üles.

Teine tüüpviga on arvata, et avaldis ja võrrand on sama. Avaldisel ei ole võrdusmärki, võrrandil on.

Kolmas tüüpviga on valida muutuja valesti. Kirjuta alati: "olgu $k$ kilomeetrite arv".

Neljas tüüpviga on unustada, et tekstülesandes peab vastus olema mõistlik. Piletite või õpilaste arv ei saa olla $3,5$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta avaldis: vihik maksab 2 eurot ja ostetakse $v$ vihikut.
2. Kui eelmise ülesande koguhind on 18 eurot, kirjuta võrrand.
3. Selgita ühe lausega, mida tähendab täht $v$.

Rakendus

1. Lahenda võrrand $2v=18$.
2. Kirjuta avaldis: taksosõit maksab 5 eurot alustuseks ja 1 euro iga kilomeetri eest.
3. Kinopilet maksab 6 eurot. Popkorn maksab lisaks 4 eurot. Kirjuta avaldis kogukulu jaoks, kui ostetakse $p$ piletit ja üks popkorn.

Mõtlemisülesanne

1. Kui taksosõit maksis 17 eurot, mitu kilomeetrit sõideti?
2. Kooli matkaks ostetakse igale õpilasele 2 euro eest jook ja kogu klassile 15 euro eest suupisted. Kokku kulus 69 eurot. Mitu õpilast oli matkal?
3. Miks on koordinaatteljestik kasulik, kui uurid seost "kilomeetrid ja hind"?
4. Reegli $h=k+5$ korral leia punktid, kui $k=0, 4, 8$. Mida need punktid kirjeldavad?

Vastused

1. $2v$.
2. $2v=18$.
3. $v$ tähendab ostetud vihikute arvu.
4. $v=9$.
5. $k+5$, kus $k$ on kilomeetrite arv.
6. $6p+4$.
7. 12 km, sest $k+5=17$.
8. Olgu $n$ õpilaste arv. Siis $2n+15=69$, $2n=54$, $n=27$.
9. Graafikult on näha, kuidas hind kilomeetrite kasvades muutub.
10. Punktid on (0;5), (4;9), (8;13). Need näitavad kilomeetrite arvu ja hinna paare.

Klassi kordamine

Enne VIII klassi liikumist kontrolli nelja oskust:

1. Kas kirjutad alati, mida muutuja tähendab?
2. Kas eristad avaldist ja võrrandit?
3. Kas oskad lihtsast tekstist võrrandi koostada?
4. Kas saad tabeli väärtustest koordinaatteljestiku punktid?

Segakontroll: bussipilet maksab 2 eurot ja grupitasu 10 eurot. Olgu $x$ reisijate arv. Kirjuta kogukulu avaldis, leia hind kui $x=12$, ning kirjuta võrrand, kui kogukulu oli 50 eurot.

Vastus: avaldis $2x+10$; kui $x=12$, siis 34 eurot; võrrand $2x+10=50$.

Seosed

See sild kinnistab liikumist tekstülesandelt võrrandi, tabeli ja graafikuni ning valmistab ette VIII klassi võrrandisüsteeme.

Funktsioon kui sisendi ja väljundi seos

Mõiste

Funktsioon on reegel, mis annab igale lubatud sisendile täpselt ühe väljundi. Kui sisend on $x$ ja funktsiooni nimi $f$, kirjutame väljundi kujul

$$y=f(x).$$

Eeldus: oskad avaldisse arvu asendada, tabelit lugeda ning punkti $(x;y)$ koordinaattasandile kanda.

Tähed on nimed. Kirjutised $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ võivad tähistada eri funktsioone. Ka sisendi nimi võib muutuda: valemis $h(t)=2t+3$ on funktsiooni nimi $h$ ja sisend $t$. Funktsiooni mõte jääb samaks.

Sama funktsiooni saab esitada neljal viisil:

• sõnadega: mida sisendiga tehakse;
• tabelina: valitud sisendite ja väljundite paarid;
• valemina: näiteks $f(x)=2x+1$;
• graafikuna: punktid $(x;f(x))$ koordinaattasandil.

Lubatud sisendite hulka nimetatakse määramispiirkonnaks. Näiteks klassi õpilaste arv ei saa olla negatiivne ega murdarv.

