Arvuhulgad ja reaalarvud

Mõiste

Arvuhulk on arvude rühm. Sama arv võib kuuluda mitmesse rühma korraga. Põhilised arvuhulgad on:

Eeldus: oskad töötada murdude, kümnendmurdude ja negatiivsete arvudega ning tead, et sama arvu saab vahel kirjutada mitmel kujul.

• $\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
• $\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Reaalarvud ei ole eraldi “uus kast ainult uutele arvudele”: sinna kuuluvad ka kõik eelnevate hulkade arvud.

Need hulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

See tähendab, et iga naturaalarv on ka täisarv, iga täisarv on ka ratsionaalarv ja iga ratsionaalarv on ka reaalarv. Reaalarvude hulka kuuluvad lisaks irratsionaalarvud, mis ei kuulu ratsionaalarvude hulka.

Täisarvud kuuluvad ka ratsionaalarvude hulka, sest näiteks $-3=\frac{-3}{1}$. Sama ratsionaalarvu saab sageli kirjutada mitme murruna: näiteks $\frac12$, $\frac24$ ja $\frac48$ tähistavad sama arvu. Üldiselt tähistavad murrud $\frac ab$ ja $\frac cd$ sama ratsionaalarvu, kui $a\cdot d=b\cdot c$.

Murd on kirjutusviis; arv on väärtus, mida see kirjutusviis tähistab.

Mõnda ratsionaalarvu saab kirjutada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna: näiteks $\frac13=0,333\ldots$. Irratsionaalarvu ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Näide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Kuuluvust saab kontrollida tabelina:

Vastus: tabelis kuuluvad kõik arvud reaalarvude hulka, aga naturaalarvude hulka ainult $7$.

Tüüpviga

Lõpmatu kümnendmurd ei ole automaatselt irratsionaalne. Näiteks $0,333\ldots=\frac13$.

Teine tüüpviga on arvata, et iga ruutjuurega arv on irratsionaalne. Näiteks $\sqrt2$ on irratsionaalarv, aga $\sqrt9=3$ on naturaalarv.

Kolmas tüüpviga on märkida arv ainult kõige väiksemasse hulka. Kui arv $7$ on naturaalarv, siis ta kuulub ka hulkadesse $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$.

Praktiline kontroll: leia kõige kitsam sobiv hulk, siis lisa kõik sellest suuremad hulgad. Näiteks $-5$ algab täisarvudest, aga kuulub edasi ka ratsionaal- ja reaalarvudesse.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millistesse arvuhulkadesse kuulub -7?
2. Kirjuta 0,125 hariliku murruna.

Rakendus

1. Too üks irratsionaalarvu näide.
2. Millistesse arvuhulkadesse kuulub $\frac56$?

Mõtlemisülesanne

1. Kas $\sqrt9$ on irratsionaalarv?
2. Millistesse hulkadesse kuulub arv $\frac{7}{2}$?
3. Kas $\frac48$ ja $\frac12$ tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.
4. Millistesse hulkadesse kuulub arv $0$, kui sinu kokkuleppes $0\notin\mathbb{N}$?

Vastused

1. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $-7=\frac{-7}{1}$.
2. $0,125=\frac18$, seega arv on ratsionaalne.
3. Näiteks $\sqrt2$ või $\pi$, sest neid ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada.
4. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac56$ on kahe täisarvu jagatis.
5. Ei. $\sqrt9=3$, seega see on naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv ja reaalarv.
6. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac72=3,5$ ei ole täisarv.
7. Jah, sest $4\cdot2=8\cdot1$; mõlemad tähistavad arvu $\frac12$.
8. Siis $0\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{Q}$ ja $0\in\mathbb{R}$, sest $0=\frac01$; valitud kokkuleppes ei ole ta naturaalarv.

Seosed

Arvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.

Võrratused ja vahemikud

Mõiste

Võrratus kirjeldab väärtuste hulka, mitte ainult ühte arvu. Lahendit esitatakse sageli arvteljel või vahemikuna.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrratusi, lugeda arvtelge ning eristada rangeid ja mitterangeid märke.

Reegel

Negatiivse arvuga korrutades või jagades pöördub võrratuse märk:

$$-2x<6 \quad \Rightarrow \quad x>-3.$$

Vahemikud

• $[a;b]$ sisaldab otspunkte.
• $(a;b)$ ei sisalda otspunkte.
• $[a;b)$ sisaldab vasakut, aga mitte paremat otspunkti.
• Lõpmatuse märgi juures kasutatakse alati ümarsulgu, näiteks $(-\infty;3]$.

Märkide tähendus:

Vahemike ühisosa $\cap$ tähendab väärtusi, mis sobivad mõlemasse hulka. Mõtle sellest kui sõnast "ja". Vahemike ühend $\cup$ tähendab väärtusi, mis sobivad vähemalt ühte hulka. Mõtle sellest kui sõnast "või".

Näide

$$3x+1\le10$$

$$3x\le9$$

$$x\le3.$$

Vahemikuna:

$$(-\infty;3].$$

Ühisosa:

$$[1;6]\cap[4;9]=[4;6].$$

Ühend:

$$[1;6]\cup[4;9]=[1;9].$$

Kui vahemikud ei puutu kokku, jääb ühend kaheks osaks:

$$[1;3]\cup[5;7].$$

Kui vahemikel pole ühiseid arve, on ühisosa tühi:

$$[1;3]\cap[5;7]=\varnothing.$$

Vastus: võrratuse lahend on $(-\infty;3]$; ühisosa ja ühend on vastavalt [4;6] ja [1;9].

Tüüpviga

Märgi pööramist unustatakse just siis, kui jagatakse negatiivse kordajaga.

Teine tüüpviga on segi ajada ühend ja ühisosa. Kui ülesanne nõuab korraga mõlema tingimuse täitmist, on vaja ühisosa. Kui piisab vähemalt ühest tingimusest, on vaja ühendit.

Kolmas tüüpviga on otspunkt valesti märkida. $x<4$ annab tühja punkti, $x\le4$ täidetud punkti.

Kui jäid kinni

Korda kõigepealt lineaarvõrrandi lahendamise samme ja arvteljel võrdlemist. Vaata näitest, millal märk pöördub ja kuidas otspunkt vahemikus märgitakse. Alusta harjutustest 1 ja 2, siis kontrolli ühisosa ning ühendit ülesannetes 4 ja 5.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x-5>7$.
2. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

1. Kirjuta vahemikuna “kõik arvud 2-st suuremad ja 5-st väiksemad”.
2. Rattalaenutus maksab 5 eurot ja lisaks 3 eurot iga tunni eest. Eelarve on kuni 23 eurot. Koosta aja $t$ kohta võrratus ja leia võimalik ajavahemik, kui $t\ge0$.

Mõtlemisülesanne

1. Leia $[0;8]\cap[3;10]$.
2. Leia $[0;2]\cup[2;5]$.
3. Leia $(1;6)\cap[4;8]$.
4. Lahenda $5-2x<1$ ja kirjuta vastus vahemikuna.
5. Õpilane väidab, et arv 2 kuulub hulka $(-\infty;2]\cap(2;6)$. Kas väide on õige? Leia ühisosa ja põhjenda.

Vastused

1. $2x>12$, seega $x>6$; vahemikuna $(6;\infty)$, sest 6 ise ei kuulu hulka.
2. Jagades negatiivse arvuga -3 pöördub märk: $x\ge-4$; vahemikuna $[-4;\infty)$.
3. $(2;5), sest mõlemad märgid on ranged ja otspunktid ei kuulu hulka.
4. $5+3t\le23$, seega $t\le6$. Koos tingimusega $t\ge0$ on võimalik aeg $[0;6]$ tundi.
5. $[3;8]$, sest need arvud kuuluvad mõlemasse vahemikku.
6. $[0;5]$, sest vahemikud puutuvad punktis 2 kokku ja ühend jääb üheks lõiguks.
7. $[4;6)$; 4 kuulub mõlemasse, 6 ei kuulu esimesse vahemikku.
8. $-2x<-4$, jagamisel -2-ga pöördub märk, seega $x>2$; vahemikuna $(2;\infty)$.
9. Väide ei ole õige. Ühisosa on $\varnothing$, sest arv $2$ kuulub esimesse, aga mitte teise vahemikku.

Seosed

Võrratused ja vahemikud on vajalikud funktsioonide määramispiirkonna, graafikute piirkondade ja analüüsi piirangute kirjeldamisel. Järgmised õpiteekonna moodulid kasutavad neid oskusi teemasid kokku sidudes.

Eksponentfunktsioon ja logaritm

Mõiste

Eksponentfunktsioonis on muutuja astendajas:

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

Eeldus: oskad kasutada astmeid, protsente ja funktsiooni väärtuse arvutamist.

Logaritm vastab küsimusele: millisesse astmesse tuleb alus võtta?

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Seega logaritm on astendamise pöördtehe:

Funktsioonid $y=a^x$ ja $y=\log_a x$ on pöördfunktsioonid: üks vahetab teise sisendi ja väljundi tagasi.

Püsiva protsendilise kasvuga mudel on kujul

$$A(t)=A_0\cdot q^t,$$

kus $A_0$ on algväärtus, $q$ on kasvutegur ja $t$ on aeg.

Kontroll: lineaarse mudeli korral on järjestikuste väärtuste vahe püsiv; eksponentmudeli korral on järjestikuste väärtuste jagatis ehk kordaja püsiv.

Kui suurus kasvab $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1+\frac p{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1-\frac p{100}.$$

Näide

$$\log_2 8=3,$$

sest

$$2^3=8.$$

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas, siis ühe aasta kasvutegur on $1,05$. Kolme aasta pärast on summa

$$1000\cdot1,05^3\approx1157,63\text{ eurot}.$$

Kui aine kogus väheneb igal tunnil 20%, siis kasvutegur on $0,8$. Kui alguses on 50 grammi, siis 4 tunni pärast on

$$50\cdot0,8^4=20,48\text{ g}.$$

Kui küsitakse, mitme sammuga jõutakse mingi väärtuseni, kasutatakse logaritmi. Näiteks

$$2^x=32$$

annab

$$x=\log_2 32=5.$$

Veel üks näide:

$$10^x=0,001.$$

Kuna $0,001=10^{-3}$, siis

$$x=\log_{10}0,001=-3.$$

Kasvumudelis saab logaritmiga leida aja. Kui summa kahekordistub iga sammuga ja alguses on 100 eurot, siis

$$100\cdot2^t=800.$$

Jagame 100-ga:

$$2^t=8.$$

Seega

$$t=\log_2 8=3.$$

Vastus: 800 euroni jõutakse 3 sammuga.

Tüüpviga

Eksponentkasvus ei liideta igal sammul sama arvu, vaid korrutatakse sama teguriga. Näiteks 10% võetakse iga kord uuest väärtusest.

Teine tüüpviga on logaritmi aluse unustamine. $\log_2 8$ ja $\log_{10}8$ ei ole sama arv.

Kolmas tüüpviga on logaritmi vastuseks võtta arv, mille logaritmi arvutatakse. Näiteks $\log_2 8$ ei ole 8. Vastus on aste 3, sest $2^3=8$.

Neljas tüüpviga on logaritmi kasutada siis, kui otsitav ei ole astendajas. Võrrandis $3x=12$ ei ole vaja logaritmi; seal piisab jagamisest.

Viies tüüpviga on võtta logaritm nullist või negatiivsest arvust. Reaalarvude hulgas $\log_a b$ on defineeritud ainult siis, kui $b>0$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\log_2 16$.
2. Kirjuta logaritmina võrdus $5^3=125$.
3. 200 eurot kasvab 10% aastas. Kirjuta summa valem $A(t)$.
4. Leia 200 euro suurune summa 2 aasta pärast 10% aastase kasvuga.

Rakendus

1. Ravimit on 500 mg ja kogus väheneb 30% tunnis. Kirjuta mudel ning leia kogus kahe tunni pärast.
2. Baktereid on 40 ja nende arv kolmekordistub tunnis. Kui palju on neid kolme tunni pärast?
3. Kumb kahaneb kiiremini: $A(t)=100\cdot0{,}8^t$ või $B(t)=100\cdot0{,}9^t$? Põhjenda teguri järgi.

Mõtlemisülesanne

1. Investeeringut kirjeldab $A(t)=200\cdot1{,}15^t$. Mitme täisaasta pärast on summa esimest korda vähemalt 400 eurot? Kasuta logaritmi.
2. Võrdle hetkel $t=5$ mudeleid $P(t)=100\cdot1{,}2^t$ ja $Q(t)=150\cdot1{,}1^t$. Kumb on suurem, kuigi alguses väiksem?
3. 50 ühikut kahekordistub igal sammul. Millal jõuab väärtus esimest korda vähemalt 350-ni? Leia reaalne lahend ja tõlgenda täissammu.
4. Miks ei ole $\log_2(-8)$ reaalarvuna defineeritud?

Vastused

1. $4$, sest $2^4=16$.
2. $\log_5 125=3$; alus on 5 ja vastus on aste.
3. $A(t)=200\cdot1,10^t$, sest 10% kasv annab teguri 1,10.
4. $200\cdot1,10^2=242$ eurot; korrutatakse kasvuteguriga kaks korda.
5. $A(t)=500\cdot0{,}70^t$ ja $A(2)=245$ mg; alles jääb iga tund 70%.
6. $B(t)=40\cdot3^t$, seega $B(3)=1080$ bakterit.
7. $A$, sest tegur 0,8 eemaldab tunnis 20%, tegur 0,9 ainult 10%.
8. $t\ge\frac{\log 2}{\log 1{,}15}\approx4{,}96$; esimene sobiv täisaasta on 5.
9. $P(5)\approx248{,}8$ ja $Q(5)\approx241{,}6$, seega $P$ on möödunud mudelist $Q$.
10. $t\ge\log_2 7\approx2{,}81$; esimene täissamm on 3 ja siis on väärtus 400.
11. Ükski reaalarvuline aste arvust 2 ei anna negatiivset tulemust; logaritmi argument peab olema positiivne.

Seosed

Eksponentfunktsioon kirjeldab kasvu ja kahanemist: intress, populatsioon, radioaktiivne lagunemine, skaala ja helitugevus. Järgmine trigonomeetriliste funktsioonide peatükk käsitleb teist olulist funktsioonipere: perioodilisi seoseid.

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Mõiste

Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:

Eeldus: oskad vahetada seoseid $a^x=b$ ja $\log_a b=x$ ning kontrollida tingimusi $a>0$, $a\ne1$ ja logaritmi argument $>0$.

Aluse vahetamise valem on

See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.

Eksponentvõrrandis püütakse esmalt saada mõlemale poole sama alus. Kui see ei õnnestu, võetakse mõlemast poolest logaritm. Logaritmvõrrandis kontrollitakse enne teisendamist kõigi argumentide positiivsust.

Eksponent- ja logaritmvõrratuse suund sõltub alusest:

• kui $a>1$, on $a^x$ ja $\log_a x$ kasvavad;
• kui $0

Näide

Lahendame

Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi

seega

Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.

Võrratuses

on alus arvude 0 ja 1 vahel. Funktsioon on kahanev, seega $x<3$.

Tüüpviga

Logaritm ei jaotu summa üle:

Teine tüüpviga on unustada argumendi tingimus. Algebraline teisendus võib anda kandidaadi, mille korral mõni algne logaritm puudub.

Kolmas tüüpviga on jätta kahaneva aluse korral võrratuse märk pööramata. Enne võrratuse lahendamist otsusta alati, kas alus on suurem kui 1 või arvude 0 ja 1 vahel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Avalda ühe logaritmina $\log_3 5+\log_3 9$.
2. Avalda $\log_2 32-\log_2 4$.
3. Arvuta $\log_2 7$ aluse vahetamise valemiga kahe komakoha täpsusega.

Rakendus

1. Kasvumudel on $N(t)=3^{t+1}$. Leia aeg $t$, mil mudeli väärtus on 27.
2. Lahenda $\log_5(x-4)=2$ ja kontrolli tingimust.
3. Lahenda $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.

Mõtlemisülesanne

1. Lahenda $2^x>8$.
2. Lahenda $\left(\frac13\right)^x\le\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.
3. Lahenda $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.

Vastused

1. $\log_3 45$, sest logaritmide summa ühendab argumendid korrutiseks.
2. $\log_2 8=3$, sest logaritmide vahe ühendab argumendid jagatiseks.
3. $\log_2 7=\frac{\log 7}{\log2}\approx2{,}81$.
4. $t=2$, sest $27=3^3$ ja seega $t+1=3$.
5. $x=29$; argument $x-4=25$ on positiivne.
6. Tingimus on $x>2$. Võrrand annab $x(x-2)=8$, kandidaadid 4 ja $-2$; vastus on $x=4$.
7. $x>3$, sest alus 2 on suurem kui 1 ja funktsioon kasvab.
8. $x\ge3$, sest alus $\frac13$ on kahanev ning võrratuse suund pöördub.
9. Tingimus on $x>3$. Võrrand annab $(x-1)(x-3)=8$, seega kandidaadid $x=5$ ja $x=-1$; ainult $x=5$ täidab tingimuse.

