Arvuhulgad ja reaalarvud

Mõiste

Arvuhulk on arvude rühm. Sama arv võib kuuluda mitmesse rühma korraga. Põhilised arvuhulgad on:

Eeldus: oskad töötada murdude, kümnendmurdude ja negatiivsete arvudega ning tead, et sama arvu saab vahel kirjutada mitmel kujul.

• $\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
• $\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Reaalarvud ei ole eraldi “uus kast ainult uutele arvudele”: sinna kuuluvad ka kõik eelnevate hulkade arvud.

Need hulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

See tähendab, et iga naturaalarv on ka täisarv, iga täisarv on ka ratsionaalarv ja iga ratsionaalarv on ka reaalarv. Reaalarvude hulka kuuluvad lisaks irratsionaalarvud, mis ei kuulu ratsionaalarvude hulka.

Täisarvud kuuluvad ka ratsionaalarvude hulka, sest näiteks $-3=\frac{-3}{1}$. Sama ratsionaalarvu saab sageli kirjutada mitme murruna: näiteks $\frac12$, $\frac24$ ja $\frac48$ tähistavad sama arvu. Üldiselt tähistavad murrud $\frac ab$ ja $\frac cd$ sama ratsionaalarvu, kui $a\cdot d=b\cdot c$.

Murd on kirjutusviis; arv on väärtus, mida see kirjutusviis tähistab.

Mõnda ratsionaalarvu saab kirjutada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna: näiteks $\frac13=0,333\ldots$. Irratsionaalarvu ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Näide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Kuuluvust saab kontrollida tabelina:

Vastus: tabelis kuuluvad kõik arvud reaalarvude hulka, aga naturaalarvude hulka ainult $7$.

Tüüpviga

Lõpmatu kümnendmurd ei ole automaatselt irratsionaalne. Näiteks $0,333\ldots=\frac13$.

Teine tüüpviga on arvata, et iga ruutjuurega arv on irratsionaalne. Näiteks $\sqrt2$ on irratsionaalarv, aga $\sqrt9=3$ on naturaalarv.

Kolmas tüüpviga on märkida arv ainult kõige väiksemasse hulka. Kui arv $7$ on naturaalarv, siis ta kuulub ka hulkadesse $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$.

Praktiline kontroll: leia kõige kitsam sobiv hulk, siis lisa kõik sellest suuremad hulgad. Näiteks $-5$ algab täisarvudest, aga kuulub edasi ka ratsionaal- ja reaalarvudesse.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millistesse arvuhulkadesse kuulub -7?
2. Kirjuta 0,125 hariliku murruna.

Rakendus

1. Too üks irratsionaalarvu näide.
2. Millistesse arvuhulkadesse kuulub $\frac56$?

Mõtlemisülesanne

1. Kas $\sqrt9$ on irratsionaalarv?
2. Millistesse hulkadesse kuulub arv $\frac{7}{2}$?
3. Kas $\frac48$ ja $\frac12$ tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.
4. Millistesse hulkadesse kuulub arv $0$, kui sinu kokkuleppes $0\notin\mathbb{N}$?

Vastused

1. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $-7=\frac{-7}{1}$.
2. $0,125=\frac18$, seega arv on ratsionaalne.
3. Näiteks $\sqrt2$ või $\pi$, sest neid ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada.
4. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac56$ on kahe täisarvu jagatis.
5. Ei. $\sqrt9=3$, seega see on naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv ja reaalarv.
6. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac72=3,5$ ei ole täisarv.
7. Jah, sest $4\cdot2=8\cdot1$; mõlemad tähistavad arvu $\frac12$.
8. Siis $0\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{Q}$ ja $0\in\mathbb{R}$, sest $0=\frac01$; valitud kokkuleppes ei ole ta naturaalarv.

Seosed

Arvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.

Ruutjuur ja juuravaldised

Mõiste

Arvu $a\ge0$ aritmeetiline ruutjuur $\sqrt a$ on mittenegatiivne arv, mille ruut on $a$.

$$\sqrt{49}=7,\qquad 7^2=49.$$

Eeldus: oskad astendada, tunned reaalarve ja leiad taskuarvutiga kümnendlähendi.

Ruutjuure märk annab ühe mittenegatiivse väärtuse. Võrrandil $x^2=49$ on aga kaks lahendit, $x=7$ ja $x=-7$, sest mõlema ruut on 49.

Kui $a,b\ge0$ ja $b>0$, siis

$$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

Need reeglid lubavad täisruudu juuremärgi alt välja tuua. Näiteks $72=36\cdot2$, seega $\sqrt{72}=6\sqrt2$.

Näide

Lihtsustame ja hindame avaldist $\sqrt{72}$.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.$$

Kuna $1,414^2\approx1,999$, on $\sqrt2\approx1,414$. Seega

$$6\sqrt2\approx6\cdot1,414=8,484\approx8,49.$$

Kontroll: $8^2<72<9^2$, mistõttu peab tulemus jääma 8 ja 9 vahele. Täpne vastus on $6\sqrt2$, kümnendlähend on umbes 8,49.

Tüüpviga

Ruutjuur ei jaotu summa liikmete vahel:

$$\sqrt{9+16}=5,\qquad \sqrt9+\sqrt{16}=7.$$

Teine tüüpviga on kirjutada $\sqrt{25}=\pm5$. Õige on $\sqrt{25}=5$; märk $\pm$ tekib võrrandi $x^2=25$ lahendamisel.

Kolmas tüüpviga on kümnendlähendit pimesi uskuda. Võrdle tulemust alati naaberruutudega: kui $25<30<36$, siis $5<\sqrt{30}<6$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\sqrt{121}$.
2. Milliste täisarvude vahel asub $\sqrt{50}$?

Rakendus

1. Lihtsusta $\sqrt{48}$.
2. Arvuta $\sqrt{18}\cdot\sqrt2$.
3. Leia $\sqrt{\frac{81}{16}}$.

Mõtlemisülesanne

1. Ruudu pindala on 200 cm². Leia külje täpne pikkus ja kümnendlähend.
2. Paranda viga: $\sqrt{4+5}=\sqrt4+\sqrt5$.
3. Selgita, miks võrrandil $x^2=36$ on kaks lahendit, kuid $\sqrt{36}$ on üks arv.

Vastused

1. 11, sest $11^2=121$.
2. 7 ja 8 vahel, sest $7^2=49<50<64=8^2$.
3. $\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3$.
4. $\sqrt{36}=6$.
5. $\frac94$, sest ruutjuur võetakse lugejast ja nimetajast.
6. $a=\sqrt{200}=10\sqrt2\approx14,14$ cm.
7. Vasak pool on $\sqrt9=3$, parem pool $2+\sqrt5$; ruutjuur ei jaotu summa vahel.
8. Nii 6 kui ka -6 annavad ruutu tõstes 36. Sümbol $\sqrt{36}$ tähistab kokkuleppeliselt mittenegatiivset juurt 6.

Seosed

Juuravaldised valmistavad ette ruutvõrrandi lahendivalemit, Pythagorase teoreemi ja täpsete pikkuste esitamist. Järgmises algebraplokis otsustad lisaks, millal ruutjuure võtmisel tuleb arvestada kahe märgiga.

Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused

Mõiste

Ruutvõrrand tuleb enne lahendamist viia normaalkujule

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: tunned ruutvõrrandi lahendivalemit, diskriminanti ja nullkorrutise reeglit.

Täielikus ruutvõrrandis on $a,b,c\ne0$. Mittetäielikus ruutvõrrandis on $b=0$, $c=0$ või mõlemad. Võtte valib võrrandi kuju:

Kui jagad normaalkuju kordajaga $a$, saad taandatud ruutvõrrandi $x^2+px+q=0$.

Viète'i seos ütleb selle lahendite kohta

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

See aitab lihtsate täisarvuliste lahendite leidmisel ja vastuse kontrollimisel.

Näide

Ristküliku pikkus on laiusest 2 cm suurem ja pindala on 48 cm². Olgu laius $x$, siis pikkus on $x+2$.

$$x(x+2)=48,$$

$$x^2+2x-48=0.$$

Viète'i järgi peab lahendite summa olema -2 ja korrutis -48. Need tingimused täidavad 6 ja -8. Seega

$$(x-6)(x+8)=0,$$

ning $x=-8$ või $x=6$. Negatiivne pikkus ei sobi. Ristküliku laius on 6 cm ja pikkus 8 cm. Kontroll: $6\cdot8=48$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada alati pikka lahendivalemit. Võrrand $3x^2-12x=0$ laheneb kiiremini kujul $3x(x-4)=0$.

Teine tüüpviga on jätta võrrand normaalkujule viimata. Kordajad $a,b,c$ saab õigesti lugeda alles siis, kui ühel poolel on null.

Kolmas tüüpviga on tekstülesandes võtta vastu kõik algebralised lahendid. Pikkus, aeg või esemete arv peab sobima olukorra tingimustega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $5x^2=0$.
2. Lahenda $2x^2-18=0$.
3. Lahenda $x^2-7x=0$.

Rakendus

1. Vii normaalkujule ja lahenda $x^2+4=5x$.
2. Leia Viète'i seosega võrrandi $x^2-9x+20=0$ lahendid.
3. Kontrolli Viète'i seosega võrrandi $x^2+2x-15=0$ lahendeid 3 ja -5.

Mõtlemisülesanne

1. Kahe järjestikuse positiivse täisarvu korrutis on 72. Leia arvud.
2. Ruudu pindala suureneb külje pikendamisel 3 cm võrra 45 cm² võrra. Leia algne külg.
3. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on 2 ja 7.

Vastused

1. $x=0$.
2. $x^2=9$, seega $x=\pm3$.
3. $x(x-7)=0$, seega $x=0$ või $x=7$.
4. $x^2-5x+4=0$, seega $x=1$ või $x=4$.
5. Arvud 4 ja 5 annavad summa 9 ning korrutise 20; lahendid on 4 ja 5.
6. $3+(-5)=-2$ ja $3\cdot(-5)=-15$, seega lahendid sobivad.
7. $n(n+1)=72, seega $n^2+n-72=0$; positiivsed arvud on 8 ja 9.
8. $(x+3)^2-x^2=45, seega $6x+9=45$ ja $x=6$ cm.
9. $(x-2)(x-7)=0 ehk $x^2-9x+14=0$.