Näide

Jalgratta laenutus maksab 3 eurot alustuseks ja 2 eurot iga täistunni eest. Olgu $t$ tundide arv ja $h(t)$ hind eurodes. Siis

$$h(t)=2t+3.$$

Kui $t=4$, siis

$$h(4)=2\cdot4+3=11.$$

Tabeli paar $(4;11)$ tähendab, et nelja tunni hind on 11 eurot. Graafikul tähistab seda sama punkt $(4;11)$.

Vastus: $h(4)=11$ eurot.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et $f$ või $h$ on sisend. Avaldises $h(t)$ on $h$ funktsiooni nimi ja $t$ sisend.

Teine viga on anda samale sisendile kaks eri väljundit. Kui tabelis vastab sisendile 2 nii 5 kui 7, ei kirjelda tabel ühte funktsiooni.

Kolmas viga on ühendada graafikul kõik punktid automaatselt. Kui sisend saab olla ainult täisarv, võivad ka graafikul olla ainult eraldi punktid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $f(x)=3x-2$, leia $f(4)$.
2. Valemis $p(n)=5n$ nimeta funktsioon ja sisend.
3. Kirjuta valemi $y=x+4$ järgi punkt, mille $x=2$.

Rakendus

1. Koosta valemi $g(x)=2x+1$ väärtuste tabel sisenditele $0$, $1$ ja $3$.
2. Kas paarid $(1;4)$, $(2;5)$ ja $(1;6)$ kirjeldavad ühte funktsiooni? Põhjenda.
3. Kinopilet maksab 7 eurot. Kirjuta $n$ pileti koguhinna funktsioon $H(n)$.

Mõtlemisülesanne

1. Funktsiooni tabelis on paarid $(0;3)$, $(1;5)$, $(2;7)$ ja $(3;9)$. Paku sobiv valem.
2. Too näide funktsioonist, mille eri sisendid annavad sama väljundi.
3. Miks ei sobi inimese pikkuse sisendiks negatiivne arv? Millist funktsiooni võiks pikkus mõjutada?

Vastused

1. $f(4)=3\cdot4-2=10$.
2. Funktsiooni nimi on $p$ ja sisend on $n$.
3. $(2;6)$, sest $2+4=6$.
4. Paarid on $(0;1)$, $(1;3)$ ja $(3;7)$.
5. Ei, sest sisendile 1 on antud kaks eri väljundit.
6. $H(n)=7n$, kus $n$ on piletite arv.
7. Näiteks $y=2x+3$, sest iga sisendi suurenemisel ühe võrra kasvab väljund kahe võrra.
8. Näiteks $f(x)=x^2$: sisendid $-2$ ja 2 annavad mõlemad väljundi 4.
9. Pikkus on mõõdetav kaugus ega saa selles olukorras olla negatiivne; näiteks võib pikkusest sõltuda sobiva rõivasuuruse valik.

Seosed

Järgmine peatükk uurib võrdeline seost, kus väljundi ja sisendi suhe on püsiv ning graafik läbib alguspunkti.

Võrdeline seos

Mõiste

Kaks suurust on võrdelises seoses, kui ühe suuruse mingi arv kordi muutumisel muutub teine sama arv kordi. Võrdelise seose valem on

$$y=kx,$$

kus $k$ on võrdetegur.

Eeldus: oskad arvutada suhet, kasutada funktsiooni valemit ning märkida tabeli punktid koordinaattasandile.

Kui $x\ne0$, saab võrdeteguri leida suhtest

$$k=\frac{y}{x}.$$

Võrdetegur näitab, kui palju väljundit vastab ühele sisendi ühikule. Näiteks hind 2 eurot kilogrammi kohta tähendab $k=2\ \text{€/kg}$.

Võrdelise seose tunnused:

• suhe $\frac yx$ on kõigis tabeli ridades sama;
• kui $x=0$, siis $y=0$;
• graafik on alguspunkti läbiv sirge.

Näide

Õunte hind on 2 eurot kilogrammi kohta. Kui $x$ on õunte mass kilogrammides ja $y$ hind eurodes, siis

$$y=2x.$$

Kolme kilogrammi hind on

$$y=2\cdot3=6\text{ eurot}.$$

Suhe $y:x$ on alati 2. Kui õunu ei osteta, on nii mass kui hind null; seetõttu läbib graafik alguspunkti.

Vastus: 3 kg õunu maksab 6 eurot ja võrdetegur on 2 €/kg.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga sirgjoonelist seost võrdeliseks. Seos $y=2x+3$ ei ole võrdeline, sest $x=0$ korral on $y=3$ ning graafik ei läbi alguspunkti.

Teine viga on arvutada võrdetegur tagurpidi. Valemis $y=kx$ on $k=y:x$, mitte $x:y$.