Seosed

Logaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.

Trigonomeetrilised funktsioonid

Mõiste

Funktsioonid $\sin x$, $\cos x$ ja $\tan x$ kirjeldavad perioodilisi seoseid. Need on seotud ringliikumise ja lainetega.

Eeldus: oskad kasutada täisnurkse kolmnurga siinust, koosinust ja tangensit ning lugeda punkti koordinaatteljestikul.

Täisnurkses kolmnurgas oli

$$\sin\alpha=\frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}.$$

Ühikringil on hüpotenuusi asemel raadius pikkusega 1. Seetõttu muutuvad suhted otse koordinaatideks:

$$\cos\alpha=x,\qquad \sin\alpha=y.$$

See ongi sild täisnurkse kolmnurga ja trigonomeetriliste funktsioonide vahel: kolmnurga külgede suhted saavad ühikringil punkti koordinaatideks.

Põhiseosed

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

Tangens:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cos x\ne0.$$

Sama nurka saab suurendada täisringi võrra ja punkt jõuab ühikringil samasse kohta:

$$\sin(x+360^\circ)=\sin x,\qquad \cos(x+360^\circ)=\cos x.$$

Radiaanides on täisring $2\pi$, seega

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x.$$

Tangensi periood on lühem:

$$\tan(x+180^\circ)=\tan x,$$

ehk radiaanides $\tan(x+\pi)=\tan x$.

Funktsioonide $\sin x$ ja $\cos x$ väärtused jäävad vahemikku [-1;1]. Nende amplituud on 1 ja periood on $360^\circ$ ehk $2\pi$.

Graafikul tähendab periood seda, et sama lainekuju kordub. Siinusgraafik algab väärtusest 0, koosinusgraafik algab väärtusest 1.

Märgid veerandites

Ühikring aitab näha, millal siinus ja koosinus on positiivsed või negatiivsed.

Väärtused, mida tasub tunda

Näide

Kui $\alpha=30^\circ$, siis

$$\sin30^\circ=\frac12.$$

Ühikringil tähendab see, et vastava punkti $y$-koordinaat on $\frac12$.

Kui $\alpha=150^\circ$, siis nurk on II veerandis. Seal on siinus positiivne ja koosinus negatiivne:

$$\sin150^\circ=\frac12,$$

$$\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Kui $x=45^\circ$, siis

$$\tan45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$

Vastus: $\sin30^\circ=\sin150^\circ=\frac12$, $\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$ ja $\tan45^\circ=1$.

Tüüpviga

Kraadid ja radiaanid on eri mõõtühikud. Arvutis või kalkulaatoris tuleb kontrollida, kumb režiim on kasutusel.

Teine tüüpviga on unustada märk. Näiteks $\sin30^\circ$ ja $\sin150^\circ$ on mõlemad positiivsed, aga $\cos30^\circ$ ja $\cos150^\circ$ on eri märgiga.

Kolmas tüüpviga on arvata, et $\tan90^\circ$ on väga suur arv. Tegelikult pole see defineeritud, sest

$$\tan90^\circ=\frac{\sin90^\circ}{\cos90^\circ}=\frac{1}{0},$$

ja nulliga jagada ei saa.

Neljas tüüpviga on unustada, et perioodilisus annab sama väärtuse mitme nurga korral. Näiteks $\sin30^\circ=\sin150^\circ$, aga nurgad on erinevad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\cos0^\circ$.
2. Mis on $\sin^2x+\cos^2x$ väärtus?
3. Miks $\tan90^\circ$ pole defineeritud?

Rakendus

1. Mis on ühikringil punkti koordinaadid, kui nurk on $60^\circ$?
2. Mis märgiga on $\sin220^\circ$ ja $\cos220^\circ$?
3. Vaateratta kõrgust kirjeldab $h(x)=12+10\sin x$, kus $x$ on nurk kraadides. Leia $h(30^\circ)$ ja tõlgenda arvu 12.

Mõtlemisülesanne

1. Kui $\cos x=0$, siis miks võib tangensiga probleem tekkida?
2. Leia kõik nurgad vahemikus $0^\circ\le x\le720^\circ$, mille korral $\sin x=0$.
3. Kas $\sin x$ väärtus võib olla 2? Põhjenda.

Vastused

1. $1$, sest ühikringil on nurga $0^\circ$ punkt (1;0).
2. $1$; see on ühikringi seos $\sin^2x+\cos^2x=1$.
3. Sest $\cos90^\circ=0$ ja tangensis jagatakse koosinusega.
4. $\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$, sest punkt on $(\cos60^\circ;\sin60^\circ)$.
5. Mõlemad on negatiivsed, sest $220^\circ$ on III veerandis.
6. $h(30^\circ)=12+10\cdot\frac12=17$ m; arv 12 on vaateratta keskpunkti kõrgus.
7. Sest $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$; kui nimetaja on 0, pole jagamine lubatud.
8. $0^\circ,180^\circ,360^\circ,540^\circ,720^\circ$; siinus on null iga poolpöörde järel.
9. Ei. Siinuse väärtused jäävad vahemikku [-1;1], sest ühikringi $y$-koordinaat ei saa sellest väljuda.

Seosed

Trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldavad perioodilist muutumist. Edasi seotakse nende graafikud radiaanmõõduga ning ühikringi seostest tuletatakse trigonomeetrilised valemid ja põhivõrrandid.

Radiaanid ja perioodilisus

Mõiste

Radiaan on nurga mõõt, mis põhineb kaare pikkusel. Täispööre on

$$2\pi\text{ rad}=360^\circ.$$

Eeldus: tunned ühikringi, trigonomeetriliste funktsioonide perioodi ning kraadides mõõdetud nurki.

Seega

$$\pi\text{ rad}=180^\circ.$$

Ühikringil tähendab $1$ radiaan ligikaudu sellist nurka, millele vastava kaare pikkus on sama suur kui ringi raadius.

Üldiselt on radiaanides nurk kaare pikkuse ja raadiuse suhe.

See suhe on ühikuta arv, aga kirjutame juurde rad, et oleks selge, et arv mõõdab nurka.

Enne arvutamist kontrolli, kas nurk on kraadides või radiaanides; sama arv võib neis kahes mõõdus tähendada täiesti erinevat pööret.

Kraadide ja radiaanide teisendamise põhiseos on

$$180^\circ=\pi\text{ rad}.$$

Kui nurk on radiaanides, siis kaare pikkus on

$$s=r\alpha,$$

kus $r$ on raadius ja $\alpha$ nurk radiaanides.

See on radiaani eelis: nurk ja kaare pikkus seotakse otse sama ringi raadiusega.

Seega:

$$\text{kraadid}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiaanid},$$

$$\text{radiaanid}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\text{kraadid}.$$

Teisendustabel

Perioodilisus

Siinus ja koosinus korduvad perioodiga $2\pi$:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x.$$

$$\cos(x+2\pi)=\cos x.$$

See tähendab, et graafik kordub iga täispöörde järel.

Ühikringil jõuad pärast $2\pi$ lisamist samasse punkti tagasi.

Tangens kordub perioodiga $\pi$:

$$\tan(x+\pi)=\tan x.$$

Põhjus on see, et poole pöörde järel on ühikringi punkt vastaspunktis, kuid suhe $\frac{\sin x}{\cos x}$ jääb samaks:

$$\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Näide

$$90^\circ=\frac{\pi}{2}\text{ rad}.$$

Teisendame $150^\circ$ radiaanideks:

$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}.$$

Teisendame $\frac{3\pi}{4}$ kraadideks:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$$

Perioodilisuse tõttu

$$\sin\left(x+2\pi\right)=\sin x,$$

näiteks

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$

Vastus: $150^\circ=\frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ ja täispöörde lisamine ei muuda siinuse väärtust.

Tüüpviga

Kui kalkulaator on radiaanides, siis sin(30) ei tähenda $\sin 30^\circ$.

Radiaanides on 30 väga suur nurk, mitte $30^\circ$. Kui ülesandes on kraadid, kirjuta kraadimärk või teisenda nurk enne radiaanideks.

Teine tüüpviga on segada perioodi ja amplituudi. Periood ütleb, kui pika $x$-sammu järel graafik kordub; amplituud ütleb, kui kõrgele või madalale graafik läheb.

Kolmas tüüpviga on kasutada valemit $s=r\alpha$ kraadidega. See valem töötab otse ainult siis, kui $\alpha$ on radiaanides.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Teisenda $180^\circ$ radiaanideks.
2. Teisenda $\frac{\pi}{3}$ kraadideks.
3. Mis on siinusfunktsiooni periood?

Rakendus

1. Ratas raadiusega 3 pöördub $120^\circ$. Kui pika kaare läbib serval olev punkt?
2. Ratas pöördub $\frac{5\pi}{6}$ radiaani. Mitu kraadi ja milline osa täispöördest see on?
3. Milline väikseim positiivne radiaaninurk tuleb liita nurgale $35^\circ$, et tangensi väärtus korduks?

Mõtlemisülesanne

1. Miks $\sin(x+4\pi)=\sin x$?
2. Kas $\cos(60^\circ)$ ja $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ tähendavad sama nurka?
3. Kaks ratast raadiustega 5 ja 10 pöörduvad mõlemad nurga $\frac{\pi}{3}$. Võrdle servapunktide läbitud kaari.

Vastused

1. $180^\circ=\pi$ rad, sest pool täispööret on $\pi$ radiaani.
2. $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ$; $\pi$ taandub välja.
3. $2\pi$ ehk $360^\circ$; ühikringil tähendab see üht täispööret.
4. $120^\circ=\frac{2\pi}{3}$ rad ja $s=r\alpha=3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$ pikkusühikut.
5. $150^\circ$ ehk $\frac{150}{360}=\frac5{12}$ täispöördest.
6. $\pi$ rad ehk $180^\circ$; tangens kordub poole pöörde järel.
7. Sest $4\pi$ on kaks täispööret ja siinus kordub iga $2\pi$ järel.
8. Jah, sest $60^\circ=\frac{\pi}{3}$; see on sama nurk eri ühikus.
9. Kaared on $\frac{5\pi}{3}$ ja $\frac{10\pi}{3}$; kahekordne raadius annab sama nurga korral kahekordse kaare.

Seosed

Radiaanid muudavad trigonomeetria analüüsis loomulikuks: tuletiste ja integraalide valemid töötavad standardkujul radiaanides. Järgmine analüüsi plokk kasutab funktsioonide muutumise kirjeldamiseks just seda mõõtu.

Jadad

Mõiste

Jada on järjestatud arvude loend. Selles peatükis märgime jada liikme sümboliga $a_n$.

Tähistus: $n$ on liikme järjekorranumber, $a_n$ on selle koha väärtus.

Eeldus: oskad kasutada lineaar- ja eksponentseoseid, astmeid ning lihtsaid summavalemeid.

Näiteks jadas

$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots$$

on esimene liige $a_1=3$, teine liige $a_2=7$ ja neljas liige $a_4=15$.

Jada võib esitada:

• liikmete loendina;
• üldliikme valemina, näiteks $a_n=2n+1$;
• rekursiivselt, näiteks $a_{n+1}=a_n+4$.

Üldliikme valem annab $n$-nda liikme otse; rekursiivne valem vajab eelmist liiget.

Aritmeetilise ja geomeetrilise jada võrdlus

Aritmeetiline jada

Iga järgmine liige saadakse sama arvu liitmisel:

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Siin $d$ on jada vahe.

Aritmeetilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=\frac n2(a_1+a_n).$$

Geomeetriline jada

Iga järgmine liige saadakse sama teguriga korrutamisel:

$$a_n=a_1q^{n-1}.$$

Siin $q$ on jada tegur ehk jagatis.

Kui $q\ne1$, siis geomeetrilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Kui $|q|<1$, lähenevad geomeetrilise jada liikmed nullile. Sellise jada piirväärtus ja lõpmatu summa on järgmise peatüki teema.

Näide

Jadas 3, 7, 11, 15 on vahe $d=4$, seega

$$a_n=3+(n-1)\cdot4.$$

Kümnes liige on

$$a_{10}=3+9\cdot4=39.$$

Esimese 10 liikme summa on

$$S_{10}=\frac{10}{2}(3+39)=210.$$

Jada

$$5,\ 10,\ 20,\ 40,\ldots$$

on geomeetriline, sest iga järgmine liige saadakse 2-ga korrutades. Siin $a_1=5$ ja $q=2$, seega

$$a_n=5\cdot2^{n-1}.$$

Kuues liige on

$$a_6=5\cdot2^5=160.$$

Vastus: aritmeetilise jada kümnes liige on 39 ja summa 210; geomeetrilise jada kuues liige on 160.

Tüüpviga

Aritmeetilises jadas liidetakse sama arv. Geomeetrilises jadas korrutatakse sama teguriga.

Teine tüüpviga on kasutada valemis $n$ asemel liikme väärtust. $a_n$ on $n$-nda liikme väärtus, aga $n$ ise on järjekorranumber.

Kolmas tüüpviga on unustada, et geomeetrilise jada tegur võib olla ka murd või negatiivne arv. Näiteks

$$16,\ 8,\ 4,\ 2,\ldots$$

on geomeetriline jada teguriga $q=\frac12$.

Neljas tüüpviga on arvata, et geomeetrilise jada tegur peab olema positiivne. Negatiivse teguri korral vahelduvad liikmete märgid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia aritmeetilise jada 4, 9, 14, 19, ... vahe $d$.
2. Leia selle jada üldliige.
3. Leia sama jada 20. liige.

Rakendus

1. Paberilehe paksus on algul 0,1 mm ja kahekordistub iga voltimisega. Mis tüüpi jada tekib ja mis on $q$?
2. Kontol on algul 1000 eurot ja summa kasvab aastas 5%. Kirjuta mudel $A(n)$, kus $n$ on aastate arv.
3. Palli esimese põrke kõrgus on 2 m ja iga järgmine põrge ulatub $\frac34$ eelmise kõrgusest. Leia neljanda põrke kõrgus.

Mõtlemisülesanne

1. Leia aritmeetilise jada 1, 4, 7, ..., 28 liikmete summa.
2. Geomeetriline jada algab liikmetega 8, -4, 2, .... Leia viies liige ja esimese viie liikme summa.
3. Õpilane säästab esimesel kuul 100 eurot ning igal järgmisel kuul 20 eurot rohkem. Põhjenda, miks kuusummad moodustavad aritmeetilise jada, ning leia 12 kuu kogusumma.

Vastused

1. $d=5$, sest järjestikuste liikmete vahe on 5.
2. $a_n=4+(n-1)5=5n-1$, sest esimene liige on 4 ja iga samm lisab 5.
3. `$a_{20}=99$, sest $a_{20}=5\cdot20-1$; siin $20$ on järjekorranumber.
4. Geomeetriline jada teguriga $q=2$, sest paksuste jagatis on püsiv.
5. $A(n)=1000\cdot1{,}05^n$, sest iga aasta korrutatakse summa teguriga 1,05.
6. $h_4=2\cdot\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{32}\approx0{,}84$ m; esimese ja neljanda põrke vahel on kolm tegurit.
7. Siin $a_1=1$, $a_n=28$, $d=3$, liikmeid on 10; `$S_{10}=145$, sest $S_{10}=\frac{10}{2}(1+28)$.
8. $a_5=8\left(-\frac12\right)^4=\frac12$ ja $S_5=8-4+2-1+\frac12=5{,}5$; negatiivne tegur vahetab märki.
9. Kuusummade vahe on alati 20 eurot, seega on jada aritmeetiline. $a_{12}=320$ ja $S_{12}=\frac{12}{2}(100+320)=2520$ eurot.

Seosed

Jadad viivad piirväärtuse, intressiarvutuse, rekursiooni ja matemaatilise induktsioonini. Järgmine peatükk eristab jada liikmete piirväärtust ja osasummade piirväärtusena tekkivat lõpmatut summat.

Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Mõiste

Jada piirväärtus on arv, millele jada liikmed järjekorranumbri kasvades kuitahes lähedale jõuavad. Tähistus

ütleb, et jada $a_n$ piirväärtus on $L$.

Eeldus: oskad kasutada jada üldliiget ning aritmeetilise ja geomeetrilise jada valemeid.

