Ruutvõrrand: lahendivalemi lihtne tuletus
Idee
Lahendivalem tuleb täisruudu eraldamisest. Eesmärk on saada võrrand kujule, kus vasakul on ruut ja seejärel saab võtta ruutjuure.
Alustame üldkujust:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
Jagame kõik liikmed arvuga $a$:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$
Liida ja lahuta sama lisaliige
Tahame, et kaks esimest liiget kuuluksid täisruutu. Selleks liidame ja lahutame sama lisaliikme:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$
Esimesed kolm liiget moodustavad täisruudu:
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$
Viime ülejäänud liikmed paremale:
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}.$$
Ühine nimetaja annab:
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$
Ruutjuur ja vastus
Ruutjuurt võttes on kaks võimalust:
$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$
Viime $\frac{b}{2a}$ teisele poole:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$
See on ruutvõrrandi lahendivalem.
Miks see töötab?
Sest liitsime ja lahutasime sama arvu. Võrrandi väärtus ei muutunud, aga vasakul tekkis täisruut. Täisruudu tunneb ära valemist
$$(x+p)^2=x^2+2px+p^2.$$
Siin on $p=\frac{b}{2a}$, sest siis $2px=\frac{b}{a}x$.