Kolmas viga on unustada võrdeteguri ühik. Kiiruse võrdetegur võib olla km/h, ühikuhinna oma €/kg.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $y=4x$, leia $y$, kui $x=3$.
2. Leia võrdetegur, kui $x=5$ ja $y=15$.
3. Kas seos $y=7x$ läbib alguspunkti?

Rakendus

1. Tabelis on paarid $(2;6)$, $(4;12)$ ja $(7;21)$. Leia võrdetegur ja valem.
2. Üks vihik maksab 1,50 eurot. Kirjuta $n$ vihiku hinna valem.
3. Jalgrattur liigub ühtlase kiirusega 18 km/h. Kirjuta teepikkus $s$ aja $t$ kaudu.

Mõtlemisülesanne

1. Kas tabeli paarid $(0;2)$, $(1;5)$ ja $(2;8)$ kirjeldavad võrdelist seost? Põhjenda.
2. Võrdelise seose graafik läbib punkti $(4;-6)$. Leia $k$ ja kirjuta valem.
3. Võrdle seoseid $y=3x$ ja $y=3x+5$: mis on sama ning mis erinev?

Vastused

1. $y=4\cdot3=12$.
2. $k=15:5=3$.
3. Jah, sest $x=0$ korral on $y=0$.
4. $k=3$ ja $y=3x$, sest igas reas on $y:x=3$.
5. $H(n)=1{,}5n$, kus võrdetegur 1,5 €/vihik on ühe vihiku hind.
6. $s(t)=18t$, kus võrdetegur 18 km/h on kiirus.
7. Ei, sest nullile ei vasta null ja suhted $y:x$ ei ole püsivad.
8. $k=-6:4=-1{,}5$, seega $y=-1{,}5x$.
9. Mõlemal on sama tõus 3. Esimene läbib alguspunkti ja on võrdeline; teise algväärtus on 5 ning see ei ole võrdeline.

Seosed

Lineaarfunktsioon $y=kx+b$ laiendab võrdelist seost: kui $b=0$, on seos võrdeline; kui $b\ne0$, lisandub püsiv algväärtus.

Lineaarfunktsioon

Mõiste

Lineaarfunktsiooni kuju on $$y=kx+b.$$

Eeldus: oskad võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna kirjeldada ning lahendada lihtsat võrrandit.

Sama mõtet kirjutatakse ka kujul $f(x)=kx+b$. Täht $f$ on funktsiooni nimi ja $x$ sisend. Kui ülesandes on $h(t)=t+5$, siis nimi on $h$ ja sisend $t$; seose tüüp ei muutu.

Tabel, valem ja graafik kirjeldavad sama seost.

$k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Graafiku lõikepunkt $y$-teljega on (0;b).

• Kui $k>0$, siis sirge tõuseb vasakult paremale.
• Kui $k<0$, siis sirge langeb vasakult paremale.
• Kui $k=0$, siis funktsioon on konstantne: $y=b$.

Kui $x=0$, siis $y=b$. Seetõttu määrab algordinaat $b$ graafiku lõikepunkti (0;b) $y$-teljega.

Tõus näitab, kui palju $y$ muutub, kui $x$ suureneb 1 võrra:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Tekstülesandes on tõusul ühik: $h(t)=t+5$ korral 1 euro lisatunni kohta.

Kahe punkti (x_1;y_1) ja (x_2;y_2) järgi:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Kui $k$ on teada, leia $b$ ühe punkti asendamisega valemisse.

Näide

Funktsioon

$$y=2x-1$$

läbib punktid (-1; -3), (0; -1), (1; 1) ja (2; 3).

Tabelis on samad paarid; graafikul on need punktid sirgel.

Kontrolliks asenda graafiku punkt valemisse: pooled peavad võrduma.

Siin $b=-1$, sest graafik lõikab $y$-telge punktis (0;-1). Tõus $k=2$: kui $x$ suureneb 1 võrra, suureneb $y$ 2 võrra.

Lineaarse mudeli ühesammu muutus on igal pool sama.

Punktide (1;2) ja (4;8) tõus on

$$k=\frac{8-2}{4-1}=\frac63=2.$$

Leiame nende kahe punkti järgi kogu sirge valemi.