Seosed

Ruutvõrrandi lahendid muutuvad ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Tekstülesandes lisandub alati viimane samm: tõlgenda lahendeid algse olukorra järgi ja jäta sobimatu väärtus kõrvale.

Ratsionaalavaldiste tehted

Mõiste

Algebraliste murdude tehted kasutavad samu põhimõtteid nagu arvumurrud. Erinevus on selles, et enne arvutamist tuleb leida muutujate keelatud väärtused ja avaldised sageli tegurdada.

Eeldus: oskad leida murdavaldise määramispiirkonda, tegurdada ning arvutada harilike murdudega.

Põhireeglid:

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,$$

$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},$$

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Jagamisel ei tohi jagaja olla null. Kõik tingimused leitakse algavaldise järgi enne taandamist.

Hea tööjärjekord on: tingimused, tegurdamine, tehe, taandamine, kontroll.

Näide

Lihtsustame

$$\frac{x^2-9}{x^2-x-6}:\frac{x+3}{x-3}.$$

Algavaldise tingimused: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne0$, seega $x\ne3,-2$. Jagaja \frac{x+3}{x-3} ei tohi olla null, mistõttu ka $x\ne-3$.

Tegurdame ja pöörame jagaja:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}\cdot\frac{x-3}{x+3} =\frac{x-3}{x+2}.$$

Vastus: $\frac{x-3}{x+2}$, kus $x\ne-3,-2,3$. Taandunud tegurid ei kaota algseid tingimusi.

Tüüpviga

Jagamisel pööratakse teine murd, mitte esimene. Teine tüüpviga on liita lugejad ja nimetajad eraldi: $\frac ab+\frac cd\ne\frac{a+c}{b+d}$.

Kolmas tüüpviga on hakata tegureid taandama üle liitmis- või lahutamismärgi. Enne taandamist peab lugeja ja nimetaja olema korrutiste kujul.

Neljas tüüpviga on unustada jagaja nulliks muutvad väärtused. Need võivad tulla jagaja lugejast, sest nullmurruga jagada ei saa.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Korruta $\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x+1}$.
2. Jaga $\frac{x}{5}:\frac{2x}{15}$.
3. Astenda $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2$.

Rakendus

1. Liida $\frac2x+\frac1{x-2}$ ja kirjuta tingimused.
2. Lahuta $\frac3{x+1}-\frac1{x-1}$.
3. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}$.

Mõtlemisülesanne

1. Lihtsusta $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}:\frac{x+1}{x-1}$ ja säilita kõik tingimused.
2. Selgita, miks jagamisel võib tekkida keelatud väärtus ka jagaja lugejast.
3. Lihtsusta $\frac1x+\frac1{x+1}-\frac1{x(x+1)}$.

Vastused

Kontroll: iga vastuse tingimused peavad pärinema algavaldise nimetajatest ja jagajast.

1. $\frac{2x}{x+1}$, kus $x\ne-1$.
2. $\frac{x}{5}\cdot\frac{15}{2x}=\frac32$, kus $x\ne0$.
3. $\frac{x^2}{(x-1)^2}$, kus $x\ne1$.
4. $\frac{3x-4}{x(x-2)}$, kus $x\ne0,2$.
5. $\frac{3(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-4}{x^2-1}$, kus $x\ne-1,1$.
6. $\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}=\frac{x-2}{x}$, kus $x\ne0,-2$.
7. Tulemuseks on 1, kuid algavaldis nõuab $x\ne-1,1$.
8. Kui jagaja lugeja on null, on jagaja ise null; nulliga jagada ei saa.
9. $\frac{x+1+x-1}{x(x+1)}=\frac{2}{x+1}$, kus $x\ne0,-1$.

Seosed

Ratsionaalavaldiste lihtsustamine ühendab murdude reeglid, tegurdamise ja määramispiirkonna. Sama oskus tuleb tagasi valemite teisendamisel ning ratsionaalvõrrandites.

Ruutfunktsiooni graafik ja mudel

Mõiste

Ruutfunktsiooni $y=ax^2+bx+c$ graafiku skitseerimiseks ei piisa ühest punktist. Vaja on avanemissuunda, sümmeetriatelge, haripunkti, nullkohti ja $y$-telje lõikepunkti.

Eeldus: oskad leida ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti ning kanda punkte teljestikku.

Tööjärjekord:

1. vaata $a$ märki;
2. leia nullkohad;
3. leia $x_h=-\frac{b}{2a}$ ja $y_h=f(x_h)$;
4. märgi punkt (0;c);
5. lisa sümmeetrilised kontrollpunktid ja joonesta sujuv parabool.

Kordaja absoluutväärtuse kasvades muutub parabool kitsamaks. Vabaliige $c$ määrab lõikepunkti $y$-teljega.

Näide

Joonestame funktsiooni $y=-x^2+2x+3$.

Parabool avaneb alla, sest $a=-1$. Nullkohad:

$$-x^2+2x+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0,$$

seega $x=-1$ ja $x=3$. Sümmeetriatelg on nullkohtade keskel $x=1$. Haripunkti väärtus on $f(1)=4$, seega haripunkt on (1;4). $y$-telje lõikepunkt on (0;3); selle sümmeetriline paariline on (2;3).

Vastus: viie tugipunkti (-1;0), (0;3), (1;4), (2;3), (3;0) kaudu saab joonestada allapoole avaneva parabooli.

Tüüpviga

Tüüpviga on ühendada punktid sirglõikudega. Parabool on sujuv kõver. Teine tüüpviga on joonestada ainult nullkohtade põhjal ja unustada, et kordaja $a$ muudab graafiku laiust.

Kolmas tüüpviga on lugeda haripunktiks ainult $x_h$. Haripunkt on kahe koordinaadiga punkt. Neljas tüüpviga on mudelis jätta tõlgendamata, milline osa paraboolist kirjeldab tegelikku aega, pikkust või kõrgust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis suunas avaneb $y=-2x^2+5$?
2. Leia funktsiooni $y=x^2-4x+3$ nullkohad.
3. Leia sama funktsiooni haripunkt.

Rakendus

1. Koosta funktsiooni $y=x^2-4$ jaoks viis sümmeetrilist tugipunkti.
2. Kontrolli arvutusega, kas punkt (4;5) asub graafikul $y=x^2-3x+1$.
3. Visanda $y=-x^2+4x$ ja märgi ajavahemik, kus $y\ge0$.

Mõtlemisülesanne

1. Pall liigub kõrgusmudeli $h(t)=-5t^2+20t+1$ järgi. Millal on pall kõige kõrgemal ja kui kõrgel?
2. Kuidas muutub $y=ax^2$ graafik, kui $a$ muutub arvust 1 arvuks 3?
3. Koosta ruutfunktsioon, mille nullkohad on 2 ja 6 ning $a=1$.

Vastused

1. Alla, sest $a<0$.
2. $x=1$ ja $x=3$.
3. $x_h=2$ ja $f(2)=-1$, seega (2;-1).
4. Näiteks (-2;0), (-1;-3), (0;-4), (1;-3), (2;0).
5. $f(4)=16-12+1=5$, seega punkt asub graafikul.
6. Nullkohad on 0 ja 4; mudel on mittenegatiivne vahemikus $0\le x\le4$.
7. $t_h=2$ s ja `$h(2)=21$ m.
8. Parabool jääb ülespoole avatuks, kuid muutub kitsamaks.
9. $y=(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$.

Seosed

Graafik seob ruutvõrrandi lahendid, funktsiooni väärtused ja olukorra tõlgenduse. Järgmises ratsionaalavaldiste plokis liigub tähelepanu graafikult avaldise lubatud väärtustele ja teisendustele.

n-es juur ja ratsionaalarvuline aste

Mõiste

Arvu $a$ n-es juur on arv, mille $n$-s aste on $a$. Seda märgitakse $sqrt[n]{a}$.

Eeldus: oskad arvutada astmeid, tunned ruutjuure tähendust ja eristad peajuurt võrrandi kahest võimalikust lahendist.

• Kui $n$ on paarisarv, peab reaalarvulise juure korral olema $a\ge 0$ ning $sqrt[n]{a}$ tähistab mittenegatiivset peajuurt.
• Kui $n$ on paaritu, võib $a$ olla ka negatiivne: $sqrt[3]{-8}=-2$.

Ratsionaalarvulise astendajaga aste seob astme ja juure:

$$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$$

Kui juurija $n$ on paarisarv, kasutame reaalarvudes $a\ge0$. Negatiivse astendaja korral peab lisaks olema $a\ne0$.

Olulised seosed sobivate määramispiirangute korral:

$$a^{-r}=\frac1{a^r},\qquad \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b.$$

Paarisarvulise juure puhul tuleb tähele panna absoluutväärtust:

$$\sqrt{x^2}=|x|,\qquad \sqrt[4]{x^4}=|x|.$$

Näide

Arvutame

$$32^{\frac35}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8.$$

Negatiivne astendaja annab pöördarvu:

$$27^{-\frac23}=\frac1{27^{2/3}}=\frac1{(\sqrt[3]{27})^2}=\frac19.$$

Lihtsustame avaldise:

$$\sqrt[4]{81x^4}=\sqrt[4]{3^4x^4}=3|x|.$$

Vastus: väärtused on vastavalt $8$, $\frac19$ ja $3|x|$.

Tüüpviga

Tüüpviga on kirjutada $sqrt{x^2}=x$. Kui $x=-4$, oleks parem pool negatiivne, kuid peajuur ei ole negatiivne. Õige on $sqrt{x^2}=|x|$.

Teine tüüpviga on unustada negatiivse astendaja pöördarv: $a^{-2}=\frac1{a^2}$, mitte $-a^2$.

