I klassi arvud ja tehted

Mõiste

Arv ütleb, mitu eset on, või näitab kohta reas. Arv 0 tähendab, et ühtegi eset ei ole. I klassis loendame ja võrdleme arve ning liidame ja lahutame peamiselt 20 piires.

Eeldus: oskad päris esemeid ükshaaval loendada. Kui arvumärk pole veel tuttav, ütle arv kõigepealt sõnaga.

Arvus 14 on üks kümneline ja neli ühelist:

$$14=10+4.$$

Arvteljel on paremal asuv arv suurem. Märgid $<$, $>$ ja $=$ aitavad arve võrrelda. Liitmisel tuleb midagi juurde, lahutamisel võetakse ära või leitakse vahe.

Näide

Karbis on 8 pliiatsit. Õpetaja lisab 5 pliiatsit. Esmalt täidame kümne: 8 juurde läheb 2 ja järele jääb 3.

$$8+5=8+2+3=13.$$

Arvus 13 on üks kümneline ja kolm ühelist. Kontrolliks loendame tulemuse või lahutame lisatud pliiatsid: $13-5=8$.

Vastus: karbis on 13 pliiatsit.

Tüüpviga

Tüüpviga on alustada loendamist nullist, kuigi esimene ese tähendab arvu 1. Teine viga on võrrelda numbrimärkide kuju, mitte koguseid. Kui kahtled, tee mõlema arvu juurde täpid.

Liitmisel kontrolli, et tulemus suureneks. Lahutamisel ei saa alles jääda rohkem esemeid kui alguses, kui midagi juurde ei tulnud.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta arv, mis tuleb pärast arvu 9.
2. Kumb on suurem: 7 või 12?
3. Arvuta $6+3$.

Rakendus

1. Laual on 11 klotsi. Võta 4 ära. Mitu jääb?
2. Kirjuta arv 16 kümnelise ja ühelistena.
3. Mari on reas viies. Jüri on kohe tema järel. Mitmes on Jüri?

Mõtlemisülesanne

1. Leia kaks arvu, mille summa on 10.
2. Kas $9-3$ on suurem, väiksem või võrdne arvuga 5?
3. Koosta lühike jutt tehte $7+4$ kohta.

Vastused

1. 10.
2. 12, sest see asub arvteljel 7-st paremal.
3. 9.
4. 7 klotsi, sest $11-4=7$.
5. 1 kümneline ja 6 ühelist: $16=10+6$.
6. Kuues.
7. Näiteks 4 ja 6. Sobivaid paare on veel.
8. Suurem, sest $9-3=6$ ja $6>5$.
9. Näiteks: 7 lapsega liitus 4 last, kokku sai 11 last.

Seosed

Arvude loendamine on mõõtmise ja lihtsa tabeli alus. Kui 20 piires arvutamine on kindel, saab II klassis kasutada suuremaid arve.

I klassi mõõtmise algus

Mõiste

Mõõtmine aitab vastata küsimustele „kui pikk?”, „kui raske?”, „kui palju maksab?” ja „mis kell?”. Kõigepealt võrdleme: pikem või lühem, raskem või kergem, varem või hiljem.

Eeldus: oskad loendada vähemalt 20-ni ja võrrelda kahte arvu.

Pikkust mõõdame näiteks sentimeetrites. Mõõtmist alustame joonlaua nullmärgist. Arv üksi ei ole täielik vastus: 8 võib tähendada 8 cm, 8 eurot või kella kaheksat.

Näide

Sinine pael on 6 cm pikk. Punane pael on 3 cm pikem. Leiame punase paela pikkuse:

$$6+3=9\text{ cm}.$$

Kontroll: 9 on suurem kui 6, seega sobib vastus sõnaga „pikem”. Kui asetame paelad sama alguspunktiga kõrvuti, ulatub punane pael 3 cm kaugemale.

Vastus: punane pael on 9 cm pikk.

Tüüpviga

Tüüpviga on alustada mõõtmist joonlaua servast, kuigi nullmärk on veidi eemal. Teine viga on jätta ühik kirjutamata.

Kella ja raha puhul vaata küsimust: kell 5 ei tähenda 5 eurot. Võrdlemisel peavad mõlemad suurused kirjeldama sama asja.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kumb on pikem: 4 cm või 7 cm?
2. Lisa sobiv ühik: pliiatsi pikkus on 12 __.
3. Mitu eurot on kokku: 2 eurot ja 3 eurot?

Rakendus

1. Raamat on 8 cm lai ja vihik 2 cm laiem. Kui lai on vihik?
2. Tund algab kell 9 ja järgmine tegevus kell 10. Kumb toimub varem?
3. Üks õun kaalub vähem kui arbuus. Kumb on raskem?

Mõtlemisülesanne

1. Nimeta ese, mille pikkust oleks mõistlik mõõta sentimeetrites.
2. Kas 10 cm pael mahub sirgelt 8 cm karpi? Põhjenda.
3. Joonista kaks lõiku nii, et teine oleks esimesest 2 cm pikem.

Vastused

1. 7 cm.
2. cm.
3. 5 eurot.
4. 10 cm, sest $8+2=10$.
5. Kell 9 toimub varem.
6. Arbuus on raskem.
7. Näiteks pliiats või kustutuskumm.
8. Ei mahu sirgelt, sest $10>8$.
9. Kontrolli joonlauaga, et pikkuste vahe oleks 2 cm.

Seosed

Mõõtmises kasutad arve koos tähendusega. II klassis lisandub rohkem mõõtühikuid ja lihtsaid teisendusi.

I klassi kujundid ja mustrid

Mõiste

Kujundit tunneme kuju järgi. Ring on ümmargune. Kolmnurgal on 3 külge ja 3 tippu. Ruudul on 4 ühepikkust külge. Ristkülikul on samuti 4 külge, kuid kõik küljed ei pea olema ühepikkused.

Eeldus: oskad loendada vähemalt neljani ja märgata, kas kaks eset on samasugused või erinevad.

Muster kordab kindlat reeglit. Reas ring, kolmnurk, ring, kolmnurk tuleb järgmisena ring. Ruumilistest kujunditest tunneme näiteks kuupi, kera ja risttahukat päris esemete järgi.

Näide

Laual on sinine kolmnurk, punane ruut ja roheline kolmnurk. Kujundeid ei liigitata värvi järgi, vaid külgede ja tippude järgi. Mõlemal kolmnurgal on 3 külge, seega kuuluvad need samasse rühma.

Kui muster on ruut, ring, ruut, ring, siis korduv osa on „ruut, ring”.

Vastus: kolmnurki on 2 ja mustris tuleb järgmisena ruut.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et viltu pööratud ruut ei ole enam ruut. Pööramine ei muuda külgede arvu ega pikkust.

Teine viga on nimetada iga nelja küljega kujundit ruuduks. Ristkülikul võivad pikemad ja lühemad küljed erineda.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu külge on kolmnurgal?
2. Millisel kujundil pole sirgeid külgi: ringil või ruudul?
3. Jätka mustrit: ring, ruut, ring, ruut, __.

Rakendus

1. Leia toast üks ristkülikukujuline ese.
2. Joonista ruut ja märgi selle 4 tippu.
3. Rühmas on 2 ringi, 3 kolmnurka ja 1 ruut. Mitu kujundit on kokku?

Mõtlemisülesanne

1. Kas viltu pööratud ruut on ikka ruut? Põhjenda.
2. Koosta kolmest kujundist korduv muster.
3. Mis on kuubil ja ruudul erinevat?

Vastused

1. 3 külge.
2. Ringil.
3. Ring.
4. Näiteks uks, raamat või ekraan.
5. Kontrolli, et kujundil oleks 4 külge ja 4 tippu.
6. 6 kujundit, sest $2+3+1=6$.
7. Jah, sest pööramine ei muuda külgede arvu ega pikkust.
8. Näiteks ring, ring, kolmnurk; siis sama osa kordub.
9. Ruut on tasapinnaline, kuup on ruumiline keha.

Seosed

Kujundite loendamine ühendab geomeetria arvudega. II klassis kirjeldad kujundeid täpsemalt ja õpid nende osi nimetama.

I klassi loendamine ja lihtne tabel

Mõiste

Tabel aitab loendatud asjad korrastada. Ühes veerus on asja nimi ja teises arv, mitu sellist asja leidsime. I klassis kasutame väikseid arve ja loeme tabelist ainult seda, mida küsimus küsib.

Eeldus: oskad esemeid ükshaaval loendada ning võrrelda arve 20 piires.

Tabelist näeme, et ploome on kõige rohkem ja pirne kõige vähem. Kõikide viljade arvu leidmiseks liidame $4+2+5$.

Näide

Klassis küsiti lemmiklooma. Koera valis 6 last, kassi 4 last ja kala 2 last. Kõige populaarsem oli koer, sest 6 on suurim arv.

Vastanute koguarv on

$$6+4+2=12.$$

Kontroll: tabelis on kolm eri loomarühma, kuid lapsi on kokku 12. Rühmade arvu ja vastajate arvu ei tohi segi ajada.

Vastus: koera valiti kõige rohkem ja vastajaid oli 12.

Tüüpviga

Tüüpviga on liita tabeli arvud enne küsimuse lugemist. Kui küsitakse kõige suuremat rühma, piisab arvude võrdlemisest.

Teine viga on lugeda ridade arvu esemete arvuks. Kolm tabelirida ei tähenda, et esemeid on ainult kolm.

Harjutused

Kasuta mõisteosa viljade tabelit.

Lihtne kontroll

1. Mitu õuna on tabelis?
2. Millist vilja on kõige vähem?
3. Kumba on rohkem: õunu või pirne?

Rakendus

1. Mitu õuna ja pirni on kokku?
2. Mitu vilja on tabelis kokku?
3. Kui lisame 1 pirni, mitu pirni on siis?

Mõtlemisülesanne

1. Mitu ploomi peaks ära võtma, et ploome ja õunu oleks võrdselt?
2. Koosta oma laual olevate kolme esemeliigi kohta väike tabel.
3. Kirjuta üks küsimus, millele sinu tabelist saab vastata.

Vastused

1. 4 õuna.
2. Pirne, sest 2 on väikseim arv.
3. Õunu, sest $4>2$.
4. 6 vilja, sest $4+2=6$.
5. 11 vilja, sest $4+2+5=11$.
6. 3 pirni.
7. 1 ploom, sest $5-1=4$.
8. Kontrolli, et igal real oleks eseme nimi ja õige arv.
9. Näiteks „Millist eset on kõige rohkem?”.

Seosed

Lihtne tabel ühendab loendamise, võrdlemise ja liitmise. Hiljem lisanduvad diagrammid ja keskmised, kuid praegu piisab ridade õigesti lugemisest.

I klassi harjutusleht

Mõiste

Harjutusleht aitab korrata kogu I klassi põhiteed: arve ja tehteid, lihtsat mõõtmist, kujundeid ja mustreid ning tabeli lugemist.

Eeldus: laps tunneb arve 0 kuni 10 ja oskab esemeid loendada. Kui see pole veel kindel, alusta päris asjade või pildiga.

1. Vaata, mis arvud on antud.
2. Mõtle, kas on vaja liita, lahutada, võrrelda, mõõta, kujundit uurida või tabelit lugeda.
3. Kirjuta vastus koos sõna või ühikuga: õuna, cm, eurot.

Arvteljel lähevad arvud vasakult paremale suuremaks.

Näide

Katil on 7 pliiatsit. Ta annab sõbrale 2 pliiatsit. Mitu pliiatsit jääb Katil alles?

Lahutame:

$$7-2=5.$$

Vastus: Katil jääb alles 5 pliiatsit.

Teine näide: joonlaud näitab, et pliiats algab 0 cm juurest ja lõpeb 8 cm juures. Pliiatsi pikkus on 8 cm.

Tüüpviga

Tüüpviga on teha tehe enne, kui on aru saadud, kas asju tuleb juurde või jääb vähemaks.

• Kui juurde tuleb, liida.
• Kui ära võetakse, lahuta.
• Kui küsitakse, kumb on suurem, võrdle.

Teine tüüpviga on kirjutada ainult arv ja jätta sõna ära. Vastus "5" on arvutus, aga "5 pliiatsit" vastab küsimusele.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Järjesta arvud väiksemast suuremani: 8, 3, 10, 6.
2. Arvuta: $5+4$.
3. Arvuta: $9-3$.

Rakendus

1. Emal on 6 õuna. Ta ostab 4 õuna juurde. Mitu õuna on nüüd?
2. Lapsel on 10 kleepsu. Ta annab 3 ära. Mitu kleepsu jääb?
3. Kirjuta puuduv arv: 2, 3, 4, __, 6.

Mõtlemisülesanne

1. Kumb on pikem: 9 cm pael või 6 cm pael?
2. Jätka mustrit: ring, kolmnurk, ring, kolmnurk, __, __.
3. Tabelis on 4 ringi, 2 kolmnurka ja 3 ruutu. Millist kujundit on kõige rohkem ning mitu kujundit on kokku?
4. Joonista arvtelg 0 kuni 10 ja märgi sinna arvud 2, 5 ja 9.
5. Mäng: vali arv 4, 7 või 9. Ütle üks tehe, mille vastus on sinu valitud arv.
6. Pane märk <, > või =: 6 __ 8, 7 __ 7, 10 __ 4.

Vastused

1. 3, 6, 8, 10.
2. 9.
3. 6.
4. 10 õuna, sest õunu tuli juurde.
5. 7 kleepsu, sest 3 kleepsu anti ära.
6. Puuduv arv on 5.
7. 9 cm pael, sest 9 cm on pikem kui 6 cm.
8. Ring, kolmnurk.
9. Ringe on kõige rohkem. Kokku on 9 kujundit, sest $4+2+3=9$.
10. Kontrolli, et 2 oleks 5-st vasakul, 5 oleks 2 ja 9 vahel ning 9 oleks 10 lähedal.
11. Näiteks $2+2=4$, $10-3=7$, $5+4=9$. Sobib iga õige tehe.
12. $6<8$, $7=7$, $10>4$.

Klassi kordamine

Enne II klassi liikumist kontrolli viit asja:

1. Kas oskad arve 0 kuni 20 edasi ja tagasi lugeda?
2. Kas saad aru, millal on vaja liita ja millal lahutada?
3. Kas oskad vastusele lisada sõna või ühiku: õuna, pliiatsit, cm, eurot?
4. Kas tunned ringi, kolmnurka, ruutu ja ristkülikut ning oskad mustrit jätkata?
5. Kas leiad lihtsast tabelist suurima ja väikseima arvu ning oskad arvud kokku liita?

Segakontroll:

• Maril on 8 kommi ja ta saab 5 juurde. Mitu kommi on kokku?
• Järjesta arvud 12, 4, 9, 17 väiksemast suuremani.
• Kumb on pikem: 14 cm pael või 9 cm pael?
• Jätka mustrit: ruut, ring, ruut, ring, __.
• Tabelis on 3 õuna ja 5 pirni. Mitu vilja on kokku ja kumba on rohkem?

Vastused: 13 kommi, sest komme tuli juurde; 4, 9, 12, 17; 14 cm pael; ruut; kokku 8 vilja ja pirne on rohkem.

Seosed

See harjutusleht valmistab ette II klassi suuremate arvude, lihtsate tekstülesannete ja kujundite kirjeldamise. Põhiidee jääb samaks: enne otsusta, mida olukord küsib, ja alles siis arvuta.

II klassi arvud ja tehted

Mõiste

II klassis loeme, kirjutame ja võrdleme arve kuni 1000-ni. Arvu koht näitab selle väärtust. Arvus 243 on 2 sada, 4 kümmet ja 3 ühelist:

$$243=200+40+3.$$

Eeldus: oskad arve vähemalt 100-ni loendada ning 20 piires liita ja lahutada. Kui suurem arv tundub keeruline, kirjuta sajad, kümned ja ühelised eraldi.

Liitmisel ja lahutamisel töötame sama kohaga: ühelised ühelistega, kümned kümnetega ja sajad sadadega. Korrutamine kirjeldab võrdseid rühmi. Tehe $4\cdot3$ tähendab nelja rühma, igas 3 eset. Jagamine võib tähendada võrdseteks rühmadeks jaotamist: 12 kommi neljale lapsele annab igale 3 kommi.

Näide

Raamatukogus oli 236 lasteraamatut ja juurde toodi 48. Jaotame 48 neljaks kümneks ja kaheksaks üheliseks:

$$236+48=236+40+8=276+8=284.$$

Kontroll: vastus peab olema suurem kui 236. Arvus 284 on 2 sada, 8 kümmet ja 4 ühelist.

Vastus: raamatukogus on nüüd 284 lasteraamatut.

Teises olukorras pannakse 15 pliiatsit võrdselt kolme topsi. Igasse topsi läheb 5 pliiatsit, sest $3\cdot5=15$. Seega $15:3=5$.

Vastus: igas topsis on 5 pliiatsit.

Tüüpviga

Tüüpviga on liita eri kohad omavahel, näiteks võtta arvus 243 number 2 kahe ühelisena. Number 2 tähendab siin kahte sada.

Korrutamine ei ole sama mis tavaline liitmine: $4\cdot3=12$, aga $4+3=7$. Jagamisel peavad rühmad olema võrdsed ja kõik esemed peavad olema jaotatud.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta arv 372 sadade, kümnete ja ühelistena.
2. Arvuta $46+27$.
3. Arvuta $81-36$.

Rakendus

1. Viies karbis on igas 4 kriiti. Mitu kriiti on kokku?
2. Jaota 18 nööpi võrdselt kolme rühma. Mitu nööpi on ühes rühmas?
3. Poes oli 245 vihikut ja juurde toodi 30. Mitu vihikut on nüüd?

Mõtlemisülesanne

1. Leia arv, milles on 6 sada, 0 kümmet ja 9 ühelist.
2. Koosta tehte $4\cdot6$ kohta lühike jutt ja kirjuta sama olukorra jagamistehe.
3. Kumb on suurem: $198+5$ või 200? Põhjenda enne täpset arvutust.

Vastused

1. $372=300+70+2$: 3 sada, 7 kümmet ja 2 ühelist.
2. 73; liitmisel suurenes arv 46.
3. 45; lahutamisel vähenes arv 81.
4. 20 kriiti, sest $5\cdot4=20$.
5. 6 nööpi, sest $18:3=6$ ja $3\cdot6=18$.
6. 275 vihikut, sest $245+30=275$.
7. 609; kümnete kohal olev 0 tuleb kirjutada.
8. Näiteks neljas kotis on igas 6 õuna: $4\cdot6=24$ ja $24:4=6$.
9. $198+5=203$, seega see on suurem kui 200.

Seosed

Kohaväärtus aitab liita ja lahutada suuremaid arve. Võrdsete rühmade mõistmine valmistab ette III klassi korrutustabeli ja jagamise kindlama kasutamise.

II klassi praktiline mõõtmine

Mõiste

Mõõtmisel valime küsimusele sobiva ühiku. Pliiatsi pikkust mõõdame sentimeetrites, toa pikkust meetrites, väikese eseme massi grammides ja suurema eseme massi kilogrammides. Aega näitavad tunnid ja minutid; raha eurod ja sendid.

Eeldus: oskad võrrelda arve ning mõõta eseme pikkust joonlaua nullmärgist. Enne teisendamist ütle, mida mõõdetakse.

Olulised seosed on:

$$1\text{ m}=100\text{ cm},\qquad 1\text{ h}=60\text{ min},\qquad 1\text{ euro}=100\text{ senti}.$$

Sama liiki suurusi saab võrrelda pärast samasse ühikusse viimist. Näiteks 1 m on 100 cm, seega on 1 m pikem kui 85 cm. Vastuses peab alati olema arv ja ühik.

Näide

Karlil on 1 m pikkune nöör ja Maril 70 cm pikkune nöör. Viime mõlemad pikkused sentimeetritesse: $1\text{ m}=100\text{ cm}$. Vahe on

$$100\text{ cm}-70\text{ cm}=30\text{ cm}.$$

Kontroll: Karli nöör oli pikem, seega peab vahe olema positiivne ja väiksem kui 100 cm.

Vastus: Karli nöör on 30 cm pikem.

Tüüpviga

Tüüpviga on võrrelda ainult arve: 80 tundub suurem kui 2, kuid 80 cm on lühem kui 2 m. Kõigepealt peavad ühikud olema samad.

Teine viga on alustada joonlauaga mõõtmist servast, mitte nullmärgist. Kella puhul loe, mitu minutit päriselt möödub, mitte ainult numbrite vahet.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täida lünk: $1\text{ m}=\_\_\text{ cm}$.
2. Kumb on pikem: 90 cm või 1 m?
3. Mitu minutit on ühes tunnis?

Rakendus

1. Laud on 80 cm pikk ja riiul 15 cm pikem. Kui pikk on riiul?
2. Film algab kell 16.00 ja kestab 45 minutit. Mis kell film lõpeb?
3. Sul on 2 eurot. Ost maksab 1 euro ja 30 senti. Mitu senti jääb alles?

Mõtlemisülesanne

1. Nimeta üks ese, mida mõõdaksid sentimeetrites, ja üks, mida meetrites.
2. Kas 120 cm pikkune latt mahub sirgelt 1 m pikkusesse kasti? Põhjenda.
3. Koosta ülesanne, mille vastus on 25 minutit.

Vastused

1. 100 cm.
2. 1 m, sest $1\text{ m}=100\text{ cm}$ ja $100>90$.
3. 60 minutit.
4. 95 cm, sest $80+15=95$.
5. Kell 16.45.
6. 70 senti, sest 2 eurot on 200 senti ja $200-130=70$.
7. Näiteks pliiats sentimeetrites ja tuba meetrites.
8. Ei mahu, sest $1\text{ m}=100\text{ cm}$ ja $120>100$.
9. Näiteks: tund algas kell 10.00 ja lõppes kell 10.25.

Seosed

Mõõtühikute kindel kasutamine aitab hiljem arvutada ümbermõõtu, pindala, kiirust ja teisi elulisi suurusi.

II klassi kujundid ja kehad

Mõiste

Tasandiline kujund on lame: seda saab joonistada paberile. Kolmnurgal on 3 külge ja 3 tippu. Nelinurgal on 4 külge ja 4 tippu. Ruut ja ristkülik on nelinurgad. Ringil ei ole sirgeid külgi ega tippe.

Ruumiline keha võtab ruumi ja seda saab vaadata mitmest küljest. Kuubil on ruudukujulised tahud, risttahukal ristkülikukujulised tahud ning kera on ümmargune nagu pall.

Eeldus: tunned ringi, kolmnurka, ruutu ja ristkülikut ning oskad külgi ja tippe loendada.

Kujundi nimi ei muutu, kui seda pöörata, suurendada või värvida. Olulised on omadused: külgede ja tippude arv ning ruumilise keha puhul tahkude kuju.

Näide

Laual on kolmnurkne paberitükk, ruudukujuline kaart, pall ja täring. Kaks esimest on tasandilised kujundid. Pall on kera moodi ja täring kuubi moodi ruumiline keha.

Ruudukujulisel kaardil on 4 külge ja 4 tippu. Kui kaarti pöörata, jäävad need omadused samaks.

Vastus: laual on 2 tasandilist kujundit ja 2 ruumilist keha.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada pööratud ruutu rombiks ainult asendi järgi. Pööramine ei muuda nelja külje pikkust ega nelja tippu.

Teine viga on nimetada kera ringiks. Paberile joonistatud ring on tasandiline, pallikujulist kera saab aga käes pöörata.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu külge ja tippu on kolmnurgal?
2. Kas ruut on nelinurk?
3. Kumb on ruumiline keha: ring või kera?

Rakendus

1. Leia toast üks risttahuka ja üks kera moodi ese.
2. Joonista eri asendis kaks ristkülikut.
3. Rühmas on 3 kolmnurka, 2 ruutu ja 1 ring. Mitu tasandilist kujundit on kokku?

Mõtlemisülesanne

1. Selgita, mille poolest erinevad ruut ja kuup.
2. Kas igal nelinurgal on kõik küljed ühepikkused? Too vastunäide.
3. Millise tasandilise kujuga võivad olla risttahuka tahud?

Vastused

1. 3 külge ja 3 tippu.
2. Jah, sest ruudul on 4 külge ja 4 tippu.
3. Kera; ring on tasandiline kujund.
4. Näiteks raamat on risttahuka ja pall kera moodi.
5. Kontrolli, et mõlemal kujundil oleks 4 külge ja 4 tippu; asend võib erineda.
6. 6 kujundit, sest $3+2+1=6$.
7. Ruut on tasandiline kujund, kuup ruumiline keha, mille tahud on ruudud.
8. Ei. Ristkülikul võivad kaks külge olla pikemad kui teised kaks.
9. Ristkülikukujulised; kuubi tahud on erijuhuna ruudud.

Seosed

Kujundite omaduste täpne kirjeldamine valmistab ette ümbermõõdu, pindala ja ruumiliste kehade mõõtmise.

II klassi harjutusleht

Mõiste

II klassis arvutad kuni 1000-ni: kasutad kohaväärtust, liidad ja lahutad, moodustad võrdseid rühmi, mõõdad ning eristad kujundeid ja ruumilisi kehi.

Eeldus: I klassi arvud, loendamine ning lihtne liitmine-lahutamine on tuttavad. Kui kahekohalised arvud lähevad segi, kirjuta need kümneliste ja üheliste kaupa lahti.

Enne arvutamist küsi, kas vastus peaks suurenema või vähenema. Korrutamisel ja jagamisel kontrolli, et rühmad oleksid võrdsed.

Näide

Klassis on 18 õpilast. Vahetunnis tuleb juurde 5 õpilast teisest klassist. Mitu last on kokku?

$$18+5=23.$$

Vastus: kokku on 23 last.

Kui laual on 4 karpi ja igas karbis on 3 pliiatsit, siis võib mõelda nii:

$$3+3+3+3=12.$$

Vastus: karpides on 12 pliiatsit.

Tüüpviga

Tüüpviga on segada ühikuid. Näiteks 2 m ja 30 cm ei ole samas ühikus. Enne võrdlemist mõtle:

$$2\text{ m}=200\text{ cm}.$$

Siis on näha, et 2 m on pikem kui 30 cm.

Teine tüüpviga on unustada puuduvat arvu kontrollida. Kui leiad, et $16+8=24$, siis asenda 8 tagasi lünka ja vaata, kas võrdus töötab.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta arv 406 sadade, kümnete ja ühelistena.
2. Arvuta: $27+8$.
3. Arvuta: $42-7$.
4. Leia puuduv arv: $16+__=24$.

Rakendus

1. Neljas reas on igas 5 tooli. Mitu tooli on kokku?
2. Jaota 18 nööpi võrdselt kolme rühma. Mitu nööpi on igas rühmas?
3. Võrdle: kumb on pikem, 1 m või 80 cm?
4. Kumb on ruumiline keha: ruut või kuup? Selgita ühe lausega.

Mõtlemisülesanne

1. Kell on 9.00. Tund kestab 45 minutit. Mis kell tund lõpeb?
2. Sul on 2 eurot ja ostad 75 sendi eest pliiatsi. Mitu senti jääb?
3. Mõtle arvule. Kui liidad sellele 6, saad 20. Mis arv see oli?
4. Poes oli 35 vihikut ja 12 müüdi ära. Mitu vihikut jäi ning miks peab vastus olema väiksem kui 35?

Vastused

1. $406=400+0+6$: 4 sada, 0 kümmet ja 6 ühelist.
2. 35; vastus on suurem kui 27, sest liideti.
3. 35; vastus on väiksem kui 42, sest lahutati.
4. 8.
5. 20 tooli, sest $4\cdot5=20$.
6. 6 nööpi, sest $18:3=6$.
7. 1 m, sest 1 m = 100 cm.
8. Kuup on ruumiline keha; ruut on tasandiline kujund.
9. 9.45.
10. 125 senti, sest 2 eurot on 200 senti ja $200-75=125$.
11. 14, sest $14+6=20$.
12. 23 vihikut. Vastus on väiksem kui 35, sest vihikuid müüdi ära.

Klassi kordamine

Enne III klassi liikumist kontrolli kuut oskust:

1. Kas oskad kolmekohalise arvu sadadeks, kümneteks ja ühelisteks jaotada?
2. Kas oskad liita ja lahutada ning vastuse suurust hinnata?
3. Kas seostad võrdsed rühmad korrutamise ja jagamisega?
4. Kas oskad võrrelda meetreid ja sentimeetreid?
5. Kas tunned tasandilisi kujundeid?
6. Kas eristad tasandilist kujundit ruumilisest kehast?

Segakontroll:

• Kirjuta arv 507 sadade, kümnete ja ühelistena.
• Arvuta $38+9$ ja ütle, kas vastus peab olema suurem kui 38.
• Jaota 12 kriiti võrdselt kolme karpi. Mitu kriiti on igas karbis?
• Kumb on pikem: 120 cm või 1 m?
• Kas kuup on tasandiline kujund või ruumiline keha?

Vastused: 5 sada, 0 kümmet ja 7 ühelist; 47, suurem; 4 kriiti; 120 cm; kuup on ruumiline keha.

Seosed

See harjutusleht valmistab ette III klassi murru mõtet, tabelite lugemist ja täpsemat mõõtmist. II klassis on tähtis, et laps oskaks enne arvutamist öelda, kas tulemus peaks suurenema või vähenema.

III klassi arvud ja tehted

Mõiste

III klassis kasutame arve kuni 10 000-ni. Arvu iga koht näitab väärtust: tuhandelised, sajalised, kümnelised ja ühelised. Arvus 3406 tuleb kümneliste kohal olev 0 kindlasti kirjutada:

$$3406=3000+400+0+6.$$

Eeldus: tunned sadu, kümneid ja ühelisi ning mõistad korrutamist võrdsete rühmadena ja jagamist võrdselt jaotamisena.

Liitmisel ja lahutamisel kontrolli enne, kas tulemus peab suurenema või vähenema. Korrutustabel aitab võrdsete rühmade koguarvu kiiresti leida. Jagamine on korrutamise pöördtehe: kui $7\cdot6=42$, siis $42:7=6$ ja $42:6=7$.

Näide

Kooliraamatukogus oli 1248 raamatut ja juurde saadi 352. Liidame kohaväärtuste järgi:

$$1248+352=1600.$$

Kontrolliks lahutame: $1600-352=1248$. Tulemus on algsest suurem, nagu juurde saamise korral peabki olema.

Kui 42 raamatut jagatakse võrdselt 7 riiulile, läheb igale riiulile 6 raamatut, sest $7\cdot6=42$. Vastus on $42:7=6$.

Tüüpviga

Tüüpviga on jätta arvu 3406 kirjutamisel null ära ja saada 346. Null näitab, et kümnelisi pole, kuid ühelised peavad jääma õigele kohale.

Teine viga on vahetada jagamisel vastuse tähendus. Tehe $24:6=4$ võib tähendada kuut võrdset rühma, igas 4 eset, või nelja rühma, igas 6 eset. Küsimus ütleb, mida vastus kirjeldab.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta arv 5027 kohaväärtuste summana.
2. Arvuta $236+148$.
3. Arvuta $700-265$.

Rakendus

1. Kaheksas karbis on igas 7 pliiatsit. Mitu pliiatsit on kokku?
2. Jaota 54 kleepsu võrdselt kuuele lapsele. Mitu kleepsu saab iga laps?
3. Staadionil oli 1350 inimest ja 240 lahkus. Mitu inimest jäi?

Mõtlemisülesanne

1. Leia arv, milles on 4 tuhandelist, 0 sajalist, 8 kümnelist ja 3 ühelist.
2. Kirjuta arvude 8, 7 ja 56 abil kaks korrutamis- ning kaks jagamistehet.
3. Kas $1998+5$ on suurem või väiksem kui 2000? Põhjenda.

Vastused

1. $5027=5000+20+7$; sajaliste kohal on 0.
2. 384; kontrolliks $384-148=236$.
3. 435; lahutamisel peab tulemus olema väiksem kui 700.
4. 56 pliiatsit, sest $8\cdot7=56$.
5. 9 kleepsu, sest $54:6=9$ ja $6\cdot9=54$.
6. 1110 inimest, sest $1350-240=1110$.
7. 4083.
8. $8\cdot7=56$, $7\cdot8=56$, $56:8=7$ ja $56:7=8$.
9. Suurem, sest $1998+5=2003$ ja $2003>2000$.

Seosed

Kohaväärtus ja neli põhitehet on vajalikud murdude, mõõtmise, ümbermõõdu ja andmete ülesannetes.

III klassi murru algus

Mõiste

Murd kirjeldab võrdseid osi tervikust või hulgast. Nimetaja näitab, mitmeks võrdseks osaks tervik jagati. Lugeja näitab, mitu sellist osa valiti.

Murrus $\frac{3}{4}$ on tervik jagatud neljaks võrdseks osaks ja valitud on kolm osa.

Eeldus: oskad terviku võrdseteks rühmadeks jagada ning loendada, mitu osa on kokku ja mitu on valitud.

Ühikmurru lugeja on 1. Sama terviku korral on $\frac{1}{2}$ suurem kui $\frac{1}{4}$, sest kaheks jagades on üks tükk suurem kui neljaks jagades. III klassis me murde veel ei liida ega lahuta; õpime neid pildi, hulga ja sõnadega mõistma.

Näide

Pitsa on jagatud 8 võrdseks tükiks. Neist 3 tükki on söödud. Tervik on kogu pitsa, nimetaja 8 näitab kõiki võrdseid tükke ja lugeja 3 söödud tükke.

$$\text{söödud osa}=\frac{3}{8}.$$

Kontroll: lugeja ei saa selles olukorras olla nimetajast suurem, sest söödud on ainult osa ühest pitsast.

Tüüpviga

Tüüpviga on kirjutada murd tagurpidi. Kui kuuest võrdsest osast on värvitud kaks, on murd $\frac{2}{6}$, mitte $\frac{6}{2}$.

Teine viga on lugeda ebavõrdseid tükke võrdseteks osadeks. Kui üks koogitükk on palju suurem kui teine, ei kirjelda kaks tükki automaatselt kahte võrdset poolt.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Tervik on jagatud viieks võrdseks osaks ja üks osa on valitud. Kirjuta murd.
2. Murrus $\frac{2}{7}$ nimeta lugeja ja nimetaja.
3. Kumb on sama terviku korral suurem: $\frac{1}{3}$ või $\frac{1}{5}$?

Rakendus

1. Kaheksast õunast on kolm rohelised. Millise murru hulgast moodustavad rohelised õunad?
2. Joonista ristkülik, jaga see neljaks võrdseks osaks ja värvi $\frac{3}{4}$.
3. Kellaringist on möödunud üks neljandik. Mitu minutit on möödunud?

Mõtlemisülesanne

1. Selgita, miks $\frac{1}{2}$ on suurem kui $\frac{1}{4}$.
2. Kas kolm eri suurusega koogitükki moodustavad tingimata $\frac{3}{4}$ koogist? Põhjenda.
3. Koosta olukord, mida kirjeldab murd $\frac{2}{5}$.

Vastused

1. $\frac{1}{5}$: üks valitud osa viiest võrdsest osast.
2. Lugeja on 2 ja nimetaja 7.
3. $\frac{1}{3}$, sest kolmeks jagatud terviku üks osa on suurem kui viieks jagatud terviku üks osa.
4. $\frac{3}{8}$ õuntest.
5. Kontrolli, et kõik 4 osa oleksid võrdsed ja neist 3 värvitud.
6. 15 minutit, sest tund jaguneb neljaks 15-minutiliseks osaks.
7. Kaheks jagamisel on üks võrdne tükk suurem kui neljaks jagamisel.
8. Ei. Murru osad peavad olema võrdsed ning vaja on teada kogu koogi jaotust.
9. Näiteks viiest pallist kaks on sinised.

Seosed

Murru osa-terviku mõte valmistab ette IV klassi osa leidmise ja hilisema murdudega arvutamise.

III klassi mõõtmine ja ümbermõõt

Mõiste

Mõõtmisel valime suurusele sobiva ühiku. Pikkust mõõdame millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites; massi grammides või kilogrammides; vedeliku kogust milliliitrites või liitrites; aega minutites ja tundides ning raha sentides ja eurodes.

Eeldus: oskad pikkust nullmärgist mõõta, võrrelda samasse ühikusse viidud suurusi ning liita ja lahutada suuremaid arve.

Ümbermõõt on kujundi kõigi külgede pikkuste summa. Kui ristküliku küljed on 6 cm ja 3 cm, käime mööda kogu piiri:

$$6+3+6+3=18\text{ cm}.$$

Ümbermõõtu mõõdetakse pikkusühikus, näiteks sentimeetrites, mitte ruutsentimeetrites. Teisendamisel hoia sama suuruse tähendus alles: $1\text{ m}=100\text{ cm}$ ja $1\text{ kg}=1000\text{ g}$.

Näide

Ristkülikukujulise kaardi pikem külg on 8 cm ja lühem külg 5 cm. Ristkülikul on kaks 8 cm ning kaks 5 cm külge:

$$8+5+8+5=26\text{ cm}.$$

Kontroll: külgi on summas neli ja vastus on sentimeetrites. Sama arvutuse võib kirjutada ka $2\cdot8+2\cdot5=26$.

Vastus: kaardi ümbermõõt on 26 cm.

Tüüpviga

Tüüpviga on liita ristküliku puhul ainult kaks eri külge: $8+5=13$. See annab poole piirist, mitte kogu ümbermõõdu.

Teine viga on võrrelda eri ühikuid arvude järgi. 2 m ei ole lühem kui 150 cm, sest $2\text{ m}=200\text{ cm}$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu sentimeetrit on 3 meetrit?
2. Leia ruudu ümbermõõt, kui külg on 4 cm.
3. Mitu minutit on kahes tunnis?

Rakendus

1. Ristküliku küljed on 7 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt.
2. Kott kaalub 2 kg ja teine 500 g. Kumb on raskem?
3. Pudelisse mahub 1 liiter vett. Mitu 250 ml klaasitäit sellest saab?

Mõtlemisülesanne

1. Ristküliku ümbermõõt on 18 cm ja üks külg 5 cm. Kui pikk on naaberkülg?
2. Joonista kaks eri kujuga nelinurka, mille ümbermõõt on 12 cm.
3. Koosta ajaülesanne, mille vastus on 35 minutit.

Vastused

1. 300 cm, sest $3\cdot100=300$.
2. 16 cm, sest $4+4+4+4=16$.
3. 120 minutit, sest $2\cdot60=120$.
4. 20 cm, sest $7+3+7+3=20$.
5. 2 kg kott, sest $2\text{ kg}=2000\text{ g}$ ja $2000>500$.
6. 4 klaasitäit, sest $1000:250=4$.
7. 4 cm, sest kaks 5 cm külge võtavad kokku 10 cm ja ülejäänud 8 cm jaguneb kaheks.
8. Kontrolli, et kõigi külgede summa oleks mõlemal kujundil 12 cm.
9. Näiteks: treening algas kell 15.00 ja lõppes kell 15.35.

Seosed

Ümbermõõt seob mõõtmise kujundite omadustega ja valmistab ette IV klassi pindala mõiste.

III klassi kujundid ja omadused

Mõiste

Hulknurk on tasandiline kujund, mille piir koosneb sirgetest külgedest. Kaks naaberkülge kohtuvad tipus. Kolmnurgal on 3 külge ja 3 tippu, nelinurgal 4 ning viisnurgal 5.

Eeldus: eristad tasandilist kujundit ruumilisest kehast ning oskad kolmnurga ja nelinurga külgi ning tippe loendada.

Ruut ja ristkülik on mõlemad nelinurgad. Ruudul on kõik neli külge ühepikkused. Ristkülikul on vastasküljed ühepikkused. Mõlemal on neli täisnurka. Kujundi omadused ei muutu pööramisel ega suuruse muutmisel.

Näide

Joonisel on pööratud ruut ja pikk ristkülik. Mõlemal on 4 külge, 4 tippu ja 4 täisnurka, seega on mõlemad nelinurgad ning ristkülikud. Pööratud ruudul on lisaks kõik küljed ühepikkused.

Vastus ei sõltu sellest, kas kujund seisab sirgelt või viltu; loevad tema omadused.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga nelinurka ruuduks. Nelinurgal võib olla eri pikkusega külgi ja eri suurusega nurki.

Teine viga on lugeda ringi hulknurgaks. Ringjoon on kõver, hulknurga küljed on sirged lõigud.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu külge ja tippu on viisnurgal?
2. Kas ring on hulknurk?
3. Nimeta üks omadus, mis on ühine ruudul ja ristkülikul.

Rakendus

1. Joonista kaks eri kujuga nelinurka.
2. Leia toast ruudu-, ristküliku- ja ringikujuline pind.
3. Rühmas on 4 kolmnurka ja 3 nelinurka. Mitu tippu on kujunditel kokku?

Mõtlemisülesanne

1. Kas iga ruut on ristkülik? Põhjenda omadustega.
2. Kas iga ristkülik on ruut? Too vastunäide.
3. Joonista kuusnurk ja kontrolli, kas külgede ning tippude arv on võrdne.

Vastused

1. 5 külge ja 5 tippu.
2. Ei, sest ringi piir on kõver, mitte sirgetest külgedest koosnev.
3. Mõlemal on 4 külge, 4 tippu ja 4 täisnurka.
4. Kontrolli, et mõlemal kujundil oleks 4 sirget külge ja 4 tippu.
5. Näiteks ruudukujuline põrandaplaat, ristkülikukujuline uks ja ringikujuline taldrik.
6. 24 tippu, sest $4\cdot3+3\cdot4=12+12=24$.
7. Jah. Ruudul on 4 täisnurka ja vastasküljed ühepikkused, seega vastab ta ristküliku omadustele.
8. Ei. Näiteks 6 cm ja 3 cm külgedega ristküliku kõik küljed pole ühepikkused.
9. Kuusnurgal on 6 külge ja 6 tippu.

Seosed

Kujundite omadused aitavad ümbermõõtu õigesti arvutada ning valmistavad ette nurkade ja pindala õppimise.

III klassi tabelid ja andmed

Mõiste

Andmed on kogutud arvud või vastused. Tabel korrastab need ridadesse ja veergudesse. Tulpdiagramm näitab arve tulpade kõrgusega. Enne arvu lugemist vaata pealkirja, silte ja skaalat.

Eeldus: oskad väikesest tabelist arvu leida, arve võrrelda ning liita ja lahutada.

Joonisel on esmaspäeva, teisipäeva ja kolmapäeva andmed. Teisipäeval loeti 4 raamatut, mis on kõige rohkem. Kokku loeti $2+4+3=9$ raamatut. III klassis teeme tabelist või diagrammist lihtsaid järeldusi; keskmist veel arvutama ei pea.

Näide

Klassi lemmikloomade küsitluses valis koera 8, kassi 6 ja kala 3 õpilast. Koer sai kõige rohkem hääli, sest 8 on suurim arv. Koera ja kassi häälte vahe on

$$8-6=2.$$

Kokku vastas $8+6+3=17$ õpilast. Vastustes tuleb nimetada nii arv kui ka selle tähendus.

Tüüpviga

Tüüpviga on lugeda tulba kõrgust ilma skaalata. Kui üks kriips tähendab kahte vastust, ei tähenda kolmanda kriipsuni ulatuv tulp arvu 3, vaid arvu 6.

Teine viga on vastata ainult arvuga. Vastus „8” ei ütle, kas mõeldakse õpilasi, raamatuid või sentimeetreid.

Harjutused

Kasuta mõisteosa diagrammi.

Lihtne kontroll

1. Mitu raamatut loeti teisipäeval?
2. Millisel päeval loeti kõige vähem?
3. Mitu raamatut loeti kolmapäeval?

Rakendus

1. Mitu raamatut loeti esmaspäeval ja kolmapäeval kokku?
2. Kui palju rohkem loeti teisipäeval kui esmaspäeval?
3. Mitu raamatut loeti kolme päevaga kokku?

Mõtlemisülesanne

1. Kui neljapäeval loeti 5 raamatut, kas see oleks uus suurim väärtus?
2. Koosta kolme puuvilja kohta tabel väärtustega 4, 7 ja 5 ning kirjuta üks võrdlusküsimus.
3. Joonista tabeli põhjal lihtne tulpdiagramm ja märgi skaala.

Vastused

1. 4 raamatut.
2. Esmaspäeval, sest 2 on väikseim väärtus.
3. 3 raamatut.
4. 5 raamatut, sest $2+3=5$.
5. 2 raamatut, sest $4-2=2$.
6. 9 raamatut, sest $2+4+3=9$.
7. Jah, sest $5>4$.
8. Tabelis peavad olema puuviljade nimed ja väärtused; näiteks „Mitu rohkem on suurimat kui väikseimat?”.
9. Kontrolli, et tulpade kõrgused vastaksid tabeli arvudele ja skaala oleks üheselt loetav.

Seosed

Tabeli ja diagrammi lugemine ühendab arvutamise elulise teabega ning valmistab ette IV klassi täpsemad diagrammid.

III klassi harjutusleht

Mõiste

III klassis kinnistad nelja põhitehet, mõõtmist ja kujundeid ning lisad murru, ümbermõõdu ja andmete mõtte.

Eeldus: oskad liita ja lahutada kahekohalisi arve, tunned pikkuseühikuid ning oskad lihtsast tabelist arvu üles leida.

Murd näitab osa tervikust. Kui kook on jagatud 4 võrdseks osaks ja sööd 1 osa, siis sööd

$$\frac{1}{4}$$

koogist.

Tabelis peab olema näha, mida loendati ja mitu vastust saadi.

Näide

Klassis küsiti, mis puuvili meeldib õpilastele kõige rohkem.

Kõige rohkem valiti õuna, sest 6 on suurem kui 5 ja 3.

Kui pitsast on 8 võrdset tükki ja ära süüakse 3 tükki, siis söödud osa on

$$\frac{3}{8}.$$

Vastus: populaarseim on õun; söödud pitsat on $\frac{3}{8}$.

Kontroll: alumine arv näitab kõiki tükke, ülemine valitud tükke.

Tüüpviga

Tüüpviga on murdu vaadata ainult ülemise arvu järgi. Sama terviku korral on $\frac{1}{2}$ suurem kui $\frac{1}{4}$, sest pool on suurem kui veerand.

Teine tüüpviga on tabelis pealkirju mitte lugeda. Arv 6 ei tähenda midagi enne, kui tead, kas see on 6 õpilast või 6 cm.

Kolmas tüüpviga on mõõtmisel alustada joonlaual 1 cm juurest. Pikkust mõõtes algab lõik tavaliselt 0 cm juurest.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta: $126+37$.
2. Arvuta: $200-58$.
3. Arvuta: $7\cdot8$ ja $56:7$.
4. Kirjuta murd: ristkülik on jagatud 5 võrdseks osaks ja värvitud on 2 osa.

Rakendus

1. Kumb on suurem: $\frac{1}{2}$ või $\frac{1}{3}$?
2. Tabelis on tulemused: punane 4, sinine 7, roheline 2. Millist värvi valiti kõige rohkem?
3. Leia andmete 3, 5, 5, 7 summa.
4. Kas ring on hulknurk? Põhjenda.