Kasutame punktis (1;2) valemit $y=2x+b$:

$$2=2\cdot1+b,$$

$$b=0.$$

Seega sirge valem on

$$y=2x.$$

Sirge läbib punkte (-2;5) ja (4;-1). Tõus on

$$k=\frac{-1-5}{4-(-2)}=\frac{-6}{6}=-1.$$

Seega $y=-x+b$. Kasutame punkti (4;-1):

$$-1=-4+b,$$

$$b=3.$$

Sirge valem on

$$y=-x+3.$$

Vastus: $y=2x$ ja $y=-x+3$.

Tüüpviga

Kui $b\ne0$, ei ole seos võrdeline. Võrdeline seos on kujul $y=kx$.

Teine tüüpviga on ajada segi algordinaat ja telje lõikepunkt. Algordinaat on arv $b$; graafiku lõikepunkt $y$-teljega on punkt (0;b).

Kolmas tüüpviga on koordinaadid segamini lahutada. Kui alustad $y_2-y_1$, kasuta nimetajas sama järjekorda $x_2-x_1$.

Näiteks punktide (1;2) ja (4;8) korral:

$$\frac{8-2}{4-1}=2.$$

Sama järjekorra ümberpööramine annab samuti õige vastuse:

$$\frac{2-8}{1-4}=2.$$

Aga segamini järjekord annaks vale märgi.

Neljas tüüpviga on oletada, et iga kasvav seos on lineaarne. Lineaarse seose tunnus on püsiv muutus: iga sama $x$-sammu kohta muutub $y$ sama palju.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ tõus?
2. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ algordinaat?
3. Kas funktsioon $y=-2x+1$ tõuseb või langeb?
4. Leia tõus punktide (0;4) ja (2;10) järgi.

Rakendus

1. Millises punktis lõikab $y=4x-7$ graafik $y$-telge?
2. Leia tõus punktide (2;3) ja (6;11) järgi.
3. Leia tõus punktide (-1;4) ja (3;-4) järgi.
4. Kujuteldavas Tartu rattalaenutuses maksab päevapilet 5 eurot ja iga lisatund 1 euro. Kirjuta hinna valem $h(t)$, kui $t$ on lisatundide arv.

Mõtlemisülesanne

1. Sirge tõus on $k=3$ ja ta läbib punkti (2;7). Leia $b$.
2. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte (0;-2) ja (4;6).
3. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte (1;5) ja (3;9).
4. Rong liigub ühtlase kiirusega. Kell 10.00 on ta Tallinnast 40 km kaugusel ja kell 11.00 130 km kaugusel. Kirjuta kauguse valem tundide arvu $t$ järgi pärast kella 10.00.
5. Tabelis on $x=1,2,3,4$ ja $y=4,7,10,13$. Kas seos on lineaarne? Põhjenda.
6. Valemis $h(t)=2t+5$ kirjeldab $h$ hinda eurodes ja $t$ aega tundides. Mida tähendab tõus 2?

Vastused

1. Tõus on $3$: kui $x$ kasvab 1 võrra, kasvab $y$ 3 võrra.
2. Algordinaat on $5$, sest $x=0$ korral on $y=5$.
3. Langeb, sest tõus $k=-2$ on negatiivne.
4. $k=\frac{10-4}{2-0}=3$.
5. (0;-7), sest $y$-teljel on $x=0$ ja siis $y=-7$.
6. $k=\frac{11-3}{6-2}=2$.
7. $k=\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2$.
8. $h(t)=t+5$; $t$ on sisend ja $h(t)$ hind eurodes.
9. $7=3\cdot2+b$, seega $b=1$; kontrolliks annab punkt (2;7) valemis õige väärtuse.
10. Tõus $k=\frac{6-(-2)}{4-0}=2$, algordinaat on -2, seega $y=2x-2$.
11. $k=\frac{9-5}{3-1}=2$. Kasutades punkti (1;5): $5=2\cdot1+b$, seega $b=3$ ja $y=2x+3$.
12. Kiirus on $90$ km/h, seega $s(t)=90t+40$.
13. Jah, sest $y$ suureneb iga kord 3 võrra, kui $x$ suureneb 1 võrra.
14. Tõus 2 tähendab, et iga lisatund kasvatab hinda 2 euro võrra; ühik on eurot tunnis.

Seosed

Lineaarfunktsioon on mudel püsiva muutumiskiirusega olukordadele: hind, teepikkus, palk, temperatuurimuutus. Järgmine pöördvõrdeline seos näitab teistsugust sõltuvust, kus korrutis püsib, aga muutumiskiirus ei ole püsiv.

Pöördvõrdeline seos

Mõiste

Pöördvõrdeline seos on kujul

$$y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0.$$

Eeldus: oskad kasutada võrdeid ning kirjeldada võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna.