Piirväärtus ei pea olema ükski jada liige. Näiteks

annab liikmed $1,\frac12,\frac13,\ldots$, mis lähenevad nullile:

Kui $|q|<1$, siis $q^n\to0$. Selle tõttu saab hääbuva geomeetrilise jada kõik liikmed kokku liita:

Osasummad $S_n$ lähenevad sellele arvule; lõpmatu summa tähendab osasummade piirväärtust, mitte lõpmata paljude tehete käsitsi lõpetamist.

Arv

tekib pideva kasvamise loomuliku piirina. Arvu $\pi$ võib mõista ringi ümber- ja sissejoonestatud korrapäraste hulknurkade ümbermõõtude ühise piirväärtuse kaudu.

Näide

Leiame jada

piirväärtuse. Jagame liikmed $n$-ga:

Kuna $\frac1n\to0$, siis

Hääbuva geomeetrilise jada

korral on $a_1=6$ ja $q=\frac12$. Seega

Tüüpviga

Piirväärtus ei ole sama mis viimane liige: lõpmatul jadal viimast liiget ei ole.

Teine tüüpviga on kasutada lõpmatu summa valemit, kui $|q|\ge1$. Siis geomeetrilise jada liikmed ei lähene nullile ja osasummad ei lähene lõplikule arvule.

Kolmas tüüpviga on arvata, et piirväärtuseni peab jõudma. Jada $\frac1n$ ei võrdu kunagi nulliga, kuid selle piirväärtus on 0.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac5n$.
2. Leia $\lim_{n\to\infty}\left(4+\frac2n\right)$.
3. Kas jada $2^n$ on lõpliku piirväärtusega?

Rakendus

1. Leia summa $8+4+2+1+\cdots$.
2. Leia summa $3-1+\frac13-\frac19+\cdots$.
3. Pall langeb 5 meetrit ja iga põrke kõrgus on eelmisest $\frac35$. Leia kõigi tõusude summa.

Mõtlemisülesanne

1. Miks on hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tingimus $|q|<1$?
2. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac{2n-7}{n+3}$ ning kontrolli lähenemise suunda liikmete $a_{10}$ ja $a_{100}$ abil.
3. Selgita, miks arvud $e$ ja $\pi$ võivad tekkida piirväärtusena, kuigi nad ei ole ühegi lõpliku sammu tulemus.

Vastused

1. $0$, sest püsiv lugeja jagatakse järjest suurema nimetajaga.
2. $4$, sest liige $\frac2n$ läheneb nullile.
3. Ei; liikmed kasvavad piiramatult.
4. $16$, sest $a_1=8$, $q=\frac12$ ja $S=\frac8{1-\frac12}$.
5. $\frac94$, sest $a_1=3$ ja $q=-\frac13$.
6. $\frac3{1-\frac35}=7{,}5$ meetrit tõusu; esimene tõus on $5\cdot\frac35=3$ m.
7. Ainult siis läheneb $q^n$ nullile ja osasummad saavad läheneda lõplikule arvule.
8. Piirväärtus on $2$, sest lugeja ja nimetaja $n$-ga jagamisel jääb piirile $\frac{2-0}{1+0}$. Lisaks $a_{10}=1$ ja $a_{100}=\frac{193}{103}\approx1{,}87$, seega liikmed lähenevad arvule 2 altpoolt.
9. Iga lõplik lähend on ebatäpne, kuid lähendite viga saab sammude arvu kasvades muutuda kuitahes väikeseks.

Seosed

Jada piirväärtus valmistab ette funktsiooni piirväärtuse: mõlemas uuritakse mitte viimast sammu, vaid väärtuse lähenemist kindlale sihile.

Piirväärtus, tuletis ja integraal

Mõiste

Piirväärtus kirjeldab, millele avaldis või funktsioon läheneb. Tuletis kirjeldab muutumiskiirust. Integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku ja telje vahel.

Eeldus: oskad lugeda funktsiooni graafikut, arvutada funktsiooni väärtusi ja mõista jadade lähenevust.

Analüüsi põhiküsimus on: mis juhtub siis, kui vaatame muutumist väga väikeste sammudega või kogume väga paljud väikesed osad kokku?

Piirväärtus on siin alusidee: selle abil kirjeldatakse nii väga väikese sammu tuletist kui ka väga paljude osade integraali.

Põhiideed

Piirväärtus vastab küsimusele: millele väärtused lähenevad?

See ei küsi alati funktsiooni väärtust selles punktis. Oluline on, mis juhtub punkti lähedal.

Näiteks jada

$$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots$$

liikmed lähenevad arvule 0. Nad ei muutu kunagi negatiivseks, aga jõuavad 0-le järjest lähemale.

Tuletis:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Seda võib lugeda nii: võta väga väike muutus $h$, vaata funktsiooni väärtuse muutust ja lase sammul järjest väiksemaks minna. Tulemuseks on hetkeline muutumiskiirus.

Määratud integraal:

$$\int_a^b f(x)\,dx.$$

Integraali võib mõelda kui väga paljude õhukeste ristkülikute pindalade summat. Kui ristkülikud teha järjest kitsamaks, muutub summa täpseks pindalaks graafiku all.

Kolm vaadet samale ideele

Kontrollküsimus: kas ülesanne räägib lähenemisest, ühest punktist või tervest vahemikust?

Kui küsitakse "kui kiiresti praegu?", mõtle tuletisele; kui küsitakse "kui palju kokku?", mõtle integraalile.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$f'(x)=2x.$$

Punktis $x=3$ on muutumiskiirus 6.

See tähendab, et graafiku $y=x^2$ puutuja tõus punktis $x=3$ on 6.

Kui auto kiirus on 20 m/s ja ta sõidab nii 5 sekundit, siis läbitud teepikkus on

$$20\cdot5=100\text{ m}.$$

Tõlgendus: tuletis annab hetkelise kiiruse 6; integraal liidab muutuva kiiruse korral väikesed teepikkuse osad.

Tüüpviga

Tuletis ei ole ainult “uus valem”. See tähendab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust.

Integraal ei ole ainult “tuletise vastand”. Määratud integraalil on oma tähendus: ta mõõdab kogunenud suurust vahemikus.

Piirväärtus ei tähenda, et väärtus sinna täpselt jõuab. Väärtused lähevad sellele arvule järjest lähemale; funktsiooni väärtus uuritavas punktis võib olla teistsugune või puududa.

Neljas tüüpviga on segada keskmine ja hetkeline muutumiskiirus. Keskmine muutus käib vahemiku kohta, tuletis ühe punkti kohta.

Teine seletusviis

Tuletist näe kiirusena ühel hetkel; integraali näe kogunenud summana. Graafikul on need puutuja tõus ja pindala.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mida kirjeldab piirväärtus?
2. Mida kirjeldab tuletis?
3. Mida kirjeldab määratud integraal?

Rakendus

1. Kui $f'(3)=6$, siis mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=3$?
2. Kui kiirus on 12 m/s ja aeg 10 s, siis milline integraali idee siin lihtsal kujul töötab?

Mõtlemisülesanne

1. Kui $f'(2)=0$, mida võiks see graafiku kohta vihjata?
2. Mis vahe on keskmisel muutumiskiirusel vahemikus ja tuletisel punktis?
3. Jada $a_n=\frac1n$ ei saavuta väärtust 0. Miks võib selle piirväärtus siiski olla 0?

Vastused

1. Piirväärtus kirjeldab, millele väärtused lähenevad punkti lähedal või väga kaugel.
2. Tuletis kirjeldab hetkelist muutumiskiirust ehk graafiku puutuja tõusu ühes punktis.
3. Määratud integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku all vahemikus.
4. Funktsiooni hetkeline muutumiskiirus punktis $x=3$ on 6; graafiku puutuja tõus on seal 6.
5. Kogunenud teepikkus on kiirus korda aeg: $12\cdot10=120$ m. See on integraali mõte püsiva kiiruse korral.
6. Puutuja tõus on 0; see võib olla maksimumi, miinimumi või horisontaalse puutuja koht.
7. Keskmine muutumiskiirus kirjeldab tervet vahemikku; tuletis kirjeldab muutumist ühes punktis.
8. $n$ kasvades saab $\frac1n$ nullile kuitahes lähedale; piirväärtus kirjeldab lähenemist, mitte väärtuse saavutamist.

Seosed

Analüüs ühendab funktsioonid, füüsika, optimeerimise, pindalad ja pidevad protsessid. Järgmine moodul keskendub tuletise arvutusreeglitele: kuidas muutumiskiirust valemitest kiiresti leida.

Tuletise arvutusreeglid

Mõiste

Tuletis näitab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust. Arvutusreeglid aitavad tuletist leida ilma piirväärtuse definitsiooni iga kord uuesti kasutamata.

Eeldus: mõistad tuletist kui muutumiskiirust ning oskad lihtsustada astmete, sulgude ja murdavaldistega avaldisi.

Põhituletised

Konstant:

$$c'=0.$$

Astmefunktsioon:

$$(x^n)'=nx^{n-1}.$$

Eriti:

$$(x)'=1,\qquad (x^2)'=2x,\qquad (x^3)'=3x^2.$$

Summa ja kordaja

Kui funktsioonid on liidetud, tuletame liikmed eraldi:

$$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).$$

Kui funktsioon on korrutatud arvuga, jääb arv ette:

$$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x).$$

Näiteks

$$(3x^2-5x+7)'=6x-5.$$

Kontrollmõte: tuletis võetakse iga liikme kohta eraldi. Konstant $7$ kaob, sest konstant ei muutu.

Korrutis, jagatis ja ahelreegel

Enne reegli valikut vaata avaldise välist kuju: kas peal on summa, korrutis, jagatis või funktsioon funktsiooni sees.

Korrutise reegel:

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Näiteks kui

$$y=x^2(x+1),$$

siis

$$y'=2x(x+1)+x^2\cdot1=3x^2+2x.$$

Jagatise reegel:

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\ne0.$$

Näiteks

$$y=\frac{x^2+1}{x},$$

siis

$$y'=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$

Ahelreegel aitab siis, kui üks funktsioon on teise sees:

$$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

Näiteks

$$(2x+1)^3{}'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2.$$

Kontrollmõte: kui avaldises on “sulg astmes”, “juur sulust” või trigonomeetriline funktsioon mingist avaldisest, siis küsi endalt, kas seal on sisemine funktsioon.

Näide

Leia funktsiooni

$$f(x)=x^3-4x^2+2x-9$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa:

$$f'(x)=3x^2-8x+2.$$

Leia funktsiooni

$$g(x)=(x^2+3x)^4$$

tuletis.

Välimine funktsioon on neljas aste, sisemine funktsioon on $x^2+3x$. Ahelreegli järgi

$$g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3).$$

Vastus: $f'(x)=3x^2-8x+2$ ja $g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3)$.

Tüüpviga

Avaldist $(x^2+1)^3$ ei tohi tuletada sama reegliga nagu $x^3$. Sulgudes olev sisemine funktsioon vajab ahelreeglit.

Teine tüüpviga on korrutise tuletamisel tuletada ainult üht tegurit:

$$(x^2\sin x)'\ne 2x\cos x.$$

Õige mõte on

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Kolmas tüüpviga on jagatise reeglis liikmete järjekord vahetada. Valemis on lugejas

$$f'g-fg',$$

mitte $fg'-f'g$.

Neljas tüüpviga on tuletis leida, aga mitte küsida, mida see tähendab. Rakendustes tuleb sageli uurida tuletise märki või väärtust.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Tuletis on graafikul puutuja tõus, arvuliselt hetkeline muutus ja algebraliselt funktsioon $f'(x)$.

Kui jäid kinni

Korda astmete lihtsustamist ja tuletise põhitähendust: tuletis näitab muutumiskiirust. Vaata näitest, kuidas liikmed tuletatakse eraldi ja millal ahelreegel lisab sisemise tuletise. Alusta harjutustest 1-3; korrutise ja jagatise reeglid jäta järgmiseks sammuks.

Harjutused

Kitsas fookus: vali õige tuletamisreegel ja arvuta puhtalt. Lai fookus: põhjenda reegli valikut ning tõlgenda tuletise märki või nullkohta.

Lihtne kontroll

1. Leia $(5x^2-3x+8)'.
2. Leia $(x^4+2x^2)'.
3. Leia ((3x-2)^2)'.

Rakendus

1. Selgita oma sõnadega, millal on vaja ahelreeglit.
2. Liikumist kirjeldab $s(t)=t^2(t+5)$ meetrites. Leia hetkeline kiirus hetkel $t=2$ s.
3. Kontsentratsioon on $C(t)=\frac{t^2}{t+1}$ mg/l. Leia $C'(1)$ ja lisa vastusele ühik.

Mõtlemisülesanne

1. Leia $((x^2+1)^5)'.
2. Õpilane väidab, et $(4(2x-1)^3)'=12(2x-1)^2$. Leia viga ja paranda vastus.
3. Kui $f'(x)=3x^2-12$, leia ekstreemumikandidaadid ning liigita need tuletise märgi järgi.

Vastused

1. $10x-3$, sest astmereegel annab $(5x^2)'=10x, (-3x)'=-3 ja konstant kaob.
2. $4x^3+4x$, sest summa tuletatakse liikmete kaupa.
3. $6(3x-2)$, sest ahelreeglis väline tuletis on $2(3x-2)$ ja sisemine tuletis 3.
4. Ahelreeglit on vaja siis, kui funktsioon on teise funktsiooni sees, näiteks sulg astmes.
5. $s'(t)=3t^2+10t$, seega $s'(2)=32$ m/s. Tuletis annab asukoha hetkekiiruse.
6. $C'(t)=\frac{2t(t+1)-t^2}{(t+1)^2}=\frac{t^2+2t}{(t+1)^2}$, seega $C'(1)=\frac34$ mg/l ajaühiku kohta.
7. Lahenduskäik: ahelreegel annab välise tuletise $5(x^2+1)^4$ ja sisemise tuletise $2x$, seega $10x(x^2+1)^4$.
8. Puudu on sisemise funktsiooni tuletis 2. Õige vastus on $4\cdot3(2x-1)^2\cdot2=24(2x-1)^2$.
9. Kandidaadid on $x=-2$ ja $x=2$. Tuletis muutub kohal -2 plussist miinuseks, seega seal on maksimum; kohal 2 miinusest plussiks, seega seal on miinimum.

Seosed

Tuletise arvutusreeglid annavad tööriista, aga rakendustes tuleb tuletist tõlgendada. Järgmine moodul kasutab tuletist kasvamise, kahanemise, ekstreemumite ja puutuja leidmiseks.

Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Mõiste

Astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilistel funktsioonidel on eri põhituletised. Enne arvutamist tunne ära funktsioonipere; seejärel rakenda vajaduse korral summa-, korrutise-, jagatise- või ahelreeglit.

Eeldus: oskad kasutada tuletise põhireegleid ning tead, et trigonomeetriliste funktsioonide tuletisvalemites mõõdetakse nurka radiaanides.

Põhivalemid on

Kui funktsiooni sees on avaldis $g(x)$, lisa ahelreegliga sisemise funktsiooni tuletis:

Samamoodi

Näide

Leia funktsiooni

$$f(x)=e^{2x}+\ln(x+1)-3\cos x$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa ja kasutame kahes esimeses liikmes ahelreeglit:

Algse funktsiooni määramispiirkond nõuab $x>-1$; sama piirang jääb ka tuletise kasutamisel oluliseks.

Tüüpviga

Esimene tüüpviga on kirjutada $(a^x)'=xa^{x-1}$. See on astmefunktsiooni reegel, kuid $a^x$ on eksponentfunktsioon. Õige on $(a^x)'=a^x\ln a$.

Teine tüüpviga on kaotada miinus: $(\cos x)'=-\sin x$.

Kolmas tüüpviga on jätta liitfunktsioonis sisemine tuletis lisamata. Näiteks $(\ln(3x-1))'=\frac3{3x-1}$, mitte \frac1{3x-1}.

Neljas tüüpviga on unustada määramispiirkond. Logaritmi argument peab olema positiivne ja tangens pole määratud seal, kus $\cos x=0$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $(e^x+\sin x)'.
2. Leia $(2^x+\ln x)'.
3. Leia $(4\cos x-3\tan x)'.

Rakendus

1. Bakterite arv on $N(t)=500e^{0{,}2t}$. Leia $N'(t)$ ja tõlgenda $N'(0)$.
2. Helisignaali mudel on $s(t)=3\sin(4t)$. Leia hetkeline muutumiskiirus $s'(t)$.
3. Kontsentratsioon on $C(t)=\ln(t+1)$ mg/l. Leia $C'(3)$ ja lisa sobiv ühik.