Mõtlemisülesanne

1. Joonista lõik pikkusega 6 cm.
2. Nelinurga külgede pikkused on 3 cm, 3 cm, 4 cm ja 4 cm. Leia ümbermõõt.
3. Tee väike küsitlus kolme lemmikvärvi kohta ja kirjuta tulemused tabelina.
4. Mai lõikas 12 cm paela kaheks tükiks: üks tükk oli 5 cm. Kui pikk oli teine tükk?

Vastused

1. 163; kontrolliks $163-37=126$.
2. 142; kontrolliks $142+58=200$.
3. $7\cdot8=56$ ja $56:7=8$.
4. $\frac{2}{5}$.
5. $\frac{1}{2}$, kui võrreldakse sama tervikut; pool on suurem kui kolmandik.
6. Sinist, sest 7 on tabelis suurim arv.
7. 20, sest $3+5+5+7=20$.
8. Ei, sest ringi piir on kõver, aga hulknurga küljed on sirged.
9. Kontrolli joonlauaga, et lõik algaks 0 cm juurest ja lõpeks 6 cm juures.
10. 14 cm, sest $3+3+4+4=14$.
11. Tabelis peab olema värvi nimi ja valimiste arv.
12. 7 cm, sest $12-5=7$.

Klassi kordamine

Enne IV klassi liikumist kontrolli seitset oskust:

1. Kas oskad suuremaid arve liita ja lahutada ning vastust hinnata?
2. Kas kasutad korrutamisel ja jagamisel sama arvukolmikut?
3. Kas saad aru, et murd näitab valitud võrdseid osi tervikust?
4. Kas mõõdad lõiku 0 cm juurest?
5. Kas tunned hulknurga ära külgede ja tippude järgi?
6. Kas loed tabeli pealkirja, silte ja arve?
7. Kas leiad ümbermõõdu kõiki külgi liites?

Segakontroll:

• Arvuta $248-79$.
• Arvuta $6\cdot7$ ja $42:6$.
• Kirjuta murd: 6 võrdsest osast on värvitud 4.
• Tabelis on õun 8, pirn 5, ploom 9. Mida valiti kõige rohkem?
• Ristküliku küljed on 5 cm ja 2 cm. Leia ümbermõõt.

Vastused: 169; 42 ja 7; $\frac{4}{6}$ ehk neli kuuest osast; ploomi; $5+2+5+2=14$ cm.

Seosed

See leht valmistab ette IV klassi kordamist: suuremad arvud, mõõtühikute teisendamine, murd kui osa tervikust ning tabeli põhjal järelduste tegemine.

IV klassi arvud miljonini

Mõiste

Kümnendsüsteemis on iga järg eelmisest kümme korda suurem. IV klassis kasutame arve miljonini. Arvus 408 275 on 4 sada tuhandelist, 0 kümnetuhandelist, 8 tuhandelist, 2 sajalist, 7 kümnelist ja 5 ühelist:

Eeldus: oskad lugeda, võrrelda ja kohaväärtuste järgi lahti kirjutada arve kuni 10 000-ni.

$$408\ 275=400\ 000+8000+200+70+5.$$

Arve võrdleme vasakult: esimene erinev number suuremas järgus otsustab, kumb arv on suurem. Ümardamisel vaatame ümardatavast järgust ühe koha paremale. Kui seal on 0–4, jääb ümardatav number samaks; kui 5–9, suureneb see ühe võrra.

Näide

Võrdleme arve 306 490 ja 306 509. Sajatuhandelised, kümnetuhandelised ja tuhandelised on võrdsed. Sajaliste kohal on esimeses arvus 4 ning teises 5, seega

$$306\ 490<306\ 509.$$

Ümardame arvu 306 490 tuhandelisteni. Vaatame sajaliste kohta: seal on 4, seega ümardame alla.

$$306\ 490\approx306\ 000.$$

Kontroll: täpne arv on 306 000-le lähemal kui 307 000-le.

Tüüpviga

Tüüpviga on null vahele jätmata kirjutada: 408 275 ei ole 48 275. Null hoiab kümnetuhandeliste koha alles.

Teine viga on vaadata ümardamisel vale numbrit. Tuhandelisteni ümardamisel otsustab sajaliste, mitte kümneliste number.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta 570 204 kohaväärtuste summana.
2. Kumb on suurem: 89 999 või 90 001?
3. Ümarda 63 482 tuhandelisteni.

Rakendus

1. Linnas elab 127 560 inimest. Ümarda elanike arv kümnetuhandelisteni.
2. Pane kasvavasse järjekorda 305 040, 350 004 ja 305 400.
3. Millise numbri väärtus on arvus 642 918 võrdne 40 000-ga?

Mõtlemisülesanne

1. Leia vähim täisarv, mis ümardub tuhandelisteni arvuks 28 000.
2. Moodusta numbritest 0, 2, 4, 7, 8 ja 9 suurim kuuekohaline arv.
3. Kas 149 499 ümardub kümnetuhandelisteni arvuks 150 000? Põhjenda.

Vastused

1. $570\ 204=500\ 000+70\ 000+200+4$.
2. 90 001, sest kümnetuhandeliste kohal on 9 suurem kui 8.
3. $63\ 000$, sest sajaliste kohal on 4.
4. 130 000, sest tuhandeliste kohal on 7.
5. $305\ 040<305\ 400<350\ 004$.
6. Number 4.
7. 27 500.
8. 987 420.
9. Jah, sest tuhandeliste kohal on 9 ja 149 499 on 150 000-le lähemal kui 140 000-le.

Seosed

Kohaväärtus ja ümardamine aitavad kirjalike tehete vastuse suurusjärku hinnata.

IV klassi kirjalikud tehted ja avaldised

Mõiste

Kirjalikus arvutuses kirjutame sama järgu numbrid kohakuti. Liitmisel ja lahutamisel alustame paremalt. Korrutamisel kasutame korrutustabelit ning kanname täiskümned järgmisse järku. Jagamisel leiame järjest, mitu korda jagaja jagatava osasse mahub.

Eeldus: tunned kohaväärtusi, korrutustabelit ja nelja põhitehte tähendust.

Avaldises arvutame esmalt sulgudes oleva, seejärel korrutamise ja jagamise ning lõpuks liitmise ja lahutamise. Sama astme tehted teeme vasakult paremale.

$$600-(48:6+17)=600-(8+17)=575.$$

Näide

Kool tellis 6 karpi, igas 248 vihikut. Hinnang: $6\cdot250\approx1500$. Täpne arvutus on

$$248\cdot6=1488.$$

Tulemus 1488 on hinnangu 1500 lähedal. Kui vihikud jagada võrdselt 4 klassile, saab iga klass

$$1488:4=372$$

vihikut. Kontrolliks $372\cdot4=1488$.

Tüüpviga

Tüüpviga on jätta tehete järjekord tähelepanuta: avaldises $20+4\cdot3$ tuleb enne arvutada $4\cdot3$, seega vastus on 32, mitte 72.

Teine viga on kirjutada kirjalikus liitmises ühelised kümneliste alla. Järguveerud peavad olema kohakuti.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $3487+2568$.
2. Arvuta $7000-2846$.
3. Arvuta $326\cdot4$.

Rakendus

1. Arvuta $936:6$ ja kontrolli korrutamisega.
2. Leia avaldise $420-(36:4+51)$ väärtus.
3. Viies bussis on igas 48 kohta. 217 kohta on hõivatud. Mitu kohta on vabad?

Mõtlemisülesanne

1. Lisa sulud nii, et avaldise $24-8:4$ väärtus oleks 4.
2. Milline arv korrutati 7-ga, kui tulemuseks saadi 2352?
3. Leia arvutusviga: $304\cdot5=152$. Selgita, milline kohaväärtus kadus.

Vastused

1. 6055; hinnang $3500+2600\approx6100$.
2. 4154; kontrolliks $4154+2846=7000$.
3. 1304.
4. 156, sest $156\cdot6=936$.
5. $420-(9+51)=360$.
6. 23 vaba kohta, sest $5\cdot48-217=240-217=23$.
7. $(24-8):4=4$.
8. 336, sest $2352:7=336$.
9. Õige vastus on 1520; null üheliste kohal jäeti kirjutamata.

Seosed

Neli põhitehet ja tehete järjekord on vajalikud osa, mõõtühikute, liikumise ja pindala ülesannetes.

IV klassi murd kui osa

Mõiste

Murd $\frac{a}{b}$ kirjeldab võrdseid osi. Nimetaja $b$ ütleb, mitmeks võrdseks osaks tervik jagati, ja lugeja $a$ ütleb, mitu osa võeti.

Eeldus: tunned murru lugejat ja nimetajat ning oskad naturaalarve jagada ja korrutada.

IV klassis leiame ka lihtsa osa hulgast. Selleks jagame hulga nimetaja järgi võrdseteks osadeks ja võtame lugeja näidatud arvu osi.

$$\frac{1}{3}\text{ arvust }12=12:3=4.$$

Kui otsime $\frac{2}{3}$ arvust 12, võtame kaks sellist osa: $4\cdot2=8$.

Näide

Raamaturiiulis on 24 raamatut. Neist $\frac{3}{8}$ on teatmeteosed.

Kõigepealt leiame ühe kaheksandiku:

$$24:8=3.$$

Seejärel võtame kolm osa:

$$3\cdot3=9.$$

Vastus: riiulis on 9 teatmeteost. Kontroll: 24 jagunes kaheksaks võrdseks kolmeliikmeliseks osaks ja võtsime neist kolm.

Tüüpviga

Tüüpviga on korrutada tervik nimetajaga. Nimetaja ütleb, mitmeks osaks jagada, seega tuleb ühe osa leidmiseks jagada.

Teine viga on kasutada murdu ilma tervikut nimetamata. Pool väikesest pitsast ja pool suurest pitsast ei ole sama suur kogus.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mida näitab murrus $\frac{3}{7}$ nimetaja 7?
2. Leia $\frac{1}{5}$ arvust 30.
3. Leia $\frac{2}{5}$ arvust 30.

Rakendus

1. 28 õpilasest $\frac{1}{4}$ osaleb kooris. Mitu õpilast osaleb kooris?
2. 36 eurost kulutati $\frac{2}{6}$. Mitu eurot kulutati?
3. 40 km teest on läbitud $\frac{3}{5}$. Mitu kilomeetrit on läbitud?

Mõtlemisülesanne

1. Üks neljandik hulgast on 6. Kui suur on kogu hulk?
2. Kumb on suurem osa samast 20-esemelisest hulgast: $\frac{1}{4}$ või $\frac{1}{5}$? Põhjenda.
3. Koosta ülesanne, kus tuleb leida $\frac{3}{4}$ arvust 32.

Vastused

1. Tervik on jagatud seitsmeks võrdseks osaks.
2. 6, sest $30:5=6$.
3. 12, sest $30:5\cdot2=12$.
4. 7 õpilast, sest $28:4=7$.
5. 12 eurot, sest $36:6\cdot2=12$.
6. 24 km, sest $40:5\cdot3=24$.
7. 24, sest neli võrdset osa on $4\cdot6$.
8. $\frac{1}{4}$, sest see annab 5 eset, aga $\frac{1}{5}$ annab 4 eset.
9. Kontrolli, et tervik oleks 32 ja küsimus paluks leida kolm neljast võrdsest osast; vastus on 24.

Seosed

Osa leidmine tervikust valmistab ette 5. klassi kümnendmurde ja hilisemat protsendi mõistet.

IV klassi mõõtühikud ja liikumine

Mõiste

Mõõtarv ja ühik kuuluvad kokku. Pikkuse, massi, mahu ja aja teisendamisel peab suurus jääma samaks:

Eeldus: tunned põhilisi mõõtühikuid ning oskad naturaalarve korrutada ja jagada.

$$3\text{ km}=3000\text{ m},\qquad 2\text{ kg}=2000\text{ g},\qquad 4\text{ l}=4000\text{ ml}.$$

Liita, lahutada või võrrelda saab samaliigilisi suurusi, kui need on viidud samasse ühikusse. Kiirus näitab, kui pikk tee läbitakse ühe ajaühiku jooksul. Kui 12 km läbitakse ühtlase tempoga 2 tunniga, läbitakse ühe tunniga 6 km.

Näide

Matkaja läbib 3 tunniga ühtlases tempos 15 km. Ühe tunni tee on

$$15\text{ km}:3\text{ h}=5\text{ km/h}.$$

Kahe tunniga läbib ta $2\cdot5=10$ km. Kontroll: kolme tunni tee on $3\cdot5=15$ km.

Tüüpviga

Tüüpviga on liita $2\text{ m}+30\text{ cm}$ ja kirjutada 32 m. Enne liitmist teisendame: $2\text{ m}=200\text{ cm}$, seega kokku on 230 cm ehk 2 m 30 cm.

Teine viga on jätta liikumisülesandes vastuse tähendus ütlemata. Arv 5 võib tähendada kilomeetreid, tunde või kilomeetreid tunnis.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu meetrit on 6 kilomeetrit?
2. Mitu grammi on 3 kilogrammi?
3. Mitu minutit on 2 tundi ja 15 minutit?

Rakendus

1. Lint on 2 m 40 cm pikk. Mitu sentimeetrit see on?
2. Jalgrattur läbib 4 tunniga ühtlases tempos 32 km. Mitu kilomeetrit läbib ta tunnis?
3. Buss sõidab 60 km/h. Kui pika tee läbib ta 3 tunniga?

Mõtlemisülesanne

1. Kumb on pikem: 2500 m või 2 km 600 m? Kui palju?
2. 24 km pikkune tee läbiti kiirusega 6 km/h. Mitu tundi kulus?
3. Koosta ülesanne, milles tuleb teisendada tunnid minutiteks ja seejärel lahutada.

Vastused

1. 6000 m.
2. 3000 g.
3. 135 minutit, sest $2\cdot60+15=135$.
4. 240 cm.
5. 8 km/h, sest $32:4=8$.
6. 180 km, sest $60\cdot3=180$.
7. 2 km 600 m on 100 m pikem, sest see on 2600 m.
8. 4 tundi, sest $24:6=4$.
9. Kontrolli, et mõlemad ajad oleksid enne lahutamist minutites.

Seosed

Mõõtühikute kindel kasutus on vajalik pindala, mõõtkava ja hilisemate kiiruseülesannete jaoks.

IV klassi pindala

Mõiste

Pindala näitab, kui suure osa tasapinnast kujund katab. Seda mõõdame ruutühikutes, näiteks ruutsentimeetrites $\text{cm}^2$ või ruutmeetrites $\text{m}^2$.

Eeldus: oskad leida ristküliku ümbermõõtu, korrutada ning loendada ruudustiku ridu ja veerge.

Ristküliku pindala leidmiseks loendame ühikruudud. Kui ühes reas on 7 ruutu ja ridu on 4, siis

$$S=7\cdot4=28\text{ cm}^2.$$

Ristküliku pindala on $S=a\cdot b$. Ruudu pindala on $S=a\cdot a$. Ümbermõõt kirjeldab kujundi piiri ja pindala kujundi sisemust.

Näide

Klassi vaiba pikkus on 6 m ja laius 4 m. Vaiba pindala on

$$S=6\cdot4=24\text{ m}^2.$$

Sama vaiba ümbermõõt oleks $2\cdot6+2\cdot4=20$ m. Arvud ja ühikud on erinevad, sest küsimused mõõdavad eri suurusi.

Tüüpviga

Tüüpviga on liita küljed ja nimetada tulemust pindalaks. Tehe $6+4+6+4$ annab ümbermõõdu, mitte pindala.

Teine viga on kirjutada pindala vastuseks 24 m. Pindala ühik on $\text{m}^2$, sest pinda katavad ruudud.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia ristküliku pindala, kui küljed on 5 cm ja 3 cm.
2. Leia 6 cm küljega ruudu pindala.
3. Kumb ühik sobib vihiku kaane pindalale: cm või $\text{cm}^2$?

Rakendus

1. Peenra pikkus on 8 m ja laius 2 m. Leia pindala.
2. Ristküliku pindala on $28\text{ cm}^2$ ja üks külg 7 cm. Leia teine külg.
3. Kahe vaiba pindalad on $12\text{ m}^2$ ja $9\text{ m}^2$. Kui suur pind on kokku?

Mõtlemisülesanne

1. Joonista kaks eri ristkülikut, mille pindala on $24\text{ cm}^2$.
2. Kas sama ümbermõõduga ristkülikutel peab olema sama pindala? Kontrolli ristkülikuid 5 cm × 3 cm ja 6 cm × 2 cm.
3. Ruudu pindala on $49\text{ cm}^2$. Leia külje pikkus põhjendades.

Vastused

1. $15\text{ cm}^2$, sest $5\cdot3=15$.
2. $36\text{ cm}^2$, sest $6\cdot6=36$.
3. $\text{cm}^2$.
4. $16\text{ m}^2$.
5. 4 cm, sest $28:7=4$.
6. $21\text{ m}^2$.
7. Näiteks 6 cm × 4 cm ja 8 cm × 3 cm.
8. Ei. Mõlema ümbermõõt on 16 cm, kuid pindalad on 15 ja $12\text{ cm}^2$.
9. 7 cm, sest $7\cdot7=49$.

Seosed

Ristküliku pindala on alus 5. klassi ruumala, mõõtkava ja keerukamate kujundite käsitlemisel.

IV klassi geomeetria alused

Mõiste

Punkt märgib täpset asukohta. Sirge jätkub mõlemas suunas lõputult. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel ning selle pikkust saab mõõta. Nurk tekib kahest ühise alguspunktiga haarast.

Eeldus: tunned tasandilisi kujundeid ning oskad joonlauaga lõiku mõõta ja joonestada.

Kaks sirget on paralleelsed, kui nad asuvad samal tasandil ega lõiku. Ristuvad sirged kohtuvad ühes punktis. Kui kohtumisel tekivad täisnurgad, on sirged teineteisega risti.

Täisnurk on 90°. Täisnurka võib joonisel märkida väikese veerandringi ja punktiga.

Näide

Joonestame punkti A läbiva sirge. Märgime sirgele teise punkti B. Punktide A ja B vahele jääb lõik AB. Kui joonestame punktist A teise sirge nii, et tekib 90° nurk, on need sirged teineteisega risti.

Kontroll: täisnurga saab üle vaadata nurklaua või paberilehe nurgaga.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga kohtuvat sirgepaari risti olevaks. Sirged võivad ristuda ka muu nurga all kui 90°.

Teine viga on mõõta sirge pikkust. Mõõta saab lõiku, sest sellel on kaks otspunkti; sirge jätkub lõputult.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu otspunkti on lõigul?
2. Kui suur on täisnurk kraadides?
3. Kas paralleelsed sirged lõikuvad?

Rakendus

1. Joonesta 5 cm pikkune lõik AB.
2. Joonesta kaks paralleelset sirget ja üks neid lõikav sirge.
3. Nimeta klassiruumist kaks esemete serva, mis on ligikaudu teineteisega risti.

Mõtlemisülesanne

1. Kas kõik ristuvad sirged on teineteisega risti? Põhjenda.
2. Joonesta nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ja kõik nurgad täisnurgad. Mis kujund see võib olla?
3. Mitu täisnurka tekib kahe teineteisega risti oleva sirge lõikumisel?

Vastused

1. Kaks, sest lõik jääb kahe otspunkti vahele.
2. 90°.
3. Ei, samal tasandil asuvad paralleelsed sirged ei lõiku.
4. Kontrolli joonlauaga, et otspunktide A ja B vahe oleks 5 cm.
5. Kontrolli, et kaks esimest sirget ei kohtuks ja kolmas läbiks mõlemat.
6. Näiteks seina ja põranda serv või vihiku kaks naaberserva.
7. Ei. Risti olevad sirged on ristuvate sirgete erijuht: nende vahel on 90° nurk.
8. Ristkülik või ruut.
9. Neli täisnurka.

Seosed

Punkti, lõigu, nurga ja sirgete seosed on vajalikud 5. klassi nurgamõõtmisel, plaanidel ja kujundite täpsemal kirjeldamisel.

IV klassi rakendusleht

Mõiste

IV klassis töötavad suured arvud, kirjalikud tehted, murd, mõõtmine, liikumine ja geomeetria koos. Sa valid tehte või valemi ning kontrollid ühikut ja vastuse suurust.

Eeldus: oskad arvutada naturaalarvudega, leida lihtsat osa tervikust, lugeda tabelit ning eristada pikkust, ümbermõõtu ja pindala.

Tööjärjekord: loe küsimus, märgi arvud ja ühikud, vali tehe või valem ning kontrolli vastuse sobivust.

Näide

Klass mõõtis kolme plakati laiust.

Plakatite kogulaius on

$$40+35+45=120\text{ cm}.$$

Kui need pannakse järjest seinale, on vaja vähemalt 120 cm vaba ruumi.

Sama mõttega saab kontrollida ka kujundeid. Kui ristküliku küljed on 8 cm ja 5 cm, siis ümbermõõt on kogu ääre pikkus:

$$8+5+8+5=26\text{ cm}.$$

Pindala näitab, kui suure pinna ristkülik katab:

$$8\cdot 5=40\text{ cm}^2.$$

Vastus: 120 cm, 26 cm ja $40\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Tüüpviga on ühik ära unustada. Arv 120 üksi ei ütle, kas jutt käib sentimeetritest, eurodest või õpilastest.

Teine tüüpviga on ajada pindala ja ümbermõõt segi: pind tähendab pindala, äär ümbermõõtu.

Kolmas tüüpviga on tabeli arve liita enne küsimuse lugemist. Mõnikord küsitakse suurimat, väikseimat või vahet.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta kirjalikult $3487+2568$ ja hinda vastust ümardades.
2. Arvuta $936:6$ ning kontrolli korrutamisega.
3. Leia $\frac{3}{5}$ arvust 30.
4. Ristküliku küljed on 6 cm ja 4 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.

Rakendus

1. Tabelis on kolme raja pikkused: 120 m, 95 m ja 105 m. Kui pikk on nende summa?
2. Jalgrattur läbib 4 tunniga ühtlases tempos 32 km. Mitu kilomeetrit läbib ta tunnis?
3. Kirjuta sobiv ühik: aia pikkus, vihiku pindala ja jooksuraja pikkus.
4. Ümarda 48 620 tuhandelisteni.

Mõtlemisülesanne

1. Ristküliku pindala on $24\text{ cm}^2$ ja üks külg 6 cm. Leia teine külg.
2. Leia $\frac{1}{4}$ 48 ruutmeetri suurusest platsist.
3. Selgita, miks saab lõigu pikkust mõõta, aga sirge pikkust mitte.
4. Arvuta $420-(36:4+51)$ ja nimeta tehete järjekord.

Vastused

1. 6055; hinnang $3500+2600\approx6100$.
2. 156, sest $156\cdot6=936$.
3. 18, sest $30:5\cdot3=18$.
4. Ümbermõõt on $20\text{ cm}$ ja pindala $24\text{ cm}^2$.
5. $320\text{ m}$, sest $120+95+105=320$.
6. 8 km/h, sest $32:4=8$.
7. Aia pikkus: m; vihiku pindala: $\text{cm}^2$; jooksuraja pikkus: m.
8. 49 000, sest sajaliste kohal on 6.
9. 4 cm, sest $24:6=4$.
10. $12\text{ m}^2$, sest $48:4=12$.
11. Lõigul on kaks otspunkti; sirge jätkub mõlemas suunas lõputult.
12. 360; esmalt jagamine, siis sulgudes liitmine ja lõpuks lahutamine.

Klassi kordamine

Enne V klassi liikumist kontrolli kuut oskust:

1. Kas oskad suure arvu kohaväärtuste järgi lahti kirjutada ja tulemust hinnata?
2. Kas järgid kirjalikes tehetes kohaväärtust ja tehete järjekorda?
3. Kas leiad murru abil osa tervikust?
4. Kas teisendad ühikuid ja selgitad liikumise jagatise tähendust?
5. Kas eristad ümbermõõtu ja pindala ning nende ühikuid?
6. Kas eristad punkti, sirget, lõiku ja täisnurka?

Segakontroll:

• Ümarda 48 620 tuhandelisteni.
• Arvuta $420-(36:4+51)$.
• Ristkülik on jagatud 8 võrdseks osaks ja värvitud on 3. Kirjuta murd.
• Jalgrattur läbib 3 tunniga 24 km. Mitu kilomeetrit läbib ta tunnis?
• Ristküliku küljed on 7 cm ja 3 cm. Leia pindala ning nimeta selle ühik.
• Kas paralleelsed sirged lõikuvad?

Vastused: 49 000; 360; $\frac{3}{8}$; 8 km/h; $21\text{ cm}^2$; paralleelsed sirged ei lõiku.

Seosed

See leht valmistab ette V klassi rakendusülesandeid, kus mõõtmise juurde tulevad murdude, kümnendmurdude ja suuremate arvude kasutamine.

V klassi suured arvud ja avaldised

Mõiste

Suure arvu lugemiseks jaotame numbrid paremalt kolmekohalisteks arvuklassideks: ühtede, tuhandete ja miljonite klass. Miljard on 1 000 miljonit ehk 1 000 000 000 ning alustab järgmist, miljardite klassi. Arv 704 208 031 tähendab 704 miljonit, 208 tuhat ja 31.

Eeldus: oskad lugeda ja ümardada arve miljonini ning arvutada nelja põhitehtega.

Arvavaldis näitab tehete järjekorda. Esmalt arvutame sulud, seejärel korrutamise ja jagamise ning lõpuks liitmise ja lahutamise. Sama astme tehted teeme vasakult paremale.

Arvu ruut tähendab arvu korrutamist iseendaga, näiteks $6^2=6\cdot6=36$. Arvu kuup tähendab kolme võrdse teguri korrutist, näiteks $4^3=4\cdot4\cdot4=64$.

Enne täpset arvutust ümarda arvud ja hinda vastust. Hinnang aitab märgata kadunud nulli või valesti valitud tehet.

Näide

Linnade elanike arvud on 1 324 800 ja 896 450. Kokku on

$$1\ 324\ 800+896\ 450=2\ 221\ 250.$$

Hinnang miljoniteni ümardades on $1\ 000\ 000+1\ 000\ 000=2\ 000\ 000$, seega täpne vastus 2 221 250 on mõistlik.

Avaldise $5000-6\cdot(320+80)$ väärtus on

$$5000-6\cdot400=5000-2400=2600.$$

Tüüpviga

Tüüpviga on arvuklassi algusest nullid ära jätta: 704 008 031 ei ole sama mis 704 8031. Igas sisemises klassis peab olema kolm numbrikohta.

Teine viga on arvutada avaldist ainult vasakult paremale. Korrutamine ja jagamine tulevad enne liitmist ja lahutamist, kui sulud ei määra teisiti.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Loe sõnadega arv 305 040 007.
2. Ümarda 48 650 200 miljoniteni.
3. Leia avaldise $900-5\cdot40$ väärtus.

Rakendus

1. Arvuta $2\ 450\ 600+780\ 450$ ja hinda vastust.
2. Leia $7200:(18-6)$ väärtus.
3. Laos oli 12 kasti, igas 250 eset. 875 eset saadeti välja. Mitu eset jäi?

Mõtlemisülesanne

1. Lisa sulud avaldisse $48-24:6$, et vastus oleks 4.
2. Leia vähim arv, mis ümardub miljoniteni arvuks 73 000 000.
3. Koosta tekstülesanne avaldisele $8\cdot125-340$.
4. Leia $12^2-3^3$ väärtus.

Vastused

1. Kolmsada viis miljonit nelikümmend tuhat seitse.
2. 49 000 000, sest sajatuhandeliste kohal on 6.
3. 700, sest korrutamine tehakse enne lahutamist.
4. 3 231 050; hinnang $2\ 500\ 000+800\ 000\approx3\ 300\ 000$.
5. 600, sest esmalt $18-6=12$ ja siis $7200:12=600$.
6. 2125 eset, sest $12\cdot250-875=3000-875$.
7. $(48-24):6=4$.
8. 72 500 000.
9. Kontrolli, et olukorras oleks kaheksa võrdset 125-esemelist rühma ja neist eemaldataks 340.
10. 117, sest $12^2=144$, $3^3=27$ ja $144-27=117$.

Seosed

Suured arvud ja avaldised on vajalikud jaguvuse, andmete, ruumala ja mõõtkava ülesannetes.

V klassi jaguvus

Mõiste

Arv $a$ jagub arvuga $b$, kui jagamisel ei teki jääki. Siis on $b$ arvu $a$ tegur ja $a$ arvu $b$ kordne. Näiteks $24:6=4$, seega 6 on arvu 24 tegur ja 24 on arvu 6 kordne.

Eeldus: tunned korrutustabelit ning oskad naturaalarve jagada ja jääki kontrollida.

Algarvul on täpselt kaks positiivset tegurit: 1 ja arv ise. Kordarvul on tegureid rohkem. Arv 1 ei ole alg- ega kordarv.

Suurim ühistegur SÜT on suurim arv, millega mõlemad arvud jaguvad. Vähim ühiskordne VÜK on vähim positiivne arv, mis jagub mõlema arvuga.

Jaguvustunnused: 2-ga jaguva arvu viimane number on paaris; 5-ga jaguv arv lõpeb 0 või 5-ga; 10-ga jaguv arv lõpeb 0-ga; 3 ja 9 puhul kontrollime numbrite summat.

Näide

Leiame arvude 24 ja 36 SÜT-i. Tegurid on

$$24: 1,2,3,4,6,8,12,24,$$

$$36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36.$$

Suurim ühine tegur on 12, seega $\operatorname{SÜT}(24,36)=12$.

Arvu 24 kordsed on 24, 48, 72, ... ja arvu 36 kordsed 36, 72, ... . Esimene ühine kordne on 72, seega $\operatorname{VÜK}(24,36)=72$.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada arvu 1 algarvuks. Algarvul peab olema kaks positiivset tegurit, kuid arvul 1 on ainult üks.

Teine viga on ajada tegur ja kordne segi: 6 on arvu 24 tegur, aga 24 on arvu 6 kordne.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas 348 jagub 2-ga? Põhjenda.
2. Kas 735 jagub 3-ga ja 5-ga?
3. Kirjuta kõik arvu 18 tegurid.

Rakendus

1. Leia $\operatorname{SÜT}(18,30)$.
2. Leia $\operatorname{VÜK}(8,12)$.
3. 24 punast ja 36 sinist helmest jaotatakse suurimaks võimalikuks arvuks ühesugusteks komplektideks. Mitu komplekti saab?

Mõtlemisülesanne

1. Kas 91 on algarv? Põhjenda teguritega.
2. Leia vähim kolmekohaline arv, mis jagub nii 5 kui ka 9-ga.
3. Selgita, miks kahe paarisarvu VÜK on alati paarisarv.

Vastused

1. Jah, sest viimane number 8 on paaris.
2. Jah mõlemaga: numbrite summa on 15 ja viimane number 5.
3. 1, 2, 3, 6, 9 ja 18.
4. 6.
5. 24; see on esimene arv, mis leidub mõlema kordsete reas.
6. 12 komplekti, sest $\operatorname{SÜT}(24,36)=12$; igas komplektis on 2 punast ja 3 sinist helmest.
7. Ei, sest $91=7\cdot13$.
8. 135, sest 5 ja 9 vähim ühiskordne on 45 ning esimene kolmekohaline 45 kordne on 135.
9. Mõlemad arvud jaguvad 2-ga, seega peab ka nende ühiskordne jaguma 2-ga.

Seosed

Tegurid, SÜT ja VÜK valmistavad ette 6. klassi murdude taandamise, laiendamise ja ühise nimetaja.

V klassi kümnendmurrud

Mõiste

Kümnendmurrus eraldab koma täisosa murdosast. Esimene koht koma järel näitab kümnendikke, teine sajandikke ja kolmas tuhandikke. Arv

$$4{,}307=4+\frac{3}{10}+\frac{0}{100}+\frac{7}{1000}.$$

Eeldus: tunned kohaväärtust ja harilikku murdu kui osa tervikust.

Võrdlemisel võime lisada lõppu nulle: $2{,}5=2{,}50$, seega $2{,}50>2{,}47$. Ümardamisel vaatame ümardatavast järgust järgmist numbrit.

Liitmisel ja lahutamisel kirjutame komad kohakuti. Korrutamisel arvutame esmalt nagu täisarvudega ja paigutame komakoha tegurite kümnendkohtade koguarvu järgi. Jagamisel kümnendmurruga nihutame jagatava ja jagaja koma sama palju kohti, kuni jagaja on täisarv. Korrutamisel 10, 100 või 1000-ga nihkub koma paremale, jagamisel vasakule.

Näide

Poes maksavad vihik 2,75 eurot ja pliiats 1,60 eurot. Kirjutame komad kohakuti:

$$2{,}75+1{,}60=4{,}35.$$

Kui maksame 5 euroga, saame tagasi

$$5{,}00-4{,}35=0{,}65$$

eurot. Kontroll: $4{,}35+0{,}65=5{,}00$.

Korrutamisel saame $2{,}4\cdot1{,}5=3{,}60=3{,}6$. Jagamisel teisendame $7{,}2:0{,}6$ kujule $72:6=12$, nihutades mõlemas arvus koma ühe koha võrra. Hinnang kinnitab tulemusi: $2{,}4\cdot1{,}5$ peab olema veidi suurem kui 2,4 ja $7{,}2:0{,}6$ peab olema suurem kui 7,2.

Tüüpviga

Tüüpviga on võrrelda ainult koma järel olevate numbrite arvu: 0,8 ei ole väiksem kui 0,75. Kirjutades $0{,}8=0{,}80$ näeme, et $0{,}80>0{,}75$.

Teine viga on liita numbrid kohakuti ilma komasid joondamata. Kohaväärtused, mitte arvu pikkus, määravad veerud.

Jagamisel ei tohi koma nihutada ainult jagajas. Jagatava ja jagaja korrutamine sama kümne astmega ei muuda jagatist.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta 6,205 kohaväärtuste summana.
2. Kumb on suurem: 3,7 või 3,68?
3. Ümarda 6,205 sajandikeni.

Rakendus

1. Arvuta $4{,}25+2{,}6$ ja $12{,}00-7{,}85$.
2. Arvuta $2{,}35\cdot4$.
3. Arvuta $7{,}2:0{,}6$.

Mõtlemisülesanne

1. Leia arv, mis on täpselt 2,4 ja 2,5 vahel.
2. Miks on $0{,}40=0{,}4$? Selgita kohaväärtusega.
3. Leia avaldise $5-1{,}2\cdot2{,}5$ väärtus ja hinda tulemust enne arvutamist.
4. Koosta ostuülesanne, mille arvutus on $10{,}00-6{,}45$.

Vastused

1. $6+\frac{2}{10}+\frac{0}{100}+\frac{5}{1000}$.
2. 3,7, sest $3{,}70>3{,}68$.
3. 6,21, sest tuhandike kohal on 5.
4. 6,85 ja 4,15; kontrolliks $7{,}85+4{,}15=12{,}00$.
5. 9,4, sest $235\cdot4=940$ ja korrutises on kaks kümnendkohta.
6. 12, sest $7{,}2:0{,}6=72:6$.
7. Näiteks 2,45.
8. Nelikümmend sajandikku ja neli kümnendikku on sama osa tervikust.
9. 2, sest esmalt $1{,}2\cdot2{,}5=3$ ja siis $5-3=2$; hinnang annab samuti umbes 2.
10. Vastus peab olema 3,55 eurot ning loos peab 10 eurost lahutama 6,45 eurot.

Seosed

Kümnendmurrud on vajalikud mõõtmisel, keskmise leidmisel ja 6. klassi protsendi mõistmisel.

V klassi andmed ja algebra algus

Mõiste

Tabel ja diagramm korrastavad andmed. Enne arvutamist loe pealkirja, rea ja veeru nimetusi, ühikut ning diagrammi skaalat. Aritmeetiline keskmine leitakse, kui väärtuste summa jagatakse väärtuste arvuga.

Eeldus: oskad tabelist väärtusi lugeda ning naturaalarve ja kümnendmurde liita ja jagada.

Täht võib tähistada arvu. Avaldis $3x+2$ näitab, et arv $x$ korrutatakse kolmega ja liidetakse 2. Võrrandis otsime tähe väärtust, mis muudab võrduse õigeks. Võrrandi $x+7=19$ lahend on $x=12$, sest $12+7=19$.

Näide

Nelja päeva jooksul loeti 12, 8, 10 ja 14 lehekülge. Kokku loeti

$$12+8+10+14=44$$

lehekülge. Päeva keskmine on

$$44:4=11$$

lehekülge. See ei tähenda, et igal päeval loeti täpselt 11 lehekülge, vaid et kogus jaguneks võrdselt nelja päeva vahel nii.

Kui viiendal päeval loetakse $x$ lehekülge ja viie päeva summa peab olema 60, saame võrrandi $44+x=60$. Seega $x=16$ ja kontroll $44+16=60$.

Tüüpviga

Tüüpviga on jagada summa vale arvuga. Nelja väärtuse keskmise leidmisel jagame neljaga, mitte suurima väärtusega.

Teine viga on lugeda diagrammi tulba kõrgust skaalat kontrollimata. Üks jaotis võib tähendada 1, 2, 5 või muud väärtust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia arvude 6, 8 ja 10 aritmeetiline keskmine.
2. Leia $x$, kui $x+9=25$.
3. Leia avaldise $4a+3$ väärtus, kui $a=5$.

Rakendus

1. Temperatuurid olid 2, 4, 3 ja 7 kraadi. Leia keskmine.
2. Neli võrdse hinnaga piletit maksavad kokku 36 eurot. Koosta võrrand ja leia ühe pileti hind.
3. Diagrammi skaala üks jaotis tähendab 5 õpilast. Tulp ulatub neljanda jaotiseni. Mitu õpilast see näitab?

Mõtlemisülesanne

1. Kolme arvu keskmine on 12. Kaks arvu on 9 ja 14. Leia kolmas arv.
2. Kas andmestiku keskmine peab olema üks andmestiku väärtustest? Too näide.
3. Koosta olukord avaldisele $2x+5$.

Vastused

1. 8, sest $(6+8+10):3=8$.
2. $x=16$; kontroll $16+9=25$.
3. 23, sest $4\cdot5+3=23$.
4. 4 kraadi, sest $(2+4+3+7):4=4$.
5. $4x=36$, seega $x=9$ eurot.
6. 20 õpilast, sest $4\cdot5=20$.
7. 13, sest vajalik summa on $3\cdot12=36$ ja $36-9-14=13$.
8. Ei. Arvude 1 ja 2 keskmine on 1,5, mida andmestikus pole.
9. Näiteks kaks sama hinnaga vihikut ja 5-eurone pliiatsikarp.

Seosed

Andmete lugemine ja tähe kasutamine valmistavad ette 6. klassi protsendiülesandeid ning 7. klassi algebrat.

V klassi geomeetria ja ruumala

Mõiste

Nurk koosneb kahest samast punktist algavast kiirest. Nurka mõõdame malliga kraadides. Teravnurk on väiksem kui 90°, täisnurk on 90° ja nürinurk on suurem kui 90°, kuid väiksem kui 180°. Lõikuvad sirged kohtuvad ühes punktis, paralleelsed sirged ei lõiku ning risti olevad sirged lõikuvad täisnurga all.

Eeldus: tunned punkti, sirget, lõiku, täisnurka ja ristküliku pindala.

Ruumala näitab, kui palju ruumi keha võtab. Seda mõõdame kuupühikutes. Risttahuka ruumala on

$$V=a\cdot b\cdot c.$$

Kuup on risttahuka erijuht, mille kõik servad on võrdsed. Pindala mõõdetakse ruutühikutes ja ruumala kuupühikutes.

Ruumalaühik sõltub mõõtmete ühikust. Näiteks $1\text{ dm}^3=1000\text{ cm}^3$ ja $1\text{ dm}^3=1\text{ l}$.

Näide

Karbi pikkus on 5 cm, laius 3 cm ja kõrgus 4 cm. Ühes kihis on $5\cdot3=15$ ühikkuupi. Kihte on 4, seega

$$V=5\cdot3\cdot4=60\text{ cm}^3.$$

Vastus: karbi ruumala on $60\text{ cm}^3$. Kontroll: vastus on kuupsentimeetrites, sest mõõdame ruumi, mitte põhja pinda.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga üle 90° nurka nürinurgaks. Sirgnurk on 180° ega ole nürinurk.

Teine viga on leida ainult põhja pindala $a\cdot b$ ja nimetada seda ruumalaks. Ruumala jaoks tuleb arvestada ka kõrgust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis liiki on 45° nurk?
2. Mis liiki on 120° nurk?
3. Leia risttahuka ruumala, kui mõõtmed on 4 cm, 3 cm ja 2 cm.

Rakendus

1. Kuubi serv on 5 cm. Leia ruumala.
2. Akvaariumi pikkus on 6 dm, laius 3 dm ja kõrgus 4 dm. Leia ruumala kuupdetsimeetrites ja liitrites.
3. Risttahuka ruumala on $48\text{ cm}^3$, pikkus 6 cm ja laius 4 cm. Leia kõrgus.

Mõtlemisülesanne

1. Joonesta üks 35° ja üks 135° nurk ning nimeta liigid.
2. Leia kaks erinevat täisarvuliste mõõtmetega risttahukat, mille ruumala on 24 kuupühikut.
3. Miks ei saa risttahuka ruumala ühik olla $\text{cm}^2$?

Vastused

1. Teravnurk, sest $45°<90°$.
2. Nürinurk, sest $90°<120°<180°$.
3. $24\text{ cm}^3$.
4. $125\text{ cm}^3$, sest $5\cdot5\cdot5=125$.
5. $72\text{ dm}^3$ ehk 72 l.
6. 2 cm, sest $48:(6\cdot4)=2$.
7. 35° on teravnurk ja 135° nürinurk; kontrolli nurgamõõtjaga.
8. Näiteks $2\times3\times4$ ja $1\times4\times6$.
9. Ruumalal on kolm mõõdet: pikkus, laius ja kõrgus, seega kasutatakse kuupühikut.

Seosed

Nurgad ja ruumala valmistavad ette 6. klassi konstruktsioone ning kujundite täpsemat uurimist.

V klassi mõõtkava ja plaan

Mõiste

Mõõtkava võrdleb joonise pikkust tegeliku pikkusega. Mõõtkava 1 : 500 tähendab, et 1 cm plaanil vastab 500 cm ehk 5 m tegelikkuses.

Eeldus: oskad pikkusühikuid teisendada ning naturaalarve ja kümnendmurde korrutada ja jagada.

Plaanilt tegeliku pikkuse leidmiseks korrutame plaani pikkuse mõõtkava arvuga. Tegelikust pikkusest plaani pikkuse leidmiseks jagame. Enne lõppvastust teisendame sobivasse ühikusse.

Mõõtkava kirjeldab pikkuste suhet. Pindala ei muutu sama teguriga: kui pikkused suurenevad 2 korda, suureneb pindala 4 korda.

Näide

Kaardil on matkaraja pikkus 7,5 cm. Mõõtkava on 1 : 20 000. Tegelik pikkus sentimeetrites on

$$7{,}5\cdot20\ 000=150\ 000\text{ cm}.$$

Teisendame: $150\ 000\text{ cm}=1500\text{ m}=1{,}5\text{ km}$.

Vastus: matkarada on tegelikult 1,5 km pikk. Kontroll: kaardil väike sentimeetrite arv peab andma tegelikkuses palju suurema pikkuse.

Tüüpviga

Tüüpviga on anda vastuseks 150 000 ilma ühikuta. Mõõtkava arvutus algas sentimeetrites ja lõppvastus tuleb teisendada olukorrale sobivaks.

Teine viga on korrutada vales suunas. Plaanilt tegelikkusse liikudes pikkus suureneb, tegelikkusest plaanile liikudes väheneb.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mida tähendab mõõtkava 1 : 100?
2. Plaanil on lõik 6 cm. Mõõtkava on 1 : 200. Leia tegelik pikkus meetrites.
3. Tegelik pikkus on 30 m. Mõõtkava on 1 : 500. Leia pikkus plaanil sentimeetrites.

Rakendus

1. Kaardil on tee 4,2 cm. Mõõtkava on 1 : 10 000. Leia tegelik pikkus meetrites.
2. 45 m pikkune koridor joonistatakse mõõtkavas 1 : 300. Kui pikk on koridor plaanil?
3. Plaanil on ristküliku küljed 3 cm ja 2 cm. Mõõtkava on 1 : 100. Leia tegelikud küljepikkused meetrites.

Mõtlemisülesanne

1. Milline mõõtkava näitab sama teed pikemana: 1 : 1000 või 1 : 5000? Põhjenda.
2. Joonista oma toa lihtne plaan mõõtkavas 1 : 50.
3. Kui plaani kõik pikkused kahekordistada, mitu korda suureneb plaanil kujutatud ristküliku pindala?

Vastused

1. 1 cm plaanil vastab 100 cm ehk 1 m tegelikkuses.
2. 12 m, sest $6\cdot200=1200\text{ cm}$.
3. 6 cm, sest $30\text{ m}=3000\text{ cm}$ ja $3000:500=6$.
4. 420 m.
5. 15 cm, sest $45\text{ m}=4500\text{ cm}$ ja $4500:300=15$.
6. 3 m ja 2 m.
7. Mõõtkava 1 : 1000, sest sama tegelik pikkus jagatakse väiksema arvuga.
8. Kontrolli iga tegeliku mõõdu jagamist 50-ga ja ühikute võrdsust.
9. Neli korda, sest pindala on kahe pikkuse korrutis: $2\cdot2=4$.

Seosed

Mõõtkava ühendab mõõtmise, kümnendmurrud ja geomeetria ning valmistab ette hilisema proportsiooni mõiste.

V klassi rakendusleht

Mõiste

V klassis seotakse suured arvud, jaguvus, kümnendmurrud, andmed, lihtne algebra, ruumala ja mõõtkava. Protsent on ainult ettevaatav lisaväljakutse; selle põhjalik käsitlus algab VI klassis.

Eeldus: oled läbinud V klassi kuus põhiteemat. Nimeta enne arvutamist otsitav suurus ja ühik.

Näide

Pargiplaanil on tee pikkus 4,5 cm ja mõõtkava 1 : 2000. Tegelik pikkus on

$$4{,}5\cdot2000=9000\text{ cm}=90\text{ m}.$$

Kolme sellise lõigu kogupikkus on

$$3\cdot90=270\text{ m}.$$

Kuue minuti kohta on keskmine teepikkus minutis

$$270:6=45\text{ m}.$$

Vastus: üks lõik on 90 m, kogu rada 270 m ja minutis läbitakse keskmiselt 45 m.

Tüüpviga

Tüüpviga on mõõtkavas korrutada õigesti, aga jätta ühik teisendamata. 9000 cm on 90 m.

Teine tüüpviga on leida keskmine, jagades summa vale arvuga. Jagaja on väärtuste arv.

Kolmas tüüpviga on segada pindala ja ruumala. Pindala kasutab ruutühikut, ruumala kuupühikut.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $3{,}75+2{,}4$.
2. Leia arvude 5, 7 ja 9 aritmeetiline keskmine.
3. Leia $x$, kui $x+18=45$.

Rakendus

1. Plaanil on tee 7 cm, mõõtkava on 1 : 500. Leia tegelik pikkus meetrites.
2. Karbi mõõtmed on 5 cm, 4 cm ja 3 cm. Leia ruumala.
3. Nelja päeva tulemused olid 12, 18, 15 ja 15 punkti. Leia summa ja keskmine.