Kolmas tüüpviga on võtta paarisarvulist juurt negatiivsest arvust reaalarvude hulgas. $sqrt[4]{-16}$ ei ole reaalarv.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $16^{1/2}$.
2. Arvuta $27^{1/3}$.
3. Arvuta $16^{3/4}$.

Rakendus

1. Kirjuta $sqrt[5]{x^2}$ astmena.
2. Arvuta $8^{-2/3}$.
3. Lihtsusta $sqrt[4]{16y^4}$.

Mõtlemisülesanne

1. Miks on $sqrt[3]{-27}$ reaalarv, aga $sqrt[4]{-16}$ ei ole?
2. Leia viga väites $sqrt{(-5)^2}=-5$ ja paranda see.

Vastused

1. $4$, sest $4^2=16$ ja peajuur on mittenegatiivne.
2. $3$, sest $3^3=27$.
3. $8$, sest $(\sqrt[4]{16})^3=2^3$.
4. $x^{2/5}$ sobiva määramispiirkonna korral.
5. $\frac14$, sest $8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=4$.
6. $2|y|$, sest paarisarvuline juur annab $sqrt[4]{y^4}=|y|$.
7. Paaritu aste säilitab arvu märgi, kuid paarisarvuline aste ei saa reaalarvude hulgas olla negatiivne.
8. $sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$; ruutjuure märk tähistab mittenegatiivset peajuurt.

Seosed

Ratsionaalarvuline aste on vajalik juuravaldiste, juurvõrrandite, eksponentfunktsiooni ja logaritmi õppimisel. Järgmine algebra peatükk kasutab samu määramispiiranguid võrrandite lahendamisel.

Murd- ja juurvõrrandid

Mõiste

Murdvõrrandis esineb tundmatu nimetajas. Juurvõrrandis esineb tundmatu juure all. Mõlemas tuleb enne teisendamist kirja panna, millised väärtused on lubatud.

Eeldus: oskad taandada ratsionaalavaldisi, lahendada lineaar- ja ruutvõrrandeid ning kontrollida juuravaldise määramispiirkonda.

Murdvõrrandi tööjärjekord:

1. kirjuta nimetajate nullkohad keelatud väärtustena;
2. korruta võrrand nimetajate vähima ühiskordsega;
3. lahenda saadud võrrand;
4. kontrolli, et lahend ei oleks keelatud.

Juurvõrrandi tööjärjekord:

1. eralda juuravaldis;
2. kirjuta vajalikud märgi- ja määramistingimused;
3. astenda võrrandi mõlemad pooled;
4. lahenda ja kontrolli lahendeid algvõrrandis.

Astendamine ei ole alati samaväärne teisendus: ruutu tõstmisel võivad tekkida võõrlahendid. Seetõttu on algvõrrandi kontroll kohustuslik.

Näide

Lahendame murdvõrrandi

$$\frac{x+1}{x-2}=2.$$

Tingimus on $x\ne2$. Korrutame võrrandi arvuga $x-2$:

$$x+1=2x-4,$$

$$x=5.$$

Kontroll: $5\ne2$ ja $\frac{5+1}{5-2}=2$.

Lahendame juurvõrrandi

$$\sqrt{x+1}=x-1.$$

Parema poole tõttu peab $x\ge1$. Ruutu tõstes saame

$$x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1,$$

$$x(x-3)=0.$$

Kandidaadid on $0$ ja $3$, kuid tingimusele ning algvõrrandile vastab ainult $x=3$.

Vastus: murdvõrrandi lahend on $5$ ja juurvõrrandi lahend $3$.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetaja nullkoht alles pärast lahendamist üles otsida. Keelatud väärtus kirjuta enne nimetajate eemaldamist.

Teine tüüpviga on nimetajaga korrutamisel mõni liige vahele jätta. Korrutaja rakendub võrrandi mõlemale poolele ja igale liikmele.

Kolmas tüüpviga on lugeda ruutu tõstmisel saadud kõik juured vastuseks. Kontroll algvõrrandis eemaldab võõrlahendid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $\frac{x}{x-1}=2$.
2. Lahenda $sqrt{x}=5$.
3. Nimeta võrrandi $\frac2{x+3}=1$ keelatud väärtus.

Rakendus

1. Lahenda $\frac3{x} + 1=4$.
2. Lahenda $sqrt{x+4}=x-2$.
3. Ristküliku pikkus on $sqrt{x+9}$ meetrit ja see võrdub 4 meetriga. Leia $x$.

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei sobi $x=-1$ võrrandi $sqrt{x+1}=x+1$ ainsaks kontrollimata vastuseks?
2. Lahenda $\frac{x+2}{x}=3$ ning selgita, miks $x=0$ ei saa olla lahend.
3. Too näide teisendusest, mis võib juurvõrrandisse võõrlahendi tekitada.

Vastused

1. $x=2$; tingimus $x\ne1$ on täidetud.
2. $x=25$, sest peajuur võrdub 5-ga.
3. $x\ne-3$, sest nimetaja ei tohi olla null.
4. $x=1$; tingimus $x\ne0$ ja algvõrrand on täidetud.
5. $x=5$. Ruutu tõstmisel saadakse kandidaadid $0$ ja $5$, kuid algvõrrandisse sobib ainult 5.
6. $x=7$, sest $x+9=16$ ning $7+9\ge0$.
7. Tegelikult sobib $x=-1$ algvõrrandisse, kuid ühe kandidaadi nägemine ei asenda lahenduskäiku; võrrandi ruutu tõstmine annab ka $x=0$, mis samuti sobib. Lahendid on -1 ja 0.
8. $x=1$; $x=0$ muudaks algvõrrandi nimetaja nulliks.
9. Mõlema poole ruutu tõstmine: vastandmärgiga pooled annavad pärast ruutu sama tulemuse.

Seosed

Murd- ja juurvõrrandid ühendavad määramispiirkonna, avaldiste teisendamise ja ruutvõrrandi. Järgmistes võrratustes tuleb lisaks jälgida avaldise märki tervetel vahemikel.

Võrratused ja vahemikud

Mõiste

Võrratus kirjeldab väärtuste hulka, mitte ainult ühte arvu. Lahendit esitatakse sageli arvteljel või vahemikuna.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrratusi, lugeda arvtelge ning eristada rangeid ja mitterangeid märke.

Reegel

Negatiivse arvuga korrutades või jagades pöördub võrratuse märk:

$$-2x<6 \quad \Rightarrow \quad x>-3.$$

Vahemikud

• $[a;b]$ sisaldab otspunkte.
• $(a;b)$ ei sisalda otspunkte.
• $[a;b)$ sisaldab vasakut, aga mitte paremat otspunkti.
• Lõpmatuse märgi juures kasutatakse alati ümarsulgu, näiteks $(-\infty;3]$.

Märkide tähendus:

Vahemike ühisosa $\cap$ tähendab väärtusi, mis sobivad mõlemasse hulka. Mõtle sellest kui sõnast "ja". Vahemike ühend $\cup$ tähendab väärtusi, mis sobivad vähemalt ühte hulka. Mõtle sellest kui sõnast "või".

Näide

$$3x+1\le10$$

$$3x\le9$$

$$x\le3.$$

Vahemikuna:

$$(-\infty;3].$$

Ühisosa:

$$[1;6]\cap[4;9]=[4;6].$$

Ühend:

$$[1;6]\cup[4;9]=[1;9].$$

Kui vahemikud ei puutu kokku, jääb ühend kaheks osaks:

$$[1;3]\cup[5;7].$$

Kui vahemikel pole ühiseid arve, on ühisosa tühi:

$$[1;3]\cap[5;7]=\varnothing.$$

Vastus: võrratuse lahend on $(-\infty;3]$; ühisosa ja ühend on vastavalt [4;6] ja [1;9].

Tüüpviga

Märgi pööramist unustatakse just siis, kui jagatakse negatiivse kordajaga.

Teine tüüpviga on segi ajada ühend ja ühisosa. Kui ülesanne nõuab korraga mõlema tingimuse täitmist, on vaja ühisosa. Kui piisab vähemalt ühest tingimusest, on vaja ühendit.

Kolmas tüüpviga on otspunkt valesti märkida. $x<4$ annab tühja punkti, $x\le4$ täidetud punkti.

Kui jäid kinni

Korda kõigepealt lineaarvõrrandi lahendamise samme ja arvteljel võrdlemist. Vaata näitest, millal märk pöördub ja kuidas otspunkt vahemikus märgitakse. Alusta harjutustest 1 ja 2, siis kontrolli ühisosa ning ühendit ülesannetes 4 ja 5.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x-5>7$.
2. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

1. Kirjuta vahemikuna “kõik arvud 2-st suuremad ja 5-st väiksemad”.
2. Rattalaenutus maksab 5 eurot ja lisaks 3 eurot iga tunni eest. Eelarve on kuni 23 eurot. Koosta aja $t$ kohta võrratus ja leia võimalik ajavahemik, kui $t\ge0$.

Mõtlemisülesanne

1. Leia $[0;8]\cap[3;10]$.
2. Leia $[0;2]\cup[2;5]$.
3. Leia $(1;6)\cap[4;8]$.
4. Lahenda $5-2x<1$ ja kirjuta vastus vahemikuna.
5. Õpilane väidab, et arv 2 kuulub hulka $(-\infty;2]\cap(2;6)$. Kas väide on õige? Leia ühisosa ja põhjenda.

Vastused

1. $2x>12$, seega $x>6$; vahemikuna $(6;\infty)$, sest 6 ise ei kuulu hulka.
2. Jagades negatiivse arvuga -3 pöördub märk: $x\ge-4$; vahemikuna $[-4;\infty)$.
3. $(2;5), sest mõlemad märgid on ranged ja otspunktid ei kuulu hulka.
4. $5+3t\le23$, seega $t\le6$. Koos tingimusega $t\ge0$ on võimalik aeg $[0;6]$ tundi.
5. $[3;8]$, sest need arvud kuuluvad mõlemasse vahemikku.
6. $[0;5]$, sest vahemikud puutuvad punktis 2 kokku ja ühend jääb üheks lõiguks.
7. $[4;6)$; 4 kuulub mõlemasse, 6 ei kuulu esimesse vahemikku.
8. $-2x<-4$, jagamisel -2-ga pöördub märk, seega $x>2$; vahemikuna $(2;\infty)$.
9. Väide ei ole õige. Ühisosa on $\varnothing$, sest arv $2$ kuulub esimesse, aga mitte teise vahemikku.