Mõtlemisülesanne

1. Leia $f'(x)$, kui $f(x)=x^2e^x$, ning põhjenda kahe reegli kasutamist.
2. Võrdle funktsioonide $e^{2x}$ ja $(e^x)^2$ tuletisi. Miks saad sama tulemuse?
3. Õpilane kirjutab $(\sin(x^2))'=\cos(x^2). Leia viga, paranda vastus ja selgita ahelreegli rolli.

Vastused

1. $e^x+\cos x$.
2. $2^x\ln2+\frac1x$, kus $x>0$.
3. $-4\sin x-\frac3{\cos^2x}$, kus $\cos x\ne0$.
4. $N'(t)=100e^{0{,}2t}$; alghetkel kasvab bakterite arv kiirusega 100 bakterit ajaühikus.
5. $s'(t)=12\cos(4t)$, sest ahelreegel lisab sisemise tuletise 4.
6. $C'(t)=\frac1{t+1}$, seega $C'(3)=\frac14$ mg/l ajaühiku kohta.
7. Korrutise reegel annab $f'(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)$; vaja on astme- ja eksponentfunktsiooni tuletist.
8. Mõlemad funktsioonid võrduvad $e^{2x}$; ahelreegel annab mõlemal juhul $2e^{2x}$.
9. Puudu on sisemise funktsiooni tuletis $2x$. Õige vastus on $2x\cos(x^2)$.

Seosed

Need põhituletised laiendavad varasemaid arvutusreegleid. Järgmistes moodulites kasutatakse neid funktsiooni kasvamise, ekstreemumite, teise tuletise ja graafiku kuju uurimiseks.

Tuletise rakendused

Mõiste

Tuletis kirjeldab muutumiskiirust ja graafiku puutuja tõusu.

Eeldus: oskad leida tuletist, lahendada võrrandit $f'(x)=0$ ja tõlgendada funktsiooni graafikut.

Kasutus

• Kui $f'(x)>0$, siis funktsioon kasvab.
• Kui $f'(x)<0$, siis funktsioon kahaneb.
• Ekstreemumi kandidaat on punkt, kus $f'(x)=0$; lõpliku otsuse annab tuletise märgi muutus või muu lisakontroll.

Erista: $f(x_0)$ on funktsiooni väärtus punktis, $f'(x_0)$ on puutuja tõus ja muutumiskiirus seal.

Tuletise rakendustes on tüüpiline tööjärjekord:

1. Leia tuletis $f'(x)$.
2. Lahenda võrrand $f'(x)=0$.
3. Jaga arvtelg saadud punktide järgi vahemikeks.
4. Kontrolli igas vahemikus tuletise märki.
5. Tee järeldus kasvamise, kahanemise ja ekstreemumite kohta.
6. Tõlgenda vastus algse ülesande keeles.

Kasvamine ja kahanemine

Näide

Olgu

$$f(x)=x^2-6x+5.$$

Siis

$$f'(x)=2x-6.$$

Ekstreemumi kandidaat:

$$2x-6=0 \Rightarrow x=3.$$

Kui $x<3$, siis $f'(x)<0$, seega funktsioon kahaneb.

Kui $x>3$, siis $f'(x)>0$, seega funktsioon kasvab.

Järelikult on punktis $x=3$ miinimum.

Funktsiooni väärtus seal on

$$f(3)=3^2-6\cdot3+5=-4.$$

Vastus: funktsioon kahaneb enne $x=3$, kasvab pärast seda ja miinimumpunkt on (3;-4).

Ekstreemumid

Kui tuletise märk muutub

• plussist miinuseks, siis on lokaalne maksimum;
• miinusest plussiks, siis on lokaalne miinimum.

Näiteks funktsiooni

$$g(x)=-x^2+4x+1$$

tuletis on

$$g'(x)=-2x+4.$$

Võrrand $g'(x)=0$ annab

$$-2x+4=0,$$

$$x=2.$$

Kui $x<2$, siis $g'(x)>0$; kui $x>2$, siis $g'(x)<0$. Funktsioon kasvab enne $x=2$ ja kahaneb pärast seda, seega on seal maksimum.

Maksimumi väärtus:

$$g(2)=-4+8+1=5.$$

Vastus: teisel funktsioonil on maksimum punktis (2;5).

Puutuja võrrand

Funktsiooni $y=f(x)$ puutuja punktis $x=x_0$ on sirge, mille tõus on $f'(x_0)$.

Puutuja võrrand:

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

Näiteks olgu

$$f(x)=x^2.$$

Leiame puutuja punktis $x_0=2$.

$$f(2)=4,$$

$$f'(x)=2x,$$

$$f'(2)=4.$$

Seega

$$y-4=4(x-2),$$

ehk

$$y=4x-4.$$

Tüüpviga

Tingimus $f'(x)=0$ annab kandidaadi; eraldi tuleb otsustada, kas see on miinimum, maksimum või muu punkt.

Teine tüüpviga on arvata, et $f'(x)>0$ tähendab positiivset funktsiooni väärtust. Tegelikult tähendab see kasvamist; funktsioon ise võib olla allpool $x$-telge.

Kolmas tüüpviga on puutuja võrrandis kasutada tõusuna $f(x_0)$, mitte $f'(x_0)$. Puutuja tõus tuleb tuletisest.

Neljas tüüpviga on jätta ekstreemumi vastus mudeli keelde tõlgendamata. Kui $x$ tähistab aega või kogust, peab lõppvastus seda ütlema.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $f(x)=x^2$ tuletis punktis $x=4$.
2. Leia, kus $f(x)=x^2-4x$ tuletis on null.
3. Mida tähendab negatiivne tuletis?

Rakendus

1. Kuluindeks on $K(x)=x^2-8x+30$, kus $x$ on tootmismaht sadades ühikutes. Leia vähim kuluindeks ja tõlgenda $x$.
2. Palli kõrgus on $h(t)=-5t^2+30t$ meetrit. Millal ja kui kõrgel on pall maksimaalselt?

Mõtlemisülesanne

1. Leia funktsiooni $f(x)=x^2+1$ puutuja punktis $x_0=1$. Kasuta puutujat väärtuse $f(1{,}1)$ hindamiseks ja võrdle täpse väärtusega.
2. Kui $f'(x)$ muutub plussist miinuseks, siis mis tüüpi ekstreemum tekib?
3. Tulu mudel on $T(x)=-x^2+10x$ piirkonnas $0\le x\le8$, kus $x$ on müük sadades ühikutes. Leia suurim tulu, kontrollides ka otspunkte.

Vastused

1. $f'(x)=2x$, seega $f'(4)=8$.
2. $f'(x)=2x-4$, seega $f'(x)=0$ annab $x=2$.
3. Funktsioon kahaneb selles vahemikus, sest puutuja tõus on negatiivne.
4. $K'(x)=2x-8=0$ annab $x=4$ ja $K(4)=14$. Miinimum tekib 400 ühiku tootmisel.
5. $h'(t)=-10t+30=0$ annab $t=3$ s. Siis $h(3)=45$ m; allapoole avanev parabool kinnitab maksimumi.
6. $f(1)=2$ ja $f'(1)=2$, seega puutuja on $y=2x$. Hinnang on $2{,}2$, täpne väärtus $2{,}21$; viga on $0{,}01$.
7. Lokaalne maksimum, sest enne punkti funktsioon kasvab ja pärast kahaneb.
8. Kandidaat on $x=5$: $T(5)=25$. Otspunktides $T(0)=0$ ja $T(8)=16$, seega suurim tuluindeks on 25 müügil 500 ühikut.

Seosed

Tuletise rakendused näitavad, kuidas muutumiskiiruse abil teha otsuseid. Järgmine moodul pöörab küsimuse ümber: algfunktsioon ja integraal kirjeldavad kogunenud suurust.

Teine tuletis, kõverus ja käänupunkt

Mõiste

Teine tuletis on tuletise tuletis:

Eeldus: oskad leida esimese tuletise, koostada selle märgitabeli ning kasutada tuletist kasvamise, kahanemise ja ekstreemumite uurimiseks.

$$f''(x)=(f'(x))'.$$

Esimene tuletis kirjeldab funktsiooni tõusu. Teine tuletis kirjeldab, kuidas see tõus muutub.

• Kui $f''(x)>0$, siis tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
• Kui $f''(x)<0$, siis tõus väheneb ja graafik kõverdub allapoole.

Õpikutes nimetatakse neid vastavalt nõgusus- ja kumerusvahemikeks. Kindla järelduse alus on siiski $f''$ märk ja graafiku kuju.

Käänupunkt on graafiku punkt, kus kõveruse suund muutub. Võrrand $f''(x)=0$ annab ainult kandidaadi; käänupunkti kinnitab `$f''$ märgi muutus.

Funktsiooni tervikliku uurimise järjekord on:

1. määra määramispiirkond, nullkohad ja telgede lõikepunktid;
2. leia $f'$, kriitilised punktid ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud;
3. leia $f'', kõveruse vahemikud ja käänupunktid;
4. kontrolli otspunkte, piirväärtusi või asümptoote, kui ülesanne neid vajab;
5. visanda graafik kooskõlas kõigi järeldustega.

Näide

Uuri funktsiooni $f(x)=x^3-3x$ ekstreemumeid ja käänupunkti.

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Kriitilised punktid on $x=-1$ ja $x=1$. Tuletise märk näitab maksimumi punktis $(-1;2)$ ja miinimumi punktis $(1;-2)$.

$$f''(x)=6x.$$

Võrrand $f''(x)=0$ annab $x=0$. Vasakul on $f''<0$, paremal $f''>0$, seega kõveruse suund muutub. Käänupunkt on $(0;0)$.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga $f''(x)=0$ lahend käänupunktiks. Näiteks funktsioonil $f(x)=x^4$ on $f''(0)=0$, kuid $f''(x)=12x^2$ ei vaheta nulli läbides märki.

Teine tüüpviga on kasutada $f''$ märki kasvamise otsustamiseks. Kasvamise määrab $f'$; $f''$ kirjeldab tõusu muutumist.

Kolmas tüüpviga on anda vaid $x$-koordinaat. Ekstreemum ja käänupunkt on graafiku punktid, seega leia ka $y=f(x)$.

Neljas tüüpviga on visandada graafik enne märgitabelite kontrollimist ning sundida hilisemad arvutused pildiga sobima.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $f''(x)$, kui $f(x)=x^3-2x^2+5$.
2. Mida näitab tingimus $f''(x)>0$?
3. Kas $f''(x_0)=0$ tõestab alati käänupunkti olemasolu? Põhjenda.

Rakendus

1. Liikumise asukoht on $s(t)=t^3-6t^2+9t$ meetrites. Leia kiirus ja kiirendus hetkel $t=2$ s.
2. Uuri funktsiooni $f(x)=x^3-6x^2+9x$ kõveruse suunda ja leia käänupunkt.
3. Tulu mudel on $T(x)=-x^3+6x^2$ vahemikus $0\le x\le5$. Leia, kus tulu kasvab, ja otsusta teise tuletise abil, kuidas kasvu kiirus muutub.

Mõtlemisülesanne

1. Võrdle funktsioone $x^4$ ja $x^3$ punktis 0: mõlemal on $f''(0)=0$, kuid kummal on käänupunkt? Põhjenda märkidega.
2. Uuri funktsiooni $f(x)=x^4-4x^2$ ekstreemumeid ja käänupunkte ning koosta nende põhjal graafiku visand.
3. Õpilane väidab: „Kui $f''>0$, siis $f>0$.” Leia vastunäide ja selgita, mida $f''>0$ tegelikult tähendab.

Vastused

1. $f'(x)=3x^2-4x$ ja $f''(x)=6x-4$.
2. Funktsiooni tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
3. Ei. Käänupunkt vajab kõveruse suuna ehk `$f''$ märgi muutust.
4. $s'(t)=3t^2-12t+9$ ja $s''(t)=6t-12$; hetkel 2 s on kiirus -3 m/s ja kiirendus 0 m/s².
5. $f''(x)=6x-12$. See on negatiivne, kui $x<2$, ja positiivne, kui $x>2$; käänupunkt on $(2;-2)$.
6. $T'(x)=-3x(x-4)$, seega tulu kasvab vahemikus (0;4). $T''(x)=12-6x$: kasv kiireneb kuni $x=2$ ja aeglustub pärast seda.
7. Funktsioonil $x^3$ vahetab $f''(x)=6x$ märki, seega on käänupunkt. Funktsioonil $x^4$ on $f''(x)=12x^2\ge0$, märgimuutust pole.
8. $f'(x)=4x(x^2-2)$: maksimum on (0;0) ja miinimumid $(\pm\sqrt2;-4)$. $f''(x)=12x^2-8$, seega käänupunktide $x$-koordinaadid on $\pm\sqrt{\frac23}$; märgitabel määrab kõveruse vahemikud.
9. Näiteks $f(x)=x^2-10$ korral $f''=2>0$, kuid $f(0)=-10$. Teine tuletis kirjeldab tõusu muutumist, mitte funktsiooni väärtuse märki.

Seosed

Teine tuletis lõpetab funktsiooni uurimise põhitee: arvutusest saad graafiku kuju ja mudeli muutumise selgituse. Järgmine osa pöörab tähelepanu kogunenud suurusele ning algfunktsioonile.

Algfunktsioon ja määramata integraal

Mõiste

Algfunktsioon on tuletise tagasikäik. Kui

$$F'(x)=f(x),$$

siis $F(x)$ on funktsiooni $f(x)$ algfunktsioon.

Eeldus: oskad leida tuletist ja kontrollida tulemust tuletamisega.

Määramata integraal tähendab kõigi algfunktsioonide hulka:

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$

Kirjutis $dx$ näitab, et algfunktsiooni otsitakse muutuja $x$ järgi.

Siin $C$ on suvaline konstant, sest konstandi tuletis on null.

Kui ülesandes on antud lisatingimus, näiteks $F(0)=3$, saab selle abil leida konkreetse $C$. Ilma lisatingimuseta jääb vastuseks kogu pere.

Näiteks funktsioonidel

$$x^2,\qquad x^2+5,\qquad x^2-100$$

on kõigil sama tuletis $2x$. Seepärast kirjutame

$$\int 2x\,dx=x^2+C.$$

Põhireeglid

Astmefunktsiooni integreerimine:

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne -1.$$

Konstantse kordaja võib ette jätta:

$$\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx.$$

Summa integreeritakse liikmete kaupa:

$$\int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$$

Näide

Leia

$$\int (3x^2-4x+5)\,dx.$$

Integreerime liikmete kaupa:

$$\int 3x^2\,dx=x^3,$$

$$\int -4x\,dx=-2x^2,$$

$$\int 5\,dx=5x.$$

Seega

$$\int (3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C.$$

Kontroll: tuletis avaldisest $x^3-2x^2+5x+C$ on $3x^2-4x+5$.

Veel üks näide:

$$\int \left(\frac1x+\cos x\right)\,dx=\ln|x|+\sin x+C.$$

Tüüpviga

Määramata integraali lõpus ei tohi unustada +C. Ilma selleta on kirjas ainult üks algfunktsioon, mitte kõik võimalikud algfunktsioonid.

Teine tüüpviga on kasutada astmereeglit funktsiooni $\frac1x$ jaoks. Kuna $\frac1x=x^{-1}$, annaks astmereegel jagamise nulliga. Selle erijuht on

$$\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C.$$

Kolmas tüüpviga on unustada kontrollida vastust tuletamisega. Määramata integraali vastust saab alati kontrollida: tuleta saadud algfunktsioon ja vaata, kas saad tagasi algse funktsiooni.

Neljas tüüpviga on segada määramata ja määratud integraal. Määramata integraal annab funktsioonide pere $F(x)+C$; määratud integraal annab arvu.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\int 2x\,dx$.
2. Leia $\int (x^2+4)\,dx$.
3. Leia $\int (6x^2-2x+1)\,dx$.

Rakendus

1. Koguse muutumiskiirus on $V'(t)=2t$ ja $V(0)=3$. Leia $V(t)$.
2. Leia $\int \frac1x\,dx$.

Mõtlemisülesanne

1. Leia $F(x)$, kui $F'(x)=e^x+\sin x$ ja $F(0)=2$.
2. Miks on määramata integraali lõpus vaja kirjutada +C?
3. Kas $\int 2x\,dx=x^2$ on vale või puudulik vastus? Põhjenda.