Kui $x$ kasvab, siis $y$ väheneb nii, et korrutis $xy$ jääb samaks.

Graafik on hüperbool. See läheneb telgedele ehk asümptootidele, aga ei läbi punkti, kus $x=0$.

Kontrollküsimus: kas korrutis jääb samaks? Kui $xy=k$, siis seos on pöördvõrdeline.

Kolme 7. klassi mudeli võrdlus:

Enne valemi valimist otsusta tabeli või olukorra järgi, milline suurus jääb muutumisel samaks.

Näide

Kui töö teeb valmis 12 tunniga 1 inimene, siis sama töö jaoks vajalike tundide arv ligikaudses mudelis on

$$y=\frac{12}{x},$$

kus $x$ on inimeste arv.

Kui töötegijaid on 3, siis

$$y=\frac{12}{3}=4.$$

Sama mudeli järgi kulub 3 inimesel 4 tundi ja $x\cdot y=12$.

Sama mõte töötab ühtlase liikumise korral. Kui vahemaa on 120 km, siis

$$t=\frac{120}{v}.$$

Vastus: $v=60$ km/h annab $t=2$ h ja $v=80$ km/h annab $t=1,5$ h; korrutis $v\cdot t=120$ jääb samaks.

Mudeli piirid

Pöördvõrdeline mudel on lihtsustus ega pruugi päriselus igavesti töötada.

Tüüpviga

Pöördvõrdeline ei tähenda “negatiivse tõusuga sirget”. Selle graafik ei ole sirge.

Teine tüüpviga on lubada $x=0$. Avaldis $\frac{k}{x}$ ei ole defineeritud, kui $x=0$.

Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Kui $v$ on km/h ja teepikkus on km, siis aeg tuleb tundides.

Neljas tüüpviga on kontrollida ainult seda, et üks suurus kasvab ja teine väheneb. Pöördvõrdelises seoses peab korrutis jääma samaks.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $y=\frac{20}{x}$, leia $y$, kui $x=4$.
2. Miks $x=0$ pole lubatud?
3. Too päriseluline pöördvõrdelise seose näide.
4. Kui 6 inimest teevad töö 5 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 3 inimesel?

Rakendus

1. Kui vahemaa on 180 km, kirjuta aeg $t$ kiiruse $v$ kaudu.
2. Kui 4 inimest teevad töö 9 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 6 inimesel?
3. Sama raha on 24 eurot. Kirjuta ostetav kogus $q$ ühikuhinna $p$ kaudu.

Mõtlemisülesanne

1. Kui $q=\frac{24}{p}$, leia $q$, kui $p=3$.
2. Miks ei sobi töötegijate mudel alati väga suure inimeste arvu korral?
3. Teepikkus on 240 km. Kui kiirus on 80 km/h, leia aeg. Mis ühikus vastus on?
4. Tabelis on paarid (2;12), (3;8), (4;6). Kas seos võib olla pöördvõrdeline? Põhjenda.

Vastused

1. $5$, sest $20:4=5$; kontrolliks $x\cdot y=4\cdot5=20$.
2. Nulliga ei saa jagada; valem $\frac{k}{x}$ pole siis defineeritud ja $x=0$ tuleb välistada.
3. Näiteks sama töö: rohkem tegijaid tähendab vähem aega, kui töö kogus püsib sama.
4. Töö kogus on $6\cdot5=30$ inimtundi, seega $30:3=10$ tundi.
5. $t=\frac{180}{v}$, kus $v\ne0$ ja konstant 180 on teepikkus.
6. Töö kogus on $4\cdot9=36$ inimtundi, seega $36:6=6$ tundi.
7. $q=\frac{24}{p}$, kus $p\ne0$ ja konstant 24 on raha kogus.
8. Kui sisend on $p=3$, siis väljund on $q=\frac{24}{3}$, ehk $q=8$.
9. Inimesed võivad üksteist segada, tööpind võib olla piiratud ja osa töid ei saa korraga teha.
10. $t=\frac{240}{80}=3$ tundi.
11. Jah, sest korrutis on alati 24: $2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6=24$.

Seosed

Pöördvõrdeline seos näitab, et mitte iga vähenemine ei ole lineaarne. Järgmine ruutfunktsiooni peatükk lisab veel ühe graafiku kuju: parabooli, kus muutumise kiirus ise muutub.

Kolmnurgad ja nelinurgad

Mõiste

Kolmnurgal on kolm külge ja kolm nurka. Nelinurgal on neli külge ja neli nurka.

