IX klassi ruutmudeli sild

Mõiste

IX klassis kohtuvad ruutvõrrand ja ruutfunktsioon. Mõlemad kasutavad avaldist kujul

$$ax^2+bx+c.$$

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, arvutada diskriminanti ja lugeda graafikult nullkohti.

Kui mõni neist kolmest oskusest kõigub, korda seda enne ruutmudeli tervikülesannet.

Ruutvõrrand küsib, millal avaldis on null:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Ruutfunktsioon kirjeldab kogu graafikut:

$$y=ax^2+bx+c.$$

Nullkohad on need $x$ väärtused, kus ruutfunktsiooni graafik lõikab $x$-telge; lõikepunktid ise on kujul (x;0).

Enne lahendamist küsi: kas otsin sisendit $x$, mille korral midagi juhtub, või väärtust $y$, mis selle sisendi juures saadakse?

Kui antakse sihtväärtus $y=k$, lahenda võrrand $ax^2+bx+c=k$.

Tekstülesandes tõlgi see tagasi olukorda: nullkoht võib tähendada hetke, kaugust või hinda, kus tulemus saab nulliks.

Diskriminant $D=b^2-4ac$ ütleb nullkohtade arvu: kui $D>0$, on kaks nullkohta; kui $D=0$, on üks kahekordne nullkoht; kui $D<0$, reaalarvulisi nullkohti ei ole.

Näide

Olgu

$$y=x^2-5x+6.$$

Nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi

$$x^2-5x+6=0.$$

Tegurdame:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Seega

$$x=2\quad \text{või}\quad x=3.$$

Graafikul tähendab see, et parabool lõikab $x$-telge punktides (2; 0) ja (3; 0).

Teine kiire kontroll: sama avaldise diskriminant on

$$D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1.$$

Kuna $D>0$, peab olema kaks reaalarvulist nullkohta. See ei anna veel nullkohtade väärtusi, aga kontrollib, et vastuse kuju on mõistlik.

Sama parabooli sümmeetriatelg on nullkohtade keskel:

$$x=\frac{2+3}{2}=2,5.$$

Vastus: nullkohad on 2 ja 3, lõikepunktid (2;0) ja (3;0), sümmeetriatelg $x=2,5$.

Tüüpviga

Tüüpviga on öelda, et ruutvõrrandil on "graafik". Graafik on ruutfunktsioonil. Ruutvõrrandi lahendid on need kohad, kus vastav funktsioon võtab väärtuse 0.

Teine tüüpviga on unustada, et ruutvõrrandil võib olla kaks lahendit, üks lahend või mitte ühtegi reaalarvulist lahendit.

Kolmas tüüpviga on segada ära sisend ja tulemus. Avaldises $y=x^2-5x+6$ valid kõigepealt $x$, arvutad sellest $y$. Nullkoha leidmisel otsid vastupidi, millise $x$ korral tuleb $y=0$.

Neljas tüüpviga on arvata, et kaks nullkohta määravad alati kogu vastuse. Graafiku kuju sõltub ka kordajast $a$ ja haripunktist.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $y=x^2-4$ nullkohad.
2. Mis punktides lõikab eelmise ülesande graafik $x$-telge?
3. Arvuta funktsiooni $y=x^2-5x+6$ väärtus kohal $x=1$.

Rakendus

1. Lahenda $x^2+2x+1=0$.
2. Mitu nullkohta on funktsioonil $y=x^2+2x+1$?
3. Otsusta diskriminandi järgi, mitu nullkohta on funktsioonil $y=x^2+4x+7$.

Mõtlemisülesanne

1. Lahenda süsteem $\begin{cases}y=x+1\\y=5\end{cases}$.
2. Pall liigub kõrgusmudeli $h(t)=-t^2+4t$ järgi, kus $h$ on kõrgus ja $t$ aeg. Millal on pall pärast viskamist maapinnal?
3. Selgita, kuidas süsteem ja nullkoha leidmine on sarnased: mõlemal juhul otsitakse, kus tingimus täitub.
4. Funktsiooni $y=x^2-6x+8$ nullkohad on $2$ ja $4$. Mis on sümmeetriatelje võrrand?

Vastused

1. Nullkohad on $x=-2$ ja $x=2$.
2. Graafikul on need lõikepunktid (-2; 0) ja (2; 0).
3. $1^2-5\cdot1+6=2$, seega punkt on (1; 2).
4. $x=-1$; see on kahekordne nullkoht, sest $(x+1)^2=0$.
5. Üks nullkoht, sest $D=0$ ja parabool puudutab telge.
6. $D=4^2-4\cdot1\cdot7=-12<0$, seega reaalarvulisi nullkohti ei ole.
7. $x=4,\ y=5$; lõikepunkt on (4; 5).
8. Maapinnal tähendab $h=0$: $-t^2+4t=0$, seega $t(4-t)=0$. Lahend $t=0$ on alghetk; pärast viskamist $t=4$ s.
9. Mõlemas pannakse seosele lisatingimus ja otsitakse seda rahuldavad väärtused.
10. $x=3$, sest sümmeetriatelg asub nullkohtade keskel: $\frac{2+4}{2}=3$. Sama keskmise idee aitab hiljem parabooli tipu asukohta kontrollida.

Seosed

See sild valmistab ette eksamikordamist: ruutvõrrand annab arvulised lahendid, ruutfunktsioon aitab näha, mida need lahendid graafikul tähendavad. Järgmine moodul paneb need oskused kokku põhikooli lõpuülesannetes.