Vastused

1. $x^2+C$; kontrolliks $(x^2+C)'=2x$.
2. $\frac{x^3}{3}+4x+C$, sest algfunktsioon tuletub tagasi kujule $x^2+4$.
3. Lahenduskäik: integreeri liikmeti: $\int6x^2dx=2x^3$, $\int-2x dx=-x^2$ ja $\int1dx=x$. Vastus on $2x^3-x^2+x+C$.
4. $V(t)=t^2+C$. Tingimus $V(0)=3$ annab $C=3$, seega $V(t)=t^2+3$.
5. $\ln|x|+C$; see on erijuht, kus astmereeglit ei kasutata.
6. $F(x)=e^x-\cos x+C$. Kuna $F(0)=C=2$, siis $F(x)=e^x-\cos x+2$.
7. Sest konstandi tuletis on 0, seega sama tuletisega algfunktsioone on lõpmata palju.
8. Määramata integraali vastusena on see puudulik, sest vaja on kogu pere $x^2+C$.

Seosed

Algfunktsioon valmistab ette määratud integraali. Järgmises peatükis kasutatakse algfunktsiooni väärtuste vahet, et leida arvuline pindala või kogunenud suurus.

Määratud integraal ja pindala

Mõiste

Määratud integraal

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

kirjeldab kogunenud muutust vahemikus $[a;b]$. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.

Eeldus: oskad leida algfunktsiooni ja arvutada avaldise väärtust kahes rajapunktis.

Kui graafik on teljest ülalpool, on panus positiivne. Kui graafik on teljest allpool, on panus negatiivne.

Kontrolli jooniselt: kas küsitakse märgiga integraali või kogu geomeetrilist pindala.

Newtoni-Leibnizi valem

Kui $F'(x)=f(x)$, siis

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

See on arv. Määratud integraali vastusesse ei lisata +C, sest rajad $a$ ja $b$ fikseerivad tulemuse.

Sama valemit kirjutatakse lühendina nii:

$$\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b.$$

Näide

Leia pindala graafiku $y=2x$ ja $x$-telje vahel vahemikus [0;3].

Kuna vahemikus [0;3] on $2x\ge0$, on integraal sama mis pindala:

$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=3^2-0^2=9.$$

Vastus: pindala on 9 ruutühikut.

Märgiga pindala

Kui graafik on $x$-teljest allpool, annab integraal negatiivse väärtuse:

$$\int_{-2}^0 x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^0=0-2=-2.$$

Geomeetriline pindala on 2, aga määratud integraal on -2.

Kui funktsioon vahetab märki, jaga pindala leidmisel vahemik nullkohtade järgi osadeks. Näiteks $f(x)=x$ on vahemikus [-1;0] allpool telge ja vahemikus [0;1] ülalpool.

Määratud integraal:

$$\int_{-1}^1 x\,dx=0.$$

Geomeetriline pindala:

$$\left|\int_{-1}^0 x\,dx\right|+\int_0^1 x\,dx=\frac12+\frac12=1.$$

Tõlgendus: sama joonise puhul võib määratud integraal olla 0, aga pindala 1.

Tüüpviga

Integraal ja pindala ei ole alati sama arv. Kui funktsioon vahetab märki, tuleb pindala leidmiseks vahemik nullkohtade järgi osadeks jagada.

Teine tüüpviga on vahetada ülemine ja alumine rajaarv. Kui rajad ümber pöörata, muutub integraali märk:

$$\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx.$$

Kolmas tüüpviga on unustada ühik. Pindala ühik on ruutühik, aga kogunenud suuruse ühik sõltub sellest, mida funktsioon kirjeldab.

Neljas tüüpviga on panna vastusesse +C. Määratud integraal annab arvu, mitte algfunktsioonide pere.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Määratud integraal on pildil pindala, arvuliselt kogunenud summa ja algebraliselt algfunktsiooni väärtuste vahe.

Kui jäid kinni

Korda algfunktsiooni leidmist ja märgiga pindala mõtet. Vaata näitest, miks nullist allpool olev osa lahutatakse, aga geomeetrilise pindala puhul võetakse absoluutväärtus. Alusta harjutustest 1 ja 2; pindala osadeks jagamist harjuta pärast ülesannet 3.

Harjutused

Kitsas fookus: arvuta määratud integraal ja erista märgiga tulemust pindalast. Lai fookus: jaga vahemik nullkohtade järgi ja põhjenda, mida integraal mõõdab.

Lihtne kontroll

1. Leia $\int_0^2 x\,dx$.
2. Leia $\int_1^3 2x\,dx$.
3. Miks $\int_{-1}^1 x\,dx=0$, kuigi graafiku ja telje vahel on pindala?

Rakendus

1. Millal peab pindala leidmisel vahemiku osadeks jagama?
2. Leia graafiku $y=4-x^2$ ja $x$-telje vaheline pindala vahemikus [-2;2].

Mõtlemisülesanne

1. Leia geomeetriline pindala graafiku $y=x$ ja $x$-telje vahel vahemikus [-2;2].
2. Mis juhtub integraali väärtusega, kui vahetad rajad $a$ ja $b$?
3. Funktsioon on $f(x)=x^2-1$ vahemikus [-2;2]. Leia nii määratud integraal kui ka geomeetriline pindala ning selgita erinevust.

Vastused

1. Rajad on 0 ja 2: $\frac{x^2}{2}\big|_0^2=2$; kuna $x\ge0$, on pindala 2 ruutühikut.
2. Rajad on 1 ja 3: $x^2\big|_1^3=8$; pindala on sama, sest $2x>0$.
3. Negatiivne ja positiivne märgiga pindala tühistavad teineteise; geomeetriline pindala ei ole 0.
4. Kui funktsioon vahetab vahemikus märki ehk lõikab $x$-telge.
5. Funktsioon on vahemikus mittenegatiivne: $\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{32}{3}$ ruutühikut.
6. Lahenduskäik: funktsioon $y=x$ vahetab märki punktis 0, seega jaga vahemik kaheks. $\int_{-2}^0 x\,dx=-2$ ja $\int_0^2 x\,dx=2$; geomeetriline pindala on $|-2|+2=4$.
7. Integraali märk muutub vastupidiseks, sest rajad vahetavad kogumise suuna.
8. Märgiga integraal on $\frac43$. Nullkohad on -1 ja 1; kolme osa absoluutväärtuste summa annab geomeetriliseks pindalaks 4 ruutühikut.

Seosed

Määratud integraal seob algfunktsiooni arvulise tulemuse ja graafilise pindala. Järgmine moodul laiendab sama mõtte kahe graafiku vahelisele pindalale ja pöördkeha ruumalale.

Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumala

Mõiste

Kahe graafiku vahelise pindala leidmiseks lahuta ülemise funktsiooni väärtusest alumise funktsiooni väärtus. Rajad leitakse lõikepunktidest või antakse ülesandes.

Eeldus: oskad leida graafikute lõikepunkte, otsustada joonise või märgi abil, kumb funktsioon on ülal, ning arvutada määratud integraali.

Kui $f(x)\ge g(x)$ vahemikus $[a;b]$, siis

$$A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

Kui graafikute järjestus vahetub, jaga vahemik lõikepunktides osadeks või kasuta mõtet

$$A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$

Graafiku $y=f(x)\ge0$ pööramisel ümber $x$-telje tekib pöördkeha. Õhukese ristlõike pindala on $\pi f(x)^2$, seega

$$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx.$$

Kontrolljärjekord on: leia rajad, otsusta ülemine graafik, koosta vahe, integreeri ja lisa õige ühik.

Näide

Leia graafikute $y=2x$ ja $y=x^2$ vaheline pindala.

Lõikepunktid saad võrrandist $2x=x^2$, seega $x=0$ ja $x=2$. Vahemikus [0;2] on $2x\ge x^2$.

Kui graafik $y=x$ vahemikus [0;2] pöörleb ümber $x$-telje, siis

Vastus: pindala on $\frac43$ ruutühikut ja pöördkeha ruumala $\frac{8\pi}{3}$ kuupühikut.

Tüüpviga

Esimene tüüpviga on lahutada funktsioonid vales järjekorras. Geomeetriline pindala ei saa olla negatiivne; kontrolli jooniselt, kumb graafik on ülal.

Teine tüüpviga on võtta rajad nullkohtadest, kuigi vaja on graafikute lõikepunkte. Lahenda $f(x)=g(x)$.

Kolmas tüüpviga on unustada ruumala valemis ruut: ristlõike pindala on $\pi r^2$, kus $r=f(x)$.

Neljas tüüpviga on kasutada sama ketta valemit pööramisel ümber mõne muu sirge või kahe graafiku vahelise piirkonna puhul. Siis tuleb ristlõike välis- ja siseraadius eraldi määrata.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia graafikute $y=x$ ja $y=x^2$ lõikepunktide $x$-koordinaadid.
2. Kumb funktsioon on vahemikus [0;1] suurem: $x$ või $x^2$?
3. Kirjuta integraal graafiku $y=2$ pööramisel ümber $x$-telje vahemikus [0;3] tekkiva ruumala jaoks.

Rakendus

1. Leia graafikute $y=x$ ja $y=x^2$ vaheline pindala.
2. Anuma külgprofiili raadius on $r(x)=x+1$ cm vahemikus $0\le x\le2$. Leia ümber $x$-telje pööramisel tekkiv ruumala.
3. Maa-ala ülemist serva kirjeldab $f(x)=4-x^2$ ja alumist serva $g(x)=0$ vahemikus [-2;2]. Leia pindala ja tõlgenda ühikut.

Mõtlemisülesanne

1. Graafikud on $f(x)=x^2$ ja $g(x)=2-x^2$. Leia nende vaheline piiratud pindala ning põhjenda, kumb on ülemine graafik.
2. Võrdle sama ristküliku `$0\le x\le2$, $0\le y\le3$ pööramisel ümber $x$-telje saadud ruumala integraaliga ja silindri valemiga.
3. Õpilane kirjutab pöördkeha ruumalaks $\pi\int_0^2x\,dx$, kui $y=x$ pöörleb ümber $x$-telje. Leia viga, paranda valem ja selgita ristlõike rolli.

Vastused

1. $x=x^2$ annab $x=0$ ja $x=1$.
2. $x\ge x^2$; näiteks vahe $x-x^2=x(1-x)\ge0$.
3. $V=\pi\int_0^3 2^2\,dx$.
4. $\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac16$ ruutühikut.
5. $V=\pi\int_0^2(x+1)^2\,dx=\frac{26\pi}{3}\text{ cm}^3$.
6. $\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}$ ruutühikut.
7. Lõikepunktid on $x=\pm1$; nende vahel on $g\ge f$. Pindala on $\int_{-1}^1(2-2x^2)\,dx=\frac83$.
8. Integraal annab $\pi\int_0^2 3^2\,dx=18\pi$. Silindri valem annab sama: $\pi r^2h=\pi\cdot3^2\cdot2=18\pi$.
9. Ristlõige on ringketas pindalaga $\pi x^2$, sest selle raadius on $x$. Seega on õige valem $V=\pi\int_0^2x^2\,dx=\frac{8\pi}{3}$.

Seosed

See moodul ühendab integraali tasandigeomeetria ja ruumalaga. Järgmine moodul kasutab sama kogunemise mõtet liikumise, tootmise, voolu ja töö mudelites.

Integraali rakendused

Mõiste

Määratud integraal kirjeldab kogunenud suurust. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.

Eeldus: oskad leida algfunktsiooni, arvutada määratud integraali ja jälgida ühikuid.

Rakenduse tähenduse otsustavad küsimus ja ühikud: integraal võib anda nihke, teepikkuse, koguse või pindala.

Põhiseos

Kui $F'(x)=f(x)$, siis määratud integraal on arv:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Rakenduse tähendus sõltub ühikutest:

Integraali ühik on integreeritava suuruse ühik korrutatud muutuja ühikuga.

Enne arvutamist kirjuta üks lause: "integraal annab ..." ja lisa oodatav ühik.

Kui kiirus võib olla negatiivne, tuleb eristada:

$$\text{nihe}=\int_a^b v(t)\,dt,$$

aga

$$\text{teepikkus}=\int_a^b |v(t)|\,dt.$$

Nihe arvestab suunda. Teepikkus loeb kogu liikumise pikkuse kokku.

Kui liikumissuunaline jõud $F(x)$ sõltub asukohast, siis tehtud töö on

$$W=\int_a^b F(x)\,dx.$$

Konstantse jõu $F=12$ N korral 5-meetrisel teel on töö $W=12\cdot5=60$ J. Muutuva jõu korral liidab integraal lühikeste teelõikude tööd.

Näide

$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=9.$$

Näiteks kui keha kiirus on

$$v(t)=2t$$

meetrit sekundis ja aeg $t$ on sekundites, siis vahemikus [0;3] läbitud teepikkus on

$$\int_0^3 2t\,dt=9\text{ m}.$$

Kui tootmise hetkekiirus on $r(t)=50+10t$ toodet tunnis, siis esimese 4 tunni kogutoodang on

$$\int_0^4 (50+10t)\,dt=[50t+5t^2]_0^4=280.$$

Voolukiirus

$$q(t)=3+2t$$

liitrit minutis annab viie minutiga

$$\int_0^5 (3+2t)\,dt=[3t+t^2]_0^5=15+25=40\text{ l}.$$

Nihe ja teepikkus võivad erineda. Kui keha kiirus on

$$v(t)=t-2$$

vahemikus [0;4], siis nihe on

$$\int_0^4 (t-2)\,dt=\left[\frac{t^2}{2}-2t\right]_0^4=8-8=0.$$

Teepikkus kasutab absoluutväärtust:

$$\int_0^2 (2-t)\,dt+\int_2^4 (t-2)\,dt=2+2=4.$$

Vastus: tulemused on 9 m, 280 toodet ja 40 l; viimase liikumise nihe on 0, teepikkus 4.

Tüüpviga

Teljest allpool annab integraal negatiivse panuse. Pindala leidmisel võetakse osad positiivsena.

Teine tüüpviga on ühikuid mitte jälgida: $(\mathrm{m/s})\cdot\mathrm{s}=\mathrm{m}$ ja $(\mathrm{tk/h})\cdot\mathrm{h}=\mathrm{tk}$.

Kolmas tüüpviga on nimetada iga kiiruse integraali teepikkuseks. Kui kiirus on suunaga ja võib olla negatiivne, annab integraal nihke. Teepikkuse jaoks tuleb liita liikumise pikkused ilma märgita.

Neljas tüüpviga on unustada, et integraali rajad peavad vastama küsimusele. Kui küsitakse esimese 3 tunni kogust, ei tohi integreerida 0 kuni 4.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\int_0^2 x\,dx$.
2. Mis on algfunktsioon funktsioonile $3x^2$?
3. Kuidas erinevad integraal ja geomeetriline pindala?

Rakendus

1. Auto kiirus on $v(t)=5t$ m/s. Kui pika tee läbib ta vahemikus 0 kuni 4 sekundit?
2. Tootmiskiirus on $r(t)=20$ tk/h. Mitu toodet valmib 3 tunniga?
3. Miks on rakendusülesandes ühikute jälgimine oluline?
4. Vee voolukiirus on $q(t)=4$ l/min. Kui palju vett lisandub 6 minutiga?

Mõtlemisülesanne

1. Tootmiskiirus on $r(t)=10+2t$ tk/h. Mitu toodet valmib esimese 3 tunniga?
2. Kiirus on $v(t)=t-1$ m/s vahemikus [0;2]. Leia nihe.
3. Sama kiiruse $v(t)=t-1$ korral leia teepikkus vahemikus [0;2], võrdle seda eelmise ülesande nihkega ja selgita erinevust.
4. Vee voolukiirus on $q(t)=6+t$ l/min. Leia nelja minutiga lisanduv veekogus ja tõlgenda ühikut.
5. Vedru venitamiseks vajalik jõud on $F(x)=20x$ njuutonit. Leia töö vahemikus $0\le x\le0{,}3$ m ja selgita integraali ühikut.

Vastused

1. $2$.
2. $x^3+C$.
3. Integraal on märgiga summa; geomeetriline pindala loeb kõik osad positiivsena.
4. $\int_0^4 5t\,dt=\frac52\cdot16=40$ m, sest $(m/s)\cdot s=m$.
5. $\int_0^3 20\,dt=60$ toodet.
6. Ühikud näitavad, kas tulemus on meeter, liiter, toodete arv või muu kogus.
7. $\int_0^6 4\,dt=24$ l.
8. $\int_0^3 (10+2t)\,dt=[10t+t^2]_0^3=39$ toodet.
9. $\int_0^2 (t-1)\,dt=\left[\frac{t^2}{2}-t\right]_0^2=0$ m; see on nihe.
10. `$\int_0^1 (1-t)\,dt+\int_1^2 (t-1)\,dt=\frac12+

rac12=1$` m. Teepikkus on nihkest suurem, sest teepikkus liidab mõlemad liikumissuunad positiivsena, aga nihkes need tasakaalustavad teineteist.