Seosed

Võrratused ja vahemikud on vajalikud funktsioonide määramispiirkonna, graafikute piirkondade ja analüüsi piirangute kirjeldamisel. Järgmised õpiteekonna moodulid kasutavad neid oskusi teemasid kokku sidudes.

Ruut- ja ratsionaalvõrratused

Mõiste

Ruut- või ratsionaalvõrratus küsib, millistes arvtelje osades on avaldis positiivne, negatiivne või null. Üksiku lahendi asemel saadakse tavaliselt vahemik või vahemike ühend.

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, tegurdada lihtsat ruutkolmliiget, määrata ratsionaalavaldise keelatud väärtusi ning kasutada vahemikke.

Märgiskeemi meetod:

1. vii kõik liikmed ühele poole;
2. tegurda lugeja ja nimetaja, kui see on võimalik;
3. leia nullkohad ning nimetaja keelatud väärtused;
4. jaga arvtelg nende kriitiliste punktidega vahemikeks;
5. määra igal vahemikul avaldise märk;
6. vali võrratusele sobivad vahemikud ja kontrolli otspunkte.

Ruutvõrratust saab tõlgendada ka parabooli kaudu: $f(x)\le0$ küsib, kus graafik asub $x$-teljel või sellest allpool.

Näide

Lahendame

$$x^2-x-6\le0.$$

Tegurdame:

$$(x-3)(x+2)\le0.$$

Nullkohad on $-2$ ja $3$. Ülespoole avanev parabool on nullkohtade vahel mittepositiivne, seega

$$x\in[-2;3].$$

Lahendame ratsionaalvõrratuse

$$\frac{x-1}{x+2}>0.$$

Kriitilised punktid on $x=-2$ ja $x=1$. Punkt $-2$ on keelatud, punktis 1 on avaldis null. Avaldis on positiivne vahemikes

$$(-\infty;-2)\cup(1;\infty).$$

Vastus: esimese võrratuse lahend on $[-2;3]$, teise lahend $(-\infty;-2)\cup(1;\infty)$.

Tüüpviga

Tüüpviga on korrutada ratsionaalvõrratust tundmatut märki sisaldava nimetajaga. Kui nimetaja märk pole teada, ei tea sa, kas võrratuse märk peab pöörduma. Märgiskeem väldib seda viga.

Teine tüüpviga on lisada nimetaja nullkoht vastusesse. Keelatud väärtus ei kuulu lahendisse ka mitterange võrratuse korral.

Kolmas tüüpviga on jätta ruutvõrratuse nullkohad vastusest välja, kuigi märk on $le$ või $ge$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $x^2-9<0$.
2. Lahenda $x^2-4x\ge0$.
3. Milline väärtus on avaldises $\frac{x+1}{x-5}$ keelatud?

Rakendus

1. Lahenda $\frac{x+1}{x-2}\le0$.
2. Palli kõrgus on $h(t)=-t^2+6t$. Millal on $h(t)\ge5$?
3. Lahenda $(x-2)^2>0$.

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei tohi võrratust $\frac{x-1}{x+2}>0$ ilma nimetaja märki uurimata arvuga $x+2$ korrutada?
2. Võrdle võrratuste $x^2-1<0$ ja $x^2-1>0$ lahendeid graafiku abil.
3. Lahenda $\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\ge0$ märgiskeemi abil.

Vastused

1. $(-3;3)$, sest parabool on nullkohtade vahel negatiivne.
2. $(-\infty;0]\cup[4;\infty)$, sest tegurite korrutis on väljaspool nullkohti mittenegatiivne.
3. $x\ne5$.
4. $[-1;2)$; lugeja null $-1$ kuulub lahendisse, nimetaja null 2 ei kuulu.
5. $t\in[1;5]$, sest $-t^2+6t\ge5$ taandub $(t-1)(t-5)\le0$.
6. $(-\infty;2)\cup(2;\infty)$; ruut on positiivne kõikjal peale punkti 2.
7. Nimetaja $x+2$ võib olla positiivne või negatiivne; negatiivsega korrutades peaks märk pöörduma.
8. Esimese lahend on $(-1;1)$, teise $(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$; graafik on vastavalt teljest all- või ülalpool.
9. $[-1;2)\cup[3;\infty)$; punkt 2 on keelatud, nullkohad -1 ja 3 kuuluvad lahendisse.

Seosed

Märgiskeem seob algebra funktsiooni graafikuga. Funktsioonide teisenduste peatükis saab sama küsimust vaadelda kui graafiku asukohta telje või teise graafiku suhtes.

Mis on tõestus?

Mõiste

Tõestus on põhjendus, mis näitab, miks matemaatiline väide kehtib kõigil lubatud juhtudel. Näide aitab väidet mõista, aga näide üksi ei tõesta üldist väidet.

Eeldus: oskad eristada väidet, näidet ja vastunäidet ning tunned paarisarvu ja jaguvuse mõtet.

Tõestust on vaja, sest matemaatikas ei piisa uskumisest, joonise järgi paistmisest ega mõnest õnnestunud proovist. Tõestus ütleb, millistest eeldustest alustame ja miks järeldus neist kindlasti järgneb.

Peamised tõestusviisid:

Enne meetodi valimist küsi: kas tahan väidet tõestada kõigil lubatud juhtudel või piisab selle ümberlükkamiseks ühest vastunäitest?

Tõestuse lõpus kontrolli, kas iga kasutatud samm tuleb eeldusest, definitsioonist või varem teada teoreemist.

Näide

Väide: kui täisarv $n$ jagub 4-ga, siis $n$ on paarisarv.

Otsene tõestus: kui $n$ jagub 4-ga, siis leidub täisarv $k$, nii et

$$n=4k.$$

Aga

$$4k=2(2k).$$

Kuna $2k$ on täisarv, saab $n$ kirjutada kujul $2\cdot\text{täisarv}$. Seega $n$ on paarisarv.

Sama teema vastupidine väide ei kehti: "kui arv on paarisarv, siis ta jagub 4-ga" on väär, sest $6$ on paarisarv, aga ei jagu 4-ga.

Tõlgendus: esimene väide on tõestatud, vastupidine väide on ühe vastunäitega ümber lükatud.

Tüüpviga

Tüüpviga on tuua kolm näidet ja nimetada seda tõestuseks. Näited võivad anda idee, aga üldväite puhul peavad kaetud olema kõik lubatud juhud.

Teine tüüpviga on tõestada vale suunda. Väide "kui $P$, siis $Q$" ei tähenda sama mis "kui $Q$, siis $P$".

Kolmas tüüpviga on kasutada joonist tõestusena ilma põhjenduseta. Joonis võib anda vihje, aga arvutus või loogiline seos peab ütlema, miks asi alati kehtib.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas üks näide tõestab väite "kõik paarisarvud jaguvad 4-ga"?
2. Too vastunäide väitele "kõik täisarvud on positiivsed".

Rakendus

1. Tõesta otseselt: kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga.
2. Kas väide "kui arv jagub 3-ga, siis ta jagub 6-ga" on tõene?

Mõtlemisülesanne

1. Miks tuleb väites "parajasti siis, kui" tõestada kaks suunda?
2. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga paarisarv on kujul $2k$" jaoks?
3. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga algarv on paaritu" kontrollimiseks?

Vastused

1. Ei. Näiteks $8$ jagub 4-ga, aga see ei ütle midagi kõigi paarisarvude kohta.
2. Näiteks $-2$ on täisarv, aga ei ole positiivne.
3. Kui $n=6k$, siis $n=3(2k)$; seega $n$ jagub 3-ga.
4. Ei. Näiteks $9$ jagub 3-ga, aga ei jagu 6-ga.
5. Sest ekvivalents väidab, et kumbki tingimus annab teise.
6. Otsest tõestust definitsiooni abil.
7. Vastunäidet: $2$ on algarv, aga ei ole paaritu.

Seosed

See leht valmistab ette loogika, hulkade, geomeetrilise tõestamise, induktsiooni ja algoritmide korrektsuse peatükke. Küsimus ei ole ainult "mis vastus tuli?", vaid "miks see vastus peab alati nii tulema?".

Loogika, hulgad ja tõestus

Mõiste

Loogikas kontrollime, kas järeldus tuleb eeldustest päriselt välja. Hulk on objektide kogum. Tõestus näitab, miks väide kehtib kõigil lubatud juhtudel.

Eeldus: oskad kasutada muutujaid, lihtsaid arvuhulki ja näha, kas näide vastab väitele.

Märgid

• $\in$ tähendab “kuulub hulka”.
• $\subset$ tähendab “on alamhulk”.
• $\Rightarrow$ tähendab “sellest järeldub”.
• $\Leftrightarrow$ tähendab “parajasti siis, kui”.

Implikatsioon

Implikatsioon

$$P\Rightarrow Q$$

tähendab: kui eeldus $P$ kehtib, siis järeldus $Q$ peab kehtima.

Eeldus on lähtekoht; järeldus on see, mida sellest lähtekohast põhjendusega saadakse.

Näide:

Kui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga.

$$4\mid n\Rightarrow 2\mid n.$$

Vastupidine suund ei pruugi kehtida:

$$2\mid n\not\Rightarrow 4\mid n,$$

sest $6$ jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

Seega kontrolli alati, kummast eeldusest alustad ja millise järelduseni pead jõudma.