Eeldus: tunned nurkade liike, oskad leida ümbermõõtu ja eristad pindala pikkusest.

Kolmnurki saab liigitada külgede järgi:

Kolmnurki saab liigitada ka nurkade järgi:

Kolm pikkust saavad moodustada kolmnurga ainult siis, kui kaks lühemat külge kokku on pikemad kui pikim külg. Näiteks 2 cm, 3 cm ja 6 cm ei sobi, sest $2+3<6$.

Nelinurkade erijuhud:

Rööpküliku vastasküljed ja vastasnurgad on võrdsed ning diagonaalid poolitavad teineteist. Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed; rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja rombi nurki.

Valemid

Kolmnurga nurkade summa:

$$180^\circ.$$

Nelinurga nurkade summa:

$$360^\circ.$$

Kumera $n$-nurga sisenurkade summa:

$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Kolmnurga pindala:

$$S=\frac{ah}{2}.$$

Kõrgus peab olema valitud alusega risti.

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Ruudu pindala:

$$S=a^2.$$

Rombi pindala diagonaalide $d_1$ ja $d_2$ abil:

$$S=\frac{d_1d_2}{2}.$$

Ümbermõõt liidab küljed. Pindala mõõdab kaetud pinda.

Näide

Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:

$$S=\frac{10\cdot6}{2}=30\text{ cm}^2.$$

Kui kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $72^\circ$, siis kolmas nurk on

$$180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ.$$

Kui nelinurga kolm nurka on $90^\circ$, $110^\circ$ ja $80^\circ$, siis neljas nurk on

$$360^\circ-90^\circ-110^\circ-80^\circ=80^\circ.$$

Kuusnurga sisenurkade summa on

$$S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ.$$

Vastus: pindala on $30\text{ cm}^2$, kolmas kolmnurga nurk $60^\circ$, neljas nelinurga nurk $80^\circ$ ja kuusnurga sisenurkade summa $720^\circ$.

Tüüpviga

Kõrgus peab olema risti alusega. Külgjoon ei ole alati kõrgus.

Teine tüüpviga on arvata, et iga nelinurk, millel on üks paar paralleelseid külgi, on rööpkülik. Rööpkülikul peavad mõlemad vastaskülgede paarid olema paralleelsed.

Kolmas tüüpviga on ajada ümbermõõt ja pindala segi. Aia pikkus on ümbermõõt; aia sisse jääva maa suurus on pindala.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga kaks nurka on $35^\circ$ ja $65^\circ$. Leia kolmas nurk.
2. Kas kolmnurk nurkadega $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$ on täisnurkne?
3. Leia kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.

Rakendus

1. Nelinurga kolm nurka on $100^\circ$, $80^\circ$ ja $90^\circ$. Leia neljas.
2. Millisel nelinurgal on kõik küljed võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad?
3. Ristküliku küljed on 8 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Rööpküliku alus on 12 cm ja kõrgus 5 cm. Leia pindala.
2. Ristküliku üks külg on 7 cm ja pindala on 35 cm². Leia teine külg.
3. Kolmnurga nurgad on $x$, $2x$ ja $3x$. Leia nurgad.
4. Kas pikkustest 4 cm, 5 cm ja 10 cm saab moodustada kolmnurga?
5. Leia korrapärase kuusnurga ühe sisenurga suurus.
6. Rombi diagonaalid on 6 cm ja 10 cm. Leia rombi pindala.

Vastused

1. $80^\circ$, sest kolmnurga nurgad annavad kokku $180^\circ$.
2. Jah, sest üks nurk on $90^\circ$.
3. Ümbermõõt on $4+5+6=15\text{ cm}$.
4. $90^\circ$, sest nelinurga nurgad annavad kokku $360^\circ$.
5. Ruut, sest ruudul on võrdsed küljed ja täisnurgad.
6. Ümbermõõt $2(8+3)=22\text{ cm}$, pindala $8\cdot3=24\text{ cm}^2$; üks mõõdab äärt, teine pinda.
7. $S=12\cdot5=60\text{ cm}^2$.
8. Teine külg on $35:7=5\text{ cm}$, sest ristkülikul $S=ab$.
9. $x+2x+3x=180^\circ$, seega $x=30^\circ$; nurgad on $30^\circ,60^\circ,90^\circ$.
10. Ei, sest $4+5=9<10$; kahe lühema külje summa peab olema pikem kui pikim külg.
11. Sisenurkade summa on $(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$. Kõik kuus nurka on võrdsed, seega üks nurk on $720^\circ:6=120^\circ$.
12. $S=\frac{6\cdot10}{2}=30\text{ cm}^2$.