11. $\int_0^4(6+t)\,dt=\left[6t+\frac{t^2}{2}\right]_0^4=32$ l; voolukiiruse ja aja korrutamisel saadakse veekogus.
12. $W=\int_0^{0{,}3}20x\,dx=[10x^2]_0^{0{,}3}=0{,}9$ J. Ühik on N·m, mis on üks džaul.

Seosed

Integraali rakendustes muutub määratud integraal mudeli vastuseks. See peatükk kasutab eelneva määratud integraali peatüki arvutusvõtteid ning viib edasi modelleerimise juurde: mida funktsioon mõõdab, mis on rajad ja millises ühikus vastus tuleb.

Ruumigeomeetria

Mõiste

Ruumigeomeetrias töötame kolmemõõtmeliste kehadega: prismad, püramiidid, silindrid, koonused ja kerad. Neid saab käes hoida, ehitada või joonisel kujutada.

Eeldus: oskad arvutada pindala ja ruumala, kasutada Pythagorase teoreemi ning eristada keha põhja, kõrgust ja külgpinda.

Kolmemõõtmelise keha puhul küsitakse sageli kahte asja:

• pindala: kui suur on keha välispind;
• ruumala: kui palju ruumi keha hõivab või mahutab.

Keha pindala tähendab kogu välispinda kokku, mitte ainult põhja pindala.

Tahukad

Tahukas on keha, mille tahud on hulknurgad. Näiteks kuup, risttahukas, prisma ja püramiid on tahukad.

Prisma ruumala:

$$V=S_p h,$$

kus $S_p$ on põhja pindala ja $h$ on kõrgus.

Püramiidi ruumala:

$$V=\frac13 S_p h.$$

Kuubi erijuht, kui serv on $a$:

$$V=a^3,\qquad S=6a^2.$$

Risttahuka ruumala, kui servad on $a,b,c$:

$$V=abc.$$

Pöördkehad

Pöördkeha tekib siis, kui tasandiline kujund pöörleb ümber sirge. Näiteks ristküliku pöörlemisel tekib silinder, täisnurkse kolmnurga pöörlemisel koonus.

Olulisemad valemid:

Koonuse valemis on $s$ moodustaja ehk külgjoone pikkus.

Lõiked

Lõige on kujund, mis tekib, kui keha mõttes tasandiga läbi lõigata. Lõike kuju sõltub sellest, mis suunast keha lõigata.

Näiteks:

• silindri horisontaalne lõige on ring;
• silindri telglõige on ristkülik;
• koonuse telglõige on võrdhaarne kolmnurk;
• kera iga tasandlõige on ring, kui tasand kera üldse lõikab.

Lõigete ülesannetes aitab kõigepealt joonistada nähtavale tasandiline kujund: sageli muutub ruumiülesanne kolmnurga või ristküliku ülesandeks.

Märgi abijoonisel eraldi pikkused, kõrgused ja otsitav lõik.

Näide

Silindri raadius on 3 cm ja kõrgus 5 cm:

$$V=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi.$$

Kui kuubi serv on 4 cm, siis

$$V=4^3=64\text{ cm}^3,$$

ja pindala on

$$S=6\cdot4^2=96\text{ cm}^2.$$

Kui püramiidi põhja pindala on 30 cm² ja kõrgus 9 cm, siis

$$V=\frac13\cdot30\cdot9=90\text{ cm}^3.$$

Vastus: silindri ruumala on $45\pi$, kuubi ruumala 64 cm³, kuubi pindala 96 cm² ja püramiidi ruumala 90 cm³.

Tüüpviga

Ruumala ja pindala valemid mõõdavad eri asju. Pindala ühik on ruutühik, ruumala ühik kuupühik.

Teine tüüpviga on kasutada püramiidi või koonuse puhul prisma või silindri valemit. Püramiidi ja koonuse ruumala on sama põhja ja kõrgusega prisma või silindri ruumalast kolm korda väiksem:

$$V=\frac13 S_p h.$$

Kolmas tüüpviga on segada koonuse kõrgus ja moodustaja. Kõrgus on risti põhjaga, moodustaja kulgeb mööda külgpinda.

Neljas tüüpviga on lõikeülesandes jätta tasandiline abijoonis tegemata. Sageli peitub ruumiülesandes tavaline täisnurkne kolmnurk.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
2. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ ja $h=10$.
3. Miks kera ruumala valemis on $r^3$?

Rakendus

1. Leia risttahuka ruumala, kui mõõtmed on 2 cm, 5 cm ja 7 cm.
2. Leia püramiidi ruumala, kui põhja pindala on 18 cm² ja kõrgus 12 cm.
3. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ ja $h=8$.

Mõtlemisülesanne

1. Mis kujuga on silindri telglõige?
2. Mis kujuga on kera tasandlõige?
3. Koonusel on raadius 3 cm ja kõrgus 4 cm. Leia moodustaja.
4. Miks tuleb koonuse külgpindala valemis kasutada moodustajat, mitte kõrgust?

Vastused

1. 64 cm³, sest kuubi ruumala on $4^3$.
2. $V=\pi\cdot2^2\cdot10=40\pi$; kui mõõdud on sentimeetrites, siis ühik on $\text{cm}^3$.
3. Ruumala mõõdab kolmemõõtmelist suurust; raadius mõjutab pikkust, laiust ja kõrgust, seega ühik on kuupühik.
4. 70 cm³, sest risttahuka ruumala on $2\cdot5\cdot7$.
5. 72 cm³, sest püramiidi ruumala on kolmandik $S_p h$-st.
6. $24\pi\text{ cm}^3$, sest koonuse ruumala on $\frac13\pi r^2h$.
7. Ristkülik; telglõige läbib silindri telge.
8. Ring, kui tasand kera lõikab.
9. $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
10. Külgpind kulgeb mööda koonuse külge; kõrgus on keha sees põhjaga risti ja ei mõõda külgpinna kallakut.

Seosed

Ruumigeomeetria kasutab pindala, ruumala, Pythagorase teoreemi ja lõikejooniseid. Järgmine ruumigeomeetria peatükk eristab kõrgust, apoteemi ja moodustajat ning ühendab need püramiidi ja pöördkehade arvutustes.

Püramiid ja pöördkehade arvutused

Mõiste

Ruumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.

Eeldus: tunned püramiidi, silindrit, koonust ja kera ning oskad kasutada Pythagorase teoreemi.

Korrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus. See ei ole keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja $s$.

Sfäär on kera pind; kera sisaldab ka sisemust. Silindri telglõige on ristkülik, koonuse telglõige võrdhaarne kolmnurk ja kera suurringi raadius võrdub kera raadiusega.

Näide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:

$$m=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$$

Põhja pindala on $36\text{ cm}^2$. Nelja külgtahu pindala kokku on

$$S_k=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=60\text{ cm}^2.$$

Seega täispindala on 96 cm² ja ruumala

$$V=\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3.$$

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada püramiidi külgtahu pindalas keha kõrgust. Külgtahu kolmnurga kõrgus on apoteem. Teine tüüpviga on panna koonuse ruumala valemisse moodustaja $s$; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust $h$.

Kolmas tüüpviga on jätta täispindalast põhi või teine põhi välja. Silindril on kaks ringikujulist põhja, koonusel üks. Neljas tüüpviga on vastata pindalale kuupühikuga või ruumalale ruutühikuga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhja on silindril ja mitu koonusel?
2. Leia kera pindala, kui $r=3$ cm.
3. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ cm ja $h=5$ cm.

Rakendus

1. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=4$ cm.
2. Koonuse raadius on 5 cm ja kõrgus 12 cm. Leia moodustaja.
3. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja kõrgus 3 cm. Leia apoteem.

Mõtlemisülesanne

1. Leia eelmise püramiidi täispindala ja ruumala.
2. Silindri raadius kahekordistub, kõrgus ei muutu. Mitu korda muutub ruumala?
3. Kumb mahutab rohkem: silinder või sama põhja ja kõrgusega koonus? Mitu korda?

Vastused

1. Silindril kaks, koonusel üks põhi.
2. $4\pi\cdot3^2=36\pi\text{ cm}^2$.
3. $20\pi\text{ cm}^3$.
4. $\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\text{ cm}^3$.
5. $s=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm.
6. $m=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
7. $S=8^2+4\cdot\frac{8\cdot5}{2}=144\text{ cm}^2$; $V=\frac13\cdot64\cdot3=64\text{ cm}^3$.
8. Neli korda, sest ruumala sisaldab tegurit $r^2$.
9. Silinder mahutab kolm korda rohkem; koonuse ruumala on sama $S_p$ ja $h$ korral kolmandik.

Seosed

Ruumiliste kehade arvutused ühendavad tasandiliste kujundite pindala, Pythagorase teoreemi, trigonomeetria ja ühikud. Keerukas ruumiülesanne muutub enamasti lihtsamaks, kui joonistad telglõike või ühe külgtahu eraldi.

Mis on tõestus?

Mõiste

Tõestus on põhjendus, mis näitab, miks matemaatiline väide kehtib kõigil lubatud juhtudel. Näide aitab väidet mõista, aga näide üksi ei tõesta üldist väidet.

Eeldus: oskad eristada väidet, näidet ja vastunäidet ning tunned paarisarvu ja jaguvuse mõtet.

Tõestust on vaja, sest matemaatikas ei piisa uskumisest, joonise järgi paistmisest ega mõnest õnnestunud proovist. Tõestus ütleb, millistest eeldustest alustame ja miks järeldus neist kindlasti järgneb.

Peamised tõestusviisid:

Enne meetodi valimist küsi: kas tahan väidet tõestada kõigil lubatud juhtudel või piisab selle ümberlükkamiseks ühest vastunäitest?

Tõestuse lõpus kontrolli, kas iga kasutatud samm tuleb eeldusest, definitsioonist või varem teada teoreemist.

Näide

Väide: kui täisarv $n$ jagub 4-ga, siis $n$ on paarisarv.

Otsene tõestus: kui $n$ jagub 4-ga, siis leidub täisarv $k$, nii et

$$n=4k.$$

Aga

$$4k=2(2k).$$

Kuna $2k$ on täisarv, saab $n$ kirjutada kujul $2\cdot\text{täisarv}$. Seega $n$ on paarisarv.

Sama teema vastupidine väide ei kehti: "kui arv on paarisarv, siis ta jagub 4-ga" on väär, sest $6$ on paarisarv, aga ei jagu 4-ga.

Tõlgendus: esimene väide on tõestatud, vastupidine väide on ühe vastunäitega ümber lükatud.

Tüüpviga

Tüüpviga on tuua kolm näidet ja nimetada seda tõestuseks. Näited võivad anda idee, aga üldväite puhul peavad kaetud olema kõik lubatud juhud.

Teine tüüpviga on tõestada vale suunda. Väide "kui $P$, siis $Q$" ei tähenda sama mis "kui $Q$, siis $P$".

Kolmas tüüpviga on kasutada joonist tõestusena ilma põhjenduseta. Joonis võib anda vihje, aga arvutus või loogiline seos peab ütlema, miks asi alati kehtib.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas üks näide tõestab väite "kõik paarisarvud jaguvad 4-ga"?
2. Too vastunäide väitele "kõik täisarvud on positiivsed".

Rakendus

1. Tõesta otseselt: kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga.
2. Kas väide "kui arv jagub 3-ga, siis ta jagub 6-ga" on tõene?

Mõtlemisülesanne

1. Miks tuleb väites "parajasti siis, kui" tõestada kaks suunda?
2. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga paarisarv on kujul $2k$" jaoks?
3. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga algarv on paaritu" kontrollimiseks?

Vastused

1. Ei. Näiteks $8$ jagub 4-ga, aga see ei ütle midagi kõigi paarisarvude kohta.
2. Näiteks $-2$ on täisarv, aga ei ole positiivne.
3. Kui $n=6k$, siis $n=3(2k)$; seega $n$ jagub 3-ga.
4. Ei. Näiteks $9$ jagub 3-ga, aga ei jagu 6-ga.
5. Sest ekvivalents väidab, et kumbki tingimus annab teise.
6. Otsest tõestust definitsiooni abil.
7. Vastunäidet: $2$ on algarv, aga ei ole paaritu.

Seosed

See leht valmistab ette loogika, hulkade, geomeetrilise tõestamise, induktsiooni ja algoritmide korrektsuse peatükke. Küsimus ei ole ainult "mis vastus tuli?", vaid "miks see vastus peab alati nii tulema?".

Loogika, hulgad ja tõestus

Mõiste

Loogikas kontrollime, kas järeldus tuleb eeldustest päriselt välja. Hulk on objektide kogum. Tõestus näitab, miks väide kehtib kõigil lubatud juhtudel.

Eeldus: oskad kasutada muutujaid, lihtsaid arvuhulki ja näha, kas näide vastab väitele.

Märgid

• $\in$ tähendab “kuulub hulka”.
• $\subset$ tähendab “on alamhulk”.
• $\Rightarrow$ tähendab “sellest järeldub”.
• $\Leftrightarrow$ tähendab “parajasti siis, kui”.

Implikatsioon

Implikatsioon

$$P\Rightarrow Q$$

tähendab: kui eeldus $P$ kehtib, siis järeldus $Q$ peab kehtima.

Eeldus on lähtekoht; järeldus on see, mida sellest lähtekohast põhjendusega saadakse.

Näide:

Kui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga.

$$4\mid n\Rightarrow 2\mid n.$$

Vastupidine suund ei pruugi kehtida:

$$2\mid n\not\Rightarrow 4\mid n,$$

sest $6$ jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

Seega kontrolli alati, kummast eeldusest alustad ja millise järelduseni pead jõudma.

Ekvivalents

Ekvivalents

$$P\Leftrightarrow Q$$

tähendab, et mõlemad suunad kehtivad:

$$P\Rightarrow Q$$

ja

$$Q\Rightarrow P.$$

Näide:

Täisarv $n$ on paarisarv parajasti siis, kui leidub täisarv $k$, nii et

$$n=2k.$$

Siin toimivad mõlemad suunad:

• kui $n$ on paarisarv, saab teda kirjutada kujul $2k$;
• kui $n=2k$, siis $n$ on paarisarv.

Vastunäide

Üldväite ümberlükkamiseks piisab ühest vastunäitest.

Üldväite tõestamiseks peab põhjendus katma kõik lubatud juhud, mitte ainult mõne näite.

Väide: “Kõik paarisarvud jaguvad 4-ga.”

Vastunäide: $6$ on paarisarv, aga $6$ ei jagu 4-ga.

Seega väide on väär.

Näide

Kui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga. Vastupidine väide ei kehti: 6 jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

Hulkade näide:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

Kui $x\in\mathbb{N}$, siis kindlasti $x\in\mathbb{Z}$. Vastupidine ei kehti: $-3\in\mathbb{Z}$, aga $-3\notin\mathbb{N}$, kui naturaalarvud algavad 1-st.

Tõlgendus: hulkade sisaldumine annab ühe suuna; vastupidist suunda peab eraldi kontrollima.

Tüüpviga

Üks näide võib väite ümber lükata, aga üks näide ei tõesta üldist väidet.

Teine tüüpviga on segada implikatsioon ja ekvivalents. Väide “kui arv jagub 4-ga, siis jagub 2-ga” ei tähenda automaatselt, et “kui arv jagub 2-ga, siis jagub 4-ga”.

Kolmas tüüpviga on kasutada sõna “või” ja mõelda “ja”. Matemaatikas tähendab “$P$ või $Q$” tavaliselt, et vähemalt üks neist kehtib.

Neljas tüüpviga on pidada vastupidist väidet automaatselt tõeseks. Iga implikatsiooni puhul kontrolli eraldi ka vastupidist suunda.

Kui jäid kinni

Korda hulkadesse kuulumise märke ja vahet väitel ning selle vastupidisel väitel. Vaata näitest, kuidas üks vastunäide lükkab üldise väite ümber. Alusta harjutustest 1 ja 2; tõestuse kirjutamise juurde mine siis, kui implikatsiooni suund on selge.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas väide “kui $x>5$, siis $x>2$” on tõene?
2. Kas vastupidine väide “kui $x>2$, siis $x>5$” on tõene?

Rakendus

1. Too vastunäide väitele “kõik täisarvud on naturaalarvud”.
2. Selgita, mida tähendab $P\Leftrightarrow Q$.

Mõtlemisülesanne

1. Kas väide “arv on paarisarv parajasti siis, kui ta on kujul $2k$, kus $k$ on täisarv” on ekvivalents?
2. Kas “ei kehti korraga $P$ ja $Q$” tähendab sama mis “ei kehti $P$ ega $Q$”? Põhjenda.
3. Olgu $P$: arv jagub 2-ga ja $Q$: arv jagub 3-ga. Mida tähendab “$P$ või $Q$”? Too näide arvust, mis sobib.