Mõtlemisülesanne

1. Leia vähim arv, mis jagub nii 6 kui ka 8-ga, ja selgita, kuidas kontrollisid.
2. Plaanil on ruudu külg 3 cm ja mõõtkava 1 : 200. Leia tegelik külg meetrites ning ruudu tegelik pindala.
3. Lisaväljakutse: kui pool tähendab 50%, mitu protsenti tähendab veerand? Põhjenda sajandike abil.
4. Ümarda 704 208 031 miljoniteni ja leia avaldise $5000-6\cdot(320+80)$ väärtus.
5. Joonesta malliga 125° nurk ja nimeta nurga liik.
6. Kolme paki massid on 2,4 kg, 3,1 kg ja 2,9 kg. Leia pakkide keskmine mass.

Vastused

1. 6,15; komad kirjutatakse kohakuti.
2. 7, sest $(5+7+9):3=7$.
3. $x=27$; kontroll $27+18=45$.
4. 35 m, sest $7\cdot500=3500\text{ cm}=35\text{ m}$.
5. $60\text{ cm}^3$, sest $5\cdot4\cdot3=60$.
6. Summa on 60 punkti ja keskmine 15 punkti.
7. 24; see on esimene arv, mis leidub nii 6 kui ka 8 kordsete seas.
8. Külg on 6 m ja pindala $36\text{ m}^2$.
9. 25%, sest $\frac14=\frac{25}{100}$; see on ettevalmistus VI klassi protsenditeemaks.
10. 704 000 000 ja 2600; vaata sajatuhandeliste kohta ning tee esmalt sulud ja korrutamine.
11. 125° nurk on nürinurk; kontrollmõõtmisel võib tulemus erineda ühe kraadi võrra.
12. 2,8 kg, sest $(2{,}4+3{,}1+2{,}9):3=8{,}4:3$.

Klassi kordamine

Enne VI klassi liikumist kontrolli kuut oskust:

1. Kas oskad suure arvu klassideks jagada ja avaldise järjekorda põhjendada?
2. Kas eristad tegurit, kordset, SÜT-i ja VÜK-i?
3. Kas kümnendmurdude tehtes kirjutad komad kohakuti?
4. Kas oskad leida keskmist ja lihtsa võrrandi tundmatut?
5. Kas eristad pindala, ruumala ja mõõtkava ühikuid?
6. Kas oskad nurka mõõta ja liigitada?

Segakontroll:

• Ümarda 68 549 200 miljoniteni.
• Arvuta $8{,}4-3{,}75$ ja $2{,}4\cdot1{,}5$.
• Plaanil on tee 5 cm, mõõtkava on 1 : 500. Leia tegelik pikkus meetrites.
• Leia $\operatorname{SÜT}(18,24)$.
• Leia arvude 4, 7 ja 10 aritmeetiline keskmine.
• Leia 4 cm servaga kuubi ruumala.

Vastused: 69 000 000; 4,65 ja 3,6; 25 m; 6; 7; $64\text{ cm}^3$.

Seosed

See leht valmistab ette VI klassi harilike murdude, negatiivsete arvude, protsendi ja koordinaattasandi ülesandeid. Protsendi lisaväljakutse on ettevaade, mitte V klassi põhitelg.

VI klassi harilik murd

Mõiste

Harilik murd $\frac{a}{b}$ on jagatis $a:b$, kus $b\ne0$. Murru väärtus ei muutu, kui korrutame või jagame lugeja ja nimetaja sama nullist erineva arvuga. Seda nimetatakse murru põhiomaduseks.

Eeldus: tunned lugeja ja nimetaja tähendust ning oskad leida tegureid, SÜT-i ja VÜK-i.

Taandamisel jagame lugeja ja nimetaja ühise teguriga; laiendamisel korrutame sama arvuga. Võrdlemiseks viime murrud ühisele nimetajale või paigutame need arvteljele.

Hariliku murru saab jagamistehtega kirjutada kümnendmurruna: $\frac34=3:4=0{,}75$. Kui kümnendmurd ei lõpe, kasutame vajaduse korral lähendit, näiteks $\frac13\approx0{,}33$.

Liigmurru lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne. Segaarv koosneb täisosast ja pärisosast. Näiteks $\frac74=1\frac34$.

Näide

Taandame murru $\frac{18}{24}$. Arvude 18 ja 24 suurim ühistegur on 6, seega

$$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac34.$$

Võrdleme $\frac34$ ja $\frac56$. Vähim ühine nimetaja on 12:

$$\frac34=\frac9{12},\qquad \frac56=\frac{10}{12}.$$

Seega $\frac34<\frac56$. Kontroll arvteljel: mõlemad on 0 ja 1 vahel ning $\frac56$ asub 1-le lähemal.

Tüüpviga

Tüüpviga on taandada ainult lugejat või ainult nimetajat. Murru väärtuse säilitamiseks tuleb mõlemat jagada sama arvuga.

Teine viga on arvata, et suurem nimetaja annab alati suurema murru. Sama lugeja korral tähendab suurem nimetaja väiksemaid osi.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Taanda $\frac{12}{18}$.
2. Laienda $\frac35$ nimetajani 20.
3. Teisenda $\frac{11}{4}$ segaarvuks.

Rakendus

1. Võrdle $\frac58$ ja $\frac23$ ühise nimetaja abil.
2. Teisenda $2\frac35$ liigmurruks.
3. Paiguta kasvavasse järjekorda $\frac12$, $\frac34$ ja $\frac23$.

Mõtlemisülesanne

1. Leia kolm murdu, mis on samaväärsed murruga $\frac47$.
2. Milliste kahe järjestikuse täisarvu vahel asub $\frac{17}{5}$?
3. Leia üks murd, mis asub $\frac13$ ja $\frac12$ vahel, ning põhjenda.
4. Kirjuta $\frac38$ kümnendmurruna ja $\frac13$ sajandikeni ümardatud kümnendlähendina.

Vastused

1. $\frac23$, sest lugeja ja nimetaja jagatakse 6-ga.
2. $\frac{12}{20}$, sest mõlemad korrutatakse 4-ga.
3. $2\frac34$, sest $11:4=2$ ja jääk on 3.
4. $\frac58<\frac23$, sest $\frac{15}{24}<\frac{16}{24}$.
5. $\frac{13}{5}$, sest $2\cdot5+3=13$.
6. $\frac12<\frac23<\frac34$.
7. Näiteks $\frac8{14}$, $\frac{12}{21}$ ja $\frac{16}{28}$.
8. 3 ja 4 vahel, sest $\frac{17}{5}=3\frac25$.
9. Näiteks $\frac5{12}$, sest $\frac13=\frac4{12}$ ja $\frac12=\frac6{12}$.
10. $\frac38=0{,}375$ ja $\frac13\approx0{,}33$.

Seosed

Murru põhiomadus ja ühine nimetaja on järgmise peatüki liitmis- ja lahutamistehete alus.

VI klassi murrutehted

Mõiste

Murde liites ja lahutades peavad osad olema sama suured ehk nimetajad võrdsed. Erinevate nimetajate korral leiame ühise nimetaja ja laiendame murrud.

Eeldus: oskad murde taandada, laiendada ja võrrelda ning leida VÜK-i.

Korrutamisel korrutame lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Jagamisel korrutame esimese murru teise murru pöördarvuga:

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc.$$

Vastuse taandame ja vajadusel teisendame segaarvuks.

Segaarvud teisendame enne korrutamist või jagamist liigmurdudeks. Liitmisel ja lahutamisel võib samuti kasutada liigmurde või arvutada täis- ja murdosad eraldi.

Näide

Liidame $\frac23+\frac34$. Ühine nimetaja on 12:

$$\frac23+\frac34=\frac8{12}+\frac9{12}=\frac{17}{12}=1\frac5{12}.$$

Korrutame ja taandame:

$$\frac23\cdot\frac9{10}=\frac{18}{30}=\frac35.$$

Jagamisel pöörame teise murru:

$$\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78.$$

Segaarvudega arvutades teisendame näiteks $1\frac12-\frac23=\frac32-\frac23=\frac56$.

Tüüpviga

Tüüpviga on liita nii lugejad kui nimetajad: $\frac12+\frac13$ ei ole $\frac25$. Poolikud ja kolmandikud tuleb esmalt muuta sama suurteks osadeks.

Teine viga on pöörata jagamisel esimene murd. Pöördarvuks muudame teise murru ehk jagaja.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $\frac27+\frac37$.
2. Arvuta $\frac56-\frac13$.
3. Arvuta $\frac34\cdot\frac25$.

Rakendus

1. Arvuta $\frac58:\frac34$.
2. Mari kõndis hommikul $1\frac23$ km ja õhtul $\frac56$ km. Kui palju kokku?
3. Retseptis kasutatakse $\frac34$ liitrit mahla. Valmistatakse pool kogusest. Kui palju mahla kulub?

Mõtlemisülesanne

1. Leia puuduv murd: $\frac38+\square=1$.
2. Koosta jagamisülesanne, mille vastus on 2.
3. Kas $\frac45\cdot\frac78$ on suurem või väiksem kui $\frac45$? Põhjenda enne arvutamist.

Vastused

1. $\frac57$.
2. $\frac12$, sest $\frac56-\frac26=\frac36$.
3. $\frac3{10}$.
4. $\frac56$, sest $\frac58\cdot\frac43=\frac{20}{24}$.
5. $2\frac12$ km, sest $1\frac23=\frac{10}{6}$ ja $\frac{10}{6}+\frac56=\frac{15}{6}$.
6. $\frac38$ l, sest $\frac12\cdot\frac34=\frac38$.
7. $\frac58$.
8. Näiteks $\frac34:\frac38=2$.
9. Väiksem, sest korrutame arvuga $\frac78<1$; täpne vastus on $\frac7{10}$.

Seosed

Murrutehted on vajalikud protsendi, geomeetriliste mõõtude ja 7. klassi ratsionaalarvude jaoks.

VI klassi negatiivsed arvud

Mõiste

Negatiivsed arvud on nullist väiksemad. Negatiivsed täisarvud, null ja positiivsed naturaalarvud moodustavad koos täisarvude hulga. Arvteljel asuvad negatiivsed arvud nullist vasakul. Mida paremal arv asub, seda suurem see on, seega $-2>-5$.

Eeldus: oskad arve arvteljele paigutada ning liitmist ja lahutamist liikumisena tõlgendada.

Arvu vastandarv asub nullist sama kaugel teisel pool: arvu $-4$ vastandarv on 4. Absoluutväärtus näitab kaugust nullist ning on positiivne või nulliga võrdne:

$$|-4|=4.$$

Liitmist saab kujutada liikumisena: positiivse arvu liitmisel liigume paremale, negatiivse arvu liitmisel vasakule. Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.

Korrutamisel ja jagamisel annavad samad märgid positiivse, erinevad märgid negatiivse tulemuse. Näiteks $(-3)\cdot4=-12$ ja $(-12):(-3)=4$.

Näide

Hommikul oli temperatuur $-6^\circ\text{C}$. Päeval tõusis see 9 kraadi. Alustame arvust $-6$ ja liigume arvteljel 9 sammu paremale:

$$-6+9=3.$$

Õhtul langes temperatuur 5 kraadi:

$$3-5=-2.$$

Vastus: päeval oli $3^\circ\text{C}$ ja õhtul $-2^\circ\text{C}$. Märgireegli näitena on $(-2)\cdot3=-6$, sest tegurite märgid on erinevad.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et $-8>-3$, sest 8 on suurem kui 3. Arvteljel asub $-8$ vasakul, seega $-8<-3$.

Teine viga on kirjutada $|-5|=-5$. Absoluutväärtus on kaugus nullist, seega $|-5|=5$.

Korrutamisel ja jagamisel ei määrata vastuse märki arvude suuruse järgi. Kontrolli esmalt märkide paari ja alles siis arvuta absoluutväärtustega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kumb on suurem: $-7$ või $-4$?
2. Leia arvu $-9$ vastandarv.
3. Arvuta $|-12|$.

Rakendus

1. Arvuta $-3+8$ ja $(-3)\cdot8$.
2. Arvuta $4-9$ ja $(-20):5$.
3. Sukelduja on 6 m allpool veepinda ja tõuseb 4 m. Millisel kõrgusel veepinna suhtes ta on?

Mõtlemisülesanne

1. Leia kõik täisarvud, mille absoluutväärtus on 3.
2. Kui $a=-5$, kumb on suurem: $a$ või $|a|$?
3. Temperatuur muutus $-2^\circ\text{C}$-lt $5^\circ\text{C}$-ni. Mitme kraadi võrra see tõusis?
4. Kirjuta kõik täisarvud, mis on suuremad kui $-3$ ja väiksemad kui 2.

Vastused

1. $-4$, sest see asub arvteljel paremal.
2. 9.
3. 12.
4. 5 ja $-24$; korrutise märgid on erinevad.
5. $-5$ ja $-4$; jagatava ja jagaja märgid on erinevad.
6. $-2$ m ehk 2 m allpool veepinda.
7. $-3$ ja 3.
8. $|a|=5$ on suurem kui $a=-5$.
9. 7 kraadi, sest $5-(-2)=7$.
10. $-2$, $-1$, 0 ja 1.

Seosed

Negatiivsed arvud on koordinaattasandi nelja veerandi ja 7. klassi ratsionaalarvude alus.

VI klassi protsent

Mõiste

Protsent tähendab sajandikku. Märk $\%$ ütleb, mitu sajandikku tervikust vaadeldakse:

$$1\%=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

Eeldus: oskad harilikku murdu ja kümnendmurdu korrutada ning tead, milline suurus on ülesandes tervik.

Näiteks $25\%=\frac{25}{100}=0{,}25=\frac14$. Terviku protsendi leidmiseks korrutame terviku vastava sajandikmurruga:

$$p\%\text{ arvust }N=\frac{p}{100}\cdot N.$$

Kui osa ja tervik on teada, leiame osa osakaalu ehk osamäära nii:

$$\frac{\text{osa}}{\text{tervik}}\cdot100\%.$$

Näide

Klassis on 24 õpilast. Neist 6 tulid kooli jalgrattaga. Mitu protsenti klassist tuli rattaga?

Tervik on 24 õpilast ja osa on 6 õpilast:

$$\frac{6}{24}\cdot100\%=\frac14\cdot100\%=25\%.$$

Vastus: rattaga tuli 25% klassist.

Tüüpviga

Tüüpviga on võtta tervikuks vale arv. Kui 6 õpilast 24-st tuli rattaga, jagame $6:24$, mitte $24:6$.

Teine viga on arvutada 20% arvust 60 tehtega $60:20$. Õige on $0{,}20\cdot60=12$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta $35\%$ hariliku murruna nimetajaga 100.
2. Leia 10% arvust 80.
3. Mitu protsenti on pool tervikust?

Rakendus

1. Leia 25% arvust 48.
2. 30 õpilasest 12 osaleb kooris. Mitu protsenti õpilastest osaleb kooris?
3. 50 euro suurusest summast kulutati 15 eurot. Mitu protsenti summast kulutati?

Mõtlemisülesanne

1. Kumb on suurem: 40% arvust 50 või 25% arvust 80?
2. Leia kolm eri kuju arvule $\frac34$: harilik murd, kümnendmurd ja protsent.
3. Põhjenda ilma pikalt arvutamata, miks 5% arvust 200 on sama mis 10% arvust 100.

Vastused

1. $\frac{35}{100}$.
2. 8, sest $0{,}10\cdot80=8$.
3. 50%, sest $\frac12=\frac{50}{100}$.
4. 12, sest $\frac14\cdot48=12$.
5. 40%, sest $\frac{12}{30}\cdot100\%=40\%$.
6. 30%, sest $\frac{15}{50}\cdot100\%=30\%$.
7. Need on võrdsed: mõlemad on 20.
8. $\frac34=0{,}75=75\%$.
9. Mõlemad annavad 10: $0{,}05\cdot200=10$ ja $0{,}10\cdot100=10$.

Seosed

Protsendi oskus valmistab ette 7. klassi protsentülesandeid, suhteid ja võrrandeid.

VI klassi koordinaattasand

Mõiste

Koordinaattasandi moodustavad ristuvad arvteljed. Horisontaalne telg on $x$-telg, vertikaalne telg on $y$-telg ja nende lõikepunkt on alguspunkt $O(0;0)$.

Eeldus: oskad positiivseid ja negatiivseid arve arvteljel paigutada.

Punkti koordinaadid kirjutatakse alati järjekorras $(x;y)$: esmalt liigume $x$-suunas, seejärel $y$-suunas. Punkt $A(3;-2)$ asub alguspunktist 3 ühikut paremal ja 2 ühikut all.

Teljed jagavad tasandi neljaks veerandiks. Teljel asuv punkt ei kuulu ühtegi veerandisse.

Näide

Leia punktide $A(-2;3)$ ja $B(4;-1)$ asukoht.

Punkti $A$ puhul liigume alguspunktist 2 ühikut vasakule ja 3 üles. See on II veerandis. Punkti $B$ puhul liigume 4 ühikut paremale ja 1 alla. See on IV veerandis.

Vastus: $A$ on II ja $B$ IV veerandis.

Tüüpviga

Tüüpviga on vahetada koordinaatide järjekord: $A(-2;3)$ ja $A(3;-2)$ on eri punktid.

Teine viga on nimetada teljel asuvat punkti veerandi punktiks. Näiteks $(0;4)$ asub $y$-teljel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millises veerandis on punkt $P(2;5)$?
2. Millisel teljel on punkt $Q(-3;0)$?
3. Kirjelda sõnadega liikumist alguspunktist punkti $R(-4;-2)$.

Rakendus

1. Nimeta punkti $S(3;-6)$ koordinaatide märgid ja veerand.
2. Punkt $T$ asub $y$-teljel 5 ühikut alguspunktist allpool. Kirjuta koordinaadid.
3. Punktid $A(1;1)$, $B(5;1)$ ja $C(5;4)$ on kolmnurga tipud. Kui pikad on lõigud $AB$ ja $BC$?

Mõtlemisülesanne

1. Leia punkt, mis on $A(-3;2)$ peegelpilt $y$-telje suhtes.
2. Kirjuta üks punkt igast veerandist nii, et kõik koordinaadid oleksid absoluutväärtuselt erinevad.
3. Selgita, miks punkt $(0;0)$ ei kuulu ühtegi veerandisse.

Vastused

1. I veerandis.
2. $x$-teljel.
3. 4 ühikut vasakule ja 2 alla.
4. $x>0$, $y<0$; IV veerand.
5. $T(0;-5)$.
6. $AB=4$ ja $BC=3$ ühikut.
7. $(3;2)$, sest $x$-koordinaadi märk muutub.
8. Näiteks $(1;2)$, $(-3;4)$, $(-5;-6)$ ja $(7;-8)$.
9. Alguspunkt asub mõlemal teljel; veerandid jäävad telgede vahele.

Seosed

Koordinaattasand valmistab ette graafikuid, funktsioone, geomeetrilisi teisendusi ja andmete kujutamist.

VI klassi ring ja geomeetria

Mõiste

Ringjoon koosneb punktidest, mis asuvad keskpunktist ühesugusel kaugusel. Ring on ringjoon koos selle sisse jääva tasandiosaga. Kaugus keskpunktist ringjooneni on raadius $r$. Läbimõõt $d$ läbib keskpunkti ja on kahest raadiusest koosnev lõik:

$$d=2r.$$

Eeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning arvutada ristküliku ümbermõõtu ja pindala.

Ringjoone pikkus ja ringi pindala on

$$C=2\pi r=\pi d,\qquad S=\pi r^2,$$

kus ligikaudsetes arvutustes võib kasutada $\pi\approx3{,}14$.

Kolmnurki liigitame külgede järgi võrdkülgseteks, võrdhaarseteks ja erikülgseteks ning nurkade järgi terav-, täis- ja nürinurkseteks. Kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$. Kui kolmnurga alus on $a$ ja sellele tõmmatud kõrgus $h_a$, siis pindala on

$$S=\frac{a\cdot h_a}{2}.$$

Nelinurga ümbermõõt on külgede pikkuste summa. Konstruktsioonis kasutatakse joonlauda sirge tõmbamiseks ja sirklit kauguse ülekandmiseks.

Näide

Ringi raadius on 4 cm. Leiame läbimõõdu, ringjoone pikkuse ja pindala.

$$d=2\cdot4=8\text{ cm},$$

$$C=2\pi\cdot4=8\pi\approx25{,}12\text{ cm},$$

$$S=\pi\cdot4^2=16\pi\approx50{,}24\text{ cm}^2.$$

Vastus: läbimõõt on 8 cm, ringjoone pikkus ligikaudu 25,12 cm ja pindala ligikaudu 50,24 cm².

Kui kolmnurga alus on 6 cm ja kõrgus 4 cm, siis $S=6\cdot4:2=12\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada pindala valemis läbimõõtu raadiuse asemel. Kui $d=10$ cm, siis $r=5$ cm ja $S=25\pi$ cm², mitte $100\pi$ cm².

Teine viga on anda pindala vastus sentimeetrites. Pindala ühik on ruutühik, näiteks cm².

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Ringi raadius on 6 cm. Leia läbimõõt.
2. Ringi läbimõõt on 14 cm. Leia raadius.
3. Kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $67^\circ$. Leia kolmas nurk.

Rakendus

1. Leia 5 cm raadiusega ringjoone pikkus täpselt ja ligikaudu.
2. Leia 3 cm raadiusega ringi pindala täpselt ja ligikaudu.
3. Ristküliku küljed on 7 cm ja 4 cm. Leia ümbermõõt ja pindala. Leia ka 7 cm aluse ja 4 cm kõrgusega kolmnurga pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Kumb kasvab raadiuse kahekordistamisel neli korda: ringjoone pikkus või ringi pindala? Põhjenda.
2. Kirjelda, kuidas konstrueerida joonlaua ja sirkliga kolmnurk, mille küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.
3. Ruut küljega 8 cm ja ring läbimõõduga 8 cm on samal joonisel. Kummal on suurem pindala?

Vastused

1. 12 cm, sest $d=2r$.
2. 7 cm, sest $r=d:2$.
3. $65^\circ$, sest $180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ$.
4. $10\pi$ cm ehk ligikaudu 31,4 cm.
5. $9\pi$ cm² ehk ligikaudu 28,26 cm².
6. Ristküliku ümbermõõt on 22 cm ja pindala $28\text{ cm}^2$; kolmnurga pindala on $14\text{ cm}^2$.
7. Ringi pindala, sest $(2r)^2=4r^2$; ringjoone pikkus kasvab kaks korda.
8. Joonesta 6 cm alus. Tõmba ühest otspunktist 4 cm ja teisest 5 cm raadiusega kaar; kaarte lõikepunkt on kolmas tipp.
9. Ruudu pindala on 64 cm²; ringi pindala on $16\pi\approx50{,}24$ cm². Ruut on suurem.

Seosed

Ringi ja konstruktsiooni oskus valmistab ette 7.–9. klassi geomeetriat, tõestamist ja ruumigeomeetriat.

VI klassi rakendusleht

Mõiste

VI klassi ülesanne võib siduda samasse olukorda murru, protsendi, negatiivse arvu, koordinaadi ja geomeetrilise mõõdu. Lahendamine algab küsimusest: milline suurus on tervik ja mida tuleb leida?

Eeldus: oskad murde taandada ja nendega arvutada, protsenti leida, negatiivseid arve võrrelda, punkti koordinaattasandile kanda ning ringi põhimõõte kasutada.

Tõhus tööjärjekord on järgmine:

1. kirjuta teadaolevad suurused koos ühikutega;
2. vali sobiv esitus: tehe, murd, protsent, koordinaat või joonis;
3. arvuta sammhaaval;
4. kontrolli märki, suurusjärku ja ühikut.

Näide

Kooli õue plaanil on ringikujuline lillepeenar raadiusega 5 m. Peenra keskpunkt on koordinaatidega $K(-2;3)$. Ühele neljandikule peenrast istutatakse kollased lilled ja 40% ülejäänud osast sinised lilled. Kui suurele osale kogu peenrast istutatakse sinised lilled?

Pärast kollaste lillede istutamist jääb alles

$$1-\frac14=\frac34.$$

Sinised lilled võtavad 40% sellest osast:

$$\frac{40}{100}\cdot\frac34=\frac25\cdot\frac34=\frac3{10}.$$

Seega istutatakse siniseid lilli $\frac3{10}=30\%$ kogu peenrast. Keskpunkti koordinaadid ja raadius kirjeldavad peenra asukohta ning suurust, kuid neid ei ole osamäära leidmiseks vaja.

Vastus: sinised lilled katavad 30% kogu peenrast.

Tüüpviga

Tüüpviga on leida 40% kogu peenrast. Ülesandes on 40% ülejäänud kolmest neljandikust, seega tuleb need osad korrutada.

Teine viga on kasutada kõiki antud arve. Koordinaadid ja raadius võivad olla joonise jaoks vajalikud, kuid osamäära arvutuses üleliigsed.

Kolmas viga on jätta vastus tähenduseta. Arv $\frac3{10}$ peab saama juurde selgituse: see on osa kogu peenrast.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Taanda murd $\frac{18}{24}$.
2. Temperatuur tõusis $-7^\circ\text{C}$-lt $2^\circ\text{C}$-ni. Mitme kraadi võrra see tõusis?
3. Leia 25% arvust 64.

Rakendus

1. Punkt $A(-4;2)$ liigub 7 ühikut paremale. Kirjuta uued koordinaadid.
2. Ringi läbimõõt on 12 cm. Leia raadius ja ringjoone pikkus ligikaudu.
3. Matkarajast läbiti hommikul $\frac38$ ja pärastlõunal $\frac14$. Kui suur osa rajast jäi läbimata?

Mõtlemisülesanne

1. 40 õpilasest $\frac35$ osales spordipäeval. Osalenutest 25% jooksis teatejooksu. Mitu õpilast jooksis teatejooksu?
2. Punktid $A(-2;-1)$, $B(4;-1)$ ja $C(4;3)$ moodustavad täisnurkse kolmnurga. Leia lõikude $AB$ ja $BC$ pikkused ning kolmnurga pindala.
3. Ringi raadius suureneb 3 cm-lt 6 cm-ni. Mitu korda muutuvad ringjoone pikkus ja ringi pindala?
4. Koosta oma ülesanne, milles kasutatakse nii protsenti kui harilikku murdu. Lahenda ja kontrolli vastus.

Vastused

1. $\frac34$, sest lugeja ja nimetaja jaguvad arvuga 6.
2. 9 kraadi, sest $2-(-7)=9$.
3. 16, sest $\frac14\cdot64=16$.
4. $A(3;2)$, sest $x$-koordinaadile liidetakse 7 ja $y$ ei muutu.
5. $r=6$ cm ja $C=12\pi\approx37{,}68$ cm.
6. $1-\frac38-\frac14=1-\frac58=\frac38$ rajast.
7. 6 õpilast, sest $\frac35\cdot40=24$ ja 25% arvust 24 on 6.
8. $AB=6$, $BC=4$ ja pindala $\frac{6\cdot4}{2}=12$ ruutühikut.
9. Ringjoone pikkus suureneb 2 korda ja pindala 4 korda.
10. Kontrolli, et tervik on nimetatud, osa arvutatud õigest suurusest ja vastusel on tähendus.

Klassi kordamine

Enne VII klassi liikumist kontrolli kuut oskust:

1. taandan, laiendan, võrdlen ja arvutan harilike murdudega;
2. võrdlen negatiivseid arve ning leian vastandarvu ja absoluutväärtuse;
3. leian protsendi tervikust ja osa osamäära;
4. kirjutan ja loen punkti koordinaate;
5. eristan ringi pindala ja ringjoone pikkust ning leian kolmnurga pindala;
6. kirjutan vastuse juurde ühiku või tähenduse.

Seosed

See kordamine valmistab ette VII klassi ratsionaalarvud, protsentülesanded, võrrandid, funktsioonid ja koordinaatgraafikud.

Kümnendsüsteem ja ümardamine

Mõiste

Kümnendsüsteemis sõltub numbri väärtus tema kohast. Arvus 4072 tähendab number 4 tuhandeid, 7 kümneid ja 2 ühelisi.

Eeldus: oskad arve järjestada, lugeda numbreid vasakult paremale ning tead, et koma eraldab täisosa ja murdosa.

Näiteks arv $4072,36$ koosneb nii:

Seega

$$4072,36=4000+70+2+0,3+0,06.$$

Iga järgmine koht on eelmisest 10 korda väiksem või suurem:

Seepärast muudab koma asukoht arvu väärtust palju: $4,7$, $47$ ja $470$ kasutavad samu numbreid, aga tähendavad eri suurusi.

Reeglid

Ümardamisel vaadatakse ümardamiskohast järgmist numbrit:

• kui järgmine number on 0, 1, 2, 3 või 4, jääb koht samaks;
• kui järgmine number on 5, 6, 7, 8 või 9, suureneb koht ühe võrra.

Piir on täpselt poole koha peal. Kui ümardame kümnelisteni, on arvud $30$ ja $40$ vahel. Keskpunkt on $35$:

$$30,\ 31,\ 32,\ 33,\ 34\quad |\quad 35,\ 36,\ 37,\ 38,\ 39,\ 40.$$

Arvud $30$ kuni $34$ on lähemal $30$-le. Arvud $35$ kuni $39$ ümardatakse tavakokkuleppe järgi ülespoole $40$-ks.

Näiteks kümnelisteni ümardamisel:

• $34$ ümardub $30$-ks;
• $35$ ümardub $40$-ks;
• $36$ ümardub $40$-ks.

Sajandikeni ümardamisel:

• $2,344$ ümardub $2,34$-ks;
• $2,345$ ümardub $2,35$-ks;
• $2,346$ ümardub $2,35$-ks.

Näide

Arv 38,746 ümardatuna sajandikeni on 38,75, sest kolmas kümnendkoht on 6.

Arv 5827 ümardatuna kümnelisteni on 5830, sest üheliste number on 7.

Raha puhul on sajandikud sendid. Kui ostukorvi hind on $12,476$ eurot, siis sentideni ümardatult on hind $12,48$ eurot, sest kolmas kümnendkoht on 6.

Kauguse puhul sõltub ümardamine sellest, millist täpsust vaja on. Kui matkarada on $7,64$ km, siis ühe kümnendkohani ümardatult on see $7,6$ km. Täiskilomeetriteni ümardatult on see $8$ km.

Tüüpviga

Ümardatud arv ei ole tavaliselt täpne arv. See on ligikaudne väärtus. Näiteks $38,75$ ei ole täpselt sama arv kui $38,746$, vaid selle lähend sajandikeni.

Teine tüüpviga on ümardada mitu korda järjest. Kui on vaja ümardada arv $9,995$ sajandikeni, siis vaata kohe kolmandat kümnendkohta:

$$9,995\approx10,00.$$

Kui ümardad selle enne kümnendikeni, saad $10,0$, aga siis ei näe enam, mitu sajandikku algses arvus oli. Arvuta ja ümarda alati alles lõpus, kui ülesanne seda lubab.

Kolmas tüüpviga on arvata, et nullid ei loe. Arvudes $4,05$ ja $4,5$ on erinev väärtus: $4,05$ tähendab 4 ühelist ja 5 sajandikku, $4,5$ tähendab 4 ühelist ja 5 kümnendikku.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Ümarda arv 5827 kümnelisteni.
2. Ümarda arv 14,386 sajandikeni.
3. Selgita, miks 9,995 ümardub sajandikeni kujule 10,00.
4. Kumb on suurem: $4,05$ või $4,5$?

Rakendus

1. Kirjuta arvu 306,48 numbrite kohaväärtused.
2. Ümarda arv 199,95 kümnendikeni.
3. Kirjuta arv $502,709$ kohaväärtuste summana.

Mõtlemisülesanne

1. Ümarda $48,95$ eurot sentideni ja täiseurodeni.
2. Matkaraja pikkus on $12,47$ km. Ümarda see ühe kümnendkohani ja täiskilomeetriteni.
3. Millisteks täiskümneteks ümarduvad arvud $64$, $65$ ja $66$?
4. Leia kaks arvu, mis ümarduvad kümnelisteni arvuks 80, aga ei ole võrdsed.

Vastused

1. $5830$.
2. $14,39$.
3. Kolmas kümnendkoht on 5, seega sajandike koht suureneb. Ülekandega saab $10,00$.
4. $4,5$, sest 5 kümnendikku on suurem kui 5 sajandikku.
5. $3$ sajalist, $0$ kümnelist, $6$ ühelist, $4$ kümnendikku, $8$ sajandikku.
6. $200,0$, sest sajandike 5 tõstab kümnendike koha üle järgmisse sajalisse.
7. $502,709=500+2+0,7+0,009$.
8. Sentideni $48,95$, täiseurodeni $49$.
9. Ühe kümnendkohani $12,5$ km, täiskilomeetriteni $12$ km.
10. $64\approx60$, $65\approx70$, $66\approx70$.
11. Näiteks 76 ja 84.

Seosed

Kohaväärtuse mõistmine on järgmise peatüki alus: naturaalarvude liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja jagamisel peab iga number jääma õigesse järku.

Naturaalarvud ja tehted

Mõiste

Naturaalarvud on loendamise arvud: 1, 2, 3, 4 ja nii edasi. Kui ülesandes on vaja lugeda ka tühja hulka, kasutatakse ka arvu 0. Siis kirjutatakse mõnikord $\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\ldots\}$.

Eeldus: oskad arve loendada, võrrelda, kirjutada kümnendsüsteemis ning tunned liitmist ja lahutamist.

Tehete järjekord

Kui avaldises on mitu tehet, tehakse need kindlas järjekorras:

1. sulud;
2. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
3. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Lühidalt:

$$\text{sulud}\rightarrow\text{korrutamine ja jagamine}\rightarrow\text{liitmine ja lahutamine}.$$

Võid mõelda nii:

1. Kas avaldises on sulud? Kui jah, arvuta kõigepealt sulgudes olev osa.
2. Kas alles on korrutamist või jagamist? Arvuta need vasakult paremale.
3. Kas alles on liitmist või lahutamist? Arvuta need vasakult paremale.

Oluline: korrutamine ei ole alati enne jagamist. Need on samal tasemel ja käivad vasakult paremale. Sama kehtib liitmise ja lahutamise kohta.

Näide

Kui klassis on 4 rida ja igas reas 6 tooli, siis toolide arv on

$$4\cdot6=24.$$

Avaldises

$$8+3\cdot5$$

tehakse enne korrutamine:

$$8+3\cdot5=8+15=23.$$

Kui tahame enne liita, tuleb kasutada sulge:

$$(8+3)\cdot5=11\cdot5=55.$$

Avaldises

$$24:3\cdot2$$

on jagamine ja korrutamine samal tasemel, seega liigume vasakult paremale:

$$24:3\cdot2=8\cdot2=16.$$

Tekstülesandes küsi enne arvutamist, mis kordub ja mis lisandub. Näiteks: 4 õpilast ostavad 6-eurose pileti ja klass maksab 3 eurot broneerimistasu. Kogukulu on

$$4\cdot6+3=24+3=27.$$

Kui broneerimistasu oleks iga õpilase kohta, oleks avaldis

$$4\cdot(6+3)=4\cdot9=36.$$

Vastus: 27 eurot või 36 eurot.

Tüüpviga

Tehete järjekord ei ole kõigi tehete puhul vasakult paremale. Näiteks

$$8+3\cdot5\ne(8+3)\cdot5.$$

Sulgude puudumine võib muuta tähendust. Kui öeldakse "liida 8 ja 3 ning korruta tulemus 5-ga", kirjuta

$$(8+3)\cdot5.$$

Kontrollimiseks on mitu lihtsat võtet:

• tee ligikaudne hinnang, kas vastus on mõistliku suurusega;
• pane vastus tagasi tekstülesandesse ja loe, kas ühikud sobivad;
• kontrolli pöördtehtega: kui $37-12=25$, siis $25+12=37$;
• jaga pikk avaldis vaheastmeteks, et üks arvutusviga ei peituks rea sees.

Näiteks “5 lauda, iga laua juures 4 tooli ja õpetaja tool” mudel on $5\cdot4+1=21$, mitte $5\cdot(4+1)$.

Teine viga on jagamise tähendust mitte kontrollida. $24:6=4$ võib tähendada 24 asja jaotamist 6 rühma vahel või 6-kaupa rühmade arvu leidmist. Vastus on sama, ühik võib erineda.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $7+4\cdot6$.
2. Arvuta $(7+4)\cdot6$.
3. Pane sulud nii, et avaldise $12+8:4$ väärtus oleks $5$.
4. Klassiruumis on 5 lauda ja iga laua juures 4 tooli. Lisaks on õpetaja tool. Mitu tooli on kokku?

Rakendus

1. Arvuta $36:6\cdot3$.
2. Arvuta $36:(6\cdot3)$.
3. Poes ostetakse 3 vihikut hinnaga 2 eurot ja üks pliiats hinnaga 1 euro. Koosta avaldis ja arvuta summa.

Mõtlemisülesanne

1. Bussis on 4 rida, igas reas 2 istekohta. Järgmises peatuses tuleb juurde 5 reisijat. Kui palju inimesi mahuks nendele kohtadele ja juurde tulnud reisijatele kokku, kui kõik kohad olid enne vabad?
2. Leia viga: õpilane arvutas $20-6+2=20-8=12$.
3. Koosta lühike tekstülesanne avaldisele $3\cdot(8+2)$.
4. Kirjuta kaks erinevat olukorda, mida saab arvutada tehtega $24:6$: üks jaotamise, teine "mitu korda mahub" tähenduses.

Vastused

1. $31$.
2. $66$.
3. $(12+8):4=5$.
4. $5\cdot4+1=21$, sest õpetaja tool lisandub üks kord.
5. $18$, sest jagamine ja korrutamine käivad vasakult paremale.
6. $2$, sest sulgudes olev korrutis tehakse enne jagamist.
7. $3\cdot2+1=7$ eurot; pliiatsi hind lisandub üks kord.
8. $4\cdot2+5=13$, sest istekohti on 8 ja reisijaid lisandub 5.
9. Liitmine ja lahutamine on samal tasemel ning käivad vasakult paremale: $20-6+2=14+2=16$.
10. Näiteks: kolmel õpilasel on igaühel 8 vihikut ja 2 töölehte. Kokku on $3\cdot(8+2)=30$ eset.
11. Näiteks: 24 kommi jaotatakse 6 lapse vahel, iga laps saab 4 kommi. Või: 24 kommi pannakse 6 kaupa kottidesse, vaja on 4 kotti.

Seosed

Naturaalarvud on alus murdudele, negatiivsetele arvudele, protsentidele ja algebralistele avaldistele. Järgmine samm on jaguvus: seal küsime, millal jagamine annab jäägita tulemuse ja kuidas sellest jõuda algarvude ning suurima ühistegurini.

Jaguvus, algarvud ja suurim ühistegur

Mõiste

Arv $a$ jagub arvuga $b$, kui jagamisel jääki ei teki. Algarv on ühest suurem naturaalarv, millel on täpselt kaks jagajat: 1 ja arv ise.

Eeldus: oskad naturaalarve korrutada ja jagada ning saad aru, et jagamisel võib tekkida jääk.

Põhireeglid

• 2-ga: viimane number on paaris.
• 3-ga: ristsumma jagub 3-ga.
• 4-ga: kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga.
• 5-ga: viimane number on 0 või 5.
• 6-ga: arv jagub 2-ga ja 3-ga.
• 9-ga: ristsumma jagub 9-ga.
• 10-ga: viimane number on 0.

Suurim ühistegur SÜT on suurim arv, millega kõik antud arvud jaguvad. Vähim ühiskordne VÜK on vähim positiivne arv, mis jagub kõigi antud arvudega.

Näiteks 18 punase ja 30 sinise kommi võimalikult paljudeks ühesugusteks pakkideks jagamisel kasutame SÜT-i. Kahe kella 18- ja 30-minutilise kordumise kokkulangemisel kasutame VÜK-i.

Algteguriteks lahutamine

Algteguriteks lahutamine kirjutab arvu algarvude korrutisena.

$$84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2^2\cdot3\cdot7.$$

Algtegurid aitavad leida nii SÜT-i kui ka VÜK-i:

• SÜT: võta ühised algtegurid väiksema astmega;
• VÜK: võta kõik algtegurid suurema astmega.

Näide

Arvud 24 ja 36:

$$24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2.$$

Ühised tegurid annavad

$$SÜT(24,36)=2^2\cdot3=12.$$

Vähima ühiskordse jaoks võtame kõik algtegurid suurima astmega:

$$VÜK(24,36)=2^3\cdot3^2=72.$$

Seega võtab SÜT ainult ühise osa:

$$2^2\cdot3=12,$$

aga VÜK võtab kõik vajaliku, et arv jaguks mõlemaga:

$$2^3\cdot3^2=72.$$

Kui 24 ja 36 õuna jagada võimalikult paljudeks ühesugusteks kingikottideks, saab teha 12 kotti. Kui kaks bussi väljuvad iga 24 ja 36 minuti järel, kohtuvad nende väljumised taas iga 72 minuti järel.

Vastus: SÜT=12 ja VÜK=72.

Eukleidese algoritm

Kahe arvu SÜT-i saab leida jääke võttes. See aitab suurte arvudega.

Näiteks leiame SÜT(84,30):

$$84=2\cdot30+24$$

$$30=1\cdot24+6$$

$$24=4\cdot6+0.$$

Viimane nullist erinev jääk on $6$, seega

$$SÜT(84,30)=6.$$

Jaguvuse kontroll: 372 jagub 4-ga ja 6-ga; 729 jagub 9-ga.

Tüüpviga

Arv 1 ei ole algarv. Algarvul peab olema täpselt kaks jagajat.

Teine tüüpviga on ajada segi SÜT ja VÜK. SÜT ei saa olla suurem kui väikseim antud arv. VÜK ei saa olla väiksem kui suurim antud arv.

Kolmas tüüpviga on võtta VÜK-i leidmisel ainult ühised tegurid. Siis ei pruugi saadud arv mõlemaga jaguda.

Neljas tüüpviga on kasutada vale jaguvusreeglit. Ristsumma aitab 3 ja 9 korral, aga ei ütle otse, kas arv jagub 4 või 8-ga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia, kas 372 jagub 3-ga.
2. Lahuta arv 84 algteguriteks.
3. Leia SÜT(18, 30).
4. Leia VÜK(18, 30).

Rakendus

1. Leia Eukleidese algoritmiga SÜT(105, 45).
2. Leia SÜT(24, 40) ja selgita, mida see võiks tähendada võrdsete pakkide tegemisel.
3. Leia VÜK(12, 18) ja selgita, mida see võiks tähendada kahe korduva sündmuse korral.

Mõtlemisülesanne

1. Lahuta arvud 48 ja 60 algteguriteks ning leia tabeli abil SÜT ja VÜK.
2. Kas 1 on algarv? Põhjenda.
3. Leia viga: õpilane ütleb, et SÜT(16,24)=48, sest 48 jagub nii 16 kui 24-ga.
4. Leia SÜT(42,56) ja kasuta seda murru $\frac{42}{56}$ taandamiseks.

Vastused

1. Jah, sest $3+7+2=12$ ja $12$ jagub 3-ga.
2. $84=2^2\cdot3\cdot7$.
3. $SÜT(18,30)=6$.
4. $VÜK(18,30)=90$, sest 90 jagub nii 18 kui ka 30-ga.
5. $105=2\cdot45+15$, $45=3\cdot15+0$, seega $SÜT(105,45)=15$.
6. $24=2^3\cdot3$, $40=2^3\cdot5$, seega $SÜT(24,40)=8$. Saab teha 8 ühesugust pakki: igas 3 ja 5 eset.
7. $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$, seega $VÜK(12,18)=36$. Sündmused langevad uuesti kokku 36 ühiku järel.
8. $48=2^4\cdot3$, $60=2^2\cdot3\cdot5$, $SÜT=2^2\cdot3=12$, $VÜK=2^4\cdot3\cdot5=240$.
9. Ei. Arvul 1 on ainult üks positiivne jagaja: 1.
10. 48 on ühiskordne, mitte ühistegur. SÜT peab jagama mõlemat arvu ja ei saa olla suurem kui 16. Õige vastus on 8.
11. SÜT(42,56)=14, seega $\frac{42}{56}=\frac{3}{4}$.

Seosed

Jaguvus ja SÜT on järgmise murdude peatüki alus: murdu taandades jagame lugeja ja nimetaja nende ühise teguriga.

Murrud ja kümnendmurrud

Mõiste

Murd kirjeldab osa tervikust:

$$\frac{a}{b},$$

kus $a$ on lugeja ja $b$ nimetaja. Nimetaja ei tohi olla 0.

Eeldus: oskad naturaalarve jagada, tunned jaguvust ning tead, et lugejat ja nimetajat võib taandamisel jagada sama ühise teguriga.

Samaväärsed murrud kirjeldavad sama suurust, kuigi nad näevad erinevad välja:

$$\frac12=\frac24=\frac48.$$

Neid võib mõelda sama punktina arvteljel või sama osana tervikust. Kui jagad pitsa kaheks ja võtad ühe osa, on see sama suur osa kui jagada sama pitsa neljaks ja võtta kaks osa.

Kontrolli pildilt: kui osa on sama, peavad murd, kümnendmurd ja protsent andma sama väärtuse.

Reeglid

Murdu võib laiendada: korruta lugeja ja nimetaja sama nullist erineva arvuga.

$$\frac12=\frac{1\cdot4}{2\cdot4}=\frac48.$$

Murdu võib taandada: jaga lugeja ja nimetaja sama ühise teguriga.

$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac23.$$

Suurima ühisteguriga taandades saad kohe lihtsaima kuju.

Samanimelisi murde liidetakse lugejate kaudu:

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.$$

Murdude korrutamisel korrutatakse lugejad ja nimetajad:

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$$

Erinimeliste murdude liitmisel ja võrdlemisel vii murrud ühisele nimetajale.

$$\frac12=\frac36,\qquad \frac23=\frac46,\qquad \frac12<\frac23.$$

Murru saab kirjutada kümnendmurruna jagades lugeja nimetajaga:

$$\frac14=0,25.$$

Mõnikord tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd:

$$\frac13=0,333\ldots,\qquad \frac16=0,1666\ldots.$$

Kümnendkujuks teisendamisel on hea kontrollida suurusjärku. Kui murd on väiksem kui 1, peab ka kümnendmurd olema väiksem kui 1. Kui $\frac34$ kirjutatakse kogemata $7,5$, on vastus kohe kahtlane, sest $\frac34$ on alla ühe terviku.

Näide

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$

Võrdleme murde $\frac34$ ja $\frac57$. Ühine nimetaja on $28$:

$$\frac34=\frac{21}{28},\qquad \frac57=\frac{20}{28}.$$

Seega

$$\frac34>\frac57.$$

Kümnendkujuga kontroll:

$$\frac34=0,75,\qquad \frac57\approx0,714.$$

See kinnitab sama tulemust. Kontrolliks ei pea alati pikka jagamist tegema; vahel piisab ühise nimetaja kaudu saadud vastuse võrdlemisest lihtsa hinnanguga.

Vastus: summa on $\frac56$ ja võrdluses on $\frac34>\frac57$.

Tüüpviga

Murde ei liideta nii:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne\frac{2}{5}.$$

Kõigepealt tuleb leida ühine nimetaja.