Seosed

Kolmnurgad viivad Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja trigonomeetriani. Nelinurkade ja pindala mõte valmistab ette ringi, sümmeetria ja teisenduste peatükke.

Pindala ja ruumala

Mõiste

Pindala mõõdab pinda. Ruumala mõõdab mahtu.

Eeldus: tunned ühikuid, korrutamist, jagamist, külge, kõrgust, pinda ja serva.

Enne valemit otsusta:

Valemid

Pindala

Ruumala

Välispind tähendab pindala, mahutavus ruumala.

Näide

Ristküliku küljed on 4 cm ja 7 cm. Pindala on

$$S=4\cdot7=28\text{ cm}^2.$$

Kui risttahuka mõõtmed on 2 cm, 3 cm ja 5 cm, siis

$$V=2\cdot3\cdot5=30\text{ cm}^3.$$

Kolmnurga alus on 8 cm ja kõrgus 5 cm. Pindala on

$$S=\frac{8\cdot5}{2}=20\text{ cm}^2.$$

Vastus: $28\text{ cm}^2$, $30\text{ cm}^3$ ja $20\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Pindalaühikud on ruutühikud, näiteks cm². Ruumalaühikud on kuupühikud, näiteks cm³.

Kolmnurgas peavad alus ja kõrgus olema risti.

Ära aja pindala ja ümbermõõtu segi: vaip vajab pindala, liist ümbermõõtu.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia ristküliku pindala, kui küljed on 6 cm ja 9 cm.
2. Leia kolmnurga pindala, kui alus on 10 cm ja kõrgus 7 cm.
3. Kas otsitakse pikkust, pindala või ruumala: karbi maht; aia pikkus; laua katmiseks vajalik lina?

Rakendus

1. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
2. Leia silindri ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=5$ cm.
3. Ristkülikukujuline tuba on 5 m pikk ja 4 m lai. Kui suur on põranda pindala?

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei sobi ruumala vastuseks $\text{cm}^2$?
2. Risttahuka mõõtmed on 2 cm, 4 cm ja 6 cm. Leia ruumala.
3. Kolmnurga pindala on 24 cm² ja alus 8 cm. Leia kõrgus.
4. Põranda pindala on 20 m². Kas sellest piisab, et leida toa ümbermõõt? Põhjenda.
5. Karpi täidetakse liivaga ja kaetakse paberiga. Kummal juhul otsid ruumala ja kummal pindala?

Vastused

1. $54\text{ cm}^2$, sest $6\cdot9=54$ ja otsitakse pinda.
2. $35\text{ cm}^2$, sest kolmnurga pindala on $\frac{10\cdot7}{2}$.
3. Karbi maht ehk ruumala; aia pikkus: pikkus; lina: pindala.
4. $64\text{ cm}^3$, sest kuubi ruumala on $4^3$.
5. $45\pi\text{ cm}^3\approx141,4\text{ cm}^3$, sest silindril $V=\pi r^2h$.
6. $5\cdot4=20\text{ m}^2$, sest põrand on ristkülik.
7. Ruumala mõõdetakse kuupühikutes, näiteks $\text{cm}^3$; $\text{cm}^2$ katab pinda, mitte ruumi.
8. $2\cdot4\cdot6=48\text{ cm}^3$, sest risttahukal $V=abc$.
9. Valemist $24=\frac{8h}{2}$ saame $24=4h$, seega $h=6$ cm.
10. Ei piisa alati. Näiteks ristkülikud 4 m × 5 m ja 2 m × 10 m on mõlemad pindalaga 20 m², aga ümbermõõdud on erinevad.
11. Liivaga täitmisel otsid ruumala; paberiga katmisel otsid välispinna pindala.

Seosed

Pindala ja ruumala seovad arvutamise geomeetria, mõõtkava ja päriseluliste mõõtmistega. Järgmises mõõtkava peatükis kasutatakse sama mõtet: pikkuste mõõtkava ei teisendu pindala mõõtkavaks sama kordajaga.

Püstprisma

Mõiste

Prismal on kaks võrdset ja paralleelset põhitahku. Püstprisma külgservad on põhitahkudega risti ning külgtahud on ristkülikud.

Eeldus: oskad leida hulknurga pindala ja ümbermõõtu, teisendada pindala- ning ruumalaühikuid ja eristada pindala ruumalast.