Vastused

1. Jah, sest $x>5$ korral on kindlasti $x>2$.
2. Ei. $x=3$ on vastunäide.
3. Näiteks -1 on täisarv, aga ei ole naturaalarv.
4. Mõlemad suunad kehtivad: $P\Rightarrow Q$ ja $Q\Rightarrow P$.
5. Jah: paarisarvust saab kirjutada $n=2k$ ja iga $2k$ kujuline täisarv on paarisarv.
6. Ei. Kui $P$ on tõene ja $Q$ väär, ei kehti need korraga, kuid väide „kumbki ei kehti” on väär.
7. Arv jagub 2-ga või 3-ga või mõlemaga; matemaatiline "või" lubab ka mõlemat korraga. Näiteks 8 sobib, 9 sobib ja 6 sobib mõlemaga.

Seosed

Loogika on tõestuste, võrratuste, funktsioonide omaduste ja kõrgema matemaatika alus. Järgmine matemaatilise induktsiooni peatükk kasutab loogilist järeldamist lõpmatu hulga väidete tõestamiseks.

Matemaatiline induktsioon

Mõiste

Matemaatiline induktsioon on tõestusviis väidetele, mis sõltuvad naturaalarvust $n$.

Eeldus: oskad lugeda väiteid kujul $P(n)$, teha algebralisi teisendusi ja kasutada jadade summasid.

Intuitsioon on nagu doominorida:

• esimene doomino kukub;
• iga doomino lükkab järgmise ümber.

Kui mõlemad tingimused kehtivad, kukuvad kõik doominod. Induktsioonis tähendab see:

• väide kehtib esimese $n$ väärtuse jaoks;
• kui väide kehtib mingi $n$ jaoks, siis kehtib see ka $n+1$ jaoks.

Skeem

1. Baassamm: tõesta väide esimese väärtuse jaoks.
2. Induktsioonisamm: eelda, et väide kehtib $n$ korral, ja tõesta, et siis kehtib see $n+1$ korral.

Induktsioonisammus ei tõestata väidet uuesti nullist. Seal kasutatakse induktsioonieeldust.

Kui väidet tähistada $P(n)$, siis tõestuse kuju on:

$$P(1)\quad\text{ja}\quad P(n)\Rightarrow P(n+1).$$

Kontrolli lõpus kolme asja: kas baassamm on olemas, kas induktsioonieeldus on selgelt öeldud ja kas $P(n+1)$ tõestamisel seda eeldust kasutati.

Kui mõni neist puudub, ei ole väidete ahel veel katkematu.

Näide

Väide:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Baassamm $n=1$:

$$1=\frac{1\cdot2}{2}.$$

Baassamm kehtib.

Induktsioonieeldus: oletame, et mingi naturaalarvu $n$ korral kehtib

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Tahame tõestada, et siis kehtib väide ka $n+1$ korral:

$$1+2+\cdots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2.$$

Alustame vasakust poolest ja kasutame induktsioonieeldust:

$$1+2+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}2+(n+1).$$

Viime ühise nimetaja alla:

$$\frac{n(n+1)}2+\frac{2(n+1)}2.$$

Võtame $(n+1)$ sulgude ette:

$$\frac{(n+1)(n+2)}2.$$

See on täpselt see, mida pidime tõestama. Seega kehtib valem kõigi naturaalarvude $n$ korral.

Tõlgendus: baassamm alustab ahela ja induktsioonisamm kannab tõestuse igalt $n$-lt järgmisele.

Veel üks lihtne näide

Tõesta, et

$$2+4+6+\cdots+2n=n(n+1).$$

Baassamm $n=1$:

$$2=1\cdot2.$$

Induktsioonieeldus:

$$2+4+\cdots+2n=n(n+1).$$

Lisame järgmise liikme $2(n+1)$:

$$2+4+\cdots+2n+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1).$$

Võtame $(n+1)$ ette:

$$(n+1)(n+2).$$

See on sama valem $n+1$ jaoks:

$$(n+1)((n+1)+1).$$

Tõlgendus: baassamm ja induktsioonisamm koos näitavad, et valem kehtib kõigi naturaalarvude $n$ korral.

Tüüpviga

Induktsioon ei ole “kontrollin mõne näite peal”. Näited aitavad aimata, aga tõestuseks on vaja üldist sammu.

Teine tüüpviga on unustada baassamm. Ilma esimese doomino kukkumiseta ei piisa teadmisest, et iga doomino lükkaks järgmise.

Kolmas tüüpviga on induktsioonisammus induktsioonieeldust mitte kasutada. Kui väide tuleb tõestada $n+1$ jaoks, peab kuskil ilmuma eeldus $n$ kohta.

Neljas tüüpviga on tõestada ainult üleminekut, aga mitte öelda, millisest väärtusest tõestus algab. Kui väide algab näiteks $n=0$ korral, peab ka baassamm olema $n=0$.

Teine seletusviis

Induktsiooni võib mõelda redelina: esimene aste peab kandma ja iga astme pealt peab saama järgmisele.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kontrolli summavalemit $n=3$ korral.
2. Miks on baassamm vajalik?
3. Mida tähendab induktsioonieeldus?

Rakendus

1. Tõesta induktsiooniga, et $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.
2. Mis on induktsioonisammus vaja tõestada, kui väide on $P(n)$?

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei piisa induktsioonitõestuses ainult juhtude $n=1,2,3$ kontrollimisest?
2. Väide $P(n)$ algab väärtusest $n=0$. Milline peab olema baassamm ja milline induktsioonisamm?
3. Õpilane kontrollib $P(1)$, eeldab $P(n)$ ja kirjutab kohe „järelikult $P(n+1)$”. Mis on tõestusest puudu?

Vastused

1. $1+2+3=6$ ja $\frac{3\cdot4}{2}=6$.
2. See käivitab tõestuse, nagu esimene doomino.
3. Oletame, et väide kehtib mingi $n$ korral, et selle abil tõestada järgmine juht.
4. Baassamm: $1=1^2$. Eeldus: $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$. Lisame järgmise paaritu arvu $2n+1$: $n^2+2n+1=(n+1)^2$. Seega kehtib väide kõigi naturaalarvude $n$ korral.
5. Tuleb tõestada, et $P(n)\Rightarrow P(n+1)$.
6. Sest üksikud näited ei tõesta väidet kõigi naturaalarvude kohta; vaja on ka üleminekusammu $P(n)\Rightarrow P(n+1)$.
7. Baassamm on $P(0)$. Induktsioonisammus eeldatakse $P(n)$ ja tõestatakse $P(n+1)$.
8. Puudu on põhjendus, kuidas $P(n)$ abil saadakse $P(n+1)$; eeldus üksi järgmist juhtu ei tõesta.

Seosed

Induktsioon toetub loogilisele järeldusele ja on lähedane rekursioonile: rekursioon arvutab järgmise väärtuse varasemate põhjal, induktsioon tõestab järgmise juhu varasema põhjal. Järgmine peatükk kasutab sama mõtet algoritmide ja rekursiivsete kirjelduste juures.

Probleemilahendus ja mudelid

Mõiste

Matemaatiline mudel on päriselulise olukorra lihtsustatud kirjeldus: valem, tabel, graafik, võrrand või simulatsioon.

Eeldus: oskad kasutada protsente, võrdeid, lihtsaid võrrandeid ja lineaarfunktsiooni.

Mudelil on sisend ja väljund. Sisend on suurus, mille mudelisse paned; väljund on arvutatud vastus. Täht saab tähenduse alles siis, kui ütled tema rolli ja ühiku.

Andmetest mudelini

Mudeli valik algab eeldusest, mitte valemist: punktid -> tabel, ruumiline olukord -> joonis, tundmatu -> võrrand, napid andmed -> hinnang.

Kontrollküsimused

Enne vastuse lõplikuks lugemist küsi:

• Kas vastasin sellele, mida küsiti?
• Kas ühikud on õiged?
• Kas tulemus on realistlik?
• Kas mudeli eeldused sobivad ka väga väikese või väga suure sisendi korral?
• Kas on vaja ümardada ning kuidas seda päriselus tõlgendada?

Näide

Kui rattalaenutus maksab 4 eurot alustasu ja 3 eurot tunnis, siis

$$y=3x+4.$$

Siin $x$ on sisend ehk tunnid ja $y$ on väljund ehk hind eurodes.

Kui küsitakse, mitu tundi saab sõita 19 euro eest, siis lahendame võrrandi

$$3x+4=19.$$

$$3x=15,$$

$$x=5.$$

Vastus: 19 euro eest saab sõita 5 tundi.

Kontroll:

• ühik on tund;
• $3\cdot5+4=19$;
• vastus on mõistlik, sest alustasu võtab 4 eurot ja ülejäänud 15 eurot katab 5 tundi.

Teine näide

Klass tellib märkmikke. Ühe märkmiku hind on 2,50 eurot ja kohaletoimetamine maksab 6 eurot. Kui tellitakse $n$ märkmikku, siis

$$C=2{,}50n+6.$$

Kui klassis on 24 õpilast ja igaüks saab ühe märkmiku, siis

$$C=2{,}50\cdot24+6=66.$$

Eeldus: tükihind on püsiv ja kohaletoimetamine ühekordne.

Tüüpviga

Mudel ei ole tegelikkus ise. See jätab osa asju välja, seega küsi, millal mudel sobib.

Teine tüüpviga on valida muutujad, aga mitte öelda, mida nad tähendavad. $x$ üksi ei ole piisav; kirjuta “$x$ on tundide arv”.

Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Valem $y=3x+4$ ei ütle ainult arve: $x$ on tunnid ja $y$ on eurod.

Neljas tüüpviga on kasutada mudelit väljaspool mõistlikku piirkonda. Rattalaenutuse valem ei pruugi sobida negatiivse aja, väga pika rendi või päevapileti erihinna korral.

Teine seletusviis

Mudelit saab alustada tabeli, joonise, võrrandi või hinnanguga. Vali kuju, mis teeb seose nähtavaks.

Harjutused

Kitsas fookus: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Lai fookus: nimeta eeldused ja piirangud.

Lihtne kontroll

1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.
2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?

Rakendus

1. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast $t$ minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.
2. Millist eeldust teeb lineaarne mudel $y=3x+4$ rattalaenutuse näites?

Mõtlemisülesanne

1. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.
2. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?
3. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.

Vastused

1. $C=8+0{,}05s$, kus $s$ on sõnumite arv.
2. $C=8+0{,}05\cdot120=14$ eurot.
3. $V=200+15t$, kus $t$ on minutites ja $V$ liitrites.
4. Iga lisatund maksab sama palju ja alustasu on ainult üks kord, seega sobib lineaarmudel.
5. Näiteks: kas ühikud on õiged ja kas vastus on realistlik?
6. Siis, kui muutus ei ole püsiv, näiteks kasv kiireneb või aeglustub.
7. Sisend on tundide arv $x$, väljund on hind $y$; eeldus on, et iga lisatund maksab 3 eurot.

Seosed

Modelleerimine ühendab arvud, algebra, funktsioonid, geomeetria, statistika ja analüüsi. Järgmine peatükk tugevdab mudeli kontrolli: ühikud ja suurusjärk näitavad, kas vastus saab päriselus õige olla.

Hinnangud ja ühikuanalüüs

Mõiste

Hinnang aitab kontrollida, kas vastus on mõistlik. Ühikuanalüüs kontrollib, kas valem annab otsitava suuruse.

Eeldus: oskad ühikuid teisendada, ümardada ja teha peast lihtsaid korrutamisi-jagamisi.

Hinnangus ei otsita alati täpset vastust. Sageli piisab suurusjärgust: kas vastus on umbes 10, 100, 1000 või miljon?

Enne täpset arvutust küsi: mis suurusjärku vastus peaks olema ja mis ühik lõpuks peab jääma?

Pärast arvutust võrdle täpset vastust hinnanguga. Kui need erinevad mitu korda, kontrolli ühikuid, koma asukohta ja eeldusi.

Mõistlikkust aitab kontrollida võrdlus tuttava suurusega: inimese pikkus, koolipäeva kestus, liitrise pudeli maht või tavaline hind.

Mudeli usaldusväärsust kontrolli küsimusega: milline eeldus muudaks vastust kõige rohkem?

Hea hinnang:

• ümardab andmed lihtsamaks;
• kasutab mõistlikke eeldusi;
• hoiab ühikud alles;
• kontrollib, kas tulemus sobib päriseluga.

Ühikuanalüüs

Ühikuid saab arvutada nagu tegureid. Seepärast näitab ühik juba enne lõppu, kas mudeli rollid on õiged.

Näiteks kiiruse valemis

$$v=\frac{s}{t}$$

on teepikkuse ühik meetrites ja aja ühik sekundites:

$$\frac{\text{m}}{\text{s}}=\text{m/s}.$$

Kui valem peaks andma aja, aga ühikuks tuleb m², siis on midagi valesti.

Ühikuanalüüs ei tõesta, et arv on õige, aga aitab kiiresti märgata valesid tehteid.

Ühik aitab ka otsustada, mida vastus tähendab. Kui arvutuse lõpus tuleb eurot kuus, ei saa seda tõlgendada kogukuluna kogu aasta kohta.

Näide

Kui sõita 120 km kiirusega 60 km/h, siis aeg on

$$t=\frac{s}{v}=\frac{120\text{ km}}{60\text{ km/h}}=2\text{ h}.$$

Ühikud kinnitavad, et vastus on aeg.

Peastarvutuse hinnang:

$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000.$$

Täpne väärtus on 1029, seega hinnang oli mõistlik.

Vastus: sõiduaeg on 2 h ja korrutise hinnang on umbes 1000.

Fermi-ülesande näide

Küsimus: umbes mitu liitrit vett joob üks koolitäis õpilasi koolipäeva jooksul?

Teeme eeldused:

• koolis on umbes 600 õpilast;
• üks õpilane joob koolipäeva jooksul umbes 0,5 liitrit vett.

Siis hinnang on

$$600\cdot0{,}5=300.$$

Vastus: umbes 300 liitrit vett päevas.

See ei ole täpne mõõtmine. See on mõistlik hinnang, mida saab parandada, kui meil on paremad andmed.

Nimeta ka, milline eeldus muudaks vastust kõige rohkem.

Ühikukontroll:

$$\text{õpilast}\cdot\frac{\text{liitrit}}{\text{õpilane}}=\text{liitrit}.$$

Õpilaste ühik taandub välja ja tulemus on liitrites.

Tüüpviga

Kui valemi tulemusel saad vale ühiku, on tõenäoliselt valem või asendus vale.

Teine tüüpviga on anda hinnang liiga täpselt. Kui andmed on hinnangulised, ei ole mõtet vastata “302,7 liitrit”; parem on “umbes 300 liitrit”.

Kolmas tüüpviga on eeldused välja kirjutamata jätta. Fermi-ülesandes on eeldused pool lahendusest.

Neljas tüüpviga on ümardada liiga vara. Kui arvutuses on mitu sammu, tee hinnang eraldi, aga täpsem vastus arvuta võimalusel enne lõplikku ümardamist.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Hinda peast $49\cdot21$.
2. Mis ühik tekib, kui jagada meetrid sekunditega?
3. Kontrolli ühikut valemis $S=ab$.

Rakendus

1. Hinda, mitu minutit on ühes nädalas.
2. Koosta Fermi-hinnang: umbes mitu vihikut kasutab 25 õpilasega klass ühe õppeaasta jooksul, kui iga õpilane kasutab umbes 8 vihikut?

Mõtlemisülesanne

1. Mis ühik tekib, kui korrutada kiirus km/h ajaga h?
2. Miks ei ole Fermi-ülesandes liiga täpne vastus tavaliselt usaldusväärne?
3. Hinda, kas 3 kg õunu hinnaga 1,95 eurot/kg maksab pigem 4, 6 või 10 eurot.
4. Kui vastuse ühik on eurot kuus, mida peab tegema, et saada aastane kogukulu?

Vastused

1. Umbes 1000.
2. m/s, kiiruse ühik.
3. Kui $a$ ja $b$ on pikkused, siis ühik on pikkus korda pikkus ehk ruutühik.
4. $7\cdot24\cdot60=10080$, seega umbes 10000 minutit.
5. $25\cdot8=200$ vihikut.
6. Kilomeetrid, sest $\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\text{h}=\text{km}$.
7. Sest algandmed on ligikaudsed; liiga palju komakohti jätab vale täpsuse mulje.
8. Pigem 6 eurot, sest $3\cdot1{,}95\approx3\cdot2=6$.
9. Tuleb korrutada kuude arvuga, tavaliselt 12-ga: $\text{eurot/kuu}\cdot12\text{ kuud}=\text{eurot}$.