Teine tüüpviga on arvata, et lõpmatu kümnendmurd ei saa olla harilik murd. Kui kümnendmurd on perioodiline, siis ta on ratsionaalarv. Näiteks

$$0,333\ldots=\frac13.$$

Kolmas tüüpviga on võrrelda kümnendmurde ainult esimese numbri järgi. Arv $0,7$ ja arv $0,70$ on võrdsed, sest lõppu lisatud null ei muuda väärtust. Aga $0,7<0,75$, sest seitsme kümnendiku järel on teisel arvul veel viis sajandikku.

Neljas tüüpviga on taandada ainult lugejat või ainult nimetajat. Murru väärtus jääb samaks ainult siis, kui jagad mõlemad sama nullist erineva arvuga.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Murd on piltlikult osa tervikust, arvuliselt jagatis ja algebraliselt võrdsete osade suhe. Näiteks $\frac12$, $0,5$ ja $\frac48$ kirjeldavad sama väärtust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Laienda murdu $\frac35$ nimetajani $20$.
2. Taanda murd $\frac{18}{24}$.

Rakendus

1. Võrdle murde $\frac56$ ja $\frac78$.
2. Kirjuta $\frac18$ kümnendmurruna.

Mõtlemisülesanne

1. Millise hariliku murruga võrdub $0,333\ldots$?
2. Kumb on suurem: $\frac34$ või $0,7$?
3. Kirjuta kolm samaväärset murdu arvule $\frac23$.
4. Kirjuta $0,125$ hariliku murruna ja taanda.
5. Kontrolli kahel viisil, kumb on suurem: $\frac{7}{10}$ või $\frac23$.
6. Kirjuta sama arv kolmel kujul: harilik murd, kümnendmurd ja protsent, kui osa on 3 tükki 4 võrdsest tükist.

Vastused

1. $\frac35=\frac{12}{20}$.
2. $\frac{18}{24}=\frac34$.
3. $\frac56=\frac{20}{24}$ ja $\frac78=\frac{21}{24}$, seega $\frac56<\frac78$.
4. $\frac18=0,125$.
5. $0,333\ldots=\frac13$.
6. $\frac34=0,75$, seega $\frac34$ on suurem.
7. Näiteks $\frac23=\frac46=\frac69=\frac8{12}$.
8. $0,125=\frac{125}{1000}=\frac18$.
9. $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$ ja $\frac23=\frac{20}{30}$, seega $\frac{7}{10}$ on suurem. Kümnendkujuga: $0,7>0,666\ldots$.
10. $\frac34=0,75=75\%$, sest 3 osa 4 võrdsest osast on kolm neljandikku tervikust.

Seosed

Kümnendmurd, protsent ja harilik murd on sama arvu eri kirjutusviisid. Järgmistes arvude peatükkides kasutatakse sama mõtet negatiivsete arvude võrdlemisel ning protsendi-, suhte- ja võrdeülesannetes.

Negatiivsed arvud

Mõiste

Negatiivsed arvud on nullist väiksemad arvud. Arvteljel asuvad nad nullist vasakul.

Eeldus: oskad arve arvteljel järjestada ning tunned liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist naturaalarvudega.

Enne märgireegli kasutamist ütle, mida miinus selles olukorras tähendab: võlga, langust, vastassuunda või nullist väiksemat arvu.

Vastandarvud asuvad nullist sama kaugel, aga eri pooltel. Näiteks $5$ ja $-5$ on vastandarvud.

Negatiivne arv kirjeldab sageli puudujääki või suunda:

Arvteljel võib liitmist mõelda liikumisena:

• positiivse arvu liitmine viib paremale;
• negatiivse arvu liitmine viib vasakule;
• lahutamine viib vastassuunas, sest $a-b=a+(-b)$.

Reeglid

• Positiivse ja negatiivse arvu korrutis on negatiivne.
• Kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne.
• Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.

$$a-b=a+(-b).$$

Märgireeglid korrutamisel ja jagamisel:

Sulgude avamisel:

$$+(a-b)=a-b$$

$$-(a-b)=-a+b.$$

Miinus sulgude ees vahetab sulgudes olevate liikmete märgid.

Näide

$$-4+9=5.$$

Arvteljel tähendab see: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu paremale. Jõuad arvuni $5$.

$$-4-9=-13.$$

See tähendab: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu vasakule. Jõuad arvuni $-13$.

$$(-4)\cdot(-9)=36.$$

Temperatuuri näide: hommikul oli temperatuur $-7^\circ\text{C}$. Päeval tõusis see 5 kraadi:

$$-7+5=-2.$$

Pärastlõunal oli temperatuur $-2^\circ\text{C}$.

Raha näide: kui kontol on $-18$ eurot ja sinna laekub 25 eurot, siis uus seis on

$$-18+25=7.$$

Kui kontol on 7 eurot ja maksad 10 eurot, siis

$$7-10=-3,$$

ehk jääd 3 euroga miinusesse.

Sulgude avamine:

$$7-(3-8)=7-3+8=12.$$

Negatiivse arvuga korrutamine:

$$-2(5-9)=-10+18=8.$$

Vastus: näidetes saadakse 5, -13, 36, $-2^\circ\text{C}$, 7 eurot, -3 eurot, 12 ja 8.

Tüüpviga

Avaldised $-3^2$ ja $(-3)^2$ on erinevad:

$$-3^2=-9,\qquad (-3)^2=9.$$

Teine tüüpviga on miinusmärgi kaotamine sulgude ees:

$$10-(4+3)\ne10-4+3.$$

Õige on

$$10-(4+3)=10-4-3=3.$$

Kolmas tüüpviga on arvata, et suurem absoluutväärtus tähendab alati suuremat arvu. Tegelikult

$$-12< -3,$$

sest $-12$ asub arvteljel rohkem vasakul. Külma ilma näites on $-12^\circ\text{C}$ külmem kui $-3^\circ\text{C}$.

Neljas tüüpviga on lugeda avaldist $12-(-5)$ kui "12 miinus 5". Sulgudes olev miinus kuulub arvule -5; selle arvu lahutamine tähendab liikumist paremale.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $-7+12$.
2. Arvuta $-6\cdot4$.
3. Arvuta $(-6)\cdot(-4)$.
4. Ava sulud ja lihtsusta: $15-(8-5)$.

Rakendus

1. Ava sulud ja lihtsusta: $-3(2-7)$.
2. Hommikul oli temperatuur $-9^\circ\text{C}$. Päeval tõusis temperatuur 6 kraadi. Mis oli uus temperatuur?
3. Kontol on $-15$ eurot. Kontole laekub 40 eurot. Mis on uus kontoseis?

Mõtlemisülesanne

1. Arvteljel alustad arvust 3 ja liigud 8 sammu vasakule. Mis arvuni jõuad?
2. Kumb arv on suurem: $-4$ või $-11$? Põhjenda arvtelje abil.
3. Arvuta $12-(-5)$ ja selgita, miks vastus suureneb.
4. Poe kassa seis muutus hommikul -20 eurost õhtuks 35 euroni. Kui suur oli muutus?

Vastused

1. $5$, sest arvust -7 liigud 12 sammu paremale.
2. $-24$.
3. $24$.
4. $15-8+5=12$.
5. $-6+21=15$.
6. $-9+6=-3^\circ\text{C}$.
7. $-15+40=25$ eurot.
8. $3-8=-5$.
9. $-4$ on suurem, sest see asub arvteljel paremal.
10. $12-(-5)=12+5=17$. Negatiivse arvu lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.
11. Muutus oli $35-(-20)=55$ eurot.

Seosed

Negatiivseid arve on vaja võrrandites, koordinaatteljestikus, funktsioonides ja muutuse kirjeldamisel. Järgmises protsentide ja suhete peatükis kasutatakse sama mõtet muutuse arvutamisel: enne protsenti tuleb aru saada, kas suurus kasvas või vähenes.

Tehted ratsionaalarvudega

Mõiste

Ratsionaalarv on arv, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena

$$\frac ab,\qquad b\ne0.$$

Ratsionaalarv võib olla positiivne, negatiivne või null. Näiteks $-\frac34$, $1,2$ ja $-5$ on ratsionaalarvud, sest

$$1,2=\frac65,\qquad -5=\frac{-5}{1}.$$

Eeldus: oskad harilikke murde taandada, laiendada ja võrrelda ning tunned negatiivsete arvude märgireegleid.

Arvutamisel vali kuju, mis teeb tehte lihtsaks:

• harilike murdude liitmisel ja lahutamisel leia ühine nimetaja;
• lõplike kümnendmurdude puhul võib olla mugavam arvutada kümnendkujul;
• jagamisel asenda jagamine pöördarvuga korrutamisega;
• kui arvud on eri kujul, teisenda need enne tehet samasse sobivasse kujusse.

Kõiki harilikke murde ei saa kirjutada lõpliku kümnendmurruna. Näiteks $\frac13=0,333\ldots$, seega on täpses arvutuses sageli parem jätta vastus hariliku murruna.

Reeglid

Tehete järjekord on:

1. sulud;
2. astendamine;
3. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
4. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Murdude liitmine ja jagamine:

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,\qquad c\ne0.$$

Kahe arvu kaugus arvteljel on nende vahe absoluutväärtus:

$$d(a,b)=|a-b|.$$

Enne täpset arvutust hinda vastuse märki ja suurust. Näiteks $-2,9+1,1$ peab olema negatiivne ning ligikaudu $-2$.

Näide

Arvutame eri nimetajatega negatiivsete murdude summa:

$$-\frac34+\frac56=-\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac1{12}.$$

Jagame kümnendmurde:

$$-1,2:0,3=-4.$$

Segaarvuga avaldises teisendame kõigepealt segaarvu liigmurruks:

$$1\frac12-\frac23=\frac32-\frac23=\frac56.$$

Leidkem arvude $-2,5$ ja $1,25$ vaheline kaugus:

$$|-2,5-1,25|=|-3,75|=3,75.$$

Vastus: $\frac1{12}$, $-4$, $\frac56$ ja $3,75$.

Tüüpviga

Murdude nimetajaid ei liideta:

$$\frac12+\frac13\ne\frac25.$$

Õige on kasutada ühist nimetajat:

$$\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56.$$

Teine tüüpviga on märgi otsustamine enne jagamist valesti. Arvude absoluutväärtused annavad $1,2:0,3=4$, aga eri märgid annavad negatiivse vastuse $-4$.

Kolmas tüüpviga on teha liitmine enne korrutamist:

$$-2+3\cdot4=-2+12=10,$$

mitte $4$.

Neljas tüüpviga on ümardada vahetulemusi liiga vara. Kui täpne murd on olemas, hoia seda võimalikult kaua ja ümarda alles lõppvastus ülesandes nõutud järguni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $-\frac25+\frac3{10}$.
2. Arvuta $-1,8+0,65$.
3. Arvuta $\frac34:\left(-\frac12\right)$.
4. Arvuta $-2+5\cdot(-3)$.

Rakendus

1. Arvuta $2\frac14-\frac56$.
2. Leia arvude $-3,2$ ja $1,7$ vaheline kaugus arvteljel.
3. Hommikul oli temperatuur $-4,5^\circ\text{C}$ ja see tõusis $6,8^\circ\text{C}$. Leia uus temperatuur.
4. Kontoseis oli $-12,50$ eurot. Kontole laekus $30$ eurot ja seejärel tasuti $8,75$ eurot. Leia uus kontoseis.

Mõtlemisülesanne

1. Kumb on suurem: $-\frac58$ või $-0,6$? Põhjenda teisendamisega.
2. Arvuta $\left(-\frac23+\frac12\right):\frac5{12}$.
3. Leia viga arvutuses $-3+2\cdot(-4)=(-1)\cdot(-4)=4$ ja kirjuta õige lahendus.
4. Koosta avaldis, mille väärtus on $-2$ ning milles on üks negatiivne murd ja üks kümnendmurd.

Vastused

1. $-\frac25+\frac3{10}=-\frac4{10}+\frac3{10}=-\frac1{10}$.
2. $-1,15$, sest $1,8-0,65=1,15$ ja suurema absoluutväärtusega arv on negatiivne.
3. $\frac34\cdot(-2)=-\frac32=-1\frac12$.
4. $-2-15=-17$; korrutamine tehakse enne liitmist.
5. $\frac94-\frac56=\frac{27}{12}-\frac{10}{12}=\frac{17}{12}=1\frac5{12}$.
6. $|-3,2-1,7|=|-4,9|=4,9$ ühikut.
7. $-4,5+6,8=2,3^\circ\text{C}$.
8. $-12,50+30-8,75=8,75$ eurot.
9. $-0,6=-\frac35=-\frac{24}{40}$ ja $-\frac58=-\frac{25}{40}$; seega $-0,6$ on suurem, sest see asub arvteljel paremal.
10. $\left(-\frac46+\frac36\right):\frac5{12}=-\frac16\cdot\frac{12}{5}=-\frac25$.
11. Korrutamine tuleb teha enne liitmist: $-3+2\cdot(-4)=-3-8=-11$.
12. Näiteks $-\frac52+0,5=-2$. Võimalikke õigeid vastuseid on palju.

Seosed

Ratsionaalarvudega tehted on astendamise, protsentarvutuse, avaldiste, võrrandite ja funktsiooniväärtuste arvutamise alus. Järgmises arvuhulkade peatükis saab nähtavaks, kuhu ratsionaalarvud teiste arvude seas kuuluvad.

Protsendid, suhted ja võrded

Mõiste

Protsent tähendab sajandikku:

$$1\%=\frac{1}{100}=0,01.$$

Promill tähendab tuhandikku:

$$1\text{‰}=\frac{1}{1000}=0,001=0,1\%.$$

Suhe võrdleb kahte suurust. Võrre on kahe suhte võrdsus.

Eeldus: oskad murde ja kümnendmurde teisendada ning saad aru, et protsent, murd ja kümnendmurd võivad kirjeldada sama osa tervikust.

Põhireeglid

Arvu $p\%$ leidmine arvust $A$:

$$\frac{p}{100}\cdot A.$$

Enne arvutamist määra tervik: mis on siin $100\%$? Alles siis küsi, millist osa otsid.

Kui suurus kasvab $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1+\frac{p}{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1-\frac{p}{100}.$$

Protsendi muutus sõltub alati algsest suurusest. Kui hind muutub $80$ eurolt $92$ eurole, siis muutus on

$$92-80=12$$

ja protsendiline muutus on

$$\frac{12}{80}\cdot100\%=15\%.$$

Protsendipunkt kirjeldab kahe protsendi vahet. Kui intress tõuseb $3\%$ pealt $5\%$ peale, siis muutus on $2$ protsendipunkti. Suhteline kasv on aga

$$\frac{5-3}{3}\cdot100\%\approx66,7\%.$$

Võrret saab lahendada ristkorrutisega:

$$\frac ab=\frac cd \quad \Longleftrightarrow \quad a\cdot d=b\cdot c.$$

Suhet $2:3$ võib lugeda nii: iga 2 osa esimese suuruse kohta on 3 osa teist suurust. Kui joogis on mahla ja vett suhtes $2:3$, siis kokku on 5 osa. Mahla osa kogu joogist on $\frac25=40\%$.

Promilli kasutatakse siis, kui sajandik on kirjeldamiseks liiga suur ühik. Näiteks $4\text{‰}=0,004=0,4\%$.

Näide

Kui 80 eurot kallineb 15%, siis uus hind on

$$80\cdot1,15=92.$$

Kui 92 eurot odavneb 15%, siis uus hind ei ole 80 eurot, vaid

$$92\cdot0,85=78,20.$$

Võrde näide:

$$\frac{x}{12}=\frac{5}{3}.$$

Ristkorrutis annab

$$3x=12\cdot5=60,$$

seega

$$x=20.$$

Suhte näide: kui klassis on poisse ja tüdrukuid suhtes $2:3$ ning õpilasi on kokku 25, siis kokku on 5 võrdset osa. Üks osa on

$$25:5=5.$$

Poisse on $2\cdot5=10$ ja tüdrukuid $3\cdot5=15$.

Promilli näide: $3\text{‰}$ arvust 5000 on

$$5000\cdot\frac3{1000}=15.$$

Vastus: uued hinnad on 92 eurot ja 78,20 eurot; võrrandist $x=20$; klassis on 10 poissi ja 15 tüdrukut; $3\text{‰}$ arvust 5000 on 15.

Tüüpviga

Kui hind langeb 20% ja siis tõuseb 20%, ei jõua hind tagasi algsele tasemele. Protsendid võetakse erinevatest alustest.

Enne protsendi leidmist nimeta tervik ehk $100\%$. Kui tervik vahetub, vahetub ka protsendi väärtus.

Teine tüüpviga on ajada protsent ja protsendipunkt segi. Muutus $40\%$ pealt $50\%$ peale on $10$ protsendipunkti, mitte $10\%$ suhteline muutus.

Kolmas tüüpviga on lugeda suhet $2:3$ nii, nagu esimene suurus oleks $\frac23$ tervikust. Tegelikult on tervik $2+3=5$ osa, seega esimene suurus on $\frac25$ tervikust.

Teine seletusviis

Protsenti saab näha pildina: 100 võrdsest ruudust 25 ruutu on $25\%$. Sama mõte arvuna on $\frac{25}{100}=0,25$.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Protsent on piltlikult osa sajast, arvuliselt kümnendmurd ja algebraliselt võrre. $25\%=0,25=\frac14$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $25\%$ arvust $160$.
2. Hind $120$ eurot kallineb $10\%$. Leia uus hind.
3. Kirjuta $75\%$ hariliku murru ja kümnendmurruna.
4. Kirjuta $6\text{‰}$ kümnendmurru ja protsendina.

Rakendus

1. Hind $120$ eurot odavneb $10\%$. Leia uus hind.
2. Lahenda võrre $\frac{x}{9}=\frac43$.
3. Koolilaadal maksis kohvikus pirukas 1,60 eurot. Päeva lõpus tehti hinnale 25% allahindlust. Mis oli uus hind?
4. Mahl ja vesi on suhtes $2:3$. Kui jooki on kokku 1 liiter, mitu liitrit on mahla?

Mõtlemisülesanne

1. Töötuse määr tõusis $6\%$ pealt $8\%$ peale. Mitme protsendipunkti võrra see tõusis?
2. Klassis on 24 õpilast. Neist 75% sõidab kooli bussi või trammiga. Mitu õpilast see on?
3. Hind tõusis 50 eurolt 60 euroni. Leia protsendiline muutus.
4. Hind 100 eurot langeb 20% ja tõuseb siis uuelt hinnalt 20%. Kas hind on jälle 100 eurot?

Vastused

1. $40$, sest see on veerand arvust 160.
2. $132$ eurot, sest tervik on 120 eurot ja 10% sellest on 12 eurot.
3. $75\%=\frac34=0,75$, see tähendab 75 osa sajast ehk kolm neljandikku tervikust.
4. $6\text{‰}=0,006=0,6\%$; promill on tuhandik ja protsent sajandik.
5. $108$ eurot.
6. $x=12$.
7. $1,60\cdot0,75=1,20$ eurot.
8. Kokku on $2+3=5$ osa; mahla on 2 osa, seega $\frac25$ liitrit ehk 0,4 liitrit.
9. $2$ protsendipunkti, sest $8\%-6\%=2\%$-punkti.
10. $24\cdot0,75=18$ õpilast.
11. Muutus on 10 eurot ja $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
12. Ei. Pärast langust on hind 80 eurot ja pärast tõusu $80\cdot1,20=96$ eurot.

Seosed

Protsendid on seotud statistika, intressi, tõenäosuse ja lineaarsete mudelitega. Järgmistes peatükkides kasutatakse sama osa-terviku mõtet astmete, standardkuju ja hiljem funktsioonide kasvumudelite juures.

Astmed, juured ja standardkuju

Mõiste

Aste $a^n$ tähendab, et arvu $a$ korrutatakse iseendaga $n$ korda. Ruutjuur $\sqrt a$ on arv, mis ruutu tõstes annab $a$; märgi $\sqrt{\ }$ all peetakse silmas positiivset või nulliga võrdset vastust.

Eeldus: oskad korrutada, jagada, töötada negatiivsete arvudega ning lugeda kümnendmurde kohaväärtuste järgi.

VII klassi põhitee on naturaalarvulise astendajaga aste, tehete järjekord, arvu kümme positiivsed ja negatiivsed astmed ning standardkuju. Ruutjuur ja üldine negatiivne astendaja on siin edasivaade, mida kasutatakse järgmistes klassides rohkem.

Reeglid

Standardkuju:

$$a\cdot10^n,\qquad 1\le a<10.$$

Standardkujus on arv kirjutatud nii, et esimene tegur on vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Astendaja näitab, mitu kohta koma liigub.

Kümne astendaja annab suurusjärgu: $10^7$ tähendab kümneid miljoneid, $10^{-4}$ väga väikest arvu.

Standardkuju leidmiseks:

1. Nihuta koma nii, et ette jääb arv vahemikus $1$ kuni $10$.
2. Loe, mitu kohta koma nihkus.
3. Kui algne arv oli suur ja koma liikus vasakule, on astendaja positiivne.
4. Kui algne arv oli väike ja koma liikus paremale, on astendaja negatiivne.

Näide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Siin liigub koma 5 kohta paremale, sest astendaja on positiivne. Kui astendaja oleks negatiivne, liiguks koma vasakule:

$$3,08\cdot10^{-5}=0,0000308.$$

Kontrollküsimus standardkuju puhul: kas vastus on algse arvuga sama suurusjärku? Näiteks $0,00045$ on väga väike arv, seega peab standardkujus olema negatiivne kümne astendaja.

Juurte näide:

$$\sqrt{49}=7,\qquad \sqrt{0,25}=0,5.$$

Vastus: $0,00045=4,5\cdot10^{-4}$, $72\,000\,000=7,2\cdot10^7$, $\sqrt{49}=7$.

Tüüpviga

Negatiivne astendaja ei tee arvu negatiivseks:

$$10^{-3}=0,001.$$

Ruutjuure märk $\sqrt a$ annab positiivse või nulliga võrdse ruutjuure:

$$\sqrt{16}=4,$$

mitte $\pm4$. Võrrandil $x^2=16$ on aga kaks lahendit: $x=4$ ja $x=-4$.

Standardkujus on tavaline komaviga panna astendajale vale märk:

$$0,00082\ne8,2\cdot10^4.$$

Õige on

$$0,00082=8,2\cdot10^{-4}.$$

Kui korrutad arvuga $10^4$, muutub arv suuremaks. Väikese arvu kirjeldamiseks peab siin olema $10^{-4}$.

Teine tüüpviga on jätta esimene tegur standardkujus liiga suureks:

$$72\cdot10^6$$

ei ole standardkuju, sest $72$ ei ole väiksem kui $10$. Standardkuju on

$$7,2\cdot10^7.$$

Kolmas tüüpviga on sulud ära jätta negatiivse arvu astendamisel:

$$(-3)^2=9,\qquad -3^2=-9.$$

Esimeses avaldises tõstetakse ruutu kogu arv -3; teises avaldises tõstetakse ruutu ainult 3 ja miinus jääb ette.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $2^5\cdot2^3$.
2. Lihtsusta $\frac{7^6}{7^2}$.
3. Kirjuta standardkujus $0,00082$.
4. Kirjuta tavakujus $6,4\cdot10^3$.

Rakendus

1. Leia $\sqrt{81}$.
2. Kirjuta standardkujus $53\,000\,000$.
3. Kirjuta standardkujus $0,000031$.
4. Arvuta $(-4)^2$ ja $-4^2$.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjuta tavakujus $4,7\cdot10^{-3}$.
2. Paranda viga: $0,006=6\cdot10^3$.
3. Miks $18,2\cdot10^5$ ei ole standardkuju?
4. Maa läbimõõt on ligikaudu $12\,700$ km. Kirjuta see standardkujus.

Vastused

1. $2^8=256$, sest sama alusega astmete korrutamisel astendajad liituvad.
2. $7^4$, sest jagamisel astendajad lahutuvad: $6-2=4$.
3. $8,2\cdot10^{-4}$, sest koma liigub arvuni 8,2 neli kohta paremale.
4. $6400$, sest $10^3$ nihutab koma kolm kohta paremale.
5. $9$, sest $9^2=81$.
6. $5,3\cdot10^7$, seega arv on kümnete miljonite suurusjärgus.
7. $3,1\cdot10^{-5}$, sest arv on väiksem kui üks ja koma liigub 5 kohta paremale.
8. $(-4)^2=16$, aga $-4^2=-16$; sulud näitavad, kas ruutu tõstetakse ka miinus.
9. $0,0047$, sest $10^{-3}$ nihutab koma kolm kohta vasakule.
10. Õige on $0,006=6\cdot10^{-3}$, sest algne arv on väike.
11. Esimene tegur peab olema vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Õige standardkuju on $1,82\cdot10^6$.
12. $1,27\cdot10^4$ km, suurusjärk on kümned tuhanded kilomeetrid.

Seosed

Astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks $\sqrt2$ kaudu.

Arvuhulgad ja reaalarvud

Mõiste

Arvuhulk on arvude rühm. Sama arv võib kuuluda mitmesse rühma korraga. Põhilised arvuhulgad on:

Eeldus: oskad töötada murdude, kümnendmurdude ja negatiivsete arvudega ning tead, et sama arvu saab vahel kirjutada mitmel kujul.

• $\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
• $\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Reaalarvud ei ole eraldi “uus kast ainult uutele arvudele”: sinna kuuluvad ka kõik eelnevate hulkade arvud.

Need hulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

See tähendab, et iga naturaalarv on ka täisarv, iga täisarv on ka ratsionaalarv ja iga ratsionaalarv on ka reaalarv. Reaalarvude hulka kuuluvad lisaks irratsionaalarvud, mis ei kuulu ratsionaalarvude hulka.

Täisarvud kuuluvad ka ratsionaalarvude hulka, sest näiteks $-3=\frac{-3}{1}$. Sama ratsionaalarvu saab sageli kirjutada mitme murruna: näiteks $\frac12$, $\frac24$ ja $\frac48$ tähistavad sama arvu. Üldiselt tähistavad murrud $\frac ab$ ja $\frac cd$ sama ratsionaalarvu, kui $a\cdot d=b\cdot c$.

Murd on kirjutusviis; arv on väärtus, mida see kirjutusviis tähistab.

Mõnda ratsionaalarvu saab kirjutada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna: näiteks $\frac13=0,333\ldots$. Irratsionaalarvu ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Näide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Kuuluvust saab kontrollida tabelina:

Vastus: tabelis kuuluvad kõik arvud reaalarvude hulka, aga naturaalarvude hulka ainult $7$.

Tüüpviga

Lõpmatu kümnendmurd ei ole automaatselt irratsionaalne. Näiteks $0,333\ldots=\frac13$.

Teine tüüpviga on arvata, et iga ruutjuurega arv on irratsionaalne. Näiteks $\sqrt2$ on irratsionaalarv, aga $\sqrt9=3$ on naturaalarv.

Kolmas tüüpviga on märkida arv ainult kõige väiksemasse hulka. Kui arv $7$ on naturaalarv, siis ta kuulub ka hulkadesse $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$.

Praktiline kontroll: leia kõige kitsam sobiv hulk, siis lisa kõik sellest suuremad hulgad. Näiteks $-5$ algab täisarvudest, aga kuulub edasi ka ratsionaal- ja reaalarvudesse.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millistesse arvuhulkadesse kuulub -7?
2. Kirjuta 0,125 hariliku murruna.

Rakendus

1. Too üks irratsionaalarvu näide.
2. Millistesse arvuhulkadesse kuulub $\frac56$?

Mõtlemisülesanne

1. Kas $\sqrt9$ on irratsionaalarv?
2. Millistesse hulkadesse kuulub arv $\frac{7}{2}$?
3. Kas $\frac48$ ja $\frac12$ tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.
4. Millistesse hulkadesse kuulub arv $0$, kui sinu kokkuleppes $0\notin\mathbb{N}$?

Vastused

1. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $-7=\frac{-7}{1}$.
2. $0,125=\frac18$, seega arv on ratsionaalne.
3. Näiteks $\sqrt2$ või $\pi$, sest neid ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada.
4. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac56$ on kahe täisarvu jagatis.
5. Ei. $\sqrt9=3$, seega see on naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv ja reaalarv.
6. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac72=3,5$ ei ole täisarv.
7. Jah, sest $4\cdot2=8\cdot1$; mõlemad tähistavad arvu $\frac12$.
8. Siis $0\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{Q}$ ja $0\in\mathbb{R}$, sest $0=\frac01$; valitud kokkuleppes ei ole ta naturaalarv.

Seosed

Arvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.

Ruutjuur ja juuravaldised

Mõiste

Arvu $a\ge0$ aritmeetiline ruutjuur $\sqrt a$ on mittenegatiivne arv, mille ruut on $a$.

$$\sqrt{49}=7,\qquad 7^2=49.$$

Eeldus: oskad astendada, tunned reaalarve ja leiad taskuarvutiga kümnendlähendi.

Ruutjuure märk annab ühe mittenegatiivse väärtuse. Võrrandil $x^2=49$ on aga kaks lahendit, $x=7$ ja $x=-7$, sest mõlema ruut on 49.

Kui $a,b\ge0$ ja $b>0$, siis

$$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

Need reeglid lubavad täisruudu juuremärgi alt välja tuua. Näiteks $72=36\cdot2$, seega $\sqrt{72}=6\sqrt2$.

Näide

Lihtsustame ja hindame avaldist $\sqrt{72}$.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.$$

Kuna $1,414^2\approx1,999$, on $\sqrt2\approx1,414$. Seega

$$6\sqrt2\approx6\cdot1,414=8,484\approx8,49.$$

Kontroll: $8^2<72<9^2$, mistõttu peab tulemus jääma 8 ja 9 vahele. Täpne vastus on $6\sqrt2$, kümnendlähend on umbes 8,49.

Tüüpviga

Ruutjuur ei jaotu summa liikmete vahel:

$$\sqrt{9+16}=5,\qquad \sqrt9+\sqrt{16}=7.$$

Teine tüüpviga on kirjutada $\sqrt{25}=\pm5$. Õige on $\sqrt{25}=5$; märk $\pm$ tekib võrrandi $x^2=25$ lahendamisel.

Kolmas tüüpviga on kümnendlähendit pimesi uskuda. Võrdle tulemust alati naaberruutudega: kui $25<30<36$, siis $5<\sqrt{30}<6$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\sqrt{121}$.
2. Milliste täisarvude vahel asub $\sqrt{50}$?

Rakendus

1. Lihtsusta $\sqrt{48}$.
2. Arvuta $\sqrt{18}\cdot\sqrt2$.
3. Leia $\sqrt{\frac{81}{16}}$.

Mõtlemisülesanne

1. Ruudu pindala on 200 cm². Leia külje täpne pikkus ja kümnendlähend.
2. Paranda viga: $\sqrt{4+5}=\sqrt4+\sqrt5$.
3. Selgita, miks võrrandil $x^2=36$ on kaks lahendit, kuid $\sqrt{36}$ on üks arv.

Vastused

1. 11, sest $11^2=121$.
2. 7 ja 8 vahel, sest $7^2=49<50<64=8^2$.
3. $\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3$.
4. $\sqrt{36}=6$.
5. $\frac94$, sest ruutjuur võetakse lugejast ja nimetajast.
6. $a=\sqrt{200}=10\sqrt2\approx14,14$ cm.
7. Vasak pool on $\sqrt9=3$, parem pool $2+\sqrt5$; ruutjuur ei jaotu summa vahel.
8. Nii 6 kui ka -6 annavad ruutu tõstes 36. Sümbol $\sqrt{36}$ tähistab kokkuleppeliselt mittenegatiivset juurt 6.

Seosed

Juuravaldised valmistavad ette ruutvõrrandi lahendivalemit, Pythagorase teoreemi ja täpsete pikkuste esitamist. Järgmises algebraplokis otsustad lisaks, millal ruutjuure võtmisel tuleb arvestada kahe märgiga.

n-es juur ja ratsionaalarvuline aste

Mõiste

Arvu $a$ n-es juur on arv, mille $n$-s aste on $a$. Seda märgitakse $sqrt[n]{a}$.

Eeldus: oskad arvutada astmeid, tunned ruutjuure tähendust ja eristad peajuurt võrrandi kahest võimalikust lahendist.

• Kui $n$ on paarisarv, peab reaalarvulise juure korral olema $a\ge 0$ ning $sqrt[n]{a}$ tähistab mittenegatiivset peajuurt.
• Kui $n$ on paaritu, võib $a$ olla ka negatiivne: $sqrt[3]{-8}=-2$.

Ratsionaalarvulise astendajaga aste seob astme ja juure:

$$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$$

Kui juurija $n$ on paarisarv, kasutame reaalarvudes $a\ge0$. Negatiivse astendaja korral peab lisaks olema $a\ne0$.

Olulised seosed sobivate määramispiirangute korral:

$$a^{-r}=\frac1{a^r},\qquad \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b.$$

Paarisarvulise juure puhul tuleb tähele panna absoluutväärtust:

$$\sqrt{x^2}=|x|,\qquad \sqrt[4]{x^4}=|x|.$$

Näide

Arvutame

$$32^{\frac35}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8.$$

Negatiivne astendaja annab pöördarvu:

$$27^{-\frac23}=\frac1{27^{2/3}}=\frac1{(\sqrt[3]{27})^2}=\frac19.$$

Lihtsustame avaldise:

$$\sqrt[4]{81x^4}=\sqrt[4]{3^4x^4}=3|x|.$$

Vastus: väärtused on vastavalt $8$, $\frac19$ ja $3|x|$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kirjutada $sqrt{x^2}=x$. Kui $x=-4$, oleks parem pool negatiivne, kuid peajuur ei ole negatiivne. Õige on $sqrt{x^2}=|x|$.

Teine tüüpviga on unustada negatiivse astendaja pöördarv: $a^{-2}=\frac1{a^2}$, mitte $-a^2$.

Kolmas tüüpviga on võtta paarisarvulist juurt negatiivsest arvust reaalarvude hulgas. $sqrt[4]{-16}$ ei ole reaalarv.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $16^{1/2}$.
2. Arvuta $27^{1/3}$.
3. Arvuta $16^{3/4}$.

Rakendus

1. Kirjuta $sqrt[5]{x^2}$ astmena.
2. Arvuta $8^{-2/3}$.
3. Lihtsusta $sqrt[4]{16y^4}$.

Mõtlemisülesanne

1. Miks on $sqrt[3]{-27}$ reaalarv, aga $sqrt[4]{-16}$ ei ole?
2. Leia viga väites $sqrt{(-5)^2}=-5$ ja paranda see.

Vastused

1. $4$, sest $4^2=16$ ja peajuur on mittenegatiivne.
2. $3$, sest $3^3=27$.
3. $8$, sest $(\sqrt[4]{16})^3=2^3$.
4. $x^{2/5}$ sobiva määramispiirkonna korral.
5. $\frac14$, sest $8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=4$.
6. $2|y|$, sest paarisarvuline juur annab $sqrt[4]{y^4}=|y|$.
7. Paaritu aste säilitab arvu märgi, kuid paarisarvuline aste ei saa reaalarvude hulgas olla negatiivne.
8. $sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$; ruutjuure märk tähistab mittenegatiivset peajuurt.

Seosed

Ratsionaalarvuline aste on vajalik juuravaldiste, juurvõrrandite, eksponentfunktsiooni ja logaritmi õppimisel. Järgmine algebra peatükk kasutab samu määramispiiranguid võrrandite lahendamisel.

Ühikud ja mõõtmine

Mõiste

Mõõtmine tähendab võrdlemist kindla ühikuga. Kui laud on 2 meetrit pikk, mahub meetripikkune lõik laua pikkusesse kaks korda.

Eeldus: oskad korrutada ja jagada arvudega 10, 100 ja 1000 ning saad aru, et sama suurust saab kirjutada eri ühikutes.

Olulised teisendused

Sama suurus jääb samaks, aga arv muutub: väiksemas ühikus rohkem, suuremas vähem.

Enne teisendamist nimeta lähteühik ja sihtühik. Otsusta suund: meetrist sentimeetriks minnes on ühik väiksem ja arvu rohkem.

$$3,4\text{ km}=3400\text{ m},\qquad 250\text{ cm}=2,5\text{ m}.$$

Kontrollküsimus: kas sama asi mõõdetakse väiksema ühikuga? Kui jah, peab ühikuid olema rohkem.

Ütle ka mõõdetav suurus: pikkus, mass, aeg, pindala, ruumala või maht. Sama arv võib eri suuruste juures tähendada eri asja.

Pindalaühikutes muutub ruut:

$$1\text{ m}^2=100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}=10\,000\text{ cm}^2.$$

Ruumalaühikutes muutub kuup:

$$1\text{ m}^3=100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}=1\,000\,000\text{ cm}^3.$$

Pikkuse, pindala ja ruumala kordajad erinevad: mõõtmeid on üks, kaks või kolm.

Samamoodi detsimeetritega:

Näide

3,4 km meetrites:

$$3,4\cdot1000=3400\text{ m}.$$

0,75 kg grammides:

$$0,75\cdot1000=750\text{ g}.$$

2,5 m² ruutsentimeetrites:

$$2,5\text{ m}^2=2,5\cdot10\,000=25\,000\text{ cm}^2.$$

0,003 m³ liitrites:

$$1\text{ m}^3=1000\text{ dm}^3=1000\text{ l},$$

seega

$$0,003\text{ m}^3=0,003\cdot1000=3\text{ l}.$$

Vastus: $3400\text{ m}$, $750\text{ g}$, $25\,000\text{ cm}^2$, $3\text{ l}$.

Tüüpviga

Ühikute teisendamisel peab teadma, kas liigud suuremast ühikust väiksemasse või vastupidi.

Eriti ettevaatlik tuleb olla ruut- ja kuupühikutega. Kuna $1\text{ m}=100\text{ cm}$, siis ei ole $1\text{ m}^2=100\text{ cm}^2$. Õige on

$$1\text{ m}^2=10\,000\text{ cm}^2.$$

Teine levinud viga on segada mahuühikuid ja ruumalaühikuid. Pea meeles:

$$1\text{ l}=1\text{ dm}^3,\qquad 1\text{ ml}=1\text{ cm}^3.$$

Seetõttu on $2\text{ l}=2\text{ dm}^3=2000\text{ cm}^3$.

Kolmas tüüpviga on ajaühikuid teisendada nagu kümnendsüsteemi. Ühes tunnis ei ole 100 minutit, vaid 60 minutit; ühes minutis on 60 sekundit.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Teisenda $4,2\text{ m}$ sentimeetriteks.
2. Teisenda $8500\text{ g}$ kilogrammideks.
3. Teisenda $2\text{ h }15\text{ min}$ minutiteks.
4. Teisenda $3\text{ m}^2$ ruutsentimeetriteks.

Rakendus

1. Teisenda $0,5\text{ m}^3$ kuupsentimeetriteks.
2. Teisenda $0,75\text{ km}$ meetriteks.
3. Teisenda $125\text{ cm}$ meetriteks.

Mõtlemisülesanne

1. Teisenda $4\text{ m}^2$ ruutdetsimeetriteks.
2. Teisenda $6\text{ l}$ kuupsentimeetriteks.
3. Selgita, miks $1\text{ m}^2$ ei võrdu $100\text{ cm}^2$.
4. Vali mõistlik ühik: klassiruumi pikkus, õuna mass, vihiku pindala, veepudeli maht.

Vastused

1. $4,2\text{ m}=420\text{ cm}$, sest meetrist sentimeetriks minnes korrutad 100-ga.
2. $8500\text{ g}=8,5\text{ kg}$, sest grammist kilogrammiks minnes jagad 1000-ga.
3. $2\text{ h}=120\text{ min}$, seega kokku $135\text{ min}$.
4. $30\,000\text{ cm}^2$, sest ruutmeetri kordaja on $100^2=10\,000$.
5. $0,5\cdot1\,000\,000=500\,000\text{ cm}^3$.
6. $750\text{ m}$, sest kilomeeter on meetrist 1000 korda suurem.
7. $1,25\text{ m}$, sest sentimeetrist meetriks minnes jagad 100-ga.
8. $400\text{ dm}^2$.
9. $6\text{ l}=6000\text{ cm}^3$.
10. Meeter koosneb 100 sentimeetrist mõlemas suunas, seega ruudus on $100\cdot100=10\,000$ ruutsentimeetrit.
11. Näiteks klassiruumi pikkus meetrites, õuna mass grammides, vihiku pindala ruutsentimeetrites, veepudeli maht liitrites või milliliitrites.

Seosed

Mõõtmine on vajalik geomeetrias, füüsikas, protsentülesannetes ja mudelites. Järgmine samm on pindala ja ruumala: seal ei piisa enam ühiku teisendamisest, vaid tuleb valida ka kujundile või kehale sobiv valem.

Pindala ja ruumala

Mõiste

Pindala mõõdab pinda. Ruumala mõõdab mahtu.

Eeldus: tunned ühikuid, korrutamist, jagamist, külge, kõrgust, pinda ja serva.

Enne valemit otsusta:

Valemid

Pindala

Ruumala

Välispind tähendab pindala, mahutavus ruumala.

Näide

Ristküliku küljed on 4 cm ja 7 cm. Pindala on

$$S=4\cdot7=28\text{ cm}^2.$$

Kui risttahuka mõõtmed on 2 cm, 3 cm ja 5 cm, siis

$$V=2\cdot3\cdot5=30\text{ cm}^3.$$

Kolmnurga alus on 8 cm ja kõrgus 5 cm. Pindala on

$$S=\frac{8\cdot5}{2}=20\text{ cm}^2.$$

Vastus: $28\text{ cm}^2$, $30\text{ cm}^3$ ja $20\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Pindalaühikud on ruutühikud, näiteks cm². Ruumalaühikud on kuupühikud, näiteks cm³.

Kolmnurgas peavad alus ja kõrgus olema risti.

Ära aja pindala ja ümbermõõtu segi: vaip vajab pindala, liist ümbermõõtu.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia ristküliku pindala, kui küljed on 6 cm ja 9 cm.
2. Leia kolmnurga pindala, kui alus on 10 cm ja kõrgus 7 cm.
3. Kas otsitakse pikkust, pindala või ruumala: karbi maht; aia pikkus; laua katmiseks vajalik lina?

Rakendus

1. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
2. Leia silindri ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=5$ cm.
3. Ristkülikukujuline tuba on 5 m pikk ja 4 m lai. Kui suur on põranda pindala?

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei sobi ruumala vastuseks $\text{cm}^2$?
2. Risttahuka mõõtmed on 2 cm, 4 cm ja 6 cm. Leia ruumala.
3. Kolmnurga pindala on 24 cm² ja alus 8 cm. Leia kõrgus.
4. Põranda pindala on 20 m². Kas sellest piisab, et leida toa ümbermõõt? Põhjenda.
5. Karpi täidetakse liivaga ja kaetakse paberiga. Kummal juhul otsid ruumala ja kummal pindala?

Vastused

1. $54\text{ cm}^2$, sest $6\cdot9=54$ ja otsitakse pinda.
2. $35\text{ cm}^2$, sest kolmnurga pindala on $\frac{10\cdot7}{2}$.
3. Karbi maht ehk ruumala; aia pikkus: pikkus; lina: pindala.
4. $64\text{ cm}^3$, sest kuubi ruumala on $4^3$.
5. $45\pi\text{ cm}^3\approx141,4\text{ cm}^3$, sest silindril $V=\pi r^2h$.
6. $5\cdot4=20\text{ m}^2$, sest põrand on ristkülik.
7. Ruumala mõõdetakse kuupühikutes, näiteks $\text{cm}^3$; $\text{cm}^2$ katab pinda, mitte ruumi.
8. $2\cdot4\cdot6=48\text{ cm}^3$, sest risttahukal $V=abc$.
9. Valemist $24=\frac{8h}{2}$ saame $24=4h$, seega $h=6$ cm.
10. Ei piisa alati. Näiteks ristkülikud 4 m × 5 m ja 2 m × 10 m on mõlemad pindalaga 20 m², aga ümbermõõdud on erinevad.
11. Liivaga täitmisel otsid ruumala; paberiga katmisel otsid välispinna pindala.

Seosed

Pindala ja ruumala seovad arvutamise geomeetria, mõõtkava ja päriseluliste mõõtmistega. Järgmises mõõtkava peatükis kasutatakse sama mõtet: pikkuste mõõtkava ei teisendu pindala mõõtkavaks sama kordajaga.

Püstprisma

Mõiste

Prismal on kaks võrdset ja paralleelset põhitahku. Püstprisma külgservad on põhitahkudega risti ning külgtahud on ristkülikud.

Eeldus: oskad leida hulknurga pindala ja ümbermõõtu, teisendada pindala- ning ruumalaühikuid ja eristada pindala ruumalast.

Prisma nimi tuleb põhja kujust:

• kolmnurkse püstprisma põhitahud on kolmnurgad;
• nelinurkse püstprisma põhitahud on nelinurgad.

Prisma tähtsad osad on põhitahud, külgtahud, põhiservad, külgservad, tipud ja kõrgus. Püstprisma kõrgus on kahe põhitahu vaheline kaugus ning võrdub külgserva pikkusega.

Pinnalaotus näitab kõiki tahke tasapinnale laotatuna. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.

Valemid

Kui põhja pindala on $S_p$, põhja ümbermõõt $P_p$ ja prisma kõrgus $h$, siis

$$V=S_ph,$$

$$S_{\text{külg}}=P_ph,$$

$$S_{\text{täis}}=2S_p+P_ph.$$

Ruumala valem mõõdab keha sisse mahtuvat ruumi. Külgpindala liidab ristkülikukujulised külgtahud. Täispindala liidab külgpindalale kaks võrdset põhja.

Näide

Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 12 cm², põhja ümbermõõt 16 cm ja prisma kõrgus 10 cm.

Ruumala on

$$V=12\cdot10=120\text{ cm}^3.$$

Külgpindala on

$$S_{\text{külg}}=16\cdot10=160\text{ cm}^2.$$

Täispindala on

$$S_{\text{täis}}=2\cdot12+160=184\text{ cm}^2.$$

Vastus: ruumala on $120\text{ cm}^3$ ja täispindala $184\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Täispindalas on kaks põhja:

$$S_{\text{täis}}=2S_p+S_{\text{külg}},$$

mitte $S_p+S_{\text{külg}}$.

Teine tüüpviga on kasutada põhja ümbermõõdu asemel põhja pindala külgpindala leidmisel. Külgtahkude laiused annavad kokku põhja ümbermõõdu, seega $S_{\text{külg}}=P_ph$.

Kolmas tüüpviga on ühik: pindala vastus on ruutühikutes, ruumala vastus kuupühikutes.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhitahku on püstprismal?
2. Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 8 cm² ja prisma kõrgus 6 cm. Leia ruumala.
3. Põhja ümbermõõt on 20 cm ja prisma kõrgus 7 cm. Leia külgpindala.

Rakendus

1. Põhja pindala on 15 cm², põhja ümbermõõt 18 cm ja prisma kõrgus 8 cm. Leia ruumala ja täispindala.
2. Nelinurkse püstprisma põhi on ristkülik külgedega 3 cm ja 5 cm. Prisma kõrgus on 10 cm. Leia ruumala.
3. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on mitu kolmnurka ja mitu ristkülikut?

