VI klassi ring ja geomeetria Matemaatika kiirreferents

VI klassi ring ja geomeetria

Mõiste

Ringjoon koosneb punktidest, mis asuvad keskpunktist ühesugusel kaugusel. Ring on ringjoon koos selle sisse jääva tasandiosaga. Kaugus keskpunktist ringjooneni on raadius $r$. Läbimõõt $d$ läbib keskpunkti ja on kahest raadiusest koosnev lõik:

$$d=2r.$$

Eeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning arvutada ristküliku ümbermõõtu ja pindala.

Ringjoone pikkus ja ringi pindala on

$$C=2\pi r=\pi d,\qquad S=\pi r^2,$$

kus ligikaudsetes arvutustes võib kasutada $\pi\approx3{,}14$.

Ringi mõõdud ja geomeetriline konstruktsioon
Ringi raadius ulatub keskpunktist ringjooneni, läbimõõt läbib keskpunkti; sirkli ja joonlauaga saab pikkusi üle kanda ning kujundeid konstrueerida.

Kolmnurki liigitame külgede järgi võrdkülgseteks, võrdhaarseteks ja erikülgseteks ning nurkade järgi terav-, täis- ja nürinurkseteks. Kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$. Kui kolmnurga alus on $a$ ja sellele tõmmatud kõrgus $h_a$, siis pindala on

$$S=\frac{a\cdot h_a}{2}.$$

Nelinurga ümbermõõt on külgede pikkuste summa. Konstruktsioonis kasutatakse joonlauda sirge tõmbamiseks ja sirklit kauguse ülekandmiseks.

Kui jäid kinni

Märgi joonisele kõigepealt keskpunkt, raadius ja teadaolevad mõõdud. Pikkuse vastus on ühikutes, pindala vastus ruutühikutes.

Õpetaja kontrollmõte

Erista järjekindlalt ringi ja ringjoont ning lase valemi kõrval nimetada, mida tulemus mõõdab. Konstruktsioonis hinnatakse töö käiku, mitte ainult silma järgi saadud kuju.

  • Miinimum: õpilane eristab raadiust ja läbimõõtu ning leiab puuduva nurga.
  • Tavarada: õpilane arvutab ringjoone pikkuse, ringi pindala ja lihtsa kujundi mõõdud.
  • Lisaväljakutse: õpilane koostab mitmest kujundist koosneva mõõtmisülesande.

Näide

Ringi raadius on 4 cm. Leiame läbimõõdu, ringjoone pikkuse ja pindala.

$$d=2\cdot4=8\text{ cm},$$

$$C=2\pi\cdot4=8\pi\approx25{,}12\text{ cm},$$

$$S=\pi\cdot4^2=16\pi\approx50{,}24\text{ cm}^2.$$

Vastus: läbimõõt on 8 cm, ringjoone pikkus ligikaudu 25,12 cm ja pindala ligikaudu 50,24 cm².

Kui kolmnurga alus on 6 cm ja kõrgus 4 cm, siis $S=6\cdot4:2=12\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada pindala valemis läbimõõtu raadiuse asemel. Kui $d=10$ cm, siis $r=5$ cm ja $S=25\pi$ cm², mitte $100\pi$ cm².

Teine viga on anda pindala vastus sentimeetrites. Pindala ühik on ruutühik, näiteks cm².

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Ringi raadius on 6 cm. Leia läbimõõt.
  2. Ringi läbimõõt on 14 cm. Leia raadius.
  3. Kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $67^\circ$. Leia kolmas nurk.

Rakendus

  1. Leia 5 cm raadiusega ringjoone pikkus täpselt ja ligikaudu.
  2. Leia 3 cm raadiusega ringi pindala täpselt ja ligikaudu.
  3. Ristküliku küljed on 7 cm ja 4 cm. Leia ümbermõõt ja pindala. Leia ka 7 cm aluse ja 4 cm kõrgusega kolmnurga pindala.

Mõtlemisülesanne

  1. Kumb kasvab raadiuse kahekordistamisel neli korda: ringjoone pikkus või ringi pindala? Põhjenda.
  2. Kirjelda, kuidas konstrueerida joonlaua ja sirkliga kolmnurk, mille küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.
  3. Ruut küljega 8 cm ja ring läbimõõduga 8 cm on samal joonisel. Kummal on suurem pindala?

Vastused

  1. 12 cm, sest $d=2r$.
  2. 7 cm, sest $r=d:2$.
  3. $65^\circ$, sest $180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ$.
  4. $10\pi$ cm ehk ligikaudu 31,4 cm.
  5. $9\pi$ cm² ehk ligikaudu 28,26 cm².
  6. Ristküliku ümbermõõt on 22 cm ja pindala $28\text{ cm}^2$; kolmnurga pindala on $14\text{ cm}^2$.
  7. Ringi pindala, sest $(2r)^2=4r^2$; ringjoone pikkus kasvab kaks korda.
  8. Joonesta 6 cm alus. Tõmba ühest otspunktist 4 cm ja teisest 5 cm raadiusega kaar; kaarte lõikepunkt on kolmas tipp.
  9. Ruudu pindala on 64 cm²; ringi pindala on $16\pi\approx50{,}24$ cm². Ruut on suurem.

Seosed

Ringi ja konstruktsiooni oskus valmistab ette 7.–9. klassi geomeetriat, tõestamist ja ruumigeomeetriat.