Seosed

Hinnang ja ühikuanalüüs on modelleerimise kvaliteedikontroll. Järgmises finantsmatemaatika peatükis aitavad need märgata, kas intress, protsent ja rahaühik on õigesti tõlgendatud.

XII klassi analüüsi, loogika ja modelleerimise sild

Mõiste

XII klassis ei ole eesmärk ainult uusi valemeid õppida, vaid osata valida tööriist. Analüüs, loogika ja modelleerimine toetavad sama lahenduskäiku.

Eeldus: oskad leida tuletise abil ekstreemumit, määratud integraaliga pindala või kogust ning eristada tõestust vastunäitest.

Kui mõni eeldus kõigub, korda seda enne tervikülesannet; muidu võib õige meetod vale sisendiga anda näiliselt korraliku, aga sisult vale vastuse.

Mudeli algusvalik: tabel võrdlemiseks, joonis geomeetriaks, võrrand tingimuseks, graafik muutumiseks ja hinnang puudulike andmete jaoks.

Hea gümnaasiumilõpu lahendus ütleb lisaks arvutusele ka, miks valitud meetod sobib.

Tähistuses $T(x)$, $f(x)$ või $g(x)$ on esimene täht funktsiooni nimi; sulgudes olev täht on sisend.

Enne arvutamist tasub kirjutada üks kontroll-lause: "Otsin maksimumi, seega kasutan tuletist" või "Otsin kogust kiirusest, seega kasutan integraali." See hoiab lahenduse põhjendatud.

Näide

Firma tulu mudel on

$$T(x)=-x^2+12x,$$

kus $x$ on müüdud ühikute arv sadades.

Maksimumi leidmiseks kasutame tuletist:

$$T'(x)=-2x+12.$$

Maksimumikandidaat tekib, kui

$$-2x+12=0,$$

seega $x=6$.

Tõlgendus: mudeli järgi on tulu suurim, kui müüakse 600 ühikut.

Kontroll: kuna ruutfunktsiooni kordaja $-1$ on negatiivne, on parabool allapoole avatud ja kriitiline punkt annab maksimumi.

Tüüpviga

Tüüpviga on jätta vastus ainult arvuks. Kui mudelis $x=6$ tähendab sadu ühikuid, siis lõppvastus on 600 ühikut, mitte paljas arv 6.

Teine tüüpviga on kasutada tuletist või integraali ilma küsimust lugemata. Tuletis sobib muutumise kiiruse ja ekstreemumi jaoks, integraal koguse ja pindala jaoks.

Kolmas tüüpviga on võtta mudelit tegelikkusena. Mudel on lihtsustus; lõpus tuleb märkida, millises vahemikus või millistel eeldustel vastus on mõistlik.

Neljas tüüpviga on leida kriitiline punkt, aga mitte kontrollida, kas see annab maksimumi, miinimumi või ainult võimaliku muutuskoha.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millise tööriista valiksid funktsiooni maksimumi leidmiseks?
2. Millise tööriista valiksid pindala leidmiseks graafiku all?

Rakendus

1. Miks peab mudeli vastust tõlgendama algse olukorra keeles?
2. Funktsioon $f(x)=x^2-4x$. Leia kriitiline punkt.

Mõtlemisülesanne

1. Kui kiirus on $v(t)=3t$, mida annab integraal vahemikus 0 kuni 2?
2. Too näide väitest, mida saab ümber lükata ühe vastunäitega.
3. Kui ülesandes küsitakse "millal kasv peatub?", millist matemaatilist tingimust otsid?
4. Miks ei pruugi funktsiooni mudel kehtida väga suurte $x$ väärtuste korral?
5. Ülesandes küsitakse, kas väide kehtib kõigi naturaalarvude korral. Kas alustad tuletisest, integraalist või tõestusest? Põhjenda.
6. Funktsioon $g(x)=x^2-6x+5$. Leia kriitiline punkt ja otsusta, kas see on miinimum või maksimum.

Vastused

1. Tuletise, sest maksimum on muutumise pöördekoha küsimus.
2. Määratud integraali, sest pindala on kogunenud suurus vahemikus.
3. Muidu ei ole teada, mida arv päriselus tähendab.
4. $f'(x)=2x-4=0, seega $x=2$; see on ekstreemumi kandidaat.
5. Läbitud teepikkuse selles ajavahemikus: $\int_0^2 3t\,dt=6$.
6. Näiteks väite "kõik paaritud arvud on algarvud" lükkab ümber 9.
7. Otsid kohta, kus tuletis on null või muutumise märk vahetub.
8. Pärisolukorras võivad tekkida piirangud, mida lihtne valem ei kirjelda.
9. Tõestusest või vastunäitest, sest küsimus käib üldise väite kehtivuse kohta.
10. $g'(x)=2x-6=0, seega $x=3$. Kuna kordaja $a=1>0$, on parabool ülespoole avatud ja punkt annab miinimumi.

Seosed

See sild koondab gümnaasiumi lõpu kolm otsustusoskust: vali meetod, põhjenda selle sobivust ja tõlgenda vastust mudeli keeles. Järgmine eksamikordamise moodul kasutab sama kontrollnimekirja tervikülesannetes.

Finantsmatemaatika

Mõiste

Finantsmatemaatika kasutab protsente, astmeid ja funktsioone raha ajas muutumise kirjeldamiseks.

Eeldus: oskad protsenti kümnendmurruks muuta, astmeid kasutada ja ligikaudset suurusjärku hinnata.

Finantsülesandes tuleb eristada algsummat, intressimäära, aega, maksete arvu ja kogukulu.

Kontrolli enne arvutust ajasammu: aastaintress käib aastate, kuuintress kuude kohta.

Lihtintress

$$A=P(1+rt),$$

kus $P$ on algsumma, $r$ intressimäär aastas ja $t$ aeg aastates.

Lihtintressi korral arvutatakse intress ainult algsummalt.

Liitintress

$$A=P(1+r)^t.$$

Liitintressi korral lisandub intress juba kasvanud summale. Seetõttu kasvab summa aja jooksul kiiremini.

Valemis peavad $r$ ja $t$ olema samas ajasammus: kui $r$ on aastaintress, siis $t$ on aastate arv.

Inflatsioon

Inflatsioon tähendab, et hinnatase tõuseb ja sama rahasumma ostujõud väheneb.

Kui aastane inflatsioonimäär on $i$, siis hinna ligikaudne kasv $t$ aasta jooksul on

$$H=H_0(1+i)^t.$$

Kui kaup maksab praegu 100 eurot ja inflatsioon on 4% aastas, siis 3 aasta pärast on sama kauba hinnanguline hind

$$100\cdot1,04^3\approx112,49.$$

See tähendab, et 100 euro ostujõud on väiksem kui varem.

Laenumakse

Laenumakse sõltub laenusummast, intressist ja tagasimakse ajast. Täpne annuiteetmakse valem on

$$M=P\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},$$

kus:

• $P$ on laenusumma;
• $i$ on perioodi intressimäär;
• $n$ on maksete arv;
• $M$ on ühe perioodi makse.

Kui maksed on kuised, peab $i$ olema kuuintress ja $n$ kuude arv.

Kontrolli alati kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga ning lisada teenustasud.

Koolis on tihti kõige olulisem aru saada suurusjärgust: sama laenusumma ja sama aastaintressi korral vähendab pikem tagasimakse aeg kuumakset, kuid suurendab intressikulu kaudu kogukulu.

Näide

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas liitintressiga 3 aastat, siis

$$A=1000\cdot1,05^3\approx1157,63.$$

Lihtintressiga oleks sama olukord:

$$A=1000(1+0,05\cdot3)=1150.$$

Vahe on väike kolme aasta jooksul, aga pikema aja jooksul kasvab liitintressi mõju tugevamaks.

Laenu lihtsustatud näide: kui laenad 1200 eurot ja maksad selle 12 kuuga tagasi ilma intressita, on kuumakse

$$\frac{1200}{12}=100\text{ eurot}.$$

Kui lisandub intress ja teenustasud, on tegelik kogukulu suurem kui 1200 eurot. Kogukulu tähendab kõigi maksete summat, mitte ainult algset laenusummat.

Vastus: liitintressiga on summa umbes 1157,63 eurot, lihtintressiga 1150 eurot ja intressita kuumakse 100 eurot.

Tüüpviga

5% ei ole arvutustes 5, vaid 0,05.

Teine tüüpviga on võrrelda ainult kuumakset. Väike kuumakse võib tähendada pikemat perioodi ja suuremat kogukulu.

Kolmas tüüpviga on inflatsiooni ignoreerida. Kui raha seisab ja hinnad tõusevad, võib sama summa eest tulevikus vähem osta.

Finantsülesannetes tuleb alati tähele panna, kas intressimäär on aasta, kuu või mõne muu perioodi kohta.

Neljas tüüpviga on ajada investeeringu tulevane väärtus ja ostujõud segi. Kui summa kasvab 5%, aga hinnad kasvavad samal ajal 5%, ei tähenda see suuremat ostujõudu.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia 200 eurost 12%.
2. Arvuta lihtintressiga 1000 eurot 4% juures 2 aastaks.
3. Miks liitintress kasvab kiiremini kui lihtintress?

Rakendus

1. Arvuta liitintressiga 500 eurot 3% aastas 4 aastaks.
2. Kui hinnad kasvavad 5% aastas, kui palju maksab 80-eurone ese ühe aasta pärast?
3. Eesti pere paneb lapse huvihariduse fondi 40 eurot kuus. Kui palju koguneb ilma intressita ühe aastaga?

Mõtlemisülesanne

1. Laen on 600 eurot ja see makstakse tagasi 6 võrdse maksena ilma intressita. Kui suur on üks makse?
2. Miks ei piisa laenu hindamisel ainult kuumakse vaatamisest?
3. Kui 120-eurose elektriarve hind kasvab 15%, kui suur on uus arve?
4. Kui maksad 18 kuud iga kuu 35 eurot, mis on kogukulu enne intressi ja teenustasusid?

Vastused

1. $200\cdot0,12=24$ eurot.
2. $1000(1+0,04\cdot2)=1080$ eurot; siin on 4% aastaintress ja aeg 2 aastat.
3. Sest intress teenib järgmisel perioodil omakorda intressi.
4. $500\cdot1,03^4\approx562,75$ eurot.
5. $80\cdot1,05=84$ eurot.
6. $40\cdot12=480$ eurot ühe aastaga; siin on 12 kuumakset.
7. $600/6=100$ eurot kuus; kogukulu on endiselt 600 eurot, kui intressi ja teenustasusid ei lisandu.
8. Sest tähtis on ka tagasimakse aeg, intress, teenustasud ja kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga.
9. $120\cdot1,15=138$ eurot.
10. $18\cdot35=630$ eurot kogukulu enne intressi ja teenustasusid.

Seosed

Finantsmatemaatika kasutab protsente, funktsioone, hinnanguid ja ühikuanalüüsi. Sama mudelipõhine mõtlemine aitab võrrelda pakkumisi, laene ja säästmist: kirjuta eeldused välja ning kontrolli kogukulu.

XII klassi eksamikordamine

Mõiste

Gümnaasiumi lõpus tuleb valida meetod, mitte ainult rakendada etteantud valemit. Ülesanne võib nõuda funktsiooni uurimist, tuletist, integraali, tõestust ja tõlgendamist.

Eeldus: oskad kasutada tuletist, määratud integraali, vastunäidet ja mudeli piirangute kirjeldamist.

Tähistus võib muutuda: $f(x)$, $v(t)$ ja $h(a)$ järgivad sama loogikat. Esimene täht nimetab seose, sulgudes olev on sisend.

Lahenduse miinimum:

1. määratle muutuja ja ühikud;
2. määra tingimused või määramispiirkond;
3. kirjuta mudel või vajalik valem;
4. näita arvutuse põhietapid;
5. põhjenda, miks saadud vastus vastab küsimusele;
6. tõlgenda vastus algses olukorras.

Kitsas ja lai matemaatika erinevad sügavuse ja tööriistade poolest.

Meetodi valikul küsi kõigepealt, mida otsitakse:

• muutumise kiirus või maksimum/miinimum: kasuta tuletist;
• kogunenud suurus või pindala: kasuta määratud integraali;
• üldine väide: tõesta või leia vastunäide;
• eluline olukord: pane kirja muutuja, ühikud ja mudeli piirangud.

Näide

Funktsioon $f(x)=x^3-3x$. Leia kriitilised punktid.

Tuletis:

$$f'(x)=3x^2-3.$$

Kriitilised punktid tekivad, kui

$$3x^2-3=0.$$

Seega

$$x^2=1,$$

ja

$$x=-1\quad \text{või}\quad x=1.$$

Tõlgendus: kriitilised kohad on $x=-1$ ja $x=1$; seal on puutuja horisontaalne.

Kui küsitakse maksimumi või miinimumi, uuri märki, võrdle väärtusi või kasuta teist tuletist.

Tüüpviga

Tüüpviga on leida tuletis või integraal, aga jätta tähendus ütlemata. Eksamivastuses peaks arvutus lõppema tõlgendusega: maksimum, pindala, kogus, kiirus, tõestatud väide või mudeli piirang.

Teine tüüpviga on kasutada meetodit küsimust lugemata. Maksimumi jaoks sobib tuletis; kogunenud suuruse jaoks sobib integraal; üldväite jaoks on vaja tõestust või vastunäidet.

Kolmas tüüpviga on valida kohe kõige keerulisem võte. Enne pikka arvutust vaata, kas ülesanne küsib ainult meetodi äratundmist, hinnangut või vastunäidet.

Neljas tüüpviga on määramispiirkond lõppu jätta. Funktsiooni uurimisel ja mudelülesandes piiravad tingimused seda, millised kriitilised punktid või integraalipiirid üldse sobivad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $f(x)=x^2-6x+5$ tuletis.
2. Leia $\int_0^2 3x^2\,dx$.
3. Millist meetodit kasutaksid pindala leidmiseks graafiku ja $x$-telje vahel?

Rakendus

1. Leia funktsiooni $f(x)=x^2-6x+5$ kriitiline punkt.
2. Leia funktsiooni $f(x)=x^2-6x+5$ vähim väärtus.
3. Ülesanne küsib: "Millal on tootmiskulu kõige väiksem?" Mis on esimene matemaatiline tööriist, mida kaalud?

Mõtlemisülesanne

1. Kiirus on $v(t)=4t$ m/s. Kui pikk tee läbitakse vahemikus 0 kuni 3 sekundit?
2. Too vastunäide väitele “kui funktsiooni tuletis on ühes punktis 0, siis seal on alati maksimum”.
3. Tootmiskiirus on $r(t)=12-2t$ tk/h vahemikus $0\le t\le4$. Leia toodang ja põhjenda, miks mudelit ei saa lõputult jätkata.
4. Funktsiooni $f(x)=\frac{1}{x-2}$ uurimisel, mis tingimus tuleb enne arvutusi kirja panna?
5. Miks võib mudeli kriitiline punkt olla matemaatiliselt õige, aga ülesande vastusena sobimatu?

Vastused

1. $f'(x)=2x-6$.
2. $\int_0^2 3x^2\,dx=[x^3]_0^2=8$.
3. Määratud integraali, sest küsitakse pindala.
4. $2x-6=0$, seega $x=3$.
5. $f(3)=9-18+5=-4$, seega vähim väärtus on -4.
6. Tuletist, sest otsitakse miinimumi.
7. Teepikkus on $\int_0^3 4t\,dt=[2t^2]_0^3=18$ m.
8. Näiteks $f(x)=x^3$: $f'(0)=0$, aga punktis 0 ei ole maksimumi ega miinimumi.
9. $\int_0^4(12-2t)\,dt=32$ toodet. Pärast $t=6$ annaks mudel negatiivse tootmiskiiruse ja kaotaks tähenduse.
10. $x\ne2$, sest nimetaja ei tohi olla null.
11. See võib jääda mudeli lubatud vahemikust välja või anda elulises olukorras võimatu väärtuse.

Lõpuvalik

Viimane kontroll enne lahendamist:

• kui küsitakse muutumist või ekstreemumit, alusta tuletisest;
• kui küsitakse kogust või pindala, alusta integraalist;
• kui küsitakse “kas alati?”, alusta tõestusest või vastunäitest;
• kui tekst on eluline, alusta muutujast, ühikutest ja eeldustest.
• lõpuks tõlgi arv tagasi ülesande keelde.

Seosed

See kordamine seob analüüsi, tõestamise ja modelleerimise gümnaasiumi lõpu tervikoskuseks. Pärast seda jätkub detailsem ülevaatus funktsioonide, geomeetria, analüüsi, loogika ja modelleerimise referentsmoodulites.