Mõtlemisülesanne

1. Püstprisma ruumala on 180 cm³ ja põhja pindala 30 cm². Leia prisma kõrgus.
2. Kahel püstprismal on sama põhja pindala. Teise prisma kõrgus on esimesest kolm korda suurem. Kuidas võrdlevad nende ruumalad?
3. Selgita, miks ei piisa täispindala leidmiseks ainult põhja pindalast ja prisma kõrgusest.
4. Püstprisma külgpindala on 96 cm² ja kõrgus 8 cm. Leia põhja ümbermõõt.

Vastused

1. Kaks võrdset ja paralleelset põhitahku.
2. $V=8\cdot6=48\text{ cm}^3$.
3. $S_{\text{külg}}=20\cdot7=140\text{ cm}^2$.
4. $V=15\cdot8=120\text{ cm}^3$ ja $S_{\text{täis}}=2\cdot15+18\cdot8=174\text{ cm}^2$.
5. Põhja pindala on $3\cdot5=15\text{ cm}^2$, seega $V=15\cdot10=150\text{ cm}^3$.
6. Kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.
7. $h=180:30=6\text{ cm}$, sest $V=S_ph$.
8. Teise prisma ruumala on kolm korda suurem, sest sama $S_p$ korral muutub $V=S_ph$ kõrgusega võrdeliselt.
9. Külgpindala jaoks on vaja ka põhja ümbermõõtu $P_p$; sama pindalaga põhjadel võivad olla erinevad ümbermõõdud.
10. $P_p=96:8=12\text{ cm}$, sest $S_{\text{külg}}=P_ph$.

Seosed

Püstprisma ühendab tasandiliste kujundite pindala ruumala ja pinnalaotusega. Hiljem laieneb sama põhja pindala korda kõrguse mõte silindrile ning teiste ruumiliste kehade võrdlemisele.

Mõõtkava ja proportsioon

Mõiste

Mõõtkava näitab, mitu korda on joonis tegelikkusest väiksem või suurem. 1 : 50 000 tähendab, et 1 cm kaardil vastab 50 000 cm tegelikkuses.

Eeldus: oskad teisendada pikkusühikuid ning saad aru suhtest ja võrdest.

Mõõtkava on suhe:

$$\frac{\text{joonisel}}{\text{tegelikkuses}}=\frac1{50\,000}.$$

Võrdes on kaks suhet võrdsed. Mõõtkaval 1 : 50 000:

$$\frac{1\text{ cm}}{50\,000\text{ cm}}=\frac{x\text{ cm}}{y\text{ cm}},$$

kus $y$ on tegelik kaugus samas ühikus.

Mõlemal pool suhet peab olema sama ühik. Arvuta sentimeetrites ja teisenda lõpus.

Enne arvutust ütle suund: kas otsid tegelikku pikkust joonise järgi või joonise pikkust tegelikkuse järgi.

Ühikukontroll:

$$1000\text{ cm}=10\text{ m},$$

mitte 1000 m. Mõõtkava ja ühiku teisendus on eri sammud.

Näide

Kaart

Kui kaardil on vahemaa 4 cm ja mõõtkava on 1 : 25 000, siis tegelik vahemaa on

$$4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}=1\text{ km}.$$

Proportsioonina:

$$\frac{1}{25\,000}=\frac{4}{x}.$$

Ristkorrutis annab

$$x=4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}.$$

Plaan

Toa plaani mõõtkava on 1 : 100. Kui sein on plaanil 4,2 cm, siis tegelik sein on

$$4,2\cdot100=420\text{ cm}=4,2\text{ m}.$$

Mudelauto mõõtkava on 1 : 20. Kui mudelauto pikkus on 22 cm, siis tegeliku auto pikkus on

$$22\cdot20=440\text{ cm}=4,4\text{ m}.$$

Kui tegelik pikkus on teada, jagame teguriga. Näiteks 1 : 50 plaanil vastab 3 m ehk 300 cm pikkusele

$$300:50=6\text{ cm}.$$

Mõnikord on mudel suurem, näiteks raku mudel. Mõõtkava 20 : 1 tähendab, et mudel on 20 korda suurem.

Vastus: 1 km, 4,2 m ja 4,4 m.

Tüüpviga

Pikkused muutuvad mõõtkava järgi $k$ korda, pindalad aga $k^2$ korda.

Näiteks mõõtkavas 1 : 10 on pikkused 10 korda väiksemad, aga pindalad 100 korda väiksemad.

Teine viga on ühikute vahele jätmine:

$$4\cdot25\,000=100\,000.$$

See arv tähendab sentimeetreid, sest kaardil mõõdeti sentimeetrites. Alles siis teisenda:

$$100\,000\text{ cm}=1000\text{ m}=1\text{ km}.$$

Kolmas viga on jagada siis, kui peaks korrutama. Kui kaardipikkusest otsid tegelikku pikkust, peab tegelikkus olema suurem.

Neljas viga on lugeda suurendavat mõõtkava nagu vähendavat. 20 : 1 tähendab, et mudel on 20 korda suurem.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui mõõtkava on 1 : 100 000, mitu kilomeetrit vastab 3 cm-le?
2. Mudelauto on tegelikust autost 20 korda väiksem. Mis on mõõtkava?
3. Miks pindala mõõtkava ei ole sama mis pikkuse mõõtkava?
4. Plaani mõõtkava on 1 : 50. Kui laud on tegelikult 150 cm pikk, kui pikk on see plaanil?

Rakendus

1. Kaardil on vahemaa 7 cm ja mõõtkava 1 : 200 000. Kui pikk on vahemaa tegelikkuses kilomeetrites?
2. Toa plaanil on kapi laius 3,6 cm. Mõõtkava on 1 : 25. Kui lai on kapp tegelikult sentimeetrites ja meetrites?
3. Kahe linna vahe on kaardil 8,5 cm. Mõõtkava on 1 : 500 000. Leia tegelik kaugus kilomeetrites.
4. Matkaplaanil on Otepää matkaraja lõik 4,2 cm. Mõõtkava on 1 : 50 000. Leia lõigu tegelik pikkus kilomeetrites.

Mõtlemisülesanne

1. Tegelik aed on 18 m pikk. Kui pikk on see plaanil mõõtkavas 1 : 200?
2. Mudeli mõõtkava on 5 : 1. Kui tegelik detail on 4 cm pikk, kui pikk on mudelil sama detail?
3. Leia viga: õpilane arvutas mõõtkaval 1 : 100 000, et 2 cm kaardil on $2:100\,000=0,00002$ km.
4. Kaart on mõõtkavas 1 : 10 000. Kui tegelik teelõik on 600 m, kui pikk on see kaardil?

Vastused

1. $3\cdot100\,000=300\,000\text{ cm}=3\text{ km}$.
2. 1 : 20, sest mudeli 1 osa vastab tegelikkuse 20 osale.
3. Pindala muutub pikkuse muutuse ruuduga.
4. $150:50=3\text{ cm}$, sest tegelikkusest plaanile minnes jagad.
5. $7\cdot200\,000=1\,400\,000\text{ cm}=14\text{ km}$.
6. $3,6\cdot25=90\text{ cm}=0,9\text{ m}$, sest plaanilt tegelikkusesse minnes korrutad.
7. $8,5\cdot500\,000=4\,250\,000\text{ cm}=42,5\text{ km}$.
8. $4,2\cdot50\,000=210\,000\text{ cm}=2,1\text{ km}$.
9. $18\text{ m}=1800\text{ cm}$, seega $1800:200=9\text{ cm}$.
10. $4\cdot5=20\text{ cm}$, sest 5 : 1 suurendab mudelit.
11. Kui kaardipikkusest otsitakse tegelikku pikkust, tuleb korrutada: $2\cdot100\,000=200\,000\text{ cm}=2\text{ km}$.
12. $600\text{ m}=60\,000\text{ cm}$, seega $60\,000:10\,000=6\text{ cm}$.

Seosed

Mõõtkava kasutab sama suhte mõtet, mida hiljem läheb vaja sarnaste kolmnurkade, trigonomeetria ja mudelite juures.

Punkt, sirge ja nurk

Mõiste

Punkt tähistab asukohta. Sirge ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel.

Eeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning tead, et joonisel märgitud andmed on tähtsamad kui silma järgi hinnang.

Nurk tekib kahest samast punktist lähtuvast kiirest.

Enne arvutamist märgi joonisel punktid, antud suurused ja otsitav suurus.

Põhiobjektid on sarnased, aga nende ulatus on erinev:

Kui sama tähis $AB$ esineb eri kohtades, otsusta joonise ja teksti järgi, kas mõeldakse sirget või lõiku.

Lõigu $AB$ puhul on punktid $A$ ja $B$ otspunktid. Kiire $\overrightarrow{AB}$ puhul on $A$ alguspunkt ja kiir läheb läbi punkti $B$.

Põhireeglid

• Täisnurk on $90^\circ$.
• Sirgnurk on $180^\circ$.
• Täispööre on $360^\circ$.

Nurkade liigid:

Kõrvunurgad on kaks nurka, millel on üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad sirge. Kõrvunurkade summa on

$$180^\circ.$$

Tippnurgad tekivad kahe sirge lõikumisel. Tippnurgad on võrdsed.

Näide

Kui kaks kõrvunurka moodustavad sirgnurga ja üks on $65^\circ$, siis teine on

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ.$$

Kui kaks sirget lõikuvad ja üks nurk on $42^\circ$, siis tema tippnurk on samuti $42^\circ$.

Sama lõikumise kõrval olev nurk on kõrvunurk:

$$180^\circ-42^\circ=138^\circ.$$

Kui ümber punkti on mitu nurka, siis nende summa on täispööre:

$$360^\circ.$$

Näiteks kui punkti ümber on nurgad $90^\circ$, $120^\circ$ ja $x$, siis

$$x=360^\circ-90^\circ-120^\circ=150^\circ.$$

Vastus: kõrvunurk on $115^\circ$, tippnurk on $42^\circ$, kõrval olev kõrvunurk on $138^\circ$ ja puuduva täispöörde nurk on $150^\circ$.

Kontroll: kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$, tippnurgad on võrdsed ja ümber punkti olevad nurgad annavad kokku $360^\circ$.

Tüüpviga

Joonis võib olla ebatäpne. Geomeetrias tuleb lähtuda antud andmetest, mitte ainult sellest, kuidas pilt paistab.

Teine tüüpviga on kõrvunurki ja tippnurki segi ajada. Kõrvunurgad liituvad $180^\circ$-ks, tippnurgad on omavahel võrdsed.

Kolmas tüüpviga on lõiku ja sirget samastada. Lõigul on kaks otspunkti ja selle pikkust saab mõõta. Sirgel otspunkte ei ole ning ta ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis liiki nurk on $35^\circ$?
2. Mis liiki nurk on $125^\circ$?
3. Üks kõrvunurk on $73^\circ$. Leia teine.
4. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on tema tippnurk?

Rakendus

1. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on selle kõrval olev kõrvunurk?
2. Mis vahe on lõigul $AB$ ja kiirel $\overrightarrow{AB}$?
3. Üks kõrvunurk on $41^\circ$. Leia teine.

Mõtlemisülesanne

1. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $67^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.
2. Punkti ümber on kolm nurka: $80^\circ$, $95^\circ$ ja $x$. Leia $x$.
3. Nurk $x$ ja nurk $35^\circ$ moodustavad täisnurga. Leia $x$.
4. Joonisel paistab nurk umbes $90^\circ$, aga juurde on kirjutatud $87^\circ$. Millist väärtust kasutad arvutuses ja miks?

Vastused

1. Teravnurk.
2. Nürinurk.
3. $107^\circ$, sest kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
4. $108^\circ$, sest tippnurgad on võrdsed.
5. $72^\circ$, sest kõrval olev kõrvunurk on $180^\circ-108^\circ$.
6. Lõigu $AB$ otspunktid on $A$ ja $B$. Kiir $\overrightarrow{AB}$ algab punktist $A$, läbib punkti $B$ ja jätkub samas suunas.
7. $139^\circ$, sest $180^\circ-41^\circ=139^\circ$.
8. Ülejäänud kolm nurka on $67^\circ$, $113^\circ$ ja $113^\circ$, sest tippnurk on võrdne ja kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
9. $x=360^\circ-80^\circ-95^\circ=185^\circ$.
10. $x=90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
11. Kasutan $87^\circ$, sest arvutustes lähtutakse antud andmetest, mitte joonise silmaga hinnatud kujust.

Seosed

Sirged ja nurgad on kolmnurkade, hulknurkade, trigonomeetria ja tõestuste alus. Järgmises peatükis kasutatakse neid kolmnurga nurkade summa, hulknurkade, ümbermõõdu ja pindala leidmisel.

Kolmnurgad ja nelinurgad

Mõiste

Kolmnurgal on kolm külge ja kolm nurka. Nelinurgal on neli külge ja neli nurka.

Eeldus: tunned nurkade liike, oskad leida ümbermõõtu ja eristad pindala pikkusest.

Kolmnurki saab liigitada külgede järgi:

Kolmnurki saab liigitada ka nurkade järgi:

Kolm pikkust saavad moodustada kolmnurga ainult siis, kui kaks lühemat külge kokku on pikemad kui pikim külg. Näiteks 2 cm, 3 cm ja 6 cm ei sobi, sest $2+3<6$.

Nelinurkade erijuhud:

Rööpküliku vastasküljed ja vastasnurgad on võrdsed ning diagonaalid poolitavad teineteist. Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed; rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja rombi nurki.

Valemid

Kolmnurga nurkade summa:

$$180^\circ.$$

Nelinurga nurkade summa:

$$360^\circ.$$

Kumera $n$-nurga sisenurkade summa:

$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Kolmnurga pindala:

$$S=\frac{ah}{2}.$$

Kõrgus peab olema valitud alusega risti.

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Ruudu pindala:

$$S=a^2.$$

Rombi pindala diagonaalide $d_1$ ja $d_2$ abil:

$$S=\frac{d_1d_2}{2}.$$

Ümbermõõt liidab küljed. Pindala mõõdab kaetud pinda.

Näide

Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:

$$S=\frac{10\cdot6}{2}=30\text{ cm}^2.$$

Kui kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $72^\circ$, siis kolmas nurk on

$$180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ.$$

Kui nelinurga kolm nurka on $90^\circ$, $110^\circ$ ja $80^\circ$, siis neljas nurk on

$$360^\circ-90^\circ-110^\circ-80^\circ=80^\circ.$$

Kuusnurga sisenurkade summa on

$$S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ.$$

Vastus: pindala on $30\text{ cm}^2$, kolmas kolmnurga nurk $60^\circ$, neljas nelinurga nurk $80^\circ$ ja kuusnurga sisenurkade summa $720^\circ$.

Tüüpviga

Kõrgus peab olema risti alusega. Külgjoon ei ole alati kõrgus.

Teine tüüpviga on arvata, et iga nelinurk, millel on üks paar paralleelseid külgi, on rööpkülik. Rööpkülikul peavad mõlemad vastaskülgede paarid olema paralleelsed.

Kolmas tüüpviga on ajada ümbermõõt ja pindala segi. Aia pikkus on ümbermõõt; aia sisse jääva maa suurus on pindala.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga kaks nurka on $35^\circ$ ja $65^\circ$. Leia kolmas nurk.
2. Kas kolmnurk nurkadega $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$ on täisnurkne?
3. Leia kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.

Rakendus

1. Nelinurga kolm nurka on $100^\circ$, $80^\circ$ ja $90^\circ$. Leia neljas.
2. Millisel nelinurgal on kõik küljed võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad?
3. Ristküliku küljed on 8 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Rööpküliku alus on 12 cm ja kõrgus 5 cm. Leia pindala.
2. Ristküliku üks külg on 7 cm ja pindala on 35 cm². Leia teine külg.
3. Kolmnurga nurgad on $x$, $2x$ ja $3x$. Leia nurgad.
4. Kas pikkustest 4 cm, 5 cm ja 10 cm saab moodustada kolmnurga?
5. Leia korrapärase kuusnurga ühe sisenurga suurus.
6. Rombi diagonaalid on 6 cm ja 10 cm. Leia rombi pindala.

Vastused

1. $80^\circ$, sest kolmnurga nurgad annavad kokku $180^\circ$.
2. Jah, sest üks nurk on $90^\circ$.
3. Ümbermõõt on $4+5+6=15\text{ cm}$.
4. $90^\circ$, sest nelinurga nurgad annavad kokku $360^\circ$.
5. Ruut, sest ruudul on võrdsed küljed ja täisnurgad.
6. Ümbermõõt $2(8+3)=22\text{ cm}$, pindala $8\cdot3=24\text{ cm}^2$; üks mõõdab äärt, teine pinda.
7. $S=12\cdot5=60\text{ cm}^2$.
8. Teine külg on $35:7=5\text{ cm}$, sest ristkülikul $S=ab$.
9. $x+2x+3x=180^\circ$, seega $x=30^\circ$; nurgad on $30^\circ,60^\circ,90^\circ$.
10. Ei, sest $4+5=9<10$; kahe lühema külje summa peab olema pikem kui pikim külg.
11. Sisenurkade summa on $(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$. Kõik kuus nurka on võrdsed, seega üks nurk on $720^\circ:6=120^\circ$.
12. $S=\frac{6\cdot10}{2}=30\text{ cm}^2$.

Seosed

Kolmnurgad viivad Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja trigonomeetriani. Nelinurkade ja pindala mõte valmistab ette ringi, sümmeetria ja teisenduste peatükke.

Ring ja sümmeetria

Mõiste

Ringjoon on kinnine piirjoon keskpunkti ümber. Kõik ringjoone punktid on keskpunktist sama kaugel; seda kaugust nimetatakse raadiuseks.

Eeldus: oskad eristada pikkust ja pindala ning tunned sirget, lõiku ja sümmeetriatelge.

Ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega. Igapäevases kõnes öeldakse vahel mõlema kohta "ring", aga matemaatikas on neil vahe:

• ringjoon on piirjoon;
• ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega.

Ringi olulised osad:

Valemid

Ringjoone pikkus:

$$C=2\pi r.$$

Ringi pindala:

$$S=\pi r^2.$$

Need valemid vastavad eri küsimustele:

Kui antud on diameeter, leia enne raadius või kasuta ringjoone pikkuse jaoks valemit $C=\pi d$.

Ringil on palju sümmeetriatelgi: iga keskpunkti läbiv sirge jaotab ringi kaheks võrdseks pooleks. Diameeter asub alati sellisel sümmeetriateljel.

Näide

Kui $r=5$, siis

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78,5.$$

Ringjoone pikkus sama raadiusega on

$$C=2\pi\cdot5=10\pi\approx31,4.$$

Kui diameeter on $12$, siis raadius on

$$r=\frac{12}{2}=6.$$

Sama ringi pindala on

$$S=\pi\cdot6^2=36\pi\approx113,1.$$

Ringjoone pikkus on

$$C=\pi\cdot12=12\pi\approx37,7.$$

Kui tahad katta ümmarguse laua pinna, vajad pindala. Kui tahad panna laua serva ümber paela, vajad ringjoone pikkust.

Vastus: raadiusega 5 on pindala umbes 78,5 ja ringjoone pikkus umbes 31,4; diameetriga 12 on pindala umbes 113,1 ja ringjoone pikkus umbes 37,7.

Tüüpviga

Raadius ja diameeter ehk läbimõõt lähevad tihti segi. Diameeter on kaks raadiust:

$$d=2r.$$

Teine tüüpviga on ringjoone pikkust ja ringi pindala segi ajada. Ringjoone pikkus kasutab pikkusühikut, näiteks cm. Ringi pindala kasutab ruutühikut, näiteks cm².

Kontrolli ühikut:

• kui vastus on $\text{cm}$, mõõdad pikkust;
• kui vastus on $\text{cm}^2$, mõõdad pindala.

Kolmas tüüpviga on kasutada diameetrit raadiuse asemel pindala valemis. Kui $d=10$, siis $r=5$, seega

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi,$$

mitte $\pi\cdot10^2$.

Neljas tüüpviga on arvata, et sümmeetriatelg peab olema joonisel püstine või rõhtne. Ringil sobib iga keskpunkti läbiv sirge.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia diameeter, kui raadius on 7 cm.
2. Leia raadius, kui diameeter on 18 cm.
3. Leia ringi pindala, kui $r=4$.
4. Leia ringjoone pikkus, kui $r=4$.

Rakendus

1. Mis vahe on kõõlul ja diameetril?
2. Leia ringjoone pikkus, kui diameeter on 20 cm.
3. Leia ringi pindala, kui diameeter on 14 cm.

Mõtlemisülesanne

1. Kas ülesandes “ümber lillepeenra pannakse ääris” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
2. Kas ülesandes “ümmargune vaip katab põrandat” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
3. Mitu sümmeetriatelge on ringil?
4. Kas sirge, mis lõikab ringi kahte võrdsesse poolde, peab läbima keskpunkti?

Vastused

1. $14\text{ cm}$, sest diameeter on kaks raadiust.
2. $9\text{ cm}$, sest raadius on pool diameetrist.
3. $16\pi\approx50,3$ ruutühikut, sest $S=\pi r^2$.
4. $8\pi\approx25,1$ pikkusühikut, sest $C=2\pi r$.
5. Diameeter on kõõl, mis läbib keskpunkti. Kõik kõõlud ei läbi keskpunkti.
6. $C=\pi d=20\pi\approx62,8\text{ cm}$.
7. $r=7\text{ cm}$, seega $S=49\pi\approx153,9\text{ cm}^2$.
8. Ringjoone pikkust, sest ääris käib ümber peenra piiri.
9. Pindala, sest vaip katab põranda osa, mitte ainult serva.
10. Lõpmata palju; iga keskpunkti läbiv sirge on sümmeetriatelg.
11. Jah. Ringi sümmeetriatelg läbib keskpunkti, sest ainult siis jäävad pooled peegeldamisel kokku.

Seosed

Ring on oluline geomeetrias, trigonomeetrias, radiaanides ja ringliikumise mudelites. Järgmises peatükis kasutatakse sümmeetriat koos peegelduse, lükke ja pööramisega.

Teisendused ja sümmeetria

Mõiste

Geomeetriline teisendus viib kujundi punktid uutesse asukohtadesse. Olulised teisendused on lüke, peegeldus, pööre ja homoteetsus.

Eeldus: tunned punkti, sirget, nurka ja sümmeetriatelge. Kui koordinaadid on ebakindlad, korda enne punkti $(x;y)$ lugemist.

Lükke puhul liigub iga punkt sama nihega: sama palju ja samas suunas.

Koordinaatides

Peegeldus $x$-telje suhtes:

$$(x;y)\mapsto(x;-y).$$

Peegeldus $y$-telje suhtes:

$$(x;y)\mapsto(-x;y).$$

Mäluabi: peegeldus $x$-telje suhtes muudab $y$-koordinaadi märki, peegeldus $y$-telje suhtes muudab $x$-koordinaadi märki.

Lüke vektoriga (a; b):

$$(x;y)\mapsto(x+a;y+b).$$

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:

$$(x;y)\mapsto(-y;x).$$

Homoteetsus teguriga $k$ alguspunkti suhtes:

$$(x;y)\mapsto(kx;ky).$$

Koordinaatreeglit saab kontrollida ühe punktiga:

Kui teisendad tervet kujundit, rakenda sama reeglit kõigile tippudele.

Näide

Punkt (3; -2) peegeldub $x$-telje suhtes punktiks (3; 2).

Lüke vektoriga (-3;4):

$$(2;5)\mapsto(2-3;5+4)=(-1;9).$$

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:

$$(3;2)\mapsto(-2;3).$$

Homoteetsus teguriga $2$ alguspunkti suhtes:

$$(3;2)\mapsto(6;4).$$

Kolmnurga tippudele saab sama reeglit rakendada eraldi. Kui

$$A(1;1),\quad B(4;1),\quad C(2;3),$$

ja teeme lükke vektoriga (-2; 3), siis

$$A'(-1;4),\quad B'(2;4),\quad C'(0;6).$$

Kõik punktid liikusid 2 ühikut vasakule ja 3 ühikut üles. Kujundi suurus ja kuju ei muutunud.

Kui sama kolmnurk peegeldada $y$-telje suhtes, siis

$$A'(-1;1),\quad B'(-4;1),\quad C'(-2;3).$$

Siin muutub kujundi suund nagu peeglis, aga pikkused jäävad samaks.

Vastus: lükke järel on tipud $A'(-1;4)$, $B'(2;4)$, $C'(0;6)$; peegelduse järel $A'(-1;1)$, $B'(-4;1)$, $C'(-2;3)$.

Tüüpviga

Peegeldusel ei vahetata alati koordinaate. Koordinaatide vahetamine (x;y)\mapsto(y;x) on peegeldus sirge $y=x$ suhtes.

Teine tüüpviga on nimetada homoteetsust lükkeks. Lüke ei muuda suurust, homoteetsus võib suurust muuta.

Kolmas tüüpviga on pööramisel ainult märki vahetada. Pöördel $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti ei ole reegel $(x;y)\mapsto(-x;y)$, vaid

$$(x;y)\mapsto(-y;x).$$

Näiteks (5; -1) läheb punktiks (1; 5).

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Peegelda punkt (-4; 1) $y$-telje suhtes.
2. Nihuta punkt (2; 5) vektoriga (-3; 4).
3. Milline teisendus säilitab kujundi suuruse, aga muudab asukohta?
4. Pööra punkt (5; -1) $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti.

Rakendus

1. Rakenda punktile (-2; 3) homoteetsust teguriga $3$ alguspunkti suhtes.
2. Peegelda punkt (6; -2) $x$-telje suhtes.
3. Tee punktile (-1; 4) lüke vektoriga (5; -3).

Mõtlemisülesanne

1. Pööra punkt (-3; 2) $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti.
2. Kolmnurga tipud on A(0;1), B(2;1), C(1;4). Tee lüke vektoriga (3; -2).
3. Milline teisendus muudab kujundi suurust: lüke, peegeldus, pööre või homoteetsus?

Vastused

1. (4; 1), sest peegeldus $y$-telje suhtes muudab $x$-koordinaadi märki.
2. (-1; 9), sest lüke lisab koordinaatidele (-3; 4).
3. Lüke, peegeldus ja pööre säilitavad suuruse; kõige otsesem "asukoha muutmine sama suunaga" on lüke.
4. (1; 5), sest $90^\circ$ vastupäeva pöörde reegel on $(x;y)\mapsto(-y;x)$.
5. (-6; 9), sest homoteetsus teguriga 3 korrutab mõlemad koordinaadid.
6. (6; 2), sest peegeldus $x$-telje suhtes muudab $y$-koordinaadi märki.
7. (4; 1), sest (-1+5;4-3)=(4;1).
8. (-2; -3), sest $(x;y)\mapsto(-y;x)$.
9. A'(3; -1), B'(5; -1), C'(4; 2), sest iga tipp liigub 3 paremale ja 2 alla.
10. Homoteetsus, sest see korrutab kujundi kaugused teguriga ja muudab suurust.

Seosed

Teisendused seovad geomeetria koordinaatidega: sama reeglit saab rakendada punktidele, kujunditele ja hiljem vektoritele. See valmistab ette koordinaatteljestiku, vektorite ja funktsioonide graafikute teisendused.

Tabelid, diagrammid ja keskmised

Mõiste

Statistika aitab andmeid tõlgendada.

Eeldus: oskad liita, jagada, järjestada arve ning lugeda lihtsat tabelit.

Põhimõisted

• Sagedus: mitu korda väärtus esineb.
• Suhteline sagedus: sageduse osa kõigist andmetest.
• Aritmeetiline keskmine: summa jagatud väärtuste arvuga.
• Mediaan: järjestatud andmete keskmine väärtus.
• Mood: kõige sagedasem väärtus.

Sagedustabel näitab, mitu korda väärtused korduvad.

Andmete analüüsimisel on hea liikuda kindlas järjekorras:

1. korrasta andmed tabelisse;
2. leia sagedused;
3. arvuta keskmine, mediaan ja mood;
4. vaata, kas andmetes on erandeid;
5. sõnasta järeldus.

Näide

Andmed: 2, 4, 4, 5, 10.

Keskmine:

$$\frac{2+4+4+5+10}{5}=5.$$

Mediaan on 4 ja mood on 4.

Sagedustabel:

Erandi korral võib mediaan olla tüüpilisem kui keskmine. Näiteks andmetes 2, 4, 4, 5, 100 on keskmine

$$\frac{2+4+4+5+100}{5}=23,$$

aga mediaan on 4.

Väikese andmestiku täielik analüüs

Küsiti 10 õpilaselt, mitu minutit nad eelmisel päeval matemaatikat harjutasid:

$$10,\ 15,\ 20,\ 20,\ 25,\ 30,\ 30,\ 30,\ 45,\ 75.$$

Sagedustabel:

Keskmine:

$$\frac{10+15+20+20+25+30+30+30+45+75}{10}=\frac{300}{10}=30.$$

Mediaan: andmeid on 10, seega võtame 5. ja 6. väärtuse:

$$\frac{25+30}{2}=27,5.$$

Mood on 30, sest 30 minutit esineb kõige sagedamini.

Vastus: tüüpiline harjutamise aeg oli umbes 30 minutit. Väärtus 75 tõstab keskmist üles; mediaan on 27,5 minutit.

Diagrammi valik sõltub küsimusest: tulpdiagramm võrdleb rühmi, joondiagramm muutust ajas ja sektordiagramm terviku jaotust.

Tüüpviga

Keskmine ei pruugi kirjeldada tüüpilist väärtust, kui andmetes on suur erand.

Teine tüüpviga on mediaani leidmine ilma andmeid järjestamata. Mediaani jaoks tuleb andmed alati enne suuruse järjekorda panna.

Kolmas tüüpviga on kirjutada järeldus ilma andmeteta. Väide “õpilased harjutasid palju” on ebamäärane. Parem on: “Kõige sagedasem harjutamise aeg oli 30 minutit ja mediaan oli 27,5 minutit.”

Teine seletusviis

Andmeid saab lugeda jutuna: mida mõõdeti, mida võrreldakse ja mis on tavaline või erandlik.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 aritmeetiline keskmine.
2. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mediaan.
3. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mood.
4. Andmed on 1, 2, 2, 3, 40. Kumb kirjeldab tüüpilist väärtust paremini: keskmine või mediaan?

Rakendus

1. Tee sagedustabel andmetele 1, 1, 2, 4, 4, 4.
2. Leia andmete 6, 8, 8, 10, 13, 15 aritmeetiline keskmine.
3. Leia samade andmete mediaan.
4. Tartu kooli spordipäeval koguti kaugushüppe tulemused meetrites: 2,1; 2,4; 2,4; 2,8; 3,0. Leia mediaan.

Mõtlemisülesanne

1. Leia samade andmete mood.
2. Õpilaste lugemisaeg minutites oli 5, 10, 10, 15, 20, 60. Leia keskmine ja mediaan. Kumb kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini?
3. Millist diagrammi kasutaksid, kui võrdled lemmikspordialade valikuid?
4. Kui 30 õpilasest 12 valis korvpalli, leia korvpalli suhteline sagedus.

Vastused

1. $6$, sest summa 30 jagatakse 5 väärtusega.
2. $4$, sest järjestatud andmete keskel on 4.
3. $3$, sest see esineb kõige sagedamini.
4. Mediaan, sest $40$ tõstab aritmeetilist keskmist palju.
5. $1$: 2 korda, $2$: 1 kord, $4$: 3 korda.
6. $\frac{6+8+8+10+13+15}{6}=10$.
7. $\frac{8+10}{2}=9$.
8. $2,4$ m.
9. $8$.
10. Keskmine on $\frac{120}{6}=20$, mediaan on $\frac{10+15}{2}=12,5$. Mediaan kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini, sest 60 minutit on erandlikult suur.
11. Tulpdiagrammi, sest võrreldakse valikurühmi.
12. $\frac{12}{30}=0,4=40\%$ õpilastest; suhteline sagedus on osa kõigist.

Seosed

Statistika toetab tõenäosust, uurimistöid, mudelite hindamist ja andmepõhist otsustamist. Järgmises peatükis muutub suhteline sagedus sillaks tõenäosuse mõisteni.

Tõenäosuse alused

Mõiste

Tõenäosus näitab sündmuse toimumise võimalust. See on arv vahemikus 0 kuni 1.

Eeldus: oskad töötada murdudega, lugeda sagedustabelit ja eristada soodsaid tulemusi kõigist võimalikest tulemustest.

Valem

Kui kõik tulemused on võrdvõimalikud, siis

$$P(A)=\frac{\text{soodsate tulemuste arv}}{\text{kõikide tulemuste arv}}.$$

Pildi või tabeli järgi kontrolli: lugejas on soodsad tulemused, nimetajas kõik sama katse võrdvõimalikud tulemused.

Kindel sündmus on tõenäosusega $1$. Võimatu sündmus on tõenäosusega $0$.

$$0\le P(A)\le1.$$

Kui arvutus annab alla 0 või üle 1, on kuskil loenduse, nimetaja või sündmuste kattumise viga.

Tõenäosus on mudeli järgi oodatav osa. Suhteline sagedus on päris katse tulemus: kui sündmus toimus 30 katsest 12 korda, siis suhteline sagedus on $\frac{12}{30}=0,4$. Paljude katsete korral võib see anda hinnangu tõenäosusele, kuid väheste katsete puhul võib juhus palju kõikuda.

Gümnaasiumis lisandub tinglik tõenäosus: kui tead, et sündmus $B$ juba toimus, siis küsid sündmuse $A$ tõenäosust selle uue info korral.

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0.$$

Näide

Täringut visates on paarisarvu saamise tõenäosus

$$P=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Soodsad tulemused on 2, 4 ja 6. Kõik võimalikud tulemused on 1, 2, 3, 4, 5 ja 6.

Kahe mündiviske võimalusi saab näidata puudiagrammiga.

Kahe mündiviske tulemused on HH, HK, KH ja KK. Täpselt ühe kulli saamiseks on soodsad tulemused HK ja KH, seega

$$P(\text{täpselt üks kull})=\frac24=\frac12.$$

Vastus: paarisarvu tõenäosus täringul on $\frac12$ ja täpselt ühe kulli tõenäosus kahe mündiviske korral on $\frac12$.

Kui klassis on 12 tüdrukut ja 8 poissi ning loositakse üks õpilane nende hulgast, kes käivad matemaatikaringis, siis nimetaja ei ole kogu klass, vaid ainult matemaatikaringis käijad. See on tingliku tõenäosuse mõte.

Tüüpviga

Tõenäosused liidetakse ainult siis, kui sündmused ei kattu, või tuleb kattuv osa eraldi arvesse võtta.

Näiteks täringul sündmused "paarisarv" ja "suurem kui 3" kattuvad tulemuste 4 ja 6 juures. Seetõttu ei saa nende tõenäosusi otse liita.

Teine tüüpviga on kasutada tinglikus tõenäosuses vale nimetajat. Kui tingimus kitsendab valikut, tuleb kõik võimalused lugeda ainult selle tingimuse seest.

Kolmas tüüpviga on eeldada, et kõik tulemused on alati võrdvõimalikud. Täringu tulemused on tavaliselt võrdvõimalikud, aga näiteks klassist juhuslikult valitud õpilase huviring ei pruugi olla igas rühmas sama jaotusega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv 5?
2. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv, mis on suurem kui 4?

Rakendus

1. Münti kaks korda visates, kui suur on tõenäosus saada kaks kulli?
2. Kotis on 3 punast ja 2 sinist palli. Kui valid ühe palli, kui suur on tõenäosus saada sinine?
3. Klassi loosikastis on 6 sinist, 3 rohelist ja 1 kollane pilet. Kui valid ühe pileti, kui suur on tõenäosus saada roheline?

Mõtlemisülesanne

1. Miks peab kontrollima, kas sündmused kattuvad?
2. Spordipäeva loosimisel võidavad auhinna kõik, kes tõmbavad sinise või kollase pileti. Kui loosikast on eelmise ülesande oma, kui suur on võidu tõenäosus?
3. Klassis on 10 tüdrukut ja 14 poissi. Matemaatikaringis käib 4 tüdrukut ja 2 poissi. Kui tead, et loositud õpilane käib matemaatikaringis, kui suur on tõenäosus, et ta on tüdruk?
4. Kui katset tehti 40 korda ja sündmus toimus 18 korda, mis on sündmuse suhteline sagedus?

Vastused

1. Üks soodne tulemus kuuest: $\frac16$, mis jääb vahemikku 0 kuni 1.
2. Soodsad tulemused on 5 ja 6, kokku kaks tulemust kuuest: $\frac26=\frac13$.
3. Üks soodne tulemus neljast võrdvõimalikust tulemuste paarist: $\frac14$.
4. Siniseid palle on 2 ja palle kokku 5, seega $\frac25$.
5. Rohelisi pileteid on 3 ja pileteid kokku 10, seega $\frac3{10}$.
6. Kui sündmused kattuvad, loetakse kattuvad tulemused lihtsal liitmisel kaks korda.
7. Sinised ja kollased piletid ei kattu, seega soodsaid on 7 kõigist 10-st: $\frac7{10}$.
8. Tingimus kitsendab valiku matemaatikaringi: seal on 6 õpilast, neist 4 tüdrukut, seega $P=\frac46=\frac23$.
9. Suhteline sagedus on $\frac{18}{40}=0,45=45\%$; see on katse tulemus, mitte kindel tõenäosus.

Seosed

Tõenäosus seostub statistika, kombinatoorika, juhuslike protsesside ja riskide hindamisega. Järgmises kombinatoorika peatükis õpid loendama kõiki võimalusi siis, kui ükshaaval üleskirjutamine muutub liiga aeglaseks või veaohtlikuks.

Kombinatoorika

Mõiste

Kombinatoorika aitab lugeda valikuid, järjekordi ja koode.

Eeldus: oskad korrutada naturaalarve ning lugeda tõenäosuses soodsaid ja kõiki võimalusi.

Enne arvutust sõnasta, millal kaks tulemust loetakse samaks ja millal erinevaks.

Põhireeglid

Kui üks valik on võimalik $m$ viisil ja teine $n$ viisil, siis järjestikuseid valikuid on

$$m\cdot n.$$

See on korrutamisreegel.

Enne valemi valimist küsi:

Kui valitud objektidel on erinevad rollid või kohad, siis järjekord loeb. Kui moodustub samaväärsete liikmetega rühm, siis järjekord ei loe.

Vastandnäited:

Permutatsioonide arv:

$$n!=1\cdot2\cdot3\cdots n.$$

Variatsioonide arv, kui valitakse $k$ objekti $n$ objektist ja järjekord loeb:

$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Kombinatsioonide arv:

$$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Näide

Kui valida 5 õpilase seast 2 esindajat, siis võimalusi on

$$\binom52=\frac{5!}{2!3!}=10.$$

Kui samast 5 õpilasest valitakse president ja asepresident, siis järjekord loeb:

$$V_5^2=5\cdot4=20.$$

Kui 4 inimest pannakse järjekorda, siis võimalusi on

$$4!=24.$$

Kui menüüs on 3 jooki ja 4 magustoitu, siis ühe joogi ja ühe magustoidu valikuid on

$$3\cdot4=12.$$

Sama 5 õpilase näide näitab, miks küsimus loeb:

• 2 esindajat: $\binom52=10$;
• esimees ja aseesimees: $5\cdot4=20$;
• kõik 5 õpilast järjekorras: $5!=120$.

Vastus: võimalusi on vastavalt 10, 20, 24, 12 ja 120.

Tüüpviga

Kui järjekord ei loe, ära kasuta permutatsioone. Paar Mari ja Jüri on sama paar mis Jüri ja Mari.

Kui rollid on erinevad, siis järjekord loeb. Paar "president Mari, asepresident Jüri" ei ole sama mis "president Jüri, asepresident Mari".

Teine tüüpviga on korduste lubamist märkamata jätta. Koodis võivad kordused olla lubatud või keelatud:

• kui kordused on lubatud, siis 3-kohalise koodi jaoks numbritest 1, 2, 3 on $3\cdot3\cdot3=27$ võimalust;
• kui kordused ei ole lubatud, siis võimalusi on $3\cdot2\cdot1=6$.

Kolmas tüüpviga on kasutada kombinatsiooni siis, kui kohtadel on tähendus. Kui auhinnad on kuld, hõbe ja pronks, siis järjekord loeb.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused on lubatud?
2. Mitu viisi on 4 inimest järjekorda panna?
3. Mitu viisi saab valida 6 õpilase seast 3?
4. Mitu viisi saab valida 6 õpilase seast esimehe ja aseesimehe?

Rakendus

1. Kohvikus on 5 võileiba ja 3 jooki. Mitu viisi on valida üks võileib ja üks jook?
2. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused ei ole lubatud?
3. Klassis on 8 õpilast. Mitu viisi saab valida 2-liikmelise tööpaari?

Mõtlemisülesanne

1. Samast 8 õpilasest valitakse esineja ja ajamõõtja. Mitu võimalust on?
2. Mitu viisi saab 5 raamatut riiulisse järjekorda panna?
3. Otsusta, kas järjekord loeb: valitakse 3 õpilast ekskursiooni korraldustiimi. Põhjenda.
4. Numbrid 1, 2, 3 pannakse juhuslikku järjekorda. Kui suur on tõenäosus, et esimene number on 1?

Vastused

1. $3\cdot3\cdot3=27$.
2. $4!=24$.
3. $\binom63=20$, sest 3-liikmelises rühmas järjekord ei loe.
4. $6\cdot5=30$, sest esimese koha jaoks on 6 ja teise jaoks 5 valikut.
5. $5\cdot3=15$.
6. $3\cdot2\cdot1=6$.
7. $\binom82=28$, sest tööpaaris rollid ei erine.
8. $8\cdot7=56$, sest esineja ja ajamõõtja on eri rollid.
9. $5!=120$.
10. Ei loe, kui kõigil kolmel on sama roll korraldustiimis; siis kasutatakse kombinatsiooni.
11. Kõiki järjekordi on $3!=6$; soodsaid on 2: 123 ja 132. Tõenäosus on $\frac26=\frac13$.

Seosed

Kombinatoorika aitab tõenäosuses nimetajat ja lugejat leida. Järgmistes andmete peatükkides liigub fookus loendamiselt hajuvusele, jaotustele ning Bernoulli mudelile.

Hajuvus ja jaotused

Mõiste

Hajuvus näitab, kas andmed on üksteise lähedal või laiali. Näiteks hinded 4, 4, 5 on koos, aga hinded 1, 4, 5 on rohkem laiali.

Keskmine vastab küsimusele “kus on tüüpiline tase?”, hajuvus vastab küsimusele “kui palju väärtused selle ümber kõiguvad?”.

Järelduses ütle alati, mida hajuvus tähendab: kas tulemused on ühtlased või sõltuvad palju inimesest, katsest või päevast.

Enne üldistamist küsi, kas andmeid on piisavalt ja kas need kirjeldavad õiget rühma.

Eeldus: oskad andmeid järjestada ning leida keskmist, mediaani ja suurimat-väikseimat väärtust.

Olulised näitajad

• Ulatus: suurim väärtus miinus väikseim väärtus.
• Kvartiilid jagavad järjestatud andmed neljaks osaks.
• Standardhälve näitab, kui kaugel väärtused keskmisest enamasti paiknevad.

Kvartiilide mõte:

Karpdiagrammi kast ulatub $Q_1$-st $Q_3$-ni. See näitab keskmist poolt väärtustest. Mida pikem kast, seda rohkem on väärtused keskel laiali.

Standardhälbe täpne valem tuleb hiljem. Siin piisab mõttest: väike standardhälve tähendab, et väärtused on keskmise lähedal; suur standardhälve tähendab, et väärtused on rohkem laiali.

Gümnaasiumis vaadatakse ka jaotusi. Jaotus kirjeldab, millised väärtused on tõenäolised ja kui sageli need esinevad. Binoomjaotus sobib siis, kui kordub sama jah/ei-katse; normaaljaotus on kellukakujuline mudel paljude mõõtmistulemuste jaoks.

Usaldusvahemik annab hinnangu, millisesse vahemikku üldkogumi tegelik keskmine mõistliku kindlusega jääb. See ei ole kindel lubadus, vaid valimi põhjal tehtud hinnang.

Näide

Andmete 3, 4, 8, 10 ulatus on

$$10-3=7.$$

Andmed: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Mediaan on $7$. Alumine pool on 2, 3, 5, seega

$$Q_1=3.$$

Ülemine pool on 11, 13, 17, seega

$$Q_3=13.$$

Karpdiagrammi viis arvu on

$$\min=2,\quad Q_1=3,\quad \text{mediaan}=7,\quad Q_3=13,\quad \max=17.$$

Võrdlus: andmestikel 4, 5, 6 ja 1, 5, 9 on mõlemal keskmine 5, aga teisel on hajuvus suurem.

Vastus: ulatus on 7, viis arvu on 2, 3, 7, 13 ja 17 ning teise võrdlusandmestiku hajuvus on suurem.

Tüüpviga

Keskmise teadmine üksi ei ütle, kas väärtused on keskmise lähedal või väga laiali.

Teine tüüpviga on kvartiile otsida enne andmete järjestamist. Kvartiilid ja mediaan leitakse järjestatud andmetest.

Kolmas tüüpviga on nimetada iga kellukakujulist pilti automaatselt normaaljaotuseks. Enne mudeli kasutamist tuleb küsida, kas andmete kuju ja olukord seda toetavad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 2, 3, 9, 11, 15 ulatus.
2. Miks on mediaan mõnikord parem kui keskmine?

Rakendus

1. Mida näitab karpdiagrammi pikk kast?
2. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 mediaan.

Mõtlemisülesanne

1. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 ligikaudsed $Q_1$ ja $Q_3$, kui mediaan jäetakse poolte leidmisel välja.
2. Leia sama andmestiku ulatus.
3. Millal sobib binoomjaotus paremini kui tavaline keskmise arvutamine?
4. Mida ütleb lai usaldusvahemik valimi põhjal tehtud hinnangu kohta?
5. Kahel andmestikul on sama ulatus 10. Ühel on karpdiagrammi kast lühike, teisel pikk. Mida see tähendab?

Vastused

1. $15-2=13$; andmed ulatuvad väikseimast suurimani 13 ühiku võrra.
2. Mediaan on erandite suhtes vähem tundlik, sest ta sõltub järjestatud andmete keskosast.
3. Keskmine pool andmetest on rohkem laiali: vahe $Q_1$-st $Q_3$-ni on suurem.
4. $5$, sest järjestatud andmestiku keskel on 5.
5. Alumine pool 1, 4 annab $Q_1=2,5$; ülemine pool 8, 10 annab $Q_3=9$. Keskmine pool jääb nende vahele.
6. $10-1=9$; see on äärmuste vahe, mitte tüüpiline kõikumine keskosa ümber.
7. Siis, kui kordub sama kahe tulemusega katse, näiteks õnnestub või ei õnnestu.
8. Hinnang on ebatäpsem; valim võib olla väike või andmed on väga hajuvad.
9. Mõlemal on äärmuste vahe sama, aga pika kastiga andmestikus on keskmine pool väärtustest rohkem hajunud.

Seosed

Hajuvus aitab hinnata, kas üks arv, näiteks keskmine, kirjeldab andmeid piisavalt hästi. Järgmises andmete peatükis kasutatakse sama mõtet valimi, usaldusvahemiku ja statistilise järelduse hindamisel.

Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus

Mõiste

Tõenäosusmudel kirjeldab, millised tulemused võivad juhtuda ja kui tõenäolised need on. Statistiline järeldus liigub vastupidises suunas: valimi andmete põhjal hinnatakse suuremat üldkogumit.

Eeldus: oskad arvutada klassikalist tõenäosust, loendada kombinatsioone ning tõlgendada keskmist ja standardhälvet.

Sündmuste summa tähendab, et toimub vähemalt üks sündmus:

Ühisosa lahutatakse, sest muidu loendataks see kaks korda. Kui sündmused on sõltumatud, siis

Üldisemalt

kus $P(B\mid A)$ on sündmuse $B$ tinglik tõenäosus pärast seda, kui $A$ on toimunud.

Bernoulli mudel sobib, kui tehakse $n$ sõltumatut sama õnnestumistõenäosusega $p$ katset. Täpselt $k$ õnnestumise tõenäosus on

Sellise binoomjaotuse keskväärtus on $E(X)=np$.

Korrelatsioonikordaja $r$ kirjeldab lineaarse seose suunda ja tugevust: $-1\le r\le1$. Korrelatsioon ei tõesta põhjuslikku seost.

Usaldusvahemik annab valimi põhjal mõistliku väärtuspiirkonna üldkogumi tunnusele. Suurem esinduslik valim annab tavaliselt kitsama vahemiku; kallutatud valimit ei paranda pelgalt suur vastajate arv.

Näide

Ausat münti visatakse viis korda. Leiame täpselt kolme kirja tõenäosuse:

Kui uuringus on õppimise aja ja testitulemuse korrelatsioon $r=0{,}62$, näitab see mõõdukat positiivset lineaarset seost. Sellest üksi ei järeldu, et pikem õppimine on ainus tulemuse põhjus.

Tüüpviga

Sõltumatust ei tohi eeldada ainult mugavuse pärast. Kaartide võtmisel ilma tagasipanekuta muutub teise sündmuse tõenäosus.

Teine tüüpviga on liita sündmuste tõenäosused ühisosa lahutamata. Valem $P(A)+P(B)$ sobib otse ainult välistavate sündmuste korral.

Kolmas tüüpviga on tõlgendada korrelatsiooni põhjusena või laiendada mugavusvalimi tulemus kogu elanikkonnale.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Visatakse kahte ausat münti. Leia kahe kirja tõenäosus.
2. Kui $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ ja sündmused on sõltumatud, leia $P(A\cap B)$.
3. Mida tähendab korrelatsioon $r=-0{,}8$?

Rakendus

1. Täringul olgu $A$ paarisarv ja $B$ arv vähemalt 5. Leia $P(A\cup B)$.
2. Katsel on õnnestumise tõenäosus 0,2. Leia täpselt ühe õnnestumise tõenäosus nelja sõltumatu katse korral.
3. Tõlgenda koolilõuna uuringu kahte valimit: söökla ukse juures esimesed 20 vastajat ja juhuvalik kõigi klasside õpilastest. Otsusta, kumb esindab kooli paremini, ning põhjenda.

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei tõesta tugev jäätisemüügi ja ujumisõnnetuste korrelatsioon, et jäätis põhjustab õnnetusi?
2. Bernoulli katses on $n=100$ ja $p=0{,}6$. Leia õnnestumiste oodatav arv ning selgita, miks tegelik arv ei pea olema täpselt sama.
3. Kaks uuringut annavad sama valimikeskmise, kuid ühe usaldusvahemik on palju laiem. Nimeta kaks võimalikku põhjust.

Vastused

1. $\frac14$, sest mõlemad sõltumatud mündid peavad andma kirja.
2. $0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2$.
3. Tugev negatiivne lineaarne seos: ühe tunnuse kasvuga kipub teine vähenema.
4. $A=\{2,4,6\}$ ja $B=\{5,6\}$; ühend on $\{2,4,5,6\}$, seega $P(A\cup B)=\frac46=\frac23$.
5. $\binom41(0{,}2)(0{,}8)^3=0{,}4096$.
6. Juhuvalik kõigist klassidest, sest see esindab kooli õpilasi paremini ja vähendab valikukallet.
7. Mõlemat võib mõjutada soe ilm; ühine kolmas tegur tekitab seose ilma otsese põhjuslikkuseta.
8. $E(X)=np=60$. Keskväärtus kirjeldab paljude korduste keskmist, mitte ühe katse kohustuslikku tulemust.
9. Valim võib olla väiksem või andmed hajuvamad; mõlemad suurendavad hinnangu ebakindlust.

Seosed

Tõenäosusmudel seob kombinatoorika arvutuse andmete tõlgendamisega. Sama mudelikontrolli kasutatakse hiljem finants-, kasvu- ja optimeerimisülesannetes.

Muutuja ja avaldis

Mõiste

Muutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.

Tekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses "$p$ on pileti hind eurodes" on $p$ arv ja euro on ühik.

Erista kolme asja: täht on muutuja nimi, asendatav arv on muutuja väärtus ja ühik ütleb, mida see arv mõõdab.

Eeldus: oskad tehete järjekorda, negatiivsete arvudega arvutamist ja lihtsat tekstülesannet arvutuseks tõlkida.

Avaldises ei pea olema võrdusmärki. Võrrand tekib siis, kui kaks avaldist pannakse võrduma.

Avaldise väärtuse leidmiseks asenda muutujad antud arvudega ja järgi tehete järjekorda.

Asendamisel tee kolm sammu:

1. kirjuta avaldis ümber nii, et muutujate asemele tulevad sulgudes arvud;
2. arvuta astmed, sulud ja korrutised;
3. lõpuks liida ja lahuta.

Näide

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Kui $a=4$ ja $b=7$, siis

$$S=4\cdot7=28.$$

Avaldise väärtus:

$$2x+3y$$

kui $x=5$ ja $y=-2$, on

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4.$$

Mitmeastmeline asendamine:

$$3x^2-2y+4$$

kui $x=-2$ ja $y=5$, on

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot5+4=3\cdot4-10+4=12-10+4=6.$$

Pane tähele, et negatiivne arv pannakse astme korral sulgudesse: $(-2)^2=4$.

Vastus: ristküliku pindala on 28, avaldise $2x+3y$ väärtus on 4 ja avaldise $3x^2-2y+4$ väärtus on 6.

Kontroll: asendamisel pannakse negatiivne arv sulgudesse, et aste rakenduks kogu arvule, mitte ainult numbrile 2.

Lihtsustamine

Sarnaseid liikmeid saab koondada:

$$3x+5x=8x.$$

Sarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:

$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$

Sulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Kui sulgude ees on miinusmärk, muutuvad märgid:

$$-(x-4)=-x+4.$$

Mitmeastmeline lihtsustamine:

$$2(x+3)-4x+5(x-1).$$

Kõigepealt ava sulud:

$$2x+6-4x+5x-5.$$

Seejärel koonda sarnased liikmed:

$$2x-4x+5x+6-5=3x+1.$$

Kui avaldises on mitu muutujat, koonda iga tüüpi liikmed eraldi:

$$4a-3b+2a+7b-5=6a+4b-5.$$

Tüüpviga

Avaldis $3x$ tähendab $3\cdot x$, mitte arvu, mille kümneliste number on 3.

Teine tüüpviga on koondada mittesarnaseid liikmeid:

$$3x+5\ne8x.$$

Kolmas tüüpviga on sulgude avamisel korrutada ainult esimest liiget:

$$2(x+5)\ne2x+5.$$

Õige on

$$2(x+5)=2x+10.$$

Neljas tüüpviga on kaotada asendamisel negatiivse arvu sulud:

$$x^2\text{ kui }x=-3\quad\text{on}\quad(-3)^2=9,$$

mitte $-3^2=-9$.

Viies tüüpviga on koondada ainult kordajad ja unustada muutujad:

$$2a+3b$$

ei lihtsustu kujule $5ab$. Need ei ole sarnased liikmed.

Teine seletusviis

Muutuja on nagu tühi koht lauses. Enne arvutamist ütle see lause välja: "$x$ tähendab ...".

Tekstist avaldiseks minnes küsi, mis kordub ja mis lisandub üks kord. Kui teenustasu lisandub kogu ostule, on 4 pileti hind $4p+2$; kui teenustasu lisandub iga pileti juurde, on hind $4(p+2)$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia avaldise $4x-3$ väärtus, kui $x=5$.
2. Leia avaldise $2a+b$ väärtus, kui $a=-1$ ja $b=7$.
3. Lihtsusta $6x+2x-5$.
4. Lihtsusta $3y^2+4y-y^2$.

Rakendus

1. Ava sulud ja lihtsusta $2(x-3)+5x$.
2. Leia avaldise $3x^2-2x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $4(a+2)-3a+5$.

Mõtlemisülesanne

1. Lihtsusta $2x-3y+5x+7y-4$.
2. Ava sulud ja lihtsusta $5-(2x-3)$.
3. Leia avaldise $ab+2a-b$ väärtus, kui $a=3$ ja $b=-4$.
4. Pilet maksab $p$ eurot ja teenustasu on 2 eurot. Kirjuta avaldis 4 pileti koguhinna jaoks.
5. Kirjuta avaldis 4 pileti hinna jaoks, kui 2-eurone teenustasu lisandub iga pileti juurde eraldi.

Vastused

1. $17$, sest $4\cdot5-3=17$.
2. $5$, sest $2\cdot(-1)+7=5$.
3. $8x-5$, sest koondada saab ainult $x$-liikmed.
4. $2y^2+4y$, sest $y^2$ ja $y$ ei ole sarnased liikmed.
5. $2x-6+5x=7x-6$, sest sulgude ees olev 2 korrutab mõlemat liiget.
6. $3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)+1=12+4+1=17$, sest negatiivne arv pannakse astme jaoks sulgudesse.
7. $4a+8-3a+5=a+13$, sest $a$-liikmed ja arvliikmed koondatakse eraldi.
8. $7x+4y-4$, sest $x$-liikmed ja $y$-liikmed koondatakse eraldi.
9. $5-2x+3=8-2x$, sest miinus sulgude ees muudab märgid.
10. $3\cdot(-4)+2\cdot3-(-4)=-12+6+4=-2$.
11. $4p+2$, kui teenustasu lisandub kogu ostule ühe korra.
12. $4(p+2)$, sest iga pileti hinnale lisandub 2 eurot.

Seosed

Avaldised on võrrandite, funktsioonide ja valemite keel. Järgmises peatükis kasutatakse avaldisi juba võrduste ja võrratuste koostamiseks.

Võrrandid ja võrratused

Mõiste

Võrrandis otsime tundmatu väärtust, mis teeb võrduse tõeseks. Võrratus kirjeldab, millal üks avaldis on teisest suurem või väiksem.

Eeldus: oskad lihtsustada avaldisi, töötada negatiivsete arvudega ja kontrollida vastust asendamisega.

Lahendihulk on kõigi lahendite hulk. Näiteks kui võrrandi ainus lahend on $5$, siis lahendihulk on

$$L=\{5\}.$$

Võrrand võib anda ühe arvu; võrratus annab sageli terve piirkonna arvteljel.

Võrratusel võib olla lõpmatult palju lahendeid. Näiteks $x>3$ tähendab kõiki arve, mis on suuremad kui $3$.

Tekstülesande muutmine võrrandiks:

1. vali tundmatu ja ütle, mida see tähendab;
2. kirjuta tekstist avaldised;
3. pane avaldised võrrandisse või võrratusse;
4. lahenda;
5. kontrolli vastust algses olukorras.

Tekstülesandes peab vastus sobima ühiku ja piiranguga: inimeste arv ei saa olla 2,5 ning pikkus ei saa olla negatiivne.

Reegel

Võrrandi mõlemal poolel võib teha sama tehte. Võrratuse puhul pöördub märk, kui korrutada või jagada negatiivse arvuga.

Näiteks:

$$-2x<6.$$

Jagame mõlemad pooled arvuga $-2$. Kuna jagame negatiivse arvuga, pöördub märk:

$$x>-3.$$

Näide

$$3x-5=10$$

$$3x=15$$

$$x=5.$$

Kontroll:

$$3\cdot5-5=15-5=10.$$

Seega

$$L=\{5\}.$$

Võrratuse näide:

$$4-3x\le 13$$

$$-3x\le9$$

$$x\ge-3.$$

Kontrollime lahendihulka prooviväärtustega. Kui $x=-3$, siis

$$4-3\cdot(-3)=13,$$

seega piirpunkt sobib, sest märk on $\le$. Kui $x=0$, siis

$$4-3\cdot0=4\le13,$$

sobib. Kui $x=-4$, siis

$$4-3\cdot(-4)=16,$$

ei sobi, sest $16\le13$ on väär. See kinnitab, et lahendihulk on kõik arvud, mille korral $x\ge-3$.

Tekstülesande mudel

Kinopilet maksab 6 eurot ja broneerimistasu on 2 eurot. Kui palju pileteid saab osta, kui raha on kuni 32 eurot?

Olgu $x$ piletite arv. Kulu on

$$6x+2.$$

Kuna raha võib kuluda kuni 32 eurot, saame võrratuse

$$6x+2\le32.$$

Lahendame:

$$6x\le30,$$

$$x\le5.$$

Kuna piletite arv peab olema täisarv ja mitte negatiivne, saab osta kuni 5 piletit.

Tüüpviga

Võrrandi lahend peab sobima algsesse võrrandisse. Kontroll asendamisega aitab vigu leida.

Võrratuse kõige sagedasem viga on märgi pööramata jätmine negatiivsega korrutamisel või jagamisel:

$$-x<4 \quad \Longrightarrow \quad x>-4.$$

Teine tüüpviga on kontrollida võrratust ainult ühe sobiva arvuga. Kui saad $x>-4$, kontrolli ühte arvu lahendihulgast ja ühte väljastpoolt. Siis näed, kas suund on õige.

Kolmas tüüpviga on tekstülesandes unustada piirangud. Kui $x$ loendab inimesi või pileteid, siis $x$ peab olema täisarv ja $x\ge0$.

Neljas tüüpviga on piirpunkti valesti kaasata. $x\ge4$ sisaldab arvu $4$, aga $x>4$ ei sisalda.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Võrrandit saab näha tasakaaluna, arvulise kontrollina ja algebraliselt samade tehete tegemisena mõlemal poolel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x+7=15$.
2. Lahenda $5x-3=2x+9$.
3. Lahenda $x+4>10$.
4. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

1. Kontrolli, kas $x=4$ on võrrandi $3x-2=10$ lahend.
2. Lahenda $7-2x<15$ ja kontrolli lahendihulka kahe prooviväärtusega.
3. Tekstülesanne: vihik maksab 2 eurot ja pliiats 1 euro. Kui ostetakse $x$ vihikut ja üks pliiats ning kulub 11 eurot, leia $x$.
4. Tallinna klassiekskursiooni eelarves arvestatakse õpilase kinopiletiks 6 eurot ja joogipudeliks 2 eurot. Kui kulus 26 eurot ning osteti $x$ piletit ja üks joogipudel, leia $x$.

Mõtlemisülesanne

1. Tekstülesanne: bussipilet maksab 3 eurot. Sul on 20 eurot. Mitu piletit saad kõige rohkem osta?
2. Lahenda $4x+1\ge 2x+9$.
3. Kontrolli, kas $x=-5$ kuulub võrratuse $-2x\le8$ lahendihulka.
4. Lahenda $2x-5<3$ ja otsusta, kas $x=4$ kuulub lahendihulka.

Vastused

1. $x=4$, $L=\{4\}$.
2. $3x=12$, seega $x=4$ ja $L=\{4\}$.
3. $x>6$.
4. $x\ge-4$, sest negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk pöördub.
5. Jah, sest $3\cdot4-2=10$.
6. $-2x<8$, seega $x>-4$. Näiteks $x=0$ sobib: $7<15$; $x=-5$ ei sobi: $17<15$ on väär.
7. $2x+1=11$, seega $x=5$; vastus sobib, sest vihikute arv on täisarv.
8. $6x+2=26$, seega $x=4$; vastus sobib, sest piletite arv on täisarv.
9. $3x\le20$, seega $x\le\frac{20}{3}$. Kõige rohkem saab osta 6 piletit, sest 6 piletit maksab 18 eurot ja 7 piletit maksaks 21 eurot.
10. $2x\ge8$, seega $x\ge4$; kontrolliks $x=4$ teeb pooled võrdseks.
11. Ei. $-2\cdot(-5)=10$ ja $10\le8$ on väär.
12. $2x<8$, seega $x<4$. Arv $4$ ei kuulu lahendihulka, sest märk on range.

Seosed

Võrrandid on tekstülesannete, funktsioonide nullkohtade ja geomeetriliste mudelite tööriist. Järgmistes algebra peatükkides lahendatakse neid avaldiste teisendamise, hulkliikmete ja tegurdamise abil.

Hulkliikmed ja tegurdamine

Mõiste

Hulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises

$$3x^2-5x+7$$

on kolm liiget: $3x^2$, $-5x$ ja $7$. Liikme ees olev arv on kordaja; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.

Eeldus: oskad avada sulge, koondada sarnaseid liikmeid ja kasutada astmete põhireegleid.

Hulkliikme väärtuse leidmiseks asenda muutuja etteantud arvuga. Kui $P(x)=3x^2-5x+7$, siis

$$P(-2)=3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+7=29.$$

Tegurdamine tähendab avaldise kirjutamist korrutisena. See on sulgude avamise vastassuunaline võte.

Tegurdamine ei muuda avaldise väärtust, vaid kuju: sama avaldis kirjutatakse nii, et tegurid oleksid nähtavad.

Põhitehted

Hulkliikmete liitmisel ja lahutamisel ava sulud ning koonda ainult sarnased liikmed:

$$\begin{aligned} (3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)&=4x^2+3x-3,\\ (3x^2-2x+1)-(x^2+5x-4)&=2x^2-7x+5. \end{aligned}$$

Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.

Üksliikmega korrutamisel korruta sellega hulkliikme iga liige:

$$3x(2x^2-x+4)=6x^3-3x^2+12x.$$

Hulkliikme jagamisel üksliikmega jaga iga liige eraldi. Jagaja ei tohi olla null:

$$\frac{12x^3-8x^2+4x}{4x}=3x^2-2x+1,\qquad x\ne0.$$

Kahe hulkliikme korrutamisel korruta esimese hulkliikme iga liige teise iga liikmega ning koonda tulemus:

$$\begin{aligned} (x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\ &=x^2-x-6. \end{aligned}$$

Abivalemid

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Korrutamisel kasutatakse samu valemeid teises suunas. Näiteks

$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$

Tegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Tegurdamise valik

Alusta tegurdamisel sellest järjekorrast:

1. Kas kõigil liikmetel on ühine tegur?
2. Kas avaldis sobib mõne abivalemiga?

Valikupuu tabelina:

Pärast tegurdamist kontrolli korrutades, kas saad algse avaldise tagasi.

Ühine tegur:

$$6x^2+9x=3x(2x+3).$$

Näide

Lihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel $x=2$:

$$\begin{aligned} 2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\ &=x^2+10x. \end{aligned}$$

Algne avaldis annab $x=2$ korral $24, lihtsustatud avaldis samuti $4+20=24$.

Jagamise näide:

$$\frac{15x^3+10x^2-5x}{5x}=3x^2+2x-1,\qquad x\ne0.$$

Tegurdamise näide:

$$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5).$$

Täisruudu näide:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Abivalemi äratundmine:

$$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5).$$

Täisruudu kontroll:

$$4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x+3)^2.$$

Vastus: lihtsustatud avaldis on $x^2+10x$, jagatis $3x^2+2x-1$ ning tegurdatud kujud $(x-5)(x+5)$, $(x-5)^2`, `$(3x-5)(3x+5) ja $(2x+3)^2$.

Tüüpviga

$$(a+b)^2\ne a^2+b^2.$$

Keskmine liige $2ab$ ei tohi kaduda.

Teine tüüpviga on muuta miinusmärgiga sulgude avamisel ainult esimese liikme märki:

$$5x-(2x-3)=5x-2x+3=3x+3.$$

Kolmas tüüpviga on jagada üksliikmega ainult hulkliikme esimene liige. Jagada tuleb iga liige.

Neljas tüüpviga on ühise teguri välja võtmisel mõni liige vahele jätta. Näiteks

$$4x^2+8x=4x(x+2),$$

mitte $4x(x)+8x$.

Viies tüüpviga on ruutude vahe valemit kasutada plussmärgiga:

$$x^2+25$$

ei tegurdu reaalarvudes kujule $(x-5)(x+5), sest see annaks $x^2-25$.

Pärast tegurdamist korruta tegurid kontrolliks lahti. Kui sa ei saa algset avaldist tagasi, on tegurdamises viga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Nimeta hulkliikme $4x^2-3x+8$ liikmed ja nende kordajad.
2. Arvuta $2x^2-3x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-5)$.
4. Korruta $3x(2x^2-x+4)$.

Rakendus

1. Jaga $(12x^3-8x^2+4x):(4x)$, kus $x\ne0$.
2. Korruta $(x+4)(x-2)$.
3. Ava sulud abivalemiga: $(x-5)^2$.
4. Tegurda $5x^2+10x$.

Mõtlemisülesanne

1. Tegurda $9x^2-1$.
2. Tegurda $x^2-14x+49$.
3. Ristküliku küljed on $x+2$ ja $x+5$. Avalda selle pindala hulkliikmena.
4. Selgita valemi $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ geomeetrilist tähendust ruudu pindalade abil.

Vastused

1. Liikmed on $4x^2$, $-3x$ ja $8$; kordajad on vastavalt 4, -3 ja 8.
2. $2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+1=15$.
3. $3x^2-2x+1-x^2-4x+5=2x^2-6x+6$.
4. $6x^3-3x^2+12x$.
5. $3x^2-2x+1$, sest iga liige jagatakse $4x$-ga.
6. $x^2+2x-8$.
7. $x^2-10x+25$.
8. $5x(x+2)$, sest ühine tegur on $5x$.
9. $(3x-1)(3x+1)$, sest see on ruutude vahe.
10. $(x-7)^2$, sest avaldis on täisruutkolmliige.
11. $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$.
12. Küljega $a+b$ ruut jaguneb ruuduks pindalaga $a^2$, ruuduks pindalaga $b^2$ ja kaheks ristkülikuks pindalaga $ab$.

Seosed

Hulkliikmete põhitehted ja abivalemid valmistavad ette 9. klassi ruutvõrrandi ning ruutfunktsiooni. Üldise ruutkolmliikme tegurdamine ja nullkorrutise abil võrrandi lahendamine kuuluvad järgmisse õpitee ossa.

Ruutvõrrand

Mõiste

Ruutvõrrandi üldkuju on

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: oskad võrrandeid lahendada, kasutada korrutamise abivalemeid, tuua ühise teguri sulgude ette ja rakendada nullkorrutise reeglit.

Kui mõni liige puudub, on selle kordaja 0. Näiteks võrrandis $2x^2-8=0$ on $a=2$, $b=0$, $c=-8$.

Sama ruutmudelit saab vaadata kolmel kujul: ruutavaldis $ax^2+bx+c$ on arvutuskuju, ruutvõrrand $ax^2+bx+c=0$ küsib nullkohti ja ruutfunktsioon $f(x)=ax^2+bx+c$ näitab neid graafikul.

Lahendivalem

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Diskriminant:

$$D=b^2-4ac.$$

Diskriminant ütleb, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on:

Miks lahendivalem töötab?

Lahendivalem tuleb täisruudu eraldamisest. Eesmärk on teisendada võrrandit nii, et lõpuks jääks vasakule poole ainult $x=...$.

Selleks muudame alguses liikmed $ax^2$ ja $bx$ täisruuduks. Idee on lihtne: liidame ja lahutame sama lisaliikme, et võrrandi väärtus ei muutuks, aga tekiks tuttav ruudu valem.

Alustame üldkujust:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Kuna $a\ne0$, jagame võrrandi kõik liikmed arvuga $a$:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$

Nüüd liidame ja lahutame vasakul poolel sama lisaliikme $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Võrrand ei muutu, sest lisame kokku nulli:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Nüüd kirjutame esimesed kolm liiget täisruuduna:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Viime ülejäänud liikmed paremale poole:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}.$$

Parema poole võib kirjutada ühise nimetajaga:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

Võtame ruutjuure. Ruutjuurel on kaks märki:

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Viime liikme $\frac{b}{2a}$ teisele poole:

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

See ongi ruutvõrrandi lahendivalem.

Miks täisruudu samm töötab? Korrutamise abivalem ütleb:

$$(x+p)^2=x^2+2px+p^2.$$

Kui $p=\frac{b}{2a}$, siis

$$2px=2\cdot\frac{b}{2a}x=\frac{b}{a}x.$$

Seepärast ongi

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2.$$

Näide

$$x^2-5x+6=0$$

Tegurdame:

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Lahendid on $x=2$ ja $x=3$.

Lahendivalemiga:

$$2x^2+3x-2=0.$$

Siin $a=2$, $b=3$, $c=-2$.

$$D=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25.$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-3\pm5}{4}.$$

Seega

$$x_1=\frac12,\qquad x_2=-2.$$

Kui

$$x^2+4x+4=0,$$

siis

$$D=4^2-4\cdot1\cdot4=0,$$

ja võrrandil on üks kahekordne lahend:

$$x=\frac{-4}{2}=-2.$$

Vastus: esimese võrrandi lahendid on 2 ja 3, teise lahendid $\frac12$ ja -2, kolmandal on kahekordne lahend -2.

Tüüpviga

Kui korrutis on null, siis vähemalt üks tegur on null. See reegel ei kehti summa kohta.

Teine tüüpviga on diskriminandi märgi eiramine. Kui $D<0$, siis ruutjuure all on negatiivne arv ja reaalarvulisi lahendeid ei ole.

Kolmas tüüpviga on koefitsiendid valesti lugeda. Enne valemi kasutamist kirjuta võrrand üldkujule $ax^2+bx+c=0$ ja kanna märgid kaasa.

Neljas tüüpviga on ruutjuure võtmisel unustada kaks võimalust: $\sqrt{9}=3$, aga võrrandist $x^2=9$ tuleb $x=\pm3$.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Ruutvõrrandit saab lahendada tegurdamisega, täisruudu eraldamisega või valemiga. Graafikul on samad lahendid nullkohad.

Kui jäid kinni

Korda enne lineaarvõrrandi lahendamist, tegurdamist ja nullkorrutise reeglit. Vaata näitest, kuidas kordajad $a$, $b$, $c$ kõigepealt kirja pannakse. Alusta harjutustest 1 ja 2; kui need on kindlad, kasuta lahendivalemit ülesandes 4.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda tegurdamisega $x^2-7x+12=0$.
2. Leia diskriminant võrrandil $x^2-6x+9=0$.

Rakendus

1. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil $x^2+1=0$?
2. Lahenda valemiga $x^2+x-6=0$.

Mõtlemisülesanne

1. Mida tähendab $D=0$ ruutfunktsiooni graafikul?
2. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil $x^2-4x+4=0$?
3. Lahenda $2x^2-8=0$.
4. Kirjuta võrrandi $3x^2-12x=0$ kordajad $a$, $b$, $c$ ja lahenda tegurdamisega.

Vastused

1. $(x-3)(x-4)=0$, seega $x=3$ või $x=4$; kontrolliks teeb kumbki tegur ühe lahendi korral nulliks.
2. $D=36-36=0$, seega on üks kahekordne lahend.
3. Mitte ühtegi reaalarvulist lahendit, sest $x^2$ ei saa olla -1.
4. Lahenduskäik: siin $a=1$, $b=1$, $c=-6$, seega $D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$. Siis $x=\frac{-1\pm5}{2}$, seega $x=2$ või $x=-3$.
5. Parabool puutub $x$-telge ühes punktis. Lahenduskäik: $D=0$ tähendab, et ruutjuure osa lahendivalemis on 0 ja kaks lahendit langevad kokku.
6. Üks, sest $x^2-4x+4=(x-2)^2$ ja sama tegur kordub.
7. $2x^2=8$, seega $x^2=4$ ja $x=\pm2$; kontrolliks mõlemal juhul $2x^2=8$.
8. $a=3$, $b=-12$, $c=0$. $3x^2-12x=3x(x-4)=0$, seega $x=0$ või $x=4$.

Seosed

Järgmine peatükk võrdleb täielikke ja mittetäielikke ruutvõrrandeid, kasutab Viète'i seost ning koostab ruutvõrrandi tekstülesandest. Seejärel muutuvad võrrandi lahendid ruutfunktsiooni nullkohtadeks.

Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused

Mõiste

Ruutvõrrand tuleb enne lahendamist viia normaalkujule

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: tunned ruutvõrrandi lahendivalemit, diskriminanti ja nullkorrutise reeglit.

Täielikus ruutvõrrandis on $a,b,c\ne0$. Mittetäielikus ruutvõrrandis on $b=0$, $c=0$ või mõlemad. Võtte valib võrrandi kuju:

Kui jagad normaalkuju kordajaga $a$, saad taandatud ruutvõrrandi $x^2+px+q=0$.

Viète'i seos ütleb selle lahendite kohta

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

See aitab lihtsate täisarvuliste lahendite leidmisel ja vastuse kontrollimisel.

Näide

Ristküliku pikkus on laiusest 2 cm suurem ja pindala on 48 cm². Olgu laius $x$, siis pikkus on $x+2$.

$$x(x+2)=48,$$

$$x^2+2x-48=0.$$

Viète'i järgi peab lahendite summa olema -2 ja korrutis -48. Need tingimused täidavad 6 ja -8. Seega

$$(x-6)(x+8)=0,$$

ning $x=-8$ või $x=6$. Negatiivne pikkus ei sobi. Ristküliku laius on 6 cm ja pikkus 8 cm. Kontroll: $6\cdot8=48$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada alati pikka lahendivalemit. Võrrand $3x^2-12x=0$ laheneb kiiremini kujul $3x(x-4)=0$.

Teine tüüpviga on jätta võrrand normaalkujule viimata. Kordajad $a,b,c$ saab õigesti lugeda alles siis, kui ühel poolel on null.

Kolmas tüüpviga on tekstülesandes võtta vastu kõik algebralised lahendid. Pikkus, aeg või esemete arv peab sobima olukorra tingimustega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $5x^2=0$.
2. Lahenda $2x^2-18=0$.
3. Lahenda $x^2-7x=0$.

Rakendus

1. Vii normaalkujule ja lahenda $x^2+4=5x$.
2. Leia Viète'i seosega võrrandi $x^2-9x+20=0$ lahendid.
3. Kontrolli Viète'i seosega võrrandi $x^2+2x-15=0$ lahendeid 3 ja -5.

Mõtlemisülesanne

1. Kahe järjestikuse positiivse täisarvu korrutis on 72. Leia arvud.
2. Ruudu pindala suureneb külje pikendamisel 3 cm võrra 45 cm² võrra. Leia algne külg.
3. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on 2 ja 7.

Vastused

1. $x=0$.
2. $x^2=9$, seega $x=\pm3$.
3. $x(x-7)=0$, seega $x=0$ või $x=7$.
4. $x^2-5x+4=0$, seega $x=1$ või $x=4$.
5. Arvud 4 ja 5 annavad summa 9 ning korrutise 20; lahendid on 4 ja 5.
6. $3+(-5)=-2$ ja $3\cdot(-5)=-15$, seega lahendid sobivad.
7. $n(n+1)=72, seega $n^2+n-72=0$; positiivsed arvud on 8 ja 9.
8. $(x+3)^2-x^2=45, seega $6x+9=45$ ja $x=6$ cm.
9. $(x-2)(x-7)=0 ehk $x^2-9x+14=0$.

Seosed

Ruutvõrrandi lahendid muutuvad ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Tekstülesandes lisandub alati viimane samm: tõlgenda lahendeid algse olukorra järgi ja jäta sobimatu väärtus kõrvale.

Murdavaldised

Mõiste

Murdavaldis on avaldis, mille nimetajas on muutuja, näiteks

$$\frac{x+1}{x-3}.$$

Nimetaja ei tohi olla null.

Eeldus: oskad harilike murdudega arvutada, tegurdada ja lahendada lihtsaid võrrandeid, millega leitakse nimetaja nullkohad.

Määramispiirkond näitab, milliste muutujaväärtuste korral avaldis on defineeritud. Murdavaldise puhul tuleb välistada kõik väärtused, mis teevad nimetaja nulliks.

Näiteks avaldises

$$\frac{x+1}{x-3}$$

on keelatud väärtus $x=3$, sest siis nimetaja oleks null.

Reeglid

1. Leia keelatud väärtused algse nimetaja järgi.
2. Tegurda lugeja ja nimetaja.
3. Taanda ainult ühiseid tegureid.
4. Liitmisel või lahutamisel vii murdavaldised ühisele nimetajale.

Keelatud väärtused jäävad vastuse juurde ka siis, kui neid põhjustanud tegur hiljem taandub.

Lihtsustatud kuju on algse avaldisega samaväärne ainult algse määramispiirkonna sees.

Kui nimetaja on ruutavaldis, leia keelatud väärtused tegurdamise või ruutvõrrandi abil.

Hea tööjärjekord:

Näide

Avaldis

$$\frac{x^2-9}{x-3}$$

lihtsustub tegurdamise abil:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,$$

aga ainult tingimusel $x\ne3$.

Määramispiirkond enne taandamist:

$$\frac{x^2-4}{x^2-2x}.$$

Kõigepealt nimetaja:

$$x^2-2x=x(x-2).$$

Seega $x\ne0$ ja $x\ne2$. Nüüd tegurdame kogu avaldise:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}.$$

Taandame ühise teguri $x-2$:

$$\frac{x+2}{x},$$

aga tingimused jäävad alles:

$$x\ne0,\qquad x\ne2.$$

Kuigi lihtsustatud avaldises $\frac{x+2}{x}$ ei paista enam tegurit $x-2$, ei tohi $x=2$ algses avaldises lubatud olla.

Ühise nimetajaga liitmine:

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}.$$

Ühine nimetaja on $x(x+1)$, kus $x\ne0$ ja $x\ne-1$.

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\frac{3x}{x(x+1)}.$$

$$=\frac{2x+2+3x}{x(x+1)}=\frac{5x+2}{x(x+1)}.$$

Vastus: lihtsustatud avaldised on $x+3$, $\frac{x+2}{x}$ ja $\frac{5x+2}{x(x+1)}$; keelatud väärtused jäävad algsete nimetajate järgi.

Tüüpviga

Teguri taandamisel ei tohi unustada keelatud väärtust. Algne nimetaja määrab, millal avaldis pole defineeritud.

Teine tüüpviga on taandada liikmeid, mis ei ole tegurid:

$$\frac{x+2}{x}\ne2.$$

Taandada võib korrutustegureid, mitte summa liikmeid.

Kolmas tüüpviga on määramispiirkond leida pärast taandamist. Näiteks

$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$$

tingimusel $x\ne1$. Kui vaadata ainult lõppu $x+1$, jääb keelatud väärtus märkamatuks.

Neljas tüüpviga on ühise nimetaja leidmisel unustada, et ka uus ühine nimetaja annab tingimused algsete nimetajate järgi. Avaldises

$$\frac1{x-2}+\frac1{x+3}$$

on tingimused $x\ne2$ ja $x\ne-3$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millise $x$ korral pole $\frac{5}{x+2}$ defineeritud?
2. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x-2}$.
3. Miks ei saa avaldises $\frac{x+2}{x}$ taandada lugejast ainult $x$-liiget ära?
4. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-9}$.

Rakendus

1. Liida $\frac1x+\frac2{x+3}$.
2. Lihtsusta $\frac{x^2-16}{x-4}$ ja kirjuta tingimus.
3. Lihtsusta $\frac{x^2-3x}{x}$ ja kirjuta tingimus.

Mõtlemisülesanne

1. Leia määramispiirkond avaldisele $\frac{x+5}{x^2+x-6}$.
2. Liida $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}$ ja kirjuta tingimused.
3. Selgita, miks $\frac{(x-2)(x+4)}{x-2}$ ei ole defineeritud väärtusel $x=2$, kuigi pärast taandamist jääb $x+4$.
4. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-5x+6}$.

Vastused

1. Keelatud väärtus on $x=-2$, seega määramispiirkonnas peab $x\ne-2$.
2. $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne2$.
3. $x+2$ ei ole korrutis, kus $x$ oleks eraldi tegur.
4. Kuna $x^2-9=(x-3)(x+3)$, siis $x\ne3$ ja $x\ne-3$.
5. $\frac{x+3+2x}{x(x+3)}=\frac{3x+3}{x(x+3)}$, kus $x\ne0,-3$; tingimus tuleb algsetest nimetajatest $x$ ja $x+3$.
6. $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne4$.
7. $\frac{x(x-3)}{x}=x-3$, kus $x\ne0$; taandada tohib alles pärast selle tingimuse märkimist.
8. $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, seega $x\ne-3$ ja $x\ne2$.
9. $\frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}$, kus $x\ne1,-1$; need on algsete nimetajate nullkohad.
10. Algse avaldise nimetaja oleks siis $x-2=0$. Nulliga jagada ei saa; taandamine ei muuda algse avaldise keelatud väärtust.
11. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, seega $x\ne2$ ja $x\ne3$.

Seosed

Murdavaldised kasutavad samu ideid nagu arvumurrud, kuid lisavad määramispiirkonna. Järgmine peatükk rakendab neid tingimusi korrutamisel, jagamisel, astendamisel ning mitme tehtega ratsionaalavaldistes.

Ratsionaalavaldiste tehted

Mõiste

Algebraliste murdude tehted kasutavad samu põhimõtteid nagu arvumurrud. Erinevus on selles, et enne arvutamist tuleb leida muutujate keelatud väärtused ja avaldised sageli tegurdada.

Eeldus: oskad leida murdavaldise määramispiirkonda, tegurdada ning arvutada harilike murdudega.

Põhireeglid:

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,$$

$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},$$

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Jagamisel ei tohi jagaja olla null. Kõik tingimused leitakse algavaldise järgi enne taandamist.

Hea tööjärjekord on: tingimused, tegurdamine, tehe, taandamine, kontroll.

Näide

Lihtsustame

$$\frac{x^2-9}{x^2-x-6}:\frac{x+3}{x-3}.$$

Algavaldise tingimused: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne0$, seega $x\ne3,-2$. Jagaja \frac{x+3}{x-3} ei tohi olla null, mistõttu ka $x\ne-3$.

Tegurdame ja pöörame jagaja:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}\cdot\frac{x-3}{x+3} =\frac{x-3}{x+2}.$$

Vastus: $\frac{x-3}{x+2}$, kus $x\ne-3,-2,3$. Taandunud tegurid ei kaota algseid tingimusi.

Tüüpviga

Jagamisel pööratakse teine murd, mitte esimene. Teine tüüpviga on liita lugejad ja nimetajad eraldi: $\frac ab+\frac cd\ne\frac{a+c}{b+d}$.

Kolmas tüüpviga on hakata tegureid taandama üle liitmis- või lahutamismärgi. Enne taandamist peab lugeja ja nimetaja olema korrutiste kujul.

Neljas tüüpviga on unustada jagaja nulliks muutvad väärtused. Need võivad tulla jagaja lugejast, sest nullmurruga jagada ei saa.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Korruta $\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x+1}$.
2. Jaga $\frac{x}{5}:\frac{2x}{15}$.
3. Astenda $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2$.

Rakendus

1. Liida $\frac2x+\frac1{x-2}$ ja kirjuta tingimused.
2. Lahuta $\frac3{x+1}-\frac1{x-1}$.
3. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}$.

Mõtlemisülesanne

1. Lihtsusta $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}:\frac{x+1}{x-1}$ ja säilita kõik tingimused.
2. Selgita, miks jagamisel võib tekkida keelatud väärtus ka jagaja lugejast.
3. Lihtsusta $\frac1x+\frac1{x+1}-\frac1{x(x+1)}$.

Vastused

Kontroll: iga vastuse tingimused peavad pärinema algavaldise nimetajatest ja jagajast.

1. $\frac{2x}{x+1}$, kus $x\ne-1$.
2. $\frac{x}{5}\cdot\frac{15}{2x}=\frac32$, kus $x\ne0$.
3. $\frac{x^2}{(x-1)^2}$, kus $x\ne1$.
4. $\frac{3x-4}{x(x-2)}$, kus $x\ne0,2$.
5. $\frac{3(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-4}{x^2-1}$, kus $x\ne-1,1$.
6. $\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}=\frac{x-2}{x}$, kus $x\ne0,-2$.
7. Tulemuseks on 1, kuid algavaldis nõuab $x\ne-1,1$.
8. Kui jagaja lugeja on null, on jagaja ise null; nulliga jagada ei saa.
9. $\frac{x+1+x-1}{x(x+1)}=\frac{2}{x+1}$, kus $x\ne0,-1$.

Seosed

Ratsionaalavaldiste lihtsustamine ühendab murdude reeglid, tegurdamise ja määramispiirkonna. Sama oskus tuleb tagasi valemite teisendamisel ning ratsionaalvõrrandites.

Murd- ja juurvõrrandid

Mõiste

Murdvõrrandis esineb tundmatu nimetajas. Juurvõrrandis esineb tundmatu juure all. Mõlemas tuleb enne teisendamist kirja panna, millised väärtused on lubatud.

Eeldus: oskad taandada ratsionaalavaldisi, lahendada lineaar- ja ruutvõrrandeid ning kontrollida juuravaldise määramispiirkonda.

Murdvõrrandi tööjärjekord:

1. kirjuta nimetajate nullkohad keelatud väärtustena;
2. korruta võrrand nimetajate vähima ühiskordsega;
3. lahenda saadud võrrand;
4. kontrolli, et lahend ei oleks keelatud.

Juurvõrrandi tööjärjekord:

1. eralda juuravaldis;
2. kirjuta vajalikud märgi- ja määramistingimused;
3. astenda võrrandi mõlemad pooled;
4. lahenda ja kontrolli lahendeid algvõrrandis.

Astendamine ei ole alati samaväärne teisendus: ruutu tõstmisel võivad tekkida võõrlahendid. Seetõttu on algvõrrandi kontroll kohustuslik.

Näide

Lahendame murdvõrrandi

$$\frac{x+1}{x-2}=2.$$

Tingimus on $x\ne2$. Korrutame võrrandi arvuga $x-2$:

$$x+1=2x-4,$$

$$x=5.$$

Kontroll: $5\ne2$ ja $\frac{5+1}{5-2}=2$.

Lahendame juurvõrrandi

$$\sqrt{x+1}=x-1.$$

Parema poole tõttu peab $x\ge1$. Ruutu tõstes saame

$$x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1,$$

$$x(x-3)=0.$$

Kandidaadid on $0$ ja $3$, kuid tingimusele ning algvõrrandile vastab ainult $x=3$.

Vastus: murdvõrrandi lahend on $5$ ja juurvõrrandi lahend $3$.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetaja nullkoht alles pärast lahendamist üles otsida. Keelatud väärtus kirjuta enne nimetajate eemaldamist.

Teine tüüpviga on nimetajaga korrutamisel mõni liige vahele jätta. Korrutaja rakendub võrrandi mõlemale poolele ja igale liikmele.

Kolmas tüüpviga on lugeda ruutu tõstmisel saadud kõik juured vastuseks. Kontroll algvõrrandis eemaldab võõrlahendid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $\frac{x}{x-1}=2$.
2. Lahenda $sqrt{x}=5$.
3. Nimeta võrrandi $\frac2{x+3}=1$ keelatud väärtus.

Rakendus

1. Lahenda $\frac3{x} + 1=4$.
2. Lahenda $sqrt{x+4}=x-2$.
3. Ristküliku pikkus on $sqrt{x+9}$ meetrit ja see võrdub 4 meetriga. Leia $x$.

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei sobi $x=-1$ võrrandi $sqrt{x+1}=x+1$ ainsaks kontrollimata vastuseks?
2. Lahenda $\frac{x+2}{x}=3$ ning selgita, miks $x=0$ ei saa olla lahend.
3. Too näide teisendusest, mis võib juurvõrrandisse võõrlahendi tekitada.

Vastused

1. $x=2$; tingimus $x\ne1$ on täidetud.
2. $x=25$, sest peajuur võrdub 5-ga.
3. $x\ne-3$, sest nimetaja ei tohi olla null.
4. $x=1$; tingimus $x\ne0$ ja algvõrrand on täidetud.
5. $x=5$. Ruutu tõstmisel saadakse kandidaadid $0$ ja $5$, kuid algvõrrandisse sobib ainult 5.
6. $x=7$, sest $x+9=16$ ning $7+9\ge0$.
7. Tegelikult sobib $x=-1$ algvõrrandisse, kuid ühe kandidaadi nägemine ei asenda lahenduskäiku; võrrandi ruutu tõstmine annab ka $x=0$, mis samuti sobib. Lahendid on -1 ja 0.
8. $x=1$; $x=0$ muudaks algvõrrandi nimetaja nulliks.
9. Mõlema poole ruutu tõstmine: vastandmärgiga pooled annavad pärast ruutu sama tulemuse.

Seosed

Murd- ja juurvõrrandid ühendavad määramispiirkonna, avaldiste teisendamise ja ruutvõrrandi. Järgmistes võrratustes tuleb lisaks jälgida avaldise märki tervetel vahemikel.

Lineaarvõrrandisüsteemid

Mõiste

Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.

Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrrandeid, teisendada sirge võrrandit ja lugeda koordinaate.

Enne lahendamist kirjuta, mida $x$ ja $y$ tähistavad ning mis ühikus. Alles siis vali võte.

Võtted:

Võtte valik:

Graafiline lahendus aitab mõista. Ebatäpse joonise korral leia täpne vastus algebra abil.

Lõikepunkt sobib mõlemasse võrrandisse.

Näide

Geomeetriline tähendus

Kahe muutujaga lineaarvõrrand on sirge; süsteemi lahend on sirgete lõikepunkt.

Lõikuvatel sirgetel on üks lahend, paralleelsetel sirgetel lahend puudub ja kokkulangevatel sirgetel lahendeid lõpmata palju.

Süsteemi

lõikepunkti saab leida paremaid pooli võrdsustades:

$$x+1=-x+5$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

Siis $y=2+1=3$; lahend on (2;3).

Asendusvõte

Süsteem

Esimene võrrand annab $y$, seega asendame selle teise võrrandisse:

$$x+(2x+1)=10$$

$$3x+1=10$$

$$x=3.$$

Siis

$$y=2\cdot3+1=7.$$

Lahend on (3;7).

Liitmisvõte

Süsteem

sobib liitmisvõtteks pärast ettevalmistust. Korrutame teise võrrandi arvuga 3, et $y$ kordajad oleksid vastandarvud:

Liidame:

$$8x=36,$$

$$x=4,5.$$

Asendame algsesse võrrandisse:

$$2\cdot4,5-y=6,$$

$$9-y=6,$$

$$y=3.$$

Lahend on (4,5;3).

Vastus: näidete lahendid on (2;3), (3;7) ja (4,5;3).

Tüüpviga

Kui sirged on paralleelsed, ei ole süsteemil lahendit. Kui võrrandid kirjeldavad sama sirget, on lahendeid lõpmata palju.