Ekvivalents

Ekvivalents

$$P\Leftrightarrow Q$$

tähendab, et mõlemad suunad kehtivad:

$$P\Rightarrow Q$$

ja

$$Q\Rightarrow P.$$

Näide:

Täisarv $n$ on paarisarv parajasti siis, kui leidub täisarv $k$, nii et

$$n=2k.$$

Siin toimivad mõlemad suunad:

• kui $n$ on paarisarv, saab teda kirjutada kujul $2k$;
• kui $n=2k$, siis $n$ on paarisarv.

Vastunäide

Üldväite ümberlükkamiseks piisab ühest vastunäitest.

Üldväite tõestamiseks peab põhjendus katma kõik lubatud juhud, mitte ainult mõne näite.

Väide: “Kõik paarisarvud jaguvad 4-ga.”

Vastunäide: $6$ on paarisarv, aga $6$ ei jagu 4-ga.

Seega väide on väär.

Näide

Kui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga. Vastupidine väide ei kehti: 6 jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.

Hulkade näide:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

Kui $x\in\mathbb{N}$, siis kindlasti $x\in\mathbb{Z}$. Vastupidine ei kehti: $-3\in\mathbb{Z}$, aga $-3\notin\mathbb{N}$, kui naturaalarvud algavad 1-st.

Tõlgendus: hulkade sisaldumine annab ühe suuna; vastupidist suunda peab eraldi kontrollima.

Tüüpviga

Üks näide võib väite ümber lükata, aga üks näide ei tõesta üldist väidet.

Teine tüüpviga on segada implikatsioon ja ekvivalents. Väide “kui arv jagub 4-ga, siis jagub 2-ga” ei tähenda automaatselt, et “kui arv jagub 2-ga, siis jagub 4-ga”.

Kolmas tüüpviga on kasutada sõna “või” ja mõelda “ja”. Matemaatikas tähendab “$P$ või $Q$” tavaliselt, et vähemalt üks neist kehtib.

Neljas tüüpviga on pidada vastupidist väidet automaatselt tõeseks. Iga implikatsiooni puhul kontrolli eraldi ka vastupidist suunda.

Kui jäid kinni

Korda hulkadesse kuulumise märke ja vahet väitel ning selle vastupidisel väitel. Vaata näitest, kuidas üks vastunäide lükkab üldise väite ümber. Alusta harjutustest 1 ja 2; tõestuse kirjutamise juurde mine siis, kui implikatsiooni suund on selge.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas väide “kui $x>5$, siis $x>2$” on tõene?
2. Kas vastupidine väide “kui $x>2$, siis $x>5$” on tõene?

Rakendus

1. Too vastunäide väitele “kõik täisarvud on naturaalarvud”.
2. Selgita, mida tähendab $P\Leftrightarrow Q$.

Mõtlemisülesanne

1. Kas väide “arv on paarisarv parajasti siis, kui ta on kujul $2k$, kus $k$ on täisarv” on ekvivalents?
2. Kas “ei kehti korraga $P$ ja $Q$” tähendab sama mis “ei kehti $P$ ega $Q$”? Põhjenda.
3. Olgu $P$: arv jagub 2-ga ja $Q$: arv jagub 3-ga. Mida tähendab “$P$ või $Q$”? Too näide arvust, mis sobib.

Vastused

1. Jah, sest $x>5$ korral on kindlasti $x>2$.
2. Ei. $x=3$ on vastunäide.
3. Näiteks -1 on täisarv, aga ei ole naturaalarv.
4. Mõlemad suunad kehtivad: $P\Rightarrow Q$ ja $Q\Rightarrow P$.
5. Jah: paarisarvust saab kirjutada $n=2k$ ja iga $2k$ kujuline täisarv on paarisarv.
6. Ei. Kui $P$ on tõene ja $Q$ väär, ei kehti need korraga, kuid väide „kumbki ei kehti” on väär.
7. Arv jagub 2-ga või 3-ga või mõlemaga; matemaatiline "või" lubab ka mõlemat korraga. Näiteks 8 sobib, 9 sobib ja 6 sobib mõlemaga.

Seosed

Loogika on tõestuste, võrratuste, funktsioonide omaduste ja kõrgema matemaatika alus. Järgmine matemaatilise induktsiooni peatükk kasutab loogilist järeldamist lõpmatu hulga väidete tõestamiseks.

Funktsioonide teisendused

Mõiste

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Eeldus: oskad lugeda graafiku punkte, tunned lineaar- ja ruutfunktsiooni ning saad aru koordinaatide muutumisest.

Reeglid

Enne/pärast võrdlus funktsiooni $f(x)=x^2$ põhjal:

Teisendust kontrollides vali üks tuttav punkt. Kui (1;1) on graafikul $y=x^2`, siis graafikul `$y=x^2+3 vastab sellele (1;4): ülesnihke korral muutub ainult $y$.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühik alla nihutatud. Haripunkt liigub

$$(0;0)\to(-4;-1).$$

Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis

$$g(x)=\sqrt{x-2}$$

nihkub 2 ühikut paremale. Vastus: alguspunkt (0;0) liigub punktiks (2;0).

Tüüpviga

Avaldis $f(x-c)$ nihutab paremale, mitte vasakule. See tundub esialgu vastupidine, sest muutus toimub sisendi sees.

Teine tüüpviga on ajada segi välised ja sisemised muutused. Väljaspool funktsiooni olev +2 nihutab üles:

$$f(x)+2.$$

Sisendi sees olev +2 nihutab vasakule:

$$f(x+2).$$

Kolmas tüüpviga on arvata, et $2f(x)$ ja $f(2x)$ teevad sama asja. Esimene muudab $y$ väärtusi, teine muudab sisendit ehk horisontaalset suunda.

Neljas tüüpviga on mitme teisenduse korral lugeda ainult üht osa. Näiteks $(x-3)^2+5 nihkub nii paremale kui ka üles.

Viies tüüpviga on vaadata ainult valemit ja mitte kontrollida üht punkti. Punkti liikumine näitab kiiresti, kas nihe läks õiges suunas.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kuhu nihkub $y=x^2+5$?
2. Kuhu nihkub $y=(x+2)^2$?
3. Mida teeb $y=-\sqrt{x}$ võrreldes $y=\sqrt{x}$?
4. Mida teeb $y=3f(x)$ võrreldes $y=f(x)$?

Rakendus

1. Kui $f(x)=x^2$, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?
2. Kuhu liigub parabooli $y=x^2$ haripunkt funktsioonis $y=(x-5)^2-2$?
3. Andur näitab tegelikust väärtusest $f(t)$ alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit $g(t)$ ja kirjelda graafikute erinevust.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust $y=f(x)$ graafiku $y=-f(x+4)$.
2. Selgita, miks $y=f(x)+4$ ja $y=f(x+4)$ ei kirjelda sama nihet.
3. Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?
4. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x)+3$?
5. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x-4)$?

Vastused

1. 5 ühikut üles, sest +5 on funktsioonist väljaspool.
2. 2 ühikut vasakule, sest sisendis olev +2 toimib vastassuunas.
3. Peegeldab graafiku $x$-telje suhtes; iga $y$-väärtus vahetab märki.
4. Venitab graafikut vertikaalselt 3 korda; $x$ jääb samaks, $y$ korrutub 3-ga.
5. $y=(x-4)^2$, sest paremale nihe kirjutatakse sisendis x-4.
6. Haripunkt liigub punktist (0;0) punkti (5;-2).
7. $g(t)=f(t)+7$; anduri graafik on tegeliku väärtuse graafikust 7 ühikut kõrgemal.
8. Nihuta graafik 4 ühikut vasakule ja peegelda seejärel $x$-telje suhtes.
9. $f(x)+4$ nihutab üles, sest liidetav on funktsioonist väljas; $f(x+4)$ nihutab vasakule, sest muutus on sisendi sees.
10. $y=\sqrt{x-3}$; paremale nihe kirjutatakse sisendis x-3.
11. (2;8), sest muutub ainult $y$-väärtus.
12. (6;5), sest graafik nihkub 4 ühikut paremale ja $y$ ei muutu.

Seosed

Funktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.

Täisnurkse kolmnurga lahendamine

Mõiste

Kolmnurga lahendamine tähendab kõigi puuduvate külgede ja nurkade leidmist. Täisnurkses kolmnurgas piisab tavaliselt kahest sõltumatust antud suurusest, millest vähemalt üks on külg.

Eeldus: oskad nimetada hüpotenuusi ja kaateteid, kasutada Pythagorase teoreemi ning leida kalkulaatoriga trigonomeetrilise suhte või nurga.

Tööjärjekord:

1. joonista ja märgi täisnurk;
2. kirjuta teadaolevad suurused joonisele;
3. vali seos, milles on otsitav ja teadaolevad suurused;
4. leia ülejäänud külg või nurk;
5. kontrolli $\alpha+\beta=90^\circ$ ja seda, et hüpotenuus on pikim.

Näide

Täisnurkse kolmnurga lähiskaatet nurga $\alpha=38^\circ$ suhtes on 5 cm. Leiame ülejäänud suurused.

$$a=5\tan38^\circ\approx3,91\text{ cm},$$

$$c=\frac5{\cos38^\circ}\approx6,35\text{ cm}.$$

Teine teravnurk on $\beta=90^\circ-38^\circ=52^\circ$. Pindala on

$$S=\frac{ab}{2}\approx\frac{3,91\cdot5}{2}\approx9,78\text{ cm}^2.$$

Kontroll: $c$ on mõlemast kaatetist pikem ja nurkade summa on $180^\circ$.

Tüüpviga

Tüüpviga on hakata valemit valima enne joonise märkimist. Sama külg võib ühe teravnurga suhtes olla vastas-, teise suhtes lähiskaatet.

Teine tüüpviga on ümardada iga vahesamm liiga vara. Hoia kalkulaatoris rohkem numbreid ja ümarda lõppvastus ülesandes nõutud täpsuseni.

Kolmas tüüpviga on unustada teine teravnurk või pindala, kuigi ülesanne palub lahendada kogu kolmnurga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Üks teravnurk on $27^\circ$. Leia teine teravnurk.
2. Kaatetid on 6 cm ja 8 cm. Leia hüpotenuus.