Prisma nimi tuleb põhja kujust:

• kolmnurkse püstprisma põhitahud on kolmnurgad;
• nelinurkse püstprisma põhitahud on nelinurgad.

Prisma tähtsad osad on põhitahud, külgtahud, põhiservad, külgservad, tipud ja kõrgus. Püstprisma kõrgus on kahe põhitahu vaheline kaugus ning võrdub külgserva pikkusega.

Pinnalaotus näitab kõiki tahke tasapinnale laotatuna. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.

Valemid

Kui põhja pindala on $S_p$, põhja ümbermõõt $P_p$ ja prisma kõrgus $h$, siis

$$V=S_ph,$$

$$S_{\text{külg}}=P_ph,$$

$$S_{\text{täis}}=2S_p+P_ph.$$

Ruumala valem mõõdab keha sisse mahtuvat ruumi. Külgpindala liidab ristkülikukujulised külgtahud. Täispindala liidab külgpindalale kaks võrdset põhja.

Näide

Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 12 cm², põhja ümbermõõt 16 cm ja prisma kõrgus 10 cm.

Ruumala on

$$V=12\cdot10=120\text{ cm}^3.$$

Külgpindala on

$$S_{\text{külg}}=16\cdot10=160\text{ cm}^2.$$

Täispindala on

$$S_{\text{täis}}=2\cdot12+160=184\text{ cm}^2.$$

Vastus: ruumala on $120\text{ cm}^3$ ja täispindala $184\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Täispindalas on kaks põhja:

$$S_{\text{täis}}=2S_p+S_{\text{külg}},$$

mitte $S_p+S_{\text{külg}}$.

Teine tüüpviga on kasutada põhja ümbermõõdu asemel põhja pindala külgpindala leidmisel. Külgtahkude laiused annavad kokku põhja ümbermõõdu, seega $S_{\text{külg}}=P_ph$.

Kolmas tüüpviga on ühik: pindala vastus on ruutühikutes, ruumala vastus kuupühikutes.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhitahku on püstprismal?
2. Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 8 cm² ja prisma kõrgus 6 cm. Leia ruumala.
3. Põhja ümbermõõt on 20 cm ja prisma kõrgus 7 cm. Leia külgpindala.

Rakendus

1. Põhja pindala on 15 cm², põhja ümbermõõt 18 cm ja prisma kõrgus 8 cm. Leia ruumala ja täispindala.
2. Nelinurkse püstprisma põhi on ristkülik külgedega 3 cm ja 5 cm. Prisma kõrgus on 10 cm. Leia ruumala.
3. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on mitu kolmnurka ja mitu ristkülikut?

Mõtlemisülesanne

1. Püstprisma ruumala on 180 cm³ ja põhja pindala 30 cm². Leia prisma kõrgus.
2. Kahel püstprismal on sama põhja pindala. Teise prisma kõrgus on esimesest kolm korda suurem. Kuidas võrdlevad nende ruumalad?
3. Selgita, miks ei piisa täispindala leidmiseks ainult põhja pindalast ja prisma kõrgusest.
4. Püstprisma külgpindala on 96 cm² ja kõrgus 8 cm. Leia põhja ümbermõõt.

Vastused

1. Kaks võrdset ja paralleelset põhitahku.
2. $V=8\cdot6=48\text{ cm}^3$.
3. $S_{\text{külg}}=20\cdot7=140\text{ cm}^2$.
4. $V=15\cdot8=120\text{ cm}^3$ ja $S_{\text{täis}}=2\cdot15+18\cdot8=174\text{ cm}^2$.
5. Põhja pindala on $3\cdot5=15\text{ cm}^2$, seega $V=15\cdot10=150\text{ cm}^3$.
6. Kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.
7. $h=180:30=6\text{ cm}$, sest $V=S_ph$.
8. Teise prisma ruumala on kolm korda suurem, sest sama $S_p$ korral muutub $V=S_ph$ kõrgusega võrdeliselt.
9. Külgpindala jaoks on vaja ka põhja ümbermõõtu $P_p$; sama pindalaga põhjadel võivad olla erinevad ümbermõõdud.
10. $P_p=96:8=12\text{ cm}$, sest $S_{\text{külg}}=P_ph$.

Seosed

Püstprisma ühendab tasandiliste kujundite pindala ruumala ja pinnalaotusega. Hiljem laieneb sama põhja pindala korda kõrguse mõte silindrile ning teiste ruumiliste kehade võrdlemisele.