Teine tüüpviga on leida $x$, aga jätta $y$ arvutamata. Süsteemi lahend on arvupaar, mitte üks arv.

Kolmas tüüpviga on kontrollida lahendit ainult ühes võrrandis.

Neljas tüüpviga on graafikult ligikaudne lõikepunkt lugeda täpseks vastuseks. Kui joonis on ebatäpne, kontrolli vastust algebra abil.

Viies tüüpviga on asendus- või liitmisvõttes muuta ainult ühte poolt. Kui korrutad võrrandit ettevalmistuseks arvuga, korruta kõik liikmed läbi.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda süsteem x+y=8, x-y=2.
2. Mida tähendab graafiliselt lahend (3; 5)?
3. Too näide süsteemist, millel lahend puudub.
4. Lahenda asendusvõttega: $y=x+4$, $x+y=12$.

Rakendus

1. Millal on süsteemil lõpmata palju lahendeid?
2. Lahenda liitmisvõttega: $x+y=9$, $x-y=1$.
3. Lahenda asendusvõttega: $y=3x-2$, $x+y=10$.

Mõtlemisülesanne

1. Kontrolli, kas (2;3) on süsteemi $y=x+1$, $y=-x+5$ lahend.
2. Milline võte sobib hästi süsteemile $2x+y=7$, $y=5-x$? Põhjenda.
3. Too näide süsteemist, millel on lõpmata palju lahendeid.
4. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=10$. Mitu lahendit on?
5. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=12$. Mitu lahendit on?

Vastused

1. $x=5$, $y=3$; kontroll: $5+3=8$ ja $5-3=2$.
2. See on kahe sirge lõikepunkt ja arvupaar, mis sobib mõlemasse võrrandisse.
3. Näiteks $y=x+1$ ja $y=x+3$.
4. $x+(x+4)=12$, seega $x=4$ ja $y=8$; arvupaar (4;8) sobib mõlemasse võrrandisse.
5. Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad sama sirget.
6. Lahenduskäik: liida võrrandid $x+y=9$ ja $x-y=1$, siis $2x=10$ ja $x=5$. Asendades saad $5+y=9$, seega $y=4$.
7. Lahenduskäik: asenda $y=3x-2$ teise võrrandisse: $x+3x-2=10$, seega $x=3$. Siis $y=7$; kontroll: $3+7=10$.
8. Jah, sest arvupaar (2;3) annab mõlemas võrrandis tõese võrduse: $3=2+1$ ja $3=-2+5$.
9. Asendusvõte, sest teine võrrand annab kohe $y=5-x$.
10. Näiteks $y=2x+1$ ja $2y=4x+2$, sest need kirjeldavad sama sirget.
11. Teine võrrand on esimese kahekordne, seega kirjeldavad need sama sirget. Lahendeid on lõpmata palju.
12. Vasak pool on esimese võrrandi kahekordne, aga parem pool peaks siis olema $10$, mitte $12$. Lahend puudub.

Seosed

Süsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.

Võrrandisüsteemide tekstülesanded

Mõiste

Tekstülesandes ei ole süsteem ette antud: see tuleb olukorrast ise koostada. Kahe tundmatu kasutamine sobib siis, kui otsitakse kaht seotud suurust ja tekst annab nende kohta kaks sõltumatut seost.

Eeldus: oskad lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi ning kontrollida arvupaari mõlemas võrrandis.

Tööjärjekord:

1. nimeta tundmatud koos ühikutega;
2. koosta kummagi seose kohta võrrand;
3. lahenda süsteem sobiva võttega;
4. kontrolli arvupaari mõlemas võrrandis;
5. kontrolli, kas arvud sobivad olukorda;
6. kirjuta sõnaline vastus.

Kui tekstis on „kokku”, saad sageli summa võrrandi. Hinna, teepikkuse või tehtud töö seos annab teise võrrandi.

Näide

Koolietendusele müüdi 34 piletit. Täiskasvanu pilet maksis 8 eurot ja õpilase pilet 5 eurot. Pileteid müüdi kokku 218 euro eest. Mitu kummagi hinnaga piletit müüdi?

Olgu $x$ täiskasvanupiletite ja $y$ õpilaspiletite arv. Siis

Korrutame esimese võrrandi arvuga 5 ja lahutame selle teisest:

$$3x=48,\qquad x=16,\qquad y=18.$$

Kontroll: $16+18=34$ ja $8\cdot16+5\cdot18=218$.

Vastus: müüdi 16 täiskasvanupiletit ja 18 õpilaspiletit.

Tüüpviga

Tüüpviga on jätta tundmatute tähendus kirjutamata. Siis võib õige arvupaar saada vale sõnalise vastuse.

Teine viga on koostada kaks sama sisuga võrrandit. Süsteem vajab kahte sõltumatut seost.

Kolmas viga on kontrollida ainult tehteid. Näiteks inimeste arv peab olema mittenegatiivne täisarv ja pikkus peab sobima ülesande tingimustega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kahe arvu summa on 24 ja vahe 6. Tähista arvud ning koosta süsteem.
2. Klassis on kokku 28 õpilast. Tüdrukuid on poistest 4 rohkem. Koosta süsteem.
3. Selgita, miks tuleb tekstülesande lõpus kirjutada ühikuga vastus.

Rakendus

1. Muuseumisse osteti 20 piletit. Täiskasvanupilet maksis 7 eurot ja õpilaspilet 4 eurot, kokku maksti 98 eurot. Leia kummagi liigi piletite arv.
2. Ristküliku ümbermõõt on 30 cm ja pikkus laiusest 3 cm suurem. Leia küljed.
3. Kahe arvu summa on 41. Üks arv on teisest 7 võrra suurem. Leia arvud.

Mõtlemisülesanne

1. Koosta ise piletihindade ülesanne, mille lahend on 12 täiskasvanu- ja 18 õpilaspiletit.
2. Jalgrattur ja jalakäija läbisid kokku 39 km. Jalgrattur läbis jalakäijast kolm korda pikema maa. Koosta süsteem, lahenda ning hinda, kas vastus on mõistlik.
3. Miks ei piisa tekstülesandes alati ainult sellest, et arvupaar rahuldab võrrandeid?

Vastused

1. Näiteks $x+y=24$ ja $x-y=6$; lahend on $x=15$, $y=9$.
2. Kui $t$ on tüdrukute ja $p$ poiste arv, siis $t+p=28$ ning $t-p=4$.
3. Ühik näitab, mida leitud arv olukorras tähendab.
4. Süsteem on $x+y=20$ ja $7x+4y=98$; lahend on 6 täiskasvanu- ning 14 õpilaspiletit.
5. Kui pikkus on $x$ ja laius $y$, siis $x+y=15$ ning $x-y=3$; küljed on 9 cm ja 6 cm.
6. Arvud on 24 ja 17.
7. Näiteks: müüdi 30 piletit hinnaga 8 ja 5 eurot ning saadi 186 eurot.
8. Kui vahemaad on $x$ ja $y$, siis $x+y=39$ ning $x=3y$; jalgrattur läbis 29,25 km ja jalakäija 9,75 km.
9. Lahend peab lisaks sobima olukorra piirangutega, näiteks inimeste arv ei saa olla negatiivne ega murdarvuline.

Seosed

Tekstülesanne on matemaatiline mudel: sõnadest saavad muutujad ja võrrandid, kuid lõpus tuleb tulemus alati algsesse olukorda tagasi tõlgendada.

Võrratused ja vahemikud

Mõiste

Võrratus kirjeldab väärtuste hulka, mitte ainult ühte arvu. Lahendit esitatakse sageli arvteljel või vahemikuna.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrratusi, lugeda arvtelge ning eristada rangeid ja mitterangeid märke.

Reegel

Negatiivse arvuga korrutades või jagades pöördub võrratuse märk:

$$-2x<6 \quad \Rightarrow \quad x>-3.$$

Vahemikud

• $[a;b]$ sisaldab otspunkte.
• $(a;b)$ ei sisalda otspunkte.
• $[a;b)$ sisaldab vasakut, aga mitte paremat otspunkti.
• Lõpmatuse märgi juures kasutatakse alati ümarsulgu, näiteks $(-\infty;3]$.

Märkide tähendus:

Vahemike ühisosa $\cap$ tähendab väärtusi, mis sobivad mõlemasse hulka. Mõtle sellest kui sõnast "ja". Vahemike ühend $\cup$ tähendab väärtusi, mis sobivad vähemalt ühte hulka. Mõtle sellest kui sõnast "või".

Näide

$$3x+1\le10$$

$$3x\le9$$

$$x\le3.$$

Vahemikuna:

$$(-\infty;3].$$

Ühisosa:

$$[1;6]\cap[4;9]=[4;6].$$

Ühend:

$$[1;6]\cup[4;9]=[1;9].$$

Kui vahemikud ei puutu kokku, jääb ühend kaheks osaks:

$$[1;3]\cup[5;7].$$

Kui vahemikel pole ühiseid arve, on ühisosa tühi:

$$[1;3]\cap[5;7]=\varnothing.$$

Vastus: võrratuse lahend on $(-\infty;3]$; ühisosa ja ühend on vastavalt [4;6] ja [1;9].

Tüüpviga

Märgi pööramist unustatakse just siis, kui jagatakse negatiivse kordajaga.

Teine tüüpviga on segi ajada ühend ja ühisosa. Kui ülesanne nõuab korraga mõlema tingimuse täitmist, on vaja ühisosa. Kui piisab vähemalt ühest tingimusest, on vaja ühendit.

Kolmas tüüpviga on otspunkt valesti märkida. $x<4$ annab tühja punkti, $x\le4$ täidetud punkti.

Kui jäid kinni

Korda kõigepealt lineaarvõrrandi lahendamise samme ja arvteljel võrdlemist. Vaata näitest, millal märk pöördub ja kuidas otspunkt vahemikus märgitakse. Alusta harjutustest 1 ja 2, siis kontrolli ühisosa ning ühendit ülesannetes 4 ja 5.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x-5>7$.
2. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

1. Kirjuta vahemikuna “kõik arvud 2-st suuremad ja 5-st väiksemad”.
2. Rattalaenutus maksab 5 eurot ja lisaks 3 eurot iga tunni eest. Eelarve on kuni 23 eurot. Koosta aja $t$ kohta võrratus ja leia võimalik ajavahemik, kui $t\ge0$.

Mõtlemisülesanne

1. Leia $[0;8]\cap[3;10]$.
2. Leia $[0;2]\cup[2;5]$.
3. Leia $(1;6)\cap[4;8]$.
4. Lahenda $5-2x<1$ ja kirjuta vastus vahemikuna.
5. Õpilane väidab, et arv 2 kuulub hulka $(-\infty;2]\cap(2;6)$. Kas väide on õige? Leia ühisosa ja põhjenda.

Vastused

1. $2x>12$, seega $x>6$; vahemikuna $(6;\infty)$, sest 6 ise ei kuulu hulka.
2. Jagades negatiivse arvuga -3 pöördub märk: $x\ge-4$; vahemikuna $[-4;\infty)$.
3. $(2;5), sest mõlemad märgid on ranged ja otspunktid ei kuulu hulka.
4. $5+3t\le23$, seega $t\le6$. Koos tingimusega $t\ge0$ on võimalik aeg $[0;6]$ tundi.
5. $[3;8]$, sest need arvud kuuluvad mõlemasse vahemikku.
6. $[0;5]$, sest vahemikud puutuvad punktis 2 kokku ja ühend jääb üheks lõiguks.
7. $[4;6)$; 4 kuulub mõlemasse, 6 ei kuulu esimesse vahemikku.
8. $-2x<-4$, jagamisel -2-ga pöördub märk, seega $x>2$; vahemikuna $(2;\infty)$.
9. Väide ei ole õige. Ühisosa on $\varnothing$, sest arv $2$ kuulub esimesse, aga mitte teise vahemikku.

Seosed

Võrratused ja vahemikud on vajalikud funktsioonide määramispiirkonna, graafikute piirkondade ja analüüsi piirangute kirjeldamisel. Järgmised õpiteekonna moodulid kasutavad neid oskusi teemasid kokku sidudes.

Ruut- ja ratsionaalvõrratused

Mõiste

Ruut- või ratsionaalvõrratus küsib, millistes arvtelje osades on avaldis positiivne, negatiivne või null. Üksiku lahendi asemel saadakse tavaliselt vahemik või vahemike ühend.

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, tegurdada lihtsat ruutkolmliiget, määrata ratsionaalavaldise keelatud väärtusi ning kasutada vahemikke.

Märgiskeemi meetod:

1. vii kõik liikmed ühele poole;
2. tegurda lugeja ja nimetaja, kui see on võimalik;
3. leia nullkohad ning nimetaja keelatud väärtused;
4. jaga arvtelg nende kriitiliste punktidega vahemikeks;
5. määra igal vahemikul avaldise märk;
6. vali võrratusele sobivad vahemikud ja kontrolli otspunkte.

Ruutvõrratust saab tõlgendada ka parabooli kaudu: $f(x)\le0$ küsib, kus graafik asub $x$-teljel või sellest allpool.

Näide

Lahendame

$$x^2-x-6\le0.$$

Tegurdame:

$$(x-3)(x+2)\le0.$$

Nullkohad on $-2$ ja $3$. Ülespoole avanev parabool on nullkohtade vahel mittepositiivne, seega

$$x\in[-2;3].$$

Lahendame ratsionaalvõrratuse

$$\frac{x-1}{x+2}>0.$$

Kriitilised punktid on $x=-2$ ja $x=1$. Punkt $-2$ on keelatud, punktis 1 on avaldis null. Avaldis on positiivne vahemikes

$$(-\infty;-2)\cup(1;\infty).$$

Vastus: esimese võrratuse lahend on $[-2;3]$, teise lahend $(-\infty;-2)\cup(1;\infty)$.

Tüüpviga

Tüüpviga on korrutada ratsionaalvõrratust tundmatut märki sisaldava nimetajaga. Kui nimetaja märk pole teada, ei tea sa, kas võrratuse märk peab pöörduma. Märgiskeem väldib seda viga.

Teine tüüpviga on lisada nimetaja nullkoht vastusesse. Keelatud väärtus ei kuulu lahendisse ka mitterange võrratuse korral.

Kolmas tüüpviga on jätta ruutvõrratuse nullkohad vastusest välja, kuigi märk on $le$ või $ge$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $x^2-9<0$.
2. Lahenda $x^2-4x\ge0$.
3. Milline väärtus on avaldises $\frac{x+1}{x-5}$ keelatud?

Rakendus

1. Lahenda $\frac{x+1}{x-2}\le0$.
2. Palli kõrgus on $h(t)=-t^2+6t$. Millal on $h(t)\ge5$?
3. Lahenda $(x-2)^2>0$.

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei tohi võrratust $\frac{x-1}{x+2}>0$ ilma nimetaja märki uurimata arvuga $x+2$ korrutada?
2. Võrdle võrratuste $x^2-1<0$ ja $x^2-1>0$ lahendeid graafiku abil.
3. Lahenda $\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\ge0$ märgiskeemi abil.

Vastused

1. $(-3;3)$, sest parabool on nullkohtade vahel negatiivne.
2. $(-\infty;0]\cup[4;\infty)$, sest tegurite korrutis on väljaspool nullkohti mittenegatiivne.
3. $x\ne5$.
4. $[-1;2)$; lugeja null $-1$ kuulub lahendisse, nimetaja null 2 ei kuulu.
5. $t\in[1;5]$, sest $-t^2+6t\ge5$ taandub $(t-1)(t-5)\le0$.
6. $(-\infty;2)\cup(2;\infty)$; ruut on positiivne kõikjal peale punkti 2.
7. Nimetaja $x+2$ võib olla positiivne või negatiivne; negatiivsega korrutades peaks märk pöörduma.
8. Esimese lahend on $(-1;1)$, teise $(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$; graafik on vastavalt teljest all- või ülalpool.
9. $[-1;2)\cup[3;\infty)$; punkt 2 on keelatud, nullkohad -1 ja 3 kuuluvad lahendisse.

Seosed

Märgiskeem seob algebra funktsiooni graafikuga. Funktsioonide teisenduste peatükis saab sama küsimust vaadelda kui graafiku asukohta telje või teise graafiku suhtes.

Koordinaatteljestik

Mõiste

Punkti asukohta tasandil kirjeldab paar (x; y). Esimene arv näitab liikumist horisontaalselt, teine vertikaalselt.

Selles materjalis eraldab koordinaate semikoolon, sest koma kasutatakse kümnendkohana.

Eeldus: oskad kasutada negatiivseid arve ja lugeda arvteljel paremat, vasakut, üles- ja allasuunda.

Horisontaalne telg on $x$-telg. Vertikaalne telg on $y$-telg. Telgede lõikepunkt on alguspunkt (0;0).

Punkti lugemise järjekord:

1. alusta alguspunktist;
2. liigu $x$ järgi paremale või vasakule;
3. liigu $y$ järgi üles või alla.

Märgid ütlevad suuna:

Koordinaatide märgid veerandites:

Kui üks koordinaat on null, asub punkt teljel:

Näide

Punkt (3; -2) asub 3 ühikut paremal ja 2 ühikut allpool alguspunkti.

Punkt (-4; 2) asub 4 ühikut vasakul ja 2 ühikut üleval. See on II veerandis.

Punkt (0; -5) ei ole üheski veerandis, sest ta asub $y$-teljel.

Punktide lugemisel kontrolli alati järjekorda:

$$P(x;y).$$

Esimene arv on horisontaalne liikumine, teine vertikaalne liikumine.

Funktsiooni graafikul saab sama punktipaar tähendada sisendit ja väljundit: $x$ on sisend, $y$ on sellele vastav väärtus.

Tõlgendus: funktsiooni punkt (x;y) tähendab seost $y=f(x)$: vali sisend $x$, arvuta väljund $y$.

Kui seos on antud tabeli, valemi ja graafikuna, peavad samad sisendid andma samad väljundid.

Tüüpviga

Koordinaatide järjekord on oluline. Punkt (3; -2) ei ole sama mis (-2; 3).

Teine tüüpviga on vahetada telgede suunad: positiivne $x$ liigub paremale ja positiivne $y$ liigub üles.

Kolmas tüüpviga on arvata, et teljel olev punkt kuulub mõnda veerandisse. Veerandid on telgede vahelised piirkonnad; teljed ise veerandisse ei kuulu.

Neljas tüüpviga on graafikul punktid ühendada enne, kui on selge, mida punktid tähendavad. Mõnikord on mõistlik ainult üksikud punktid, mõnikord pidev joon.

Teine seletusviis

Koordinaat on teejuhis: esimene arv ütleb liikumise paremale või vasakule, teine üles või alla.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millises veerandis asub punkt (4;5)?
2. Millises veerandis asub punkt (-4;5)?
3. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini (-3;-2).
4. Mis on punkti (0;6) eriline omadus?

Rakendus

1. Kas punktid (2;-1) ja (-1;2) on samad?
2. Millises veerandis asub punkt (-6;-1)?
3. Millises veerandis asub punkt (7;-3)?

Mõtlemisülesanne

1. Kus asub punkt (8;0)?
2. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini (5;-4).
3. Kirjuta üks punkt igast veerandist.
4. Kui punkt (4;9) on funktsiooni graafikul, siis mis on sisend ja mis on väljund?

Vastused

1. I veerandis, sest mõlemad koordinaadid on positiivsed.
2. II veerandis, sest $x$ on negatiivne ja $y$ positiivne.
3. 3 ühikut vasakule ja 2 ühikut alla; esimene arv juhib horisontaalselt, teine vertikaalselt.
4. See asub $y$-teljel, sest $x=0$.
5. Ei. Punktis (2;-1) on $x=2$ ja $y=-1$; punktis (-1;2) on need vastupidi.
6. III veerandis, sest mõlemad koordinaadid on negatiivsed.
7. IV veerandis, sest $x$ on positiivne ja $y$ negatiivne.
8. $x$-teljel, sest $y=0$.
9. 5 ühikut paremale ja 4 ühikut alla; kontrolli alati järjekorda (x;y).
10. Näiteks (1;1), (-1;1), (-1;-1), (1;-1).
11. Sisend on $x=4$ ja väljund on $y=9$, sest punkt kirjutatakse kujul (x;y).

Seosed

Koordinaatteljestik on funktsioonide, vektorite, analüütilise geomeetria ja andmegraafikute alus. Järgmine funktsiooni mõiste peatükk kasutab punkte sisendi ja väljundi seose näitamiseks.

Funktsioon kui sisendi ja väljundi seos

Mõiste

Funktsioon on reegel, mis annab igale lubatud sisendile täpselt ühe väljundi. Kui sisend on $x$ ja funktsiooni nimi $f$, kirjutame väljundi kujul

$$y=f(x).$$

Eeldus: oskad avaldisse arvu asendada, tabelit lugeda ning punkti $(x;y)$ koordinaattasandile kanda.

Tähed on nimed. Kirjutised $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ võivad tähistada eri funktsioone. Ka sisendi nimi võib muutuda: valemis $h(t)=2t+3$ on funktsiooni nimi $h$ ja sisend $t$. Funktsiooni mõte jääb samaks.

Sama funktsiooni saab esitada neljal viisil:

• sõnadega: mida sisendiga tehakse;
• tabelina: valitud sisendite ja väljundite paarid;
• valemina: näiteks $f(x)=2x+1$;
• graafikuna: punktid $(x;f(x))$ koordinaattasandil.

Lubatud sisendite hulka nimetatakse määramispiirkonnaks. Näiteks klassi õpilaste arv ei saa olla negatiivne ega murdarv.

Näide

Jalgratta laenutus maksab 3 eurot alustuseks ja 2 eurot iga täistunni eest. Olgu $t$ tundide arv ja $h(t)$ hind eurodes. Siis

$$h(t)=2t+3.$$

Kui $t=4$, siis

$$h(4)=2\cdot4+3=11.$$

Tabeli paar $(4;11)$ tähendab, et nelja tunni hind on 11 eurot. Graafikul tähistab seda sama punkt $(4;11)$.

Vastus: $h(4)=11$ eurot.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et $f$ või $h$ on sisend. Avaldises $h(t)$ on $h$ funktsiooni nimi ja $t$ sisend.

Teine viga on anda samale sisendile kaks eri väljundit. Kui tabelis vastab sisendile 2 nii 5 kui 7, ei kirjelda tabel ühte funktsiooni.

Kolmas viga on ühendada graafikul kõik punktid automaatselt. Kui sisend saab olla ainult täisarv, võivad ka graafikul olla ainult eraldi punktid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $f(x)=3x-2$, leia $f(4)$.
2. Valemis $p(n)=5n$ nimeta funktsioon ja sisend.
3. Kirjuta valemi $y=x+4$ järgi punkt, mille $x=2$.

Rakendus

1. Koosta valemi $g(x)=2x+1$ väärtuste tabel sisenditele $0$, $1$ ja $3$.
2. Kas paarid $(1;4)$, $(2;5)$ ja $(1;6)$ kirjeldavad ühte funktsiooni? Põhjenda.
3. Kinopilet maksab 7 eurot. Kirjuta $n$ pileti koguhinna funktsioon $H(n)$.

Mõtlemisülesanne

1. Funktsiooni tabelis on paarid $(0;3)$, $(1;5)$, $(2;7)$ ja $(3;9)$. Paku sobiv valem.
2. Too näide funktsioonist, mille eri sisendid annavad sama väljundi.
3. Miks ei sobi inimese pikkuse sisendiks negatiivne arv? Millist funktsiooni võiks pikkus mõjutada?

Vastused

1. $f(4)=3\cdot4-2=10$.
2. Funktsiooni nimi on $p$ ja sisend on $n$.
3. $(2;6)$, sest $2+4=6$.
4. Paarid on $(0;1)$, $(1;3)$ ja $(3;7)$.
5. Ei, sest sisendile 1 on antud kaks eri väljundit.
6. $H(n)=7n$, kus $n$ on piletite arv.
7. Näiteks $y=2x+3$, sest iga sisendi suurenemisel ühe võrra kasvab väljund kahe võrra.
8. Näiteks $f(x)=x^2$: sisendid $-2$ ja 2 annavad mõlemad väljundi 4.
9. Pikkus on mõõdetav kaugus ega saa selles olukorras olla negatiivne; näiteks võib pikkusest sõltuda sobiva rõivasuuruse valik.

Seosed

Järgmine peatükk uurib võrdeline seost, kus väljundi ja sisendi suhe on püsiv ning graafik läbib alguspunkti.

Võrdeline seos

Mõiste

Kaks suurust on võrdelises seoses, kui ühe suuruse mingi arv kordi muutumisel muutub teine sama arv kordi. Võrdelise seose valem on

$$y=kx,$$

kus $k$ on võrdetegur.

Eeldus: oskad arvutada suhet, kasutada funktsiooni valemit ning märkida tabeli punktid koordinaattasandile.

Kui $x\ne0$, saab võrdeteguri leida suhtest

$$k=\frac{y}{x}.$$

Võrdetegur näitab, kui palju väljundit vastab ühele sisendi ühikule. Näiteks hind 2 eurot kilogrammi kohta tähendab $k=2\ \text{€/kg}$.

Võrdelise seose tunnused:

• suhe $\frac yx$ on kõigis tabeli ridades sama;
• kui $x=0$, siis $y=0$;
• graafik on alguspunkti läbiv sirge.

Näide

Õunte hind on 2 eurot kilogrammi kohta. Kui $x$ on õunte mass kilogrammides ja $y$ hind eurodes, siis

$$y=2x.$$

Kolme kilogrammi hind on

$$y=2\cdot3=6\text{ eurot}.$$

Suhe $y:x$ on alati 2. Kui õunu ei osteta, on nii mass kui hind null; seetõttu läbib graafik alguspunkti.

Vastus: 3 kg õunu maksab 6 eurot ja võrdetegur on 2 €/kg.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga sirgjoonelist seost võrdeliseks. Seos $y=2x+3$ ei ole võrdeline, sest $x=0$ korral on $y=3$ ning graafik ei läbi alguspunkti.

Teine viga on arvutada võrdetegur tagurpidi. Valemis $y=kx$ on $k=y:x$, mitte $x:y$.

Kolmas viga on unustada võrdeteguri ühik. Kiiruse võrdetegur võib olla km/h, ühikuhinna oma €/kg.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $y=4x$, leia $y$, kui $x=3$.
2. Leia võrdetegur, kui $x=5$ ja $y=15$.
3. Kas seos $y=7x$ läbib alguspunkti?

Rakendus

1. Tabelis on paarid $(2;6)$, $(4;12)$ ja $(7;21)$. Leia võrdetegur ja valem.
2. Üks vihik maksab 1,50 eurot. Kirjuta $n$ vihiku hinna valem.
3. Jalgrattur liigub ühtlase kiirusega 18 km/h. Kirjuta teepikkus $s$ aja $t$ kaudu.

Mõtlemisülesanne

1. Kas tabeli paarid $(0;2)$, $(1;5)$ ja $(2;8)$ kirjeldavad võrdelist seost? Põhjenda.
2. Võrdelise seose graafik läbib punkti $(4;-6)$. Leia $k$ ja kirjuta valem.
3. Võrdle seoseid $y=3x$ ja $y=3x+5$: mis on sama ning mis erinev?

Vastused

1. $y=4\cdot3=12$.
2. $k=15:5=3$.
3. Jah, sest $x=0$ korral on $y=0$.
4. $k=3$ ja $y=3x$, sest igas reas on $y:x=3$.
5. $H(n)=1{,}5n$, kus võrdetegur 1,5 €/vihik on ühe vihiku hind.
6. $s(t)=18t$, kus võrdetegur 18 km/h on kiirus.
7. Ei, sest nullile ei vasta null ja suhted $y:x$ ei ole püsivad.
8. $k=-6:4=-1{,}5$, seega $y=-1{,}5x$.
9. Mõlemal on sama tõus 3. Esimene läbib alguspunkti ja on võrdeline; teise algväärtus on 5 ning see ei ole võrdeline.

Seosed

Lineaarfunktsioon $y=kx+b$ laiendab võrdelist seost: kui $b=0$, on seos võrdeline; kui $b\ne0$, lisandub püsiv algväärtus.

Lineaarfunktsioon

Mõiste

Lineaarfunktsiooni kuju on $$y=kx+b.$$

Eeldus: oskad võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna kirjeldada ning lahendada lihtsat võrrandit.

Sama mõtet kirjutatakse ka kujul $f(x)=kx+b$. Täht $f$ on funktsiooni nimi ja $x$ sisend. Kui ülesandes on $h(t)=t+5$, siis nimi on $h$ ja sisend $t$; seose tüüp ei muutu.

Tabel, valem ja graafik kirjeldavad sama seost.

$k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Graafiku lõikepunkt $y$-teljega on (0;b).

• Kui $k>0$, siis sirge tõuseb vasakult paremale.
• Kui $k<0$, siis sirge langeb vasakult paremale.
• Kui $k=0$, siis funktsioon on konstantne: $y=b$.

Kui $x=0$, siis $y=b$. Seetõttu määrab algordinaat $b$ graafiku lõikepunkti (0;b) $y$-teljega.

Tõus näitab, kui palju $y$ muutub, kui $x$ suureneb 1 võrra:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Tekstülesandes on tõusul ühik: $h(t)=t+5$ korral 1 euro lisatunni kohta.

Kahe punkti (x_1;y_1) ja (x_2;y_2) järgi:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Kui $k$ on teada, leia $b$ ühe punkti asendamisega valemisse.

Näide

Funktsioon

$$y=2x-1$$

läbib punktid (-1; -3), (0; -1), (1; 1) ja (2; 3).

Tabelis on samad paarid; graafikul on need punktid sirgel.

Kontrolliks asenda graafiku punkt valemisse: pooled peavad võrduma.

Siin $b=-1$, sest graafik lõikab $y$-telge punktis (0;-1). Tõus $k=2$: kui $x$ suureneb 1 võrra, suureneb $y$ 2 võrra.

Lineaarse mudeli ühesammu muutus on igal pool sama.

Punktide (1;2) ja (4;8) tõus on

$$k=\frac{8-2}{4-1}=\frac63=2.$$

Leiame nende kahe punkti järgi kogu sirge valemi.

Kasutame punktis (1;2) valemit $y=2x+b$:

$$2=2\cdot1+b,$$

$$b=0.$$

Seega sirge valem on

$$y=2x.$$

Sirge läbib punkte (-2;5) ja (4;-1). Tõus on

$$k=\frac{-1-5}{4-(-2)}=\frac{-6}{6}=-1.$$

Seega $y=-x+b$. Kasutame punkti (4;-1):

$$-1=-4+b,$$

$$b=3.$$

Sirge valem on

$$y=-x+3.$$

Vastus: $y=2x$ ja $y=-x+3$.

Tüüpviga

Kui $b\ne0$, ei ole seos võrdeline. Võrdeline seos on kujul $y=kx$.

Teine tüüpviga on ajada segi algordinaat ja telje lõikepunkt. Algordinaat on arv $b$; graafiku lõikepunkt $y$-teljega on punkt (0;b).

Kolmas tüüpviga on koordinaadid segamini lahutada. Kui alustad $y_2-y_1$, kasuta nimetajas sama järjekorda $x_2-x_1$.

Näiteks punktide (1;2) ja (4;8) korral:

$$\frac{8-2}{4-1}=2.$$

Sama järjekorra ümberpööramine annab samuti õige vastuse:

$$\frac{2-8}{1-4}=2.$$

Aga segamini järjekord annaks vale märgi.

Neljas tüüpviga on oletada, et iga kasvav seos on lineaarne. Lineaarse seose tunnus on püsiv muutus: iga sama $x$-sammu kohta muutub $y$ sama palju.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ tõus?
2. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ algordinaat?
3. Kas funktsioon $y=-2x+1$ tõuseb või langeb?
4. Leia tõus punktide (0;4) ja (2;10) järgi.

Rakendus

1. Millises punktis lõikab $y=4x-7$ graafik $y$-telge?
2. Leia tõus punktide (2;3) ja (6;11) järgi.
3. Leia tõus punktide (-1;4) ja (3;-4) järgi.
4. Kujuteldavas Tartu rattalaenutuses maksab päevapilet 5 eurot ja iga lisatund 1 euro. Kirjuta hinna valem $h(t)$, kui $t$ on lisatundide arv.

Mõtlemisülesanne

1. Sirge tõus on $k=3$ ja ta läbib punkti (2;7). Leia $b$.
2. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte (0;-2) ja (4;6).
3. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte (1;5) ja (3;9).
4. Rong liigub ühtlase kiirusega. Kell 10.00 on ta Tallinnast 40 km kaugusel ja kell 11.00 130 km kaugusel. Kirjuta kauguse valem tundide arvu $t$ järgi pärast kella 10.00.
5. Tabelis on $x=1,2,3,4$ ja $y=4,7,10,13$. Kas seos on lineaarne? Põhjenda.
6. Valemis $h(t)=2t+5$ kirjeldab $h$ hinda eurodes ja $t$ aega tundides. Mida tähendab tõus 2?

Vastused

1. Tõus on $3$: kui $x$ kasvab 1 võrra, kasvab $y$ 3 võrra.
2. Algordinaat on $5$, sest $x=0$ korral on $y=5$.
3. Langeb, sest tõus $k=-2$ on negatiivne.
4. $k=\frac{10-4}{2-0}=3$.
5. (0;-7), sest $y$-teljel on $x=0$ ja siis $y=-7$.
6. $k=\frac{11-3}{6-2}=2$.
7. $k=\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2$.
8. $h(t)=t+5$; $t$ on sisend ja $h(t)$ hind eurodes.
9. $7=3\cdot2+b$, seega $b=1$; kontrolliks annab punkt (2;7) valemis õige väärtuse.
10. Tõus $k=\frac{6-(-2)}{4-0}=2$, algordinaat on -2, seega $y=2x-2$.
11. $k=\frac{9-5}{3-1}=2$. Kasutades punkti (1;5): $5=2\cdot1+b$, seega $b=3$ ja $y=2x+3$.
12. Kiirus on $90$ km/h, seega $s(t)=90t+40$.
13. Jah, sest $y$ suureneb iga kord 3 võrra, kui $x$ suureneb 1 võrra.
14. Tõus 2 tähendab, et iga lisatund kasvatab hinda 2 euro võrra; ühik on eurot tunnis.

Seosed

Lineaarfunktsioon on mudel püsiva muutumiskiirusega olukordadele: hind, teepikkus, palk, temperatuurimuutus. Järgmine pöördvõrdeline seos näitab teistsugust sõltuvust, kus korrutis püsib, aga muutumiskiirus ei ole püsiv.

Pöördvõrdeline seos

Mõiste

Pöördvõrdeline seos on kujul

$$y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0.$$

Eeldus: oskad kasutada võrdeid ning kirjeldada võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna.

Kui $x$ kasvab, siis $y$ väheneb nii, et korrutis $xy$ jääb samaks.

Graafik on hüperbool. See läheneb telgedele ehk asümptootidele, aga ei läbi punkti, kus $x=0$.

Kontrollküsimus: kas korrutis jääb samaks? Kui $xy=k$, siis seos on pöördvõrdeline.

Kolme 7. klassi mudeli võrdlus:

Enne valemi valimist otsusta tabeli või olukorra järgi, milline suurus jääb muutumisel samaks.

Näide

Kui töö teeb valmis 12 tunniga 1 inimene, siis sama töö jaoks vajalike tundide arv ligikaudses mudelis on

$$y=\frac{12}{x},$$

kus $x$ on inimeste arv.

Kui töötegijaid on 3, siis

$$y=\frac{12}{3}=4.$$

Sama mudeli järgi kulub 3 inimesel 4 tundi ja $x\cdot y=12$.

Sama mõte töötab ühtlase liikumise korral. Kui vahemaa on 120 km, siis

$$t=\frac{120}{v}.$$

Vastus: $v=60$ km/h annab $t=2$ h ja $v=80$ km/h annab $t=1,5$ h; korrutis $v\cdot t=120$ jääb samaks.

Mudeli piirid

Pöördvõrdeline mudel on lihtsustus ega pruugi päriselus igavesti töötada.

Tüüpviga

Pöördvõrdeline ei tähenda “negatiivse tõusuga sirget”. Selle graafik ei ole sirge.

Teine tüüpviga on lubada $x=0$. Avaldis $\frac{k}{x}$ ei ole defineeritud, kui $x=0$.

Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Kui $v$ on km/h ja teepikkus on km, siis aeg tuleb tundides.

Neljas tüüpviga on kontrollida ainult seda, et üks suurus kasvab ja teine väheneb. Pöördvõrdelises seoses peab korrutis jääma samaks.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $y=\frac{20}{x}$, leia $y$, kui $x=4$.
2. Miks $x=0$ pole lubatud?
3. Too päriseluline pöördvõrdelise seose näide.
4. Kui 6 inimest teevad töö 5 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 3 inimesel?

Rakendus

1. Kui vahemaa on 180 km, kirjuta aeg $t$ kiiruse $v$ kaudu.
2. Kui 4 inimest teevad töö 9 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 6 inimesel?
3. Sama raha on 24 eurot. Kirjuta ostetav kogus $q$ ühikuhinna $p$ kaudu.

Mõtlemisülesanne

1. Kui $q=\frac{24}{p}$, leia $q$, kui $p=3$.
2. Miks ei sobi töötegijate mudel alati väga suure inimeste arvu korral?
3. Teepikkus on 240 km. Kui kiirus on 80 km/h, leia aeg. Mis ühikus vastus on?
4. Tabelis on paarid (2;12), (3;8), (4;6). Kas seos võib olla pöördvõrdeline? Põhjenda.

Vastused

1. $5$, sest $20:4=5$; kontrolliks $x\cdot y=4\cdot5=20$.
2. Nulliga ei saa jagada; valem $\frac{k}{x}$ pole siis defineeritud ja $x=0$ tuleb välistada.
3. Näiteks sama töö: rohkem tegijaid tähendab vähem aega, kui töö kogus püsib sama.
4. Töö kogus on $6\cdot5=30$ inimtundi, seega $30:3=10$ tundi.
5. $t=\frac{180}{v}$, kus $v\ne0$ ja konstant 180 on teepikkus.
6. Töö kogus on $4\cdot9=36$ inimtundi, seega $36:6=6$ tundi.
7. $q=\frac{24}{p}$, kus $p\ne0$ ja konstant 24 on raha kogus.
8. Kui sisend on $p=3$, siis väljund on $q=\frac{24}{3}$, ehk $q=8$.
9. Inimesed võivad üksteist segada, tööpind võib olla piiratud ja osa töid ei saa korraga teha.
10. $t=\frac{240}{80}=3$ tundi.
11. Jah, sest korrutis on alati 24: $2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6=24$.

Seosed

Pöördvõrdeline seos näitab, et mitte iga vähenemine ei ole lineaarne. Järgmine ruutfunktsiooni peatükk lisab veel ühe graafiku kuju: parabooli, kus muutumise kiirus ise muutub.

Ruutfunktsioon

Mõiste

Ruutfunktsiooni üldkuju on

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, lugeda koordinaatteljestikku ja eristada nullkohta $y$-telje lõikepunktist.

Selle graafik on parabool.

Graafikult loetud tähtis punkt peab asendamisel andma sama $y$-koordinaadi.

Olulised seosed

• Nullkohad leitakse ruutvõrrandist $ax^2+bx+c=0$.
• Kui $a>0$, avaneb parabool üles.
• Kui $a<0$, avaneb parabool alla.
• Parabooli haripunkt ehk tipp on sümmeetriateljel asuv parabooli kõige madalam või kõige kõrgem punkt.

Haripunkti $x$-koordinaat üldkujus $y=ax^2+bx+c$ on

$$x_h=-\frac{b}{2a}.$$

Haripunkti $y$-koordinaadi saab leida, asendades $x_h$ funktsiooni avaldisse.

Nullkohad on need $x$ väärtused, mille korral $y=0$. Seetõttu tekibki ruutvõrrand

$$ax^2+bx+c=0.$$

Olulised punktid graafikul:

Kontroll: $x$-teljel pane $y=0$; $y$-teljel pane $x=0$.

Kui nullkohti pole, parabool ei lõika $x$-telge. Kui nullkoht on üks, puutub ta telge haripunktis.

Diskriminant $D=b^2-4ac$: $D>0$ annab kaks nullkohta, $D=0$ ühe kahekordse nullkoha ja $D<0$ mitte ühtegi reaalarvulist nullkohta.

Näide

Funktsiooni $y=x^2-4$ nullkohad:

$$x^2-4=0$$

$$x=\pm2.$$

Haripunkt on punktis (0;-4), sest parabool on sümmeetriline $y$-telje suhtes ja kõige madalam punkt on seal.

Näide üldkujus:

$$y=2x^2-8x+3.$$

Siin $a=2$ ja $b=-8$, seega

$$x_h=-\frac{-8}{2\cdot2}=2.$$

Haripunkti $y$-koordinaat:

$$y_h=2\cdot2^2-8\cdot2+3=8-16+3=-5.$$

Haripunkt on (2;-5).

Leiame funktsiooni

$$y=x^2-6x+8$$

tähtsad punktid.

$y$-telje lõikepunkt:

$$x=0\quad\Rightarrow\quad y=8,$$

seega punkt (0;8).

Nullkohad:

$$x^2-6x+8=0,$$

$$(x-2)(x-4)=0,$$

seega $x=2$ ja $x=4$.

Haripunkti $x$-koordinaat:

$$x_h=-\frac{-6}{2\cdot1}=3.$$

Haripunkti $y$-koordinaat:

$$y_h=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1.$$

Vastus: $y$-telje lõikepunkt on (0;8), nullkohad on 2 ja 4 ning haripunkt on (3;-1).

Tüüpviga

Ruutliikme kordaja $a$ määrab avanemissuuna ja laiuse, mitte ainult “kas graafik on üleval või all”.

Teine tüüpviga on ajada segi nullkoht ja $y$-telje lõikepunkt. Nullkohas on $y=0$; $y$-telje lõikepunktis on $x=0$.

Kolmas tüüpviga on arvata, et $c$ on alati nullkoht. Tegelikult on $c$ väärtus kohal $x=0$, seega $y$-telje lõikepunkt.

Neljas tüüpviga on leida ainult $x_h$ ja nimetada seda haripunktiks. Haripunkt on punkt, seega vaja on nii $x_h$ kui $y_h$.

Viies tüüpviga on pidada ruutfunktsiooni kasvu samasuguseks nagu eksponentfunktsioonil. Ruutfunktsioon kasvab astme järgi, eksponentfunktsioon korrutab väärtust püsiva teguriga.

Kui jäid kinni

Korda enne ruutvõrrandi nullkohtade leidmist ja koordinaatteljestiku lugemist. Vaata näitest, kuidas nullkohad ja haripunkt samal graafikul kokku käivad. Alusta harjutustest 1-4; haripunkti ülesannete juurde mine siis, kui nullkohad ja teljelõige on selged.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $y=x^2-9$ nullkohad.
2. Kas funktsiooni $y=-x^2+4$ parabool avaneb üles või alla?
3. Leia funktsiooni $y=x^2+2x-3$ $y$-telje lõikepunkt.
4. Leia funktsiooni $y=x^2+2x-3$ nullkohad.

Rakendus

1. Leia funktsiooni $y=x^2-6x+8$ haripunkti $x$-koordinaat.
2. Leia funktsiooni $y=x^2-6x+8$ haripunkt.
3. Leia funktsiooni $y=-2x^2+5$ $y$-telje lõikepunkt ja avanemissuund.

Mõtlemisülesanne

1. Leia funktsiooni $y=x^2+4x+4$ nullkoht või nullkohad.
2. Leia funktsiooni $y=2x^2-4x-6$ $y$-telje lõikepunkt.
3. Mis on parabooli sümmeetriatelg, kui haripunkti $x$-koordinaat on 3?
4. Funktsioonidel $y=x^2$ ja $y=2^x$ on mõlemal kasvavad väärtused positiivsetel $x$-idel. Kumb on ruutfunktsioon ja kumb eksponentfunktsioon?

Vastused

1. $x=-3$ ja $x=3$, sest nullkohas $y=0$.
2. Alla, sest $a=-1<0$.
3. (0;-3), sest $y$-teljel on $x=0$.
4. $x=-3$ ja $x=1$; need on parabooli lõikepunktid $x$-teljega.
5. $x_h=3$, seega sümmeetriatelg on $x=3$.
6. Lahenduskäik: $x_h=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. Asendades saad $y_h=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1$, seega haripunkt on (3;-1).
7. Lõikepunkt on (0;5), avaneb alla, sest $a=-2<0$.
8. Lahenduskäik: $x^2+4x+4=(x+2)^2$. Nullkoht tekib siis, kui $(x+2)^2=0$, seega üks nullkoht $x=-2$.
9. (0;-6).
10. Sirge $x=3$.
11. $y=x^2$ on ruutfunktsioon, $y=2^x$ on eksponentfunktsioon.

Seosed

Ruutfunktsioon on seotud pindalade, viskeliikumise, optimeerimise ja paraboolidega. Järgmine peatükk kasutab nullkohti, haripunkti ja sümmeetriat parabooli käsitsi joonestamiseks ning ruutmudeli tõlgendamiseks.

Ruutfunktsiooni graafik ja mudel

Mõiste

Ruutfunktsiooni $y=ax^2+bx+c$ graafiku skitseerimiseks ei piisa ühest punktist. Vaja on avanemissuunda, sümmeetriatelge, haripunkti, nullkohti ja $y$-telje lõikepunkti.

Eeldus: oskad leida ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti ning kanda punkte teljestikku.

Tööjärjekord:

1. vaata $a$ märki;
2. leia nullkohad;
3. leia $x_h=-\frac{b}{2a}$ ja $y_h=f(x_h)$;
4. märgi punkt (0;c);
5. lisa sümmeetrilised kontrollpunktid ja joonesta sujuv parabool.

Kordaja absoluutväärtuse kasvades muutub parabool kitsamaks. Vabaliige $c$ määrab lõikepunkti $y$-teljega.

Näide

Joonestame funktsiooni $y=-x^2+2x+3$.

Parabool avaneb alla, sest $a=-1$. Nullkohad:

$$-x^2+2x+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0,$$

seega $x=-1$ ja $x=3$. Sümmeetriatelg on nullkohtade keskel $x=1$. Haripunkti väärtus on $f(1)=4$, seega haripunkt on (1;4). $y$-telje lõikepunkt on (0;3); selle sümmeetriline paariline on (2;3).

Vastus: viie tugipunkti (-1;0), (0;3), (1;4), (2;3), (3;0) kaudu saab joonestada allapoole avaneva parabooli.

Tüüpviga

Tüüpviga on ühendada punktid sirglõikudega. Parabool on sujuv kõver. Teine tüüpviga on joonestada ainult nullkohtade põhjal ja unustada, et kordaja $a$ muudab graafiku laiust.

Kolmas tüüpviga on lugeda haripunktiks ainult $x_h$. Haripunkt on kahe koordinaadiga punkt. Neljas tüüpviga on mudelis jätta tõlgendamata, milline osa paraboolist kirjeldab tegelikku aega, pikkust või kõrgust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis suunas avaneb $y=-2x^2+5$?
2. Leia funktsiooni $y=x^2-4x+3$ nullkohad.
3. Leia sama funktsiooni haripunkt.