Rakendus

1. Hüpotenuus on 12 cm ja nurk $35^\circ$. Leia selle nurga vastaskaatet.
2. Lähiskaatet on 7 cm ja vastaskaatet 4 cm. Leia väiksem teravnurk.
3. Kaatetid on 5 cm ja 9 cm. Leia pindala ning mõlemad teravnurgad.

Mõtlemisülesanne

1. Täisnurkse trapetsi kõrgus on 6 cm ja kaldhaar moodustab alusega nurga $45^\circ$. Kui palju erinevad aluste pikkused?
2. 8-meetrine lipumast heidab 11-meetrise varju. Leia päikese tõusunurk.
3. Miks ei piisa täisnurkse kolmnurga lahendamiseks ainult kahe teravnurga teadmisest?

Vastused

Kontroll: kahe teravnurga summa peab olema $90^\circ$ ja hüpotenuus peab jääma pikimaks küljeks.

1. $63^\circ$.
2. 10 cm.
3. $a=12\sin35^\circ\approx6,88$ cm.
4. $\alpha=\arctan\frac47\approx29,7^\circ$.
5. $S=22,5\text{ cm}^2$; väiksem nurk on $\arctan\frac59\approx29,1^\circ$, teine umbes $60,9^\circ$.
6. Erinevus on $6: \tan45^\circ=6$ cm.
7. $\alpha=\arctan\frac8{11}\approx36,0^\circ$.
8. Nurgad määravad kuju, kuid mitte mõõtkava; sama nurgaga kolmnurki saab suurendada või vähendada.

Seosed

Täisnurkse kolmnurga terviklahendus on tasandi- ja ruumiülesannete tööriist. Gümnaasiumis laiendavad siinus- ja koosinusteoreem sama mõtte kolmnurkadele, milles täisnurka ei ole.

Vektorid

Mõiste

Vektor kirjeldab nihet. Vektoril on pikkus ja suund, aga tal ei ole kindlat asukohta: sama vektorit võib joonisel nihkena ümber paigutada, kui pikkus ja suund jäävad samaks.

Eeldus: oskad lugeda koordinaate, kasutada Pythagorase teoreemi ja eristada punkti asukohta nihkest.

Koordinaatteljestikus saab vektorit kirjeldada komponentidega. Näiteks vektor $\vec a=(3;2)$

tähendab nihet 3 ühikut $x$-suunas ja 2 ühikut $y$-suunas.

Negatiivne komponent tähendab liikumist vastassuunas: $(4;-2)$ liigub 4 ühikut paremale ja 2 ühikut alla.

Kui vektor viib punktist $A(x_1;y_1)$ punkti $B(x_2;y_2)$, siis

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1).$$

Tehted

Kui

$$\vec a=(a_1;a_2),\qquad \vec b=(b_1;b_2),$$

siis

$$\vec a+\vec b=(a_1+b_1;\ a_2+b_2),$$

$$\vec a-\vec b=(a_1-b_1;\ a_2-b_2),$$

$$k\vec a=(ka_1;\ ka_2).$$

Vektorite liitmisel võib mõelda nii: pane teise vektori algus esimese vektori lõppu. Summa läheb esimese algusest teise lõppu.

Sama mõte töötab ka mitme vektoriga. Aseta vektorid järjestikku; summa ühendab esimese vektori alguse ja viimase vektori lõpu.

Kontrolli pildilt: kui alustad punktist (0;0), peab viimase noole lõpp olema sama punkt, mille saad komponentide summana.

Näiteks

$$(2;3)+(4;-2)+(1;4)+(2;-1)=(9;4).$$

Võid liita järjest või rühmitada:

$$(2;3)+(4;-2)=(6;1),$$

$$(1;4)+(2;-1)=(3;3),$$

$$(6;1)+(3;3)=(9;4).$$

Vektori pikkus:

$$|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.$$

Nullvektor on $\vec 0=(0;0)$. Selle pikkus on 0 ja suunda tavaliselt ei määrata.

Kolmemõõtmeline vektor

Ruumis on vektoril kolm komponenti:

$$\vec v=(x;y;z).$$

Esimene komponent kirjeldab liikumist $x$-suunas, teine $y$-suunas ja kolmas $z$-suunas.

Näiteks $(2;3;1)$ tähendab: 2 ühikut $x$-suunas, 3 ühikut $y$-suunas ja 1 ühik $z$-suunas.

3D vektorite liitmine käib samuti komponentide kaupa:

$$(x_1;y_1;z_1)+(x_2;y_2;z_2)=(x_1+x_2;\ y_1+y_2;\ z_1+z_2).$$

3D vektori pikkus on

$$|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Näiteks vektori $(2;3;1) pikkus on

$$\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}.$$

Joonisel ja arvutustes loetakse komponente alati samas järjekorras: esmalt $x$, siis $y$, ruumis lisaks $z$.

Näide

Kui $\vec a=(2;1)$ ja $\vec b=(3;-2)$, siis

$$\vec a+\vec b=(2+3;\ 1+(-2))=(5;-1).$$

Kui punktid on $A(1;2)$ ja $B(4;6)$, siis

$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\ 6-2)=(3;4).$$

Vektori (3; 4) pikkus on

$$|(3;4)|=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Vastus: vektorite summa on (5;-1), punktide vaheline nihe on (3;4) ja selle pikkus on 5.

Tüüpviga

Punkt ja vektor võivad olla sama koordinaatpaariga, aga tähendavad eri asja: punkt on asukoht, vektor on nihe.

Teine sage viga on liita vektori pikkusi, kui on vaja liita vektoreid. Enne pikkuse leidmist liida komponendid:

$$(2;1)+(3;-2)=(5;-1),$$

ja alles siis leia summa pikkus, kui seda küsitakse.

Kolmas tüüpviga on ajada segi $\overrightarrow{AB}$ ja $\overrightarrow{BA}$. Need on vastandvektorid: suund on teine ja komponendid on vastasmärgiga.

Kui jäid kinni

Korda koordinaatteljestikul punkti lugemist ja kahe punkti vahe leidmist. Vaata näitest, kuidas punktidest $A$ ja $B$ tekib nihe $\overrightarrow{AB}$. Alusta harjutustest 1 ja 3; pikkuse leidmist tee pärast seda, kui komponentide liitmine on kindel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia (2; -1)+(5; 3).
2. Leia vektori (-6; 8) pikkus.
3. Mis vektor viib punktist (1; 2) punkti (4; 6)?
4. Leia 2(3; -1).

Rakendus

1. Robot liigub ruumis nihetega (1;2;3) ja (4;-2;0). Leia kogunihe.
2. Drooni nihe stardipunktist on (1;2;2) meetrit. Kui kaugel on droon?
3. Leia vektor punktist $A(2;-5)$ punkti $B(-3;4)$.

Mõtlemisülesanne

1. Kui $\overrightarrow{AB}=(2;3)$ ja $\overrightarrow{BC}=(4;-1)$, leia $\overrightarrow{AC}$ ning põhjenda liitmist.
2. Kas vektoritel (5;12) ja (-5;-12) on sama pikkus ja suund? Põhjenda.
3. Leia vektorite (2;-1;4) ja (-3;5;1) summa ning selle summa pikkus.
4. Kui $\overrightarrow{AB}=(4;-3)$, siis mis on $\overrightarrow{BA}$?

Vastused

1. Summa on (7;2), ehk nihe 7 ühikut paremale ja 2 ühikut üles.
2. 10, sest $\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{100}$.
3. (3;4), sest nihe on 3 ühikut paremale ja 4 ühikut üles.
4. Tulemus on (6;-2), sest mõlemad komponendid korrutatakse arvuga 2.
5. (5;0;3), sest liitmine käib komponentide kaupa.
6. 3, sest $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9$.
7. (-5;9), sest lõpp-punktist lahutatakse alguspunkt.
8. (6;2), sest $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
9. Mõlema pikkus on 13, kuid suunad on vastupidised, sest komponendid on vastasmärgiga.
10. Summa on (-1;4;5) ja pikkus on $\sqrt{42}$; enne pikkust liida komponendid.
11. (-4;3), sest vastassuunaline vektor muudab mõlema komponendi märgi.

Seosed

Vektorid seovad koordinaate, suunda ja pikkust. Järgmine koordinaatgeomeetria peatükk kasutab samu ideid sirgete, kauguste ja keskpunktide leidmisel.

Skalaarkorrutis ja vektorite nurk

Mõiste

Kahe vektori skalaarkorrutis on arv, mis seob nende pikkused ja vahelise nurga. Tasandil

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2.$$

Eeldus: oskad vektoreid komponentide kaupa liita, leida vektori pikkust ning kasutada koosinust.

Geomeetriliselt

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha,$$

kus $\alpha$ on vektorite vaheline nurk vahemikus $0^\circ$ kuni $180^\circ$.

Seega mittenullvektorite korral

$$\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}.$$

• Kui $\vec a\cdot\vec b>0$, on nurk terav.
• Kui $\vec a\cdot\vec b=0$, on mittenullvektorid risti.
• Kui $\vec a\cdot\vec b<0$, on nurk nüri.

Vektorid on kollineaarsed, kui üks on teise arvkordne: $\vec b=k\vec a$. Samasuunaliste korral $k>0$, vastassuunaliste korral $k<0$.

Näide

Olgu

$$\vec a=(3;4),\qquad \vec b=(-4;3).$$

Siis

$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot(-4)+4\cdot3=0.$$

Mõlemad vektorid on mittenullvektorid, seega on nad risti.

Olgu nüüd $\vec u=(1;0)$ ja $\vec v=(1;1)$. Siis

$$\cos\alpha=\frac{1}{1\cdot\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},$$

seega $alpha=45^\circ$.

Vastus: $\vec a$ ja $\vec b$ on risti ning $\vec u$ ja $\vec v$ moodustavad 45-kraadise nurga.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et skalaarkorrutis on vektor. Tulemus on arv ehk skalaar.

Teine tüüpviga on järeldada võrdusest $\vec a\cdot\vec b=0$ ristseisu, kontrollimata nullvektorit. Nullvektoril pole kindlat suunda ega vektoritevahelist nurka.

Kolmas tüüpviga on kasutada nurga valemis ainult skalaarkorrutist ja unustada vektorite pikkused.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $(2;3)\cdot(4;-1)$.
2. Kas vektorid (1;2) ja (2;-1) on risti?
3. Kas (2;4) ja (-1;-2) on kollineaarsed?

Rakendus

1. Leia vektorite (1;0) ja (0;5) vaheline nurk.
2. Jõuvektor on $(6;8)$ njuutonit ja nihkevektor $(3;4)$ meetrit. Leia nende skalaarkorrutis ehk tehtud töö.
3. Leia vektorite (1;1) ja (-1;1) vaheline nurk.

Mõtlemisülesanne

1. Miks on vastassuunaliste mittenullvektorite skalaarkorrutis negatiivne?
2. Leia $k$, et vektorid (k;2) ja (4;-2) oleksid risti.
3. Kas sama pikkusega vektorid peavad olema võrdsed? Põhjenda skalaarkorrutise või suuna abil.

Vastused

1. $5$, sest $2\cdot4+3\cdot(-1)=5$.
2. Jah, sest $1\cdot2+2\cdot(-1)=0$ ja kumbki pole nullvektor.
3. Jah, sest $(-1;-2)=-\frac12(2;4)$; suunad on vastupidised.
4. $90^\circ$, sest skalaarkorrutis on 0.
5. $50\ \text{J}$, sest $6\cdot3+8\cdot4=50$ ja njuutonmeeter on džaul.
6. $90^\circ$, sest skalaarkorrutis $-1+1=0$.
7. Nende nurk on $180^\circ$ ja $\cos180^\circ=-1$.
8. $k=1$, sest $4k-4=0$.
9. Ei. Sama pikkusega vektorid võivad olla eri suundades; võrdsus nõuab nii sama pikkust kui ka sama suunda.

Seosed

Skalaarkorrutis annab koordinaatgeomeetriale ristseisu ja nurga kontrolli. Järgmistes peatükkides kasutatakse seda sirgete asendi ning geomeetriliste mudelite kirjeldamisel.

Koordinaatgeomeetria

Mõiste

Koordinaatgeomeetria kasutab geomeetriliste objektide kirjeldamiseks arve ja võrrandeid.

Eeldus: oskad lugeda koordinaate, arvutada vektori pikkust ja leida lineaarfunktsiooni tõusu.

Punkti asukohta kirjeldavad koordinaadid, lõigu pikkust saab arvutada Pythagorase teoreemi abil ning sirget saab kirjeldada võrrandiga.

Samad arvud võivad olla eri rollis: punkt (3;2) ütleb asukoha, vektor (3;2) või nihe (3;2) ütleb, kui palju liikuda $x$- ja $y$-suunas.

Sirge võrrand ei ole sirge ise; see on tingimus, mida täidavad täpselt selle sirge punktide koordinaadid.

Kaugus ja keskpunkt

Kahe punkti $A(x_1;y_1)$ ja $B(x_2;y_2)$ vaheline kaugus:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$

Lõigu keskpunkt:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right).$$

Keskpunkti mõlemas koordinaadis võetakse otspunktide vastavate koordinaatide keskmine.

Kauguse valem tuleb sellest, et punktide vaheline nihe on

$$(x_2-x_1;\ y_2-y_1),$$

ja selle komponendid moodustavad täisnurkse kolmnurga kaatetid.

Enne valemi kasutamist ütle, milline on horisontaalne vahe ja milline vertikaalne vahe; siis on näha, kust kaatetid tulevad.

Kaugus ise on alati mittenegatiivne; suund kaob ruutu tõstes ära.

Sirge võrrand

Kõige sagedamini kirjutatakse sirge võrrand kujul

$$y=kx+b.$$

Siin $k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Sirge lõikab $y$-telge punktis (0;b).

Kui sirgel on kaks punkti $A(x_1;y_1)$ ja $B(x_2;y_2)$, siis tõus on

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_1\ne x_2.$$

Pärast tõusu leidmist saab $b$ leida, asendades sirge võrrandisse ühe teadaoleva punkti.

Kui $x_1=x_2$, on sirge vertikaalne. Seda ei saa kirjutada kujul $y=kx+b$; selle võrrand on

$$x=x_1.$$

Kui $y_1=y_2$, on sirge horisontaalne ja selle võrrand on $y=y_1$.

Näide

Punktide (1; 2) ja (4; 6) kaugus:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Nende keskpunkt on

$$M\left(\frac{1+4}{2};\frac{2+6}{2}\right)=(2{,}5;4).$$

Leiame sirge võrrandi, mis läbib punkte (1;3) ja (3;7).

Tõus on

$$k=\frac{7-3}{3-1}=2.$$

Seega on sirge kujul $y=2x+b$. Asendame punkti (1;3):

$$3=2\cdot 1+b,$$

$$b=1.$$

Sirge võrrand on

$$y=2x+1.$$

Vastus: kaugus on 5, keskpunkt (2,5;4) ja sirge võrrand $y=2x+1$.

Tüüpviga

Kauguse valemis ruudud kaotavad märgi. Seepärast ei ole vahet, kumb punkt enne lahutada.

Sirge tõusu valemis peab järjekord olema mõlemas vahes sama:

$$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},$$

mitte näiteks $\frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$.

Veel üks tüüpviga on proovida vertikaalset sirget kirjutada kujul $y=kx+b$. Kui kõik sirge punktid on näiteks $x=4$, siis sirge võrrand on $x=4$.

Neljas tüüpviga on ajada segi horisontaalne ja vertikaalne sirge: $y=3$ on horisontaalne, $x=3$ on vertikaalne.

Teine seletusviis

Kahe punkti kaugus on peidetud täisnurkne kolmnurk: horisontaalne vahe on üks kaatet ja vertikaalne vahe teine.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia punktide (0; 0) ja (5; 12) kaugus.
2. Leia lõigu otspunktidega (-2; 4) ja (6; 8) keskpunkt.
3. Kuidas on kauguse valem seotud Pythagorase teoreemiga?

Rakendus

1. Matkaraja profiil läbib punktid (2;1) ja (5;7). Leia tõus ja selgita selle märki.
2. Tee läbib punktid (0;-3) ja (4;5). Leia tee sirgvõrrand ning kontrolli teise punktiga.

Mõtlemisülesanne

1. Mis on vertikaalse sirge võrrand, kui ta läbib punkti (6;-2)?
2. Leia punktide (-1;-1) ja (2;3) kaugus ning keskpunkt.
3. Kas vertikaalset sirget $x=6$ saab kirjutada kujul $y=kx+b$? Põhjenda.

Vastused

1. 13, sest vahed on 5 ja 12 ning $\sqrt{5^2+12^2}=13$.
2. (2;6), sest keskpunktis võetakse mõlema koordinaadi keskmine.
3. Punktide koordinaatide vahed on täisnurkse kolmnurga kaatetid; kaugus on hüpotenuus.
4. $k=\frac{7-1}{5-2}=2$; positiivne tõus tähendab, et $x$ kasvades kasvab ka $y$.
5. $y=2x-3$, sest tõus on 2 ja punkt (0;-3) annab algordinaadi; punkt (4;5) sobib kontrolliks.
6. $x=6$, sest vertikaalsel sirgel on kõigil punktidel sama $x$.
7. Kaugus on 5, keskpunkt on $(0{,}5;1)$; vahed on 3 ja 4, seega kasutatakse Pythagorast.
8. Ei. Vertikaalsel sirgel ei ole lõplikku tõusu ja ühele $x$-ile vastab mitu $y$ väärtust; võrrand jääb $x=6$.

Seosed

Koordinaatgeomeetria ühendab vektorid, lineaarfunktsiooni ja Pythagorase teoreemi. Järgmine ruumigeomeetria peatükk laiendab sama koordinaatide ja pikkuste mõtte kolmemõõtmeliseks.

Joone ja ringjoone võrrandid

Mõiste

Joone võrrand on tingimus, mida täidavad täpselt selle joone punktide koordinaadid. Sirget saab kirjeldada mitmel samaväärsel kujul.

Eeldus: oskad leida kahe punkti vahelist vektorit, sirge tõusu ja lõigu keskpunkti ning tunned vektorite ristseisu.

Sirge levinud kujud:

$$y=kx+b,$$

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

$$Ax+By+C=0.$$

Kui sirge läbib punkti $P(x_0;y_0)$ ja tema sihivektor on $(p;q)$, siis sobib võrrand

$$q(x-x_0)-p(y-y_0)=0.$$

Paralleelsetel mittevertikaalsetel sirgetel on sama tõus. Ristuvate sirgete korral on $k_1k_2=-1$, kui mõlemad tõusud on olemas.

Ringjoon keskpunktiga $K(a;b)$ ja raadiusega $r$:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$$

Joonte lõikepunkti leidmiseks lahendatakse nende võrranditest moodustatud süsteem.

Näide

Sirge läbib punkte $A(1;2)$ ja $B(3;6)$. Tõus on

$$k=\frac{6-2}{3-1}=2.$$

Punkti-tõusu kuju annab

$$y-2=2(x-1),$$

seega $y=2x$ ehk üldkujul $2x-y=0$.

Ringjoone keskpunkt on $K(1;-2)$ ja raadius 3. Selle võrrand on

$$(x-1)^2+(y+2)^2=9.$$

Ringjoone $x^2+y^2=25$ ja sirge $y=0$ lõikepunktid leiame asendades:

$$x^2=25,$$

seega lõikepunktid on $(-5;0)$ ja $(5;0)$.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et $y=kx+b$ kirjeldab kõiki sirgeid. Vertikaalse sirge võrrand on $x=c$.

Teine tüüpviga on ringjoone keskpunkti märk valesti lugeda. Avaldises $(x-4)^2+(y+1)^2=9$ on keskpunkt (4;-1).