Rakendus

1. Koosta funktsiooni $y=x^2-4$ jaoks viis sümmeetrilist tugipunkti.
2. Kontrolli arvutusega, kas punkt (4;5) asub graafikul $y=x^2-3x+1$.
3. Visanda $y=-x^2+4x$ ja märgi ajavahemik, kus $y\ge0$.

Mõtlemisülesanne

1. Pall liigub kõrgusmudeli $h(t)=-5t^2+20t+1$ järgi. Millal on pall kõige kõrgemal ja kui kõrgel?
2. Kuidas muutub $y=ax^2$ graafik, kui $a$ muutub arvust 1 arvuks 3?
3. Koosta ruutfunktsioon, mille nullkohad on 2 ja 6 ning $a=1$.

Vastused

1. Alla, sest $a<0$.
2. $x=1$ ja $x=3$.
3. $x_h=2$ ja $f(2)=-1$, seega (2;-1).
4. Näiteks (-2;0), (-1;-3), (0;-4), (1;-3), (2;0).
5. $f(4)=16-12+1=5$, seega punkt asub graafikul.
6. Nullkohad on 0 ja 4; mudel on mittenegatiivne vahemikus $0\le x\le4$.
7. $t_h=2$ s ja `$h(2)=21$ m.
8. Parabool jääb ülespoole avatuks, kuid muutub kitsamaks.
9. $y=(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$.

Seosed

Graafik seob ruutvõrrandi lahendid, funktsiooni väärtused ja olukorra tõlgenduse. Järgmises ratsionaalavaldiste plokis liigub tähelepanu graafikult avaldise lubatud väärtustele ja teisendustele.

Eksponentfunktsioon ja logaritm

Mõiste

Eksponentfunktsioonis on muutuja astendajas:

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

Eeldus: oskad kasutada astmeid, protsente ja funktsiooni väärtuse arvutamist.

Logaritm vastab küsimusele: millisesse astmesse tuleb alus võtta?

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Seega logaritm on astendamise pöördtehe:

Funktsioonid $y=a^x$ ja $y=\log_a x$ on pöördfunktsioonid: üks vahetab teise sisendi ja väljundi tagasi.

Püsiva protsendilise kasvuga mudel on kujul

$$A(t)=A_0\cdot q^t,$$

kus $A_0$ on algväärtus, $q$ on kasvutegur ja $t$ on aeg.

Kontroll: lineaarse mudeli korral on järjestikuste väärtuste vahe püsiv; eksponentmudeli korral on järjestikuste väärtuste jagatis ehk kordaja püsiv.

Kui suurus kasvab $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1+\frac p{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1-\frac p{100}.$$

Näide

$$\log_2 8=3,$$

sest

$$2^3=8.$$

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas, siis ühe aasta kasvutegur on $1,05$. Kolme aasta pärast on summa

$$1000\cdot1,05^3\approx1157,63\text{ eurot}.$$

Kui aine kogus väheneb igal tunnil 20%, siis kasvutegur on $0,8$. Kui alguses on 50 grammi, siis 4 tunni pärast on

$$50\cdot0,8^4=20,48\text{ g}.$$

Kui küsitakse, mitme sammuga jõutakse mingi väärtuseni, kasutatakse logaritmi. Näiteks

$$2^x=32$$

annab

$$x=\log_2 32=5.$$

Veel üks näide:

$$10^x=0,001.$$

Kuna $0,001=10^{-3}$, siis

$$x=\log_{10}0,001=-3.$$

Kasvumudelis saab logaritmiga leida aja. Kui summa kahekordistub iga sammuga ja alguses on 100 eurot, siis

$$100\cdot2^t=800.$$

Jagame 100-ga:

$$2^t=8.$$

Seega

$$t=\log_2 8=3.$$

Vastus: 800 euroni jõutakse 3 sammuga.

Tüüpviga

Eksponentkasvus ei liideta igal sammul sama arvu, vaid korrutatakse sama teguriga. Näiteks 10% võetakse iga kord uuest väärtusest.

Teine tüüpviga on logaritmi aluse unustamine. $\log_2 8$ ja $\log_{10}8$ ei ole sama arv.

Kolmas tüüpviga on logaritmi vastuseks võtta arv, mille logaritmi arvutatakse. Näiteks $\log_2 8$ ei ole 8. Vastus on aste 3, sest $2^3=8$.

Neljas tüüpviga on logaritmi kasutada siis, kui otsitav ei ole astendajas. Võrrandis $3x=12$ ei ole vaja logaritmi; seal piisab jagamisest.

Viies tüüpviga on võtta logaritm nullist või negatiivsest arvust. Reaalarvude hulgas $\log_a b$ on defineeritud ainult siis, kui $b>0$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\log_2 16$.
2. Kirjuta logaritmina võrdus $5^3=125$.
3. 200 eurot kasvab 10% aastas. Kirjuta summa valem $A(t)$.
4. Leia 200 euro suurune summa 2 aasta pärast 10% aastase kasvuga.

Rakendus

1. Ravimit on 500 mg ja kogus väheneb 30% tunnis. Kirjuta mudel ning leia kogus kahe tunni pärast.
2. Baktereid on 40 ja nende arv kolmekordistub tunnis. Kui palju on neid kolme tunni pärast?
3. Kumb kahaneb kiiremini: $A(t)=100\cdot0{,}8^t$ või $B(t)=100\cdot0{,}9^t$? Põhjenda teguri järgi.

Mõtlemisülesanne

1. Investeeringut kirjeldab $A(t)=200\cdot1{,}15^t$. Mitme täisaasta pärast on summa esimest korda vähemalt 400 eurot? Kasuta logaritmi.
2. Võrdle hetkel $t=5$ mudeleid $P(t)=100\cdot1{,}2^t$ ja $Q(t)=150\cdot1{,}1^t$. Kumb on suurem, kuigi alguses väiksem?
3. 50 ühikut kahekordistub igal sammul. Millal jõuab väärtus esimest korda vähemalt 350-ni? Leia reaalne lahend ja tõlgenda täissammu.
4. Miks ei ole $\log_2(-8)$ reaalarvuna defineeritud?

Vastused

1. $4$, sest $2^4=16$.
2. $\log_5 125=3$; alus on 5 ja vastus on aste.
3. $A(t)=200\cdot1,10^t$, sest 10% kasv annab teguri 1,10.
4. $200\cdot1,10^2=242$ eurot; korrutatakse kasvuteguriga kaks korda.
5. $A(t)=500\cdot0{,}70^t$ ja $A(2)=245$ mg; alles jääb iga tund 70%.
6. $B(t)=40\cdot3^t$, seega $B(3)=1080$ bakterit.
7. $A$, sest tegur 0,8 eemaldab tunnis 20%, tegur 0,9 ainult 10%.
8. $t\ge\frac{\log 2}{\log 1{,}15}\approx4{,}96$; esimene sobiv täisaasta on 5.
9. $P(5)\approx248{,}8$ ja $Q(5)\approx241{,}6$, seega $P$ on möödunud mudelist $Q$.
10. $t\ge\log_2 7\approx2{,}81$; esimene täissamm on 3 ja siis on väärtus 400.
11. Ükski reaalarvuline aste arvust 2 ei anna negatiivset tulemust; logaritmi argument peab olema positiivne.

Seosed

Eksponentfunktsioon kirjeldab kasvu ja kahanemist: intress, populatsioon, radioaktiivne lagunemine, skaala ja helitugevus. Järgmine trigonomeetriliste funktsioonide peatükk käsitleb teist olulist funktsioonipere: perioodilisi seoseid.

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Mõiste

Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:

Eeldus: oskad vahetada seoseid $a^x=b$ ja $\log_a b=x$ ning kontrollida tingimusi $a>0$, $a\ne1$ ja logaritmi argument $>0$.

Aluse vahetamise valem on

See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.

Eksponentvõrrandis püütakse esmalt saada mõlemale poole sama alus. Kui see ei õnnestu, võetakse mõlemast poolest logaritm. Logaritmvõrrandis kontrollitakse enne teisendamist kõigi argumentide positiivsust.

Eksponent- ja logaritmvõrratuse suund sõltub alusest:

• kui $a>1$, on $a^x$ ja $\log_a x$ kasvavad;
• kui $0

Näide

Lahendame

Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi

seega

Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.

Võrratuses

on alus arvude 0 ja 1 vahel. Funktsioon on kahanev, seega $x<3$.

Tüüpviga

Logaritm ei jaotu summa üle:

Teine tüüpviga on unustada argumendi tingimus. Algebraline teisendus võib anda kandidaadi, mille korral mõni algne logaritm puudub.

Kolmas tüüpviga on jätta kahaneva aluse korral võrratuse märk pööramata. Enne võrratuse lahendamist otsusta alati, kas alus on suurem kui 1 või arvude 0 ja 1 vahel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Avalda ühe logaritmina $\log_3 5+\log_3 9$.
2. Avalda $\log_2 32-\log_2 4$.
3. Arvuta $\log_2 7$ aluse vahetamise valemiga kahe komakoha täpsusega.

Rakendus

1. Kasvumudel on $N(t)=3^{t+1}$. Leia aeg $t$, mil mudeli väärtus on 27.
2. Lahenda $\log_5(x-4)=2$ ja kontrolli tingimust.
3. Lahenda $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.

Mõtlemisülesanne

1. Lahenda $2^x>8$.
2. Lahenda $\left(\frac13\right)^x\le\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.
3. Lahenda $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.

Vastused

1. $\log_3 45$, sest logaritmide summa ühendab argumendid korrutiseks.
2. $\log_2 8=3$, sest logaritmide vahe ühendab argumendid jagatiseks.
3. $\log_2 7=\frac{\log 7}{\log2}\approx2{,}81$.
4. $t=2$, sest $27=3^3$ ja seega $t+1=3$.
5. $x=29$; argument $x-4=25$ on positiivne.
6. Tingimus on $x>2$. Võrrand annab $x(x-2)=8$, kandidaadid 4 ja $-2$; vastus on $x=4$.
7. $x>3$, sest alus 2 on suurem kui 1 ja funktsioon kasvab.
8. $x\ge3$, sest alus $\frac13$ on kahanev ning võrratuse suund pöördub.
9. Tingimus on $x>3$. Võrrand annab $(x-1)(x-3)=8$, seega kandidaadid $x=5$ ja $x=-1$; ainult $x=5$ täidab tingimuse.

Seosed

Logaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.

Trigonomeetrilised funktsioonid

Mõiste

Funktsioonid $\sin x$, $\cos x$ ja $\tan x$ kirjeldavad perioodilisi seoseid. Need on seotud ringliikumise ja lainetega.

Eeldus: oskad kasutada täisnurkse kolmnurga siinust, koosinust ja tangensit ning lugeda punkti koordinaatteljestikul.

Täisnurkses kolmnurgas oli

$$\sin\alpha=\frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}.$$

Ühikringil on hüpotenuusi asemel raadius pikkusega 1. Seetõttu muutuvad suhted otse koordinaatideks:

$$\cos\alpha=x,\qquad \sin\alpha=y.$$

See ongi sild täisnurkse kolmnurga ja trigonomeetriliste funktsioonide vahel: kolmnurga külgede suhted saavad ühikringil punkti koordinaatideks.

Põhiseosed

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

Tangens:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cos x\ne0.$$

Sama nurka saab suurendada täisringi võrra ja punkt jõuab ühikringil samasse kohta:

$$\sin(x+360^\circ)=\sin x,\qquad \cos(x+360^\circ)=\cos x.$$

Radiaanides on täisring $2\pi$, seega

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x.$$

Tangensi periood on lühem:

$$\tan(x+180^\circ)=\tan x,$$

ehk radiaanides $\tan(x+\pi)=\tan x$.

Funktsioonide $\sin x$ ja $\cos x$ väärtused jäävad vahemikku [-1;1]. Nende amplituud on 1 ja periood on $360^\circ$ ehk $2\pi$.

Graafikul tähendab periood seda, et sama lainekuju kordub. Siinusgraafik algab väärtusest 0, koosinusgraafik algab väärtusest 1.

Märgid veerandites

Ühikring aitab näha, millal siinus ja koosinus on positiivsed või negatiivsed.

Väärtused, mida tasub tunda

Näide

Kui $\alpha=30^\circ$, siis

$$\sin30^\circ=\frac12.$$

Ühikringil tähendab see, et vastava punkti $y$-koordinaat on $\frac12$.

Kui $\alpha=150^\circ$, siis nurk on II veerandis. Seal on siinus positiivne ja koosinus negatiivne:

$$\sin150^\circ=\frac12,$$

$$\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Kui $x=45^\circ$, siis

$$\tan45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$

Vastus: $\sin30^\circ=\sin150^\circ=\frac12$, $\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$ ja $\tan45^\circ=1$.

Tüüpviga

Kraadid ja radiaanid on eri mõõtühikud. Arvutis või kalkulaatoris tuleb kontrollida, kumb režiim on kasutusel.

Teine tüüpviga on unustada märk. Näiteks $\sin30^\circ$ ja $\sin150^\circ$ on mõlemad positiivsed, aga $\cos30^\circ$ ja $\cos150^\circ$ on eri märgiga.

Kolmas tüüpviga on arvata, et $\tan90^\circ$ on väga suur arv. Tegelikult pole see defineeritud, sest

$$\tan90^\circ=\frac{\sin90^\circ}{\cos90^\circ}=\frac{1}{0},$$

ja nulliga jagada ei saa.

Neljas tüüpviga on unustada, et perioodilisus annab sama väärtuse mitme nurga korral. Näiteks $\sin30^\circ=\sin150^\circ$, aga nurgad on erinevad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\cos0^\circ$.
2. Mis on $\sin^2x+\cos^2x$ väärtus?
3. Miks $\tan90^\circ$ pole defineeritud?

Rakendus

1. Mis on ühikringil punkti koordinaadid, kui nurk on $60^\circ$?
2. Mis märgiga on $\sin220^\circ$ ja $\cos220^\circ$?
3. Vaateratta kõrgust kirjeldab $h(x)=12+10\sin x$, kus $x$ on nurk kraadides. Leia $h(30^\circ)$ ja tõlgenda arvu 12.

Mõtlemisülesanne

1. Kui $\cos x=0$, siis miks võib tangensiga probleem tekkida?
2. Leia kõik nurgad vahemikus $0^\circ\le x\le720^\circ$, mille korral $\sin x=0$.
3. Kas $\sin x$ väärtus võib olla 2? Põhjenda.

Vastused

1. $1$, sest ühikringil on nurga $0^\circ$ punkt (1;0).
2. $1$; see on ühikringi seos $\sin^2x+\cos^2x=1$.
3. Sest $\cos90^\circ=0$ ja tangensis jagatakse koosinusega.
4. $\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$, sest punkt on $(\cos60^\circ;\sin60^\circ)$.
5. Mõlemad on negatiivsed, sest $220^\circ$ on III veerandis.
6. $h(30^\circ)=12+10\cdot\frac12=17$ m; arv 12 on vaateratta keskpunkti kõrgus.
7. Sest $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$; kui nimetaja on 0, pole jagamine lubatud.
8. $0^\circ,180^\circ,360^\circ,540^\circ,720^\circ$; siinus on null iga poolpöörde järel.
9. Ei. Siinuse väärtused jäävad vahemikku [-1;1], sest ühikringi $y$-koordinaat ei saa sellest väljuda.

Seosed

Trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldavad perioodilist muutumist. Edasi seotakse nende graafikud radiaanmõõduga ning ühikringi seostest tuletatakse trigonomeetrilised valemid ja põhivõrrandid.

Funktsioonide teisendused

Mõiste

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Eeldus: oskad lugeda graafiku punkte, tunned lineaar- ja ruutfunktsiooni ning saad aru koordinaatide muutumisest.

Reeglid

Enne/pärast võrdlus funktsiooni $f(x)=x^2$ põhjal:

Teisendust kontrollides vali üks tuttav punkt. Kui (1;1) on graafikul $y=x^2`, siis graafikul `$y=x^2+3 vastab sellele (1;4): ülesnihke korral muutub ainult $y$.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühik alla nihutatud. Haripunkt liigub

$$(0;0)\to(-4;-1).$$

Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis

$$g(x)=\sqrt{x-2}$$

nihkub 2 ühikut paremale. Vastus: alguspunkt (0;0) liigub punktiks (2;0).

Tüüpviga

Avaldis $f(x-c)$ nihutab paremale, mitte vasakule. See tundub esialgu vastupidine, sest muutus toimub sisendi sees.

Teine tüüpviga on ajada segi välised ja sisemised muutused. Väljaspool funktsiooni olev +2 nihutab üles:

$$f(x)+2.$$

Sisendi sees olev +2 nihutab vasakule:

$$f(x+2).$$

Kolmas tüüpviga on arvata, et $2f(x)$ ja $f(2x)$ teevad sama asja. Esimene muudab $y$ väärtusi, teine muudab sisendit ehk horisontaalset suunda.

Neljas tüüpviga on mitme teisenduse korral lugeda ainult üht osa. Näiteks $(x-3)^2+5 nihkub nii paremale kui ka üles.

Viies tüüpviga on vaadata ainult valemit ja mitte kontrollida üht punkti. Punkti liikumine näitab kiiresti, kas nihe läks õiges suunas.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kuhu nihkub $y=x^2+5$?
2. Kuhu nihkub $y=(x+2)^2$?
3. Mida teeb $y=-\sqrt{x}$ võrreldes $y=\sqrt{x}$?
4. Mida teeb $y=3f(x)$ võrreldes $y=f(x)$?

Rakendus

1. Kui $f(x)=x^2$, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?
2. Kuhu liigub parabooli $y=x^2$ haripunkt funktsioonis $y=(x-5)^2-2$?
3. Andur näitab tegelikust väärtusest $f(t)$ alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit $g(t)$ ja kirjelda graafikute erinevust.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust $y=f(x)$ graafiku $y=-f(x+4)$.
2. Selgita, miks $y=f(x)+4$ ja $y=f(x+4)$ ei kirjelda sama nihet.
3. Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?
4. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x)+3$?
5. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x-4)$?

Vastused

1. 5 ühikut üles, sest +5 on funktsioonist väljaspool.
2. 2 ühikut vasakule, sest sisendis olev +2 toimib vastassuunas.
3. Peegeldab graafiku $x$-telje suhtes; iga $y$-väärtus vahetab märki.
4. Venitab graafikut vertikaalselt 3 korda; $x$ jääb samaks, $y$ korrutub 3-ga.
5. $y=(x-4)^2$, sest paremale nihe kirjutatakse sisendis x-4.
6. Haripunkt liigub punktist (0;0) punkti (5;-2).
7. $g(t)=f(t)+7$; anduri graafik on tegeliku väärtuse graafikust 7 ühikut kõrgemal.
8. Nihuta graafik 4 ühikut vasakule ja peegelda seejärel $x$-telje suhtes.
9. $f(x)+4$ nihutab üles, sest liidetav on funktsioonist väljas; $f(x+4)$ nihutab vasakule, sest muutus on sisendi sees.
10. $y=\sqrt{x-3}$; paremale nihe kirjutatakse sisendis x-3.
11. (2;8), sest muutub ainult $y$-väärtus.
12. (6;5), sest graafik nihkub 4 ühikut paremale ja $y$ ei muutu.

Seosed

Funktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.

Geomeetriline definitsioon ja tõestus

Mõiste

Definitsioon ütleb täpselt, mida mõiste tähendab. Teoreem on matemaatiline väide, mille tõesus tuleb tõestada. Tõestus seob antud tingimused põhjendatud sammude kaudu järeldusega.

Eeldus: oskad eristada näidet, väidet ja vastunäidet ning tunned punkti, sirget, lõiku ja nurka.

Näiteks rööpküliku definitsioon on: rööpkülik on nelinurk, mille mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed. Väide „rööpküliku vastasküljed on võrdsed” on omadus, mitte definitsioon; see tuleb põhjendada.

Mõnda põhimõistet, näiteks punkti, sirget ja tasandit, kasutatakse teiste mõistete defineerimiseks. Neid nimetatakse algmõisteteks. Aksioom on lähteväide, mida selles teoorias eraldi ei tõestata. Näiteks paralleelide aksioom ütleb:

> Läbi sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe antud sirgega paralleelse sirge.

Teoreemi on mugav sõnastada kujul „kui ..., siis ...”. „Kui”-osa on eeldus ja „siis”-osa väide. Näiteks teoreemis „kui nelinurk on rööpkülik, siis selle vastasküljed on võrdsed” on rööpkülikuks olemine eeldus ja vastaskülgede võrdsus väide.

Ka aritmeetika põhiteoreem on teoreemi näide: iga ühest suurem naturaalarv esitatakse algarvude korrutisena üheselt, kui tegurite järjekorda mitte arvestada.

Geomeetrilise tõestuse tööjärjekord:

1. kirjuta antud andmed;
2. sõnasta tõestada olev väide;
3. märgi joonisele ainult teadaolev;
4. kirjuta iga vaheväite juurde põhjus;
5. lõpeta otsese järeldusega.

Näide

Tõestame, et kahe lõikuva sirge tippnurgad on võrdsed.

Antud: sirged lõikuvad ning tekivad nurgad $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$, kus $\alpha$ ja $\gamma$ on tippnurgad.

Kõrvunurkade summa on $180^\circ$, seega

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

ja

$$\beta+\gamma=180^\circ.$$

Järelikult $\alpha+\beta=\beta+\gamma$. Lahutades mõlemalt poolelt $\beta$, saame $\alpha=\gamma$.

Vastus: tippnurgad on võrdsed, sest mõlemad täiendavad sama nurga sirgnurgaks.

Teine näide: tõestame, et kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$.

Tõmbame läbi kolmnurga tipu $C$ vastasküljega $AB$ paralleelse sirge. Kolmnurga nurkadega $A$ ja $B$ võrdsed põiknurgad paiknevad nüüd tipu $C$ juures. Need kaks nurka ja kolmnurga nurk $C$ moodustavad sirgnurga. Seega

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Siin kasutati paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust.

Tüüpviga

Tüüpviga on kirjutada „jooniselt on näha”. Joonis aitab seost märgata, kuid tõestus peab nimetama definitsiooni, nurgaomaduse või teoreemi.

Teine viga on kasutada tõestatavat väidet tõestuse keskel põhjusena. Nii tekib ringpõhjendus.

Kolmas viga on ajada definitsioon ja omadus segi. Väide „ruudu kõik küljed on võrdsed” on osa ruudu definitsioonist; diagonaalide ristseis on sellest tuletatav omadus.

Neljas viga on ajada segi teoreemi eeldus ja väide. Teoreemi vastupidine suund ei kehti automaatselt ning vajab eraldi põhjendust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas „kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$” on definitsioon, aksioom või teoreem?
2. Sõnasta trapetsi definitsioon.
3. Sõnasta paralleelide aksioom oma sõnadega.

Rakendus

1. Kirjuta tippnurkade tõestusest välja antu ja eesmärk.
2. Nimeta kolmnurga sisenurkade summa teoreemi eeldus ja väide.
3. Leia viga põhjenduses „nurgad on võrdsed, sest nad paistavad võrdsed”.

Mõtlemisülesanne

1. Milliseid kolme varasemat seost kasutatakse kolmnurga sisenurkade summa tõestuses?
2. Kas vastunäide tõestab väite või lükkab üldväite ümber?
3. Koosta kaheveeruline väite-põhjuse tabel tippnurkade tõestusele.

Vastused

1. Teoreem, sest see on põhjendatav väide kolmnurkade kohta.
2. Trapets on nelinurk, millel on vähemalt üks paar paralleelseid vastaskülgi.
3. Läbi antud sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe selle sirgega paralleelse sirge.
4. Antud: kaks sirget lõikuvad. Eesmärk: näidata, et vastastikku asuvad tippnurgad on võrdsed.
5. Eeldus: kujund on kolmnurk. Väide: selle kolme sisenurga summa on $180^\circ$.
6. Võrdsus pole põhjendatud definitsiooni ega teoreemiga.
7. Paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust $180^\circ$.
8. Vastunäide lükkab üldväite ümber.
9. Näiteks „$\alpha+\beta=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\beta+\gamma=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\alpha=\gamma$ — võrdsetest summadest lahutati sama nurk”.

Seosed

Järgmistes peatükkides kasutatakse seda tõestuse vormi paralleelsete sirgete, kolmnurga, ringjoone ja sarnasuse omaduste põhjendamiseks.

Paralleelsed sirged ja nurgad

Mõiste

Paralleelsed sirged asuvad samal tasandil ega lõiku. Kui kolmas sirge ehk lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget, tekivad kindlad nurgaseosed.

Eeldus: tunned kõrvunurki ja tippnurki ning oskad lühikese põhjenduse sammud kirja panna.

Kui $a\parallel b$, siis:

• vastavad nurgad on võrdsed;
• põiknurgad on võrdsed;
• samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.

Need väited töötavad ka vastupidise tunnusena: kui lõikaja tekitab võrdsed vastavad nurgad, on sirged paralleelsed.

Näide

Sirged $a$ ja $b$ on paralleelsed. Lõikaja tekitab sirgel $a$ nurga $64^\circ$.

Sellele vastav nurk sirgel $b$ on samuti $64^\circ$. Tema kõrvunurk on

$$180^\circ-64^\circ=116^\circ.$$

Sama tulemuse annab samapoolsete sisenurkade summa.

Vastus: vastav nurk on $64^\circ$ ja selle kõrval olev nurk $116^\circ$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada paralleelsete sirgete nurgareeglit, kuigi paralleelsust pole antud ega tõestatud.

Teine viga on nimetada kõik võrdsed nurgad tippnurkadeks. Tippnurgad tekivad ühe lõikepunkti juures; vastavad ja põiknurgad asuvad eri lõikepunktides.

Kolmas viga on jätta vastuse juurde põhjus. Nurga suurus üksi ei näita, kas kasutati tippnurki, vastavaid nurki või kõrvunurki.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Üks vastav nurk on $52^\circ$. Kui suur on teine?
2. Üks samapoolne sisenurk on $71^\circ$. Leia teine.
3. Kas põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed?

Rakendus

1. Leia $138^\circ$ nurga kõrval olev kõrvunurk.
2. Lõikaja tekitab võrdse paari vastavaid nurki. Mida saab sirgete kohta järeldada?
3. Selgita, miks $83^\circ$ põiknurgale vastav põiknurk on samuti $83^\circ$.

Mõtlemisülesanne

1. Paralleelsete sirgete üks nurk on $x$ ja selle samapoolne sisenurk $3x$. Leia mõlemad.
2. Miks ei piisa paralleelsuse tõestamiseks sellest, et sirged joonisel ei paista lõikuvat?
3. Koosta kolmesammuline põhjendus, kuidas $47^\circ$ nurga abil leida kõrvalasuva lõikepunkti nürinurk.

Vastused

1. $52^\circ$, sest vastavad nurgad on võrdsed.
2. $109^\circ$, sest samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.
3. Jah, põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed.
4. $42^\circ$, sest kõrvunurkade summa on $180^\circ$.
5. Sirged on paralleelsed vastavate nurkade tunnuse järgi.
6. Paralleelseid sirgeid lõikava sirge tekitatud põiknurgad on võrdsed.
7. $x+3x=180^\circ$, seega nurgad on $45^\circ$ ja $135^\circ$.
8. Sirged võivad lõikuda väljaspool joonise nähtavat osa; vaja on nurgaseost või muud põhjendust.
9. Vastav nurk on $47^\circ$; selle tippnurk on $47^\circ$; kõrval olev kõrvunurk on $180^\circ-47^\circ=133^\circ$.

Seosed

Paralleelsete sirgete nurgaseosed annavad kolmnurga kesklõigu, trapetsi ja sarnaste kolmnurkade põhjendustele vajaliku keele.

Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Mõiste

Kolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.

Eeldus: tunned kolmnurga ja trapetsi osi ning oskad kasutada paralleelsete sirgete nurgaseoseid.

Kui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis

$$MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.$$

Kolmnurga mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse raskuskeskeks. Raskuskese jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on kaks korda pikem kui küljepoolne osa.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte, on alustega paralleelne ja selle pikkus on aluste aritmeetiline keskmine:

$$m=\frac{a+b}{2}.$$

Trapetsi kõrgus $h$ on aluste vaheline ristkaugus. Trapetsi pindala on

$$S=\frac{(a+b)h}{2}=mh.$$

Sama haara lähisnurkade summa on $180^\circ$, sest trapetsi alused on paralleelsed. Võrdhaarse trapetsi kummagi aluse lähisnurgad on paarikaupa võrdsed.

Näide

Kolmnurga kolmas külg $BC$ on 14 cm. Selle küljega paralleelne kesklõik on

$$MN=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$

Trapetsi alused on 8 cm ja 16 cm. Trapetsi kesklõik on

$$m=\frac{8+16}{2}=12\text{ cm}.$$

Kui selle trapetsi kõrgus on 5 cm, siis

$$S=mh=12\cdot5=60\text{ cm}^2.$$

Kolmnurga mediaani pikkus on 12 cm. Raskuskese jagab selle tipust alates osadeks

$$12\cdot\frac23=8\text{ cm}\quad\text{ja}\quad12\cdot\frac13=4\text{ cm}.$$

Vastus: kolmnurga kesklõik on 7 cm, trapetsi kesklõik 12 cm ja pindala 60 cm²; mediaani osad on 8 cm ja 4 cm.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga kolmnurga sees olevat paralleelset lõiku kesklõiguks. Selle otspunktid peavad olema kahe külje keskpunktid.

Teine viga on liita trapetsi alused, kuid unustada jagamine kahega.

Kolmas viga on kasutada trapetsi haarasid alustena. Alused on paralleelsed küljed.

Neljas viga on ajada mediaan ja kesklõik segi. Mediaan algab kolmnurga tipust; kesklõigu mõlemad otspunktid on külgede keskpunktid.

Viies viga on kasutada trapetsi pindala valemis haarapikkust kõrgusena. Kõrgus peab olema alustega risti.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga külg $BC=18$ cm. Leia sellega paralleelne kesklõik.
2. Trapetsi alused on 6 cm ja 10 cm. Leia kesklõik.
3. Milliste trapetsi külgedega on kesklõik paralleelne?
4. Milliseid punkte ühendab kolmnurga mediaan?

Rakendus

1. Kolmnurga kesklõik on 9 cm. Leia paralleelse kolmanda külje pikkus.
2. Trapetsi kesklõik on 13 cm ja üks alus 8 cm. Leia teine alus.
3. Trapetsi alused on 9 cm ja 15 cm ning kõrgus 6 cm. Leia pindala.
4. Mediaan on 15 cm. Leia raskuskeskme tekitatud kahe osa pikkused.

Mõtlemisülesanne

1. Trapetsi alused on $x$ ja $x+6$, kesklõik 12. Leia alused.
2. Miks on kolmnurga kesklõigu paralleelsus oluline nurgaseoste jaoks?
3. Trapetsi üks alus suureneb 4 cm ja teine ei muutu. Kui palju muutub kesklõik?
4. Võrdhaarse trapetsi üks alumine alusnurk on $68^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.

Vastused

1. 9 cm, sest kesklõik on kolmanda külje pool.
2. 8 cm, sest $(6+10):2=8$.
3. Mõlema alusega.
4. Kolmnurga tippu ja vastaskülje keskpunkti.
5. 18 cm, sest kolmas külg on kesklõigust kaks korda pikem.
6. $26-8=18$ cm, sest aluste summa on $2m=26$ cm.
7. $S=(9+15)\cdot6:2=72$ cm².
8. Tipupoolne osa on 10 cm ja küljepoolne osa 5 cm.
9. $(x+x+6):2=12$, seega $x=9$; alused on 9 cm ja 15 cm.
10. Paralleelsus tekitab võrdsed vastavad ja põiknurgad, mida saab põhjendustes kasutada.
11. 2 cm, sest kesklõigus jagatakse aluste summa kahega.
12. Alumised alusnurgad on mõlemad $68^\circ$ ja ülemised mõlemad $112^\circ$.

Seosed

Kesklõik loob silla paralleelsete sirgete ja sarnasuse vahel. Mediaani raskuskese kirjeldab kolmnurga tasakaalu ning trapetsi kesklõik seob alused vahetult pindala valemiga.

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Kesknurga tipp on ringi keskpunktis. Piirdenurga tipp on ringjoonel. Kui mõlemad toetuvad samale kaarele, on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem:

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Eeldus: tunned ringjoone osi, kolmnurga nurkade summat ja põhjenduse põhietappe.

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Kõõl ühendab ringjoone kaht punkti ja kaar on nende punktide vaheline ringjoone osa. Lõikaja läbib ringjoont kahes punktis. Puutuja puudutab ringjoont ühes punktis ning on selles punktis raadiusega risti. Ühest ringjoonevälisest punktist tõmmatud kahe puutujalõigu pikkused on võrdsed.

Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ümberringjoone keskpunktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad siseringjoone keskpunktis. Esimene punkt on kõigist tippudest, teine kõigist külgedest võrdsel kaugusel.

Korrapärasel hulknurgal on kõik küljed ja kõik nurgad võrdsed. Kui hulknurgal on $n$ külge, on keskpunkti ümber tekkiv kesknurk

$$\frac{360^\circ}{n}.$$

Ühe sisenurga suurus on

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$

Korrapärase hulknurga apoteem on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. Kui ümbermõõt on $P$ ja apoteem $r$, saab hulknurga jagada võrdseteks kolmnurkadeks ning

$$S=\frac{Pr}{2}.$$

Näide

Piirdenurk toetub samale kaarele kui kesknurk $124^\circ$. Piirdenurk on

$$124^\circ:2=62^\circ.$$

Korrapärase kuusnurga kesknurk on

$$360^\circ:6=60^\circ,$$

ja üks sisenurk

$$\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ.$$

Ringjoone puutepunkti tõmmatud raadiuse ja puutuja vaheline nurk on alati $90^\circ$.

Korrapärase ruudu külg on 8 cm ja apoteem 4 cm. Selle ümbermõõt on 32 cm ning pindala

$$S=\frac{32\cdot4}{2}=64\text{ cm}^2.$$

Vastus: piirdenurk on $62^\circ$; korrapärase kuusnurga kesk- ja sisenurk on vastavalt $60^\circ$ ning $120^\circ$; ruudu pindala on 64 cm².

Tüüpviga

Tüüpviga on võrrelda nurki, mis ei toetu samale kaarele.

Teine viga on ajada segi kesk- ja piirdenurga tegur: kesknurk on kaks korda suurem, piirdenurk kaks korda väiksem.

Kolmas viga on arvata, et võrdsete külgedega hulknurk on alati korrapärane. Korrapärasel hulknurgal peavad võrdsed olema ka nurgad.

Neljas viga on arvata, et iga ringjoont puudutavana näiv sirge on puutuja. Puutepunkti raadius peab olema sirgega risti.

Viies viga on vahetada sise- ja ümberringjoone keskpunkti konstruktsioonid: siseringjoone jaoks kasutatakse nurgapoolitajaid, ümberringjoone jaoks külgede keskristsirgeid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kesknurk on $90^\circ$. Leia sama kaare piirdenurk.
2. Piirdenurk on $38^\circ$. Leia sama kaare kesknurk.
3. Leia korrapärase kaheksanurga kesknurk.
4. Kui suur on puutuja ja puutepunkti tõmmatud raadiuse vaheline nurk?

Rakendus

1. Kaks piirdenurka toetuvad samale kaarele. Üks on $52^\circ$. Leia teine.
2. Leia korrapärase viisnurga ühe sisenurga suurus.
3. Miks on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk?
4. Milliste sirgete lõikepunkt annab kolmnurga ümberringjoone keskpunkti?
5. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 6 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

1. Korrapärase hulknurga kesknurk on $30^\circ$. Mitu külge hulknurgal on?
2. Korrapärase hulknurga üks sisenurk on $135^\circ$. Mitu külge sellel on?
3. Punktist $P$ on ringjoonele tõmmatud puutujad puutepunktidega $A$ ja $B$. Kui $PA=7$ cm, leia $PB$.
4. Selgita, miks korrapärase hulknurga kesknurkade summa on $360^\circ$.

Vastused

1. $45^\circ$, sest piirdenurk on sama kaare kesknurgast poole väiksem.
2. $76^\circ$, sest kesknurk on kaks korda suurem.
3. $45^\circ$, sest $360^\circ:8=45^\circ$.
4. $90^\circ$.
5. $52^\circ$, sest samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
6. $108^\circ$, sest $(5-2)\cdot180^\circ:5=108^\circ$.
7. Diameetrile vastav kesknurk on $180^\circ$, seega piirdenurk on $90^\circ$.
8. Kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunkt.
9. $S=40\cdot6:2=120$ cm².
10. 12 külge, sest $360^\circ:30^\circ=12$.
11. 8 külge, sest $180^\circ-360^\circ:n=135^\circ$, millest $n=8$.
12. $PB=7$ cm, sest ühest punktist tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.
13. Need paiknevad ühise keskpunkti ümber ja moodustavad täispöörde.

Seosed

Ringjoone nurgad, puutuja ning sise- ja ümberringjoon valmistavad ette Thalese teoreemi põhjalikku tõestust. Apoteem seob korrapärase hulknurga ringjoone, kolmnurkade ja pindalaga.

Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Mõiste

Sarnastel kujunditel on sama kuju: vastavad nurgad on võrdsed ja vastavate külgede pikkused on võrdelised. Sarnasustegur näitab, mitu korda vastavad pikkused erinevad.

Eeldus: oskad koostada võrret, tunned paralleelsete sirgete nurgaseoseid ning loed kolmnurkade tippude järjekorda.

Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

Kolmnurkade sarnasuse põhitunnused:

• kaks vastavat nurka on võrdsed;
• kolm vastavate külgede suhet on võrdsed;
• kahe vastava külje suhted ja nendevahelised nurgad on võrdsed.

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, muutuvad ümbermõõdud $k$ ja pindalad $k^2$ korda.

Näide

1,5 m pikkuse mõõdulati vari on 2 m. Samal ajal on puu vari 8 m. Päikesekiired tekitavad sarnased kolmnurgad, seega

$$\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}.$$

Siit

$$h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6\text{ m}.$$

Vastus: puu kõrgus on 6 m, eeldusel et mõlemat varju mõõdeti samal tasasel pinnal ja samal ajal.

Tüüpviga

Tüüpviga on panna võrdesse küljed, mis ei ole vastavas asendis.

Teine viga on järeldada sarnasust ainult selle põhjal, et kujundid paistavad sama kujuga. Vaja on sarnasuse tunnust.

Kolmas viga on kasutada pindala jaoks tegurit $k$. Pindala muutub teguriga $k^2$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Vastavad küljed on 4 cm ja 10 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab $BC$?
3. Kui pikkused suurenevad 3 korda, mitu korda suureneb pindala?

Rakendus

1. Sarnasustegur on 2,5 ja väiksema kujundi külg 6 cm. Leia vastav suurem külg.
2. Posti vari on 6 m ja 1 m pikkuse lati vari 1,5 m. Leia posti kõrgus.
3. Plaani mõõtkava on $1:500$. Kui pikk on plaanil 3 cm lõik tegelikkuses?

Mõtlemisülesanne

1. Väiksema kujundi pindala on 12 cm² ja sarnasustegur 2. Leia suurema pindala.
2. Kirjelda, kuidas mõõta jõe laiust ilma jõge ületamata, kasutades nähtavaid punkte ja sarnaseid kolmnurki.
3. Miks tuleb varjumeetodil mõõta lati ja objekti vari samal ajal?

Vastused

1. $k=10:4=2{,}5$.
2. Küljele $EF$, sest tipud vastavad samas järjekorras.
3. 9 korda, sest pindala tegur on $3^2$.
4. $6\cdot2{,}5=15$ cm.
5. $h:6=1:1{,}5$, seega $h=4$ m.
6. $3\cdot500=1500$ cm ehk 15 m.
7. $12\cdot2^2=48$ cm².
8. Märgi kaldal baaslõik ja sellega seotud vaatesuunad, konstrueeri kuival maal samade nurkadega väiksem kolmnurk ning kasuta vastavate külgede võrret.
9. Päikese kõrgus ja seega kiirte nurk muutub ajas; eri ajal mõõdetud kolmnurgad ei pruugi olla sama mudeli järgi sarnased.

Seosed

Sarnasus on mõõtkava, maa-ala plaanistamise, Pythagorase teoreemi rakenduste ja trigonomeetria oluline eeldus.

Pythagoras ja sarnasus

Mõiste

Täisnurkses kolmnurgas kehtib Pythagorase teoreem:

$$a^2+b^2=c^2.$$

Siin $c$ tähistab hüpotenuusi ehk täisnurga vastaskülge.

Eeldus: tunned täisnurkset kolmnurka ja sarnasust ning oskad arvutada ruutjuurt.

Sarnastel kujunditel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad küljed võrdelised.

Sarnasustegur $k$ näitab, mitu korda on ühe kujundi vastavad pikkused teise omadest suuremad:

$$k=\frac{\text{uue kujundi külg}}{\text{algse kujundi vastav külg}}.$$

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, siis pindalad muutuvad $k^2$ korda.

Vastavate külgede leidmiseks:

1. leia võrdsed nurgad;
2. vaata, millised küljed on nende nurkade vastas;
3. pane samas rollis küljed ühte suhtesse;
4. kontrolli, et kõik suhted annaksid sama sarnasusteguri.

Kui kolmnurgad on kirjutatud kujul $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavus käib samas järjekorras:

Näide

Kui kaatetid on 6 ja 8, siis

$$c^2=6^2+8^2=100,$$

seega $c=10$.

Sarnasuse näide: kaks kolmnurka on sarnased. Väiksema kolmnurga külg on 4 cm ja vastav suurema kolmnurga külg 10 cm. Siis sarnasustegur väiksemalt suuremale on

$$k=\frac{10}{4}=2,5.$$

Kui väiksema kolmnurga pindala on $12\text{ cm}^2$, siis suurema kolmnurga pindala on

$$12\cdot2,5^2=12\cdot6,25=75\text{ cm}^2.$$

Vastavate külgede näide: olgu

$$\triangle ABC\sim\triangle DEF,$$

kus $AB=6$, $BC=8$, $AC=10$ ning $DE=9$. Kuna $AB$ vastab küljele $DE$, on sarnasustegur

$$k=\frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=1,5.$$

Siis

$$EF=BC\cdot1,5=8\cdot1,5=12,$$

ja

$$DF=AC\cdot1,5=10\cdot1,5=15.$$

Vastus: suurem kolmnurk on külgedega 9, 12 ja 15; juhuslikult $BC$ ja $DE$ võrreldes saaks vale teguri.

Tüüpviga

Pythagorase teoreemi saab kasutada ainult täisnurkses kolmnurgas.

Sarnasuses tuleb võrrelda vastavaid külgi. Kõige tavalisem viga on võtta juhuslikult kaks külge, mis ei ole samas asendis. Vastavad küljed on nende võrdsete nurkade vastas või samas rollis kujundis.

Teine tüüpviga on pindala puhul kasutada tegurit $k$, kuigi pindala muutub teguriga $k^2$.

Kolmas tüüpviga on hüpotenuusi ja kaateti segiajamine Pythagorase teoreemis. Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg ja on kõige pikem külg.

Neljas tüüpviga on lugeda sarnaste kolmnurkade tippude järjekorda hooletult. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis $AB$ ei vasta küljele $EF$, vaid küljele $DE$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 5 ja 12. Leia hüpotenuus.
2. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 13 ja üks kaatet 5. Leia teine kaatet.
3. Kaks kujundit on sarnased. Vastavad küljed on 6 cm ja 15 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
4. Kui sarnasustegur on 3, mitu korda muutub pindala?

Rakendus

1. Väikese kujundi pindala on 20 cm² ja sarnasustegur suuremale on 2. Leia suurema kujundi pindala.
2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab külg $BC$?
3. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, $AB=4$, $DE=10$ ja $BC=7$, leia $EF$.
4. Koolimaja ees oleva lipumasti vari on 9 m ja samal ajal 1,5 m pikkuse õpilase vari on 1 m. Kui kõrge on lipumast?

Mõtlemisülesanne

1. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 2,5 ja väiksema ümbermõõt on 18 cm, leia suurema ümbermõõt.
2. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 4, mitu korda on suurema kujundi pindala suurem?
3. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus 10 ja üks kaatet 8. Leia teine kaatet.
4. Päästeameti redel ulatub 8 m kõrgusele, kui redeli alumine ots on seinast 6 m kaugusel. Kui pikk peab redel vähemalt olema?

Vastused

1. $13$, sest täisnurkses kolmnurgas $5^2+12^2=13^2$.
2. $12$, sest teine kaatet rahuldab $13^2-5^2=144$.
3. $k=\frac{15}{6}=2,5$.
4. $3^2=9$ korda.
5. $20\cdot2^2=80\text{ cm}^2$.
6. Küljele $EF$, sest vastavus käib järjekorras $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.
7. $k=\frac{10}{4}=2,5$, seega $EF=7\cdot2,5=17,5$.
8. Lipumast on $9\cdot1,5=13,5$ m kõrge; kasutatakse sarnaste kolmnurkade võrdelisi külgi.
9. $18\cdot2,5=45\text{ cm}$.
10. $4^2=16$ korda.
11. $b^2=10^2-8^2=100-64=36$, seega $b=6$.
12. $\sqrt{8^2+6^2}=10$ m.

Seosed

Pythagoras ja sarnasus on trigonomeetria, mõõtkava ning analüütilise geomeetria alus. Järgmine peatükk põhjendab Pythagorase teoreemi pindalade abil ja rakendab seda korrapäraste hulknurkade joonelementide leidmisel.

Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Pythagorase teoreem ei ole ainult arvutusreegel. Seda saab tõestada pindalade võrdlemisega.

Eeldus: oskad kasutada seost $a^2+b^2=c^2$, arvutada kolmnurga pindala ja jagada korrapärase hulknurga keskpunktist kolmnurkadeks.

Paigutame neli kaatetitega $a$ ja $b$ täisnurkset kolmnurka küljega $a+b$ ruutu. Keskele jääb küljega $c$ ruut.

$$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$

Avades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb

$$a^2+b^2=c^2.$$

Korrapärase hulknurga keskpunktist tõmmatud lõigud jagavad kujundi võrdseteks kolmnurkadeks. Apoteem $r$ on nende kolmnurkade kõrgus, seega

$$S=\frac{Pr}{2},$$

kus $P$ on hulknurga ümbermõõt.

Näide

Korrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast. Ühe kolmnurga kõrgus on

$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$

Ühe kolmnurga pindala on $\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala

$$S=6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\text{ cm}^2.$$

Kontroll: sama tulemuse annab $P=24$ ja $r=2\sqrt3$ asetamine valemisse $S=\frac{Pr}{2}$.

Tüüpviga

Pindalatõestuses tuleb võrrelda sama suure ruudu kahte kirjeldust; joonis üksi ei ole tõestus. Teine tüüpviga on kasutada apoteemi asemel ümberringjoone raadiust. Apoteem lõpeb külje keskpunktis ja on küljega risti.

Kolmas tüüpviga on arvata, et korrapärase kuusnurga keskpunktist tekivad täisnurksed kolmnurgad kohe tervikuna. Esmalt tekivad võrdkülgsed kolmnurgad; apoteem poolitab ühe neist kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui palju on nelja kaatetitega $a,b$ kolmnurga pindala kokku?
2. Leia ruudu diagonaal, kui külg on 5 cm.