Kolmas tüüpviga on leida kahe joone lõikepunkt ainult ühe võrrandi järgi. Lõikepunkt peab rahuldama mõlemat võrrandit.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta punkti (2;3) läbiva tõusuga 4 sirge võrrand punkti-tõusu kujul.
2. Kirjuta ringjoone võrrand, kui keskpunkt on (0;0) ja raadius 5.
3. Leia ringjoone $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ keskpunkt ja raadius.

Rakendus

1. Leia punkte (0;1) ja (2;5) läbiva sirge võrrand.
2. Kas sirged $y=2x+1$ ja $y=2x-3$ lõikuvad?
3. Leia sirge $y=x$ ja ringjoone $x^2+y^2=8$ lõikepunktid.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjuta punkti (1;2) läbiva sihivektoriga (3;1) sirge võrrand.
2. Leia sirge, mis läbib punkti (2;-1) ja on sirgega $y=\frac12x+4$ risti.
3. Selgita, miks sirgel ja ringjoonel võib olla 0, 1 või 2 lõikepunkti.

Vastused

1. $y-3=4(x-2)$.
2. $x^2+y^2=25$.
3. Keskpunkt on (2;-3) ja raadius 4.
4. $y=2x+1$; tõus on 2 ja algordinaat 1.
5. Ei. Sirgetel on sama tõus ja erinev algordinaat, seega on nad paralleelsed.
6. (2;2) ja (-2;-2), sest asendamisel saadakse $2x^2=8$.
7. $x-3y+5=0$, sest $1(x-1)-3(y-2)=0$.
8. $y+1=-2(x-2)$ ehk $y=-2x+3$; tõusude korrutis on -1.
9. Sirge võib jääda ringjoonest väljapoole, puutuda seda ühes punktis või läbida seda kahes punktis.

Seosed

Joonevõrrandid ühendavad vektorid, funktsioonid ja võrrandisüsteemid. X klassi lõpus saab sama joonist kirjeldada koordinaatide, vektori, sirge võrrandi ja trigonomeetria kaudu.

Püramiid ja pöördkehade arvutused

Mõiste

Ruumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.

Eeldus: tunned püramiidi, silindrit, koonust ja kera ning oskad kasutada Pythagorase teoreemi.

Korrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus. See ei ole keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja $s$.

Sfäär on kera pind; kera sisaldab ka sisemust. Silindri telglõige on ristkülik, koonuse telglõige võrdhaarne kolmnurk ja kera suurringi raadius võrdub kera raadiusega.

Näide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:

$$m=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$$

Põhja pindala on $36\text{ cm}^2$. Nelja külgtahu pindala kokku on

$$S_k=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=60\text{ cm}^2.$$

Seega täispindala on 96 cm² ja ruumala

$$V=\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3.$$

Tüüpviga

Tüüpviga on kasutada püramiidi külgtahu pindalas keha kõrgust. Külgtahu kolmnurga kõrgus on apoteem. Teine tüüpviga on panna koonuse ruumala valemisse moodustaja $s$; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust $h$.

Kolmas tüüpviga on jätta täispindalast põhi või teine põhi välja. Silindril on kaks ringikujulist põhja, koonusel üks. Neljas tüüpviga on vastata pindalale kuupühikuga või ruumalale ruutühikuga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhja on silindril ja mitu koonusel?
2. Leia kera pindala, kui $r=3$ cm.
3. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ cm ja $h=5$ cm.

Rakendus

1. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=4$ cm.
2. Koonuse raadius on 5 cm ja kõrgus 12 cm. Leia moodustaja.
3. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja kõrgus 3 cm. Leia apoteem.

Mõtlemisülesanne

1. Leia eelmise püramiidi täispindala ja ruumala.
2. Silindri raadius kahekordistub, kõrgus ei muutu. Mitu korda muutub ruumala?
3. Kumb mahutab rohkem: silinder või sama põhja ja kõrgusega koonus? Mitu korda?

Vastused

1. Silindril kaks, koonusel üks põhi.
2. $4\pi\cdot3^2=36\pi\text{ cm}^2$.
3. $20\pi\text{ cm}^3$.
4. $\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\text{ cm}^3$.
5. $s=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm.
6. $m=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
7. $S=8^2+4\cdot\frac{8\cdot5}{2}=144\text{ cm}^2$; $V=\frac13\cdot64\cdot3=64\text{ cm}^3$.
8. Neli korda, sest ruumala sisaldab tegurit $r^2$.
9. Silinder mahutab kolm korda rohkem; koonuse ruumala on sama $S_p$ ja $h$ korral kolmandik.

Seosed

Ruumiliste kehade arvutused ühendavad tasandiliste kujundite pindala, Pythagorase teoreemi, trigonomeetria ja ühikud. Keerukas ruumiülesanne muutub enamasti lihtsamaks, kui joonistad telglõike või ühe külgtahu eraldi.

X klassi geomeetria ja trigonomeetria sild

Mõiste

X klassis liigub geomeetria jooniselt arvutuslikuks. Punktid, vektorid, koordinaadid ja trigonomeetria kirjeldavad sama ruumilist mõtet eri keeles.

Eeldus: oskad kasutada Pythagorase teoreemi, lugeda koordinaate ning eristada täisnurkse kolmnurga lähiskaatet, vastaskaatetit ja hüpotenuusi.

Trigonomeetria ei ole eraldi saar: see mõõdab nurkade ja pikkuste seoseid.

Valiku lihtne reegel: kui punktid on koordinaatidega antud, alusta koordinaatidest; kui antud on küljed ja nurgad, alusta kolmnurga seostest.

Näide

Punktid on $A(1;2)$ ja $B(5;5)$. Vektor punktist $A$ punkti $B$ on

$$\overrightarrow{AB}=(5-1;\ 5-2)=(4;\ 3).$$

Selle vektori pikkus on

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

Kui vaatad sama olukorda täisnurkse kolmnurgana, siis lähiskaatet on 4, vastaskaatet 3 ja hüpotenuus 5.

Tõlgendus: koordinaatide vahe, vektori pikkus ja hüpotenuus kirjeldavad sama lõiku.

$$\sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\alpha=\frac45.$$

Sama lõiku sisaldava sirge tõus on $ rac34$ ja võrrand

$$y-2=\frac34(x-1),$$

ehk üldkujul $3x-4y+5=0$. Nii kirjeldavad vektor, kaugus, trigonomeetriline suhe ja sirge võrrand sama joonist eri küsimuste jaoks.

Tüüpviga

Tüüpviga on õppida vektoreid ja trigonomeetriat eraldi reeglitena. Sageli on need sama joonise kaks kirjeldust: vektor ütleb nihke, trigonomeetria seob selle nihke nurga ja pikkusega.

Teine tüüpviga on segada koordinaate ja vektori komponente. Punkt (5;5) on asukoht, vektor (4;3) on nihe.

Kolmas tüüpviga on arvutada nurga siinust vale nurga suhtes. Enne valemit märgi joonisel, milline külg on vaadeldava nurga vastas.

Neljas tüüpviga on ümardada liiga vara. Hoia vahetulemustes täpne juur või murd ning ümarda alles lõpus.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia vektor punktist $A(2;1)$ punkti $B(7;4)$.
2. Leia selle vektori pikkus.

Rakendus

1. Kui täisnurkses kolmnurgas on kaatetid 5 ja 12, leia hüpotenuus.
2. Sama kolmnurga korral kirjuta vaadeldava teravnurga siinus, kui vastaskaatet on 5.

Mõtlemisülesanne

1. Millal kasutaksid vektorit, millal sirge võrrandit ja millal täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat?
2. Selgita ühe lausega, miks vektor (a;b) tekitab täisnurkse kolmnurga.
3. Punktid $A(0;0)$ ja $B(6;8)$. Leia $\overrightarrow{AB}$ pikkus ja seos täisnurkse kolmnurgaga.
4. Miks peab trigonomeetriaülesandes enne arvutamist otsustama, millist nurka vaadeldakse?
5. Vektor on (8;6). Leia vektori pikkus ja vaadeldava teravnurga siinus, kui vastaskaatet on 6.

Vastused

1. (5;3), sest lahutame lõpp-punktist alguspunkti koordinaadid.
2. $\sqrt{34}$, sest komponendid 5 ja 3 on täisnurkse kolmnurga kaatetid.
3. 13, sest $\sqrt{5^2+12^2}=13$.
4. $\frac5{13}$.
5. Vektorit kasuta nihke või suuna jaoks, sirge võrrandit joone kõigi punktide kirjeldamiseks ning trigonomeetriat nurga ja külgede suhte leidmiseks.
6. Komponendid $a$ ja $b$ on risti suundades ning vektor on hüpotenuus.
7. Vektor on (6;8) ja pikkus $\sqrt{6^2+8^2}=10$; komponendid on kaatetid.
8. Sama külg võib ühe nurga suhtes olla vastaskaatet, teise suhtes lähiskaatet.
9. Pikkus on $\sqrt{8^2+6^2}=10$ ja $\sin\alpha=\frac6{10}=\frac35$.

Klassi kordamine

Enne XI klassi liikumist kontrolli viit oskust:

1. Kas oskad kahest punktist moodustada vektori?
2. Kas oskad vektori pikkust leida Pythagorase teoreemiga?
3. Kas märgid enne siinust või koosinust vaadeldava nurga?
4. Kas oskad skalaarkorrutise abil kontrollida ristseisu?
5. Kas oskad kahest punktist koostada sirge võrrandi?

Segakontroll: punktid on $A(1;1)$ ja $B(7;9)$. Leia $\overrightarrow{AB}$, selle pikkus, teravnurga siinus, kui vastaskaatet on vektori teine komponent, ning punkte läbiva sirge võrrand.

Vastus: $\overrightarrow{AB}=(6;8)$, pikkus 10 ja $\sin\alpha=\frac8{10}=\frac45$, sest 8 on vastaskaatet. Sirge tõus on $ rac43$, seega $y-1=\frac43(x-1)$ ehk $4x-3y-1=0$.

Seosed

See sild ühendab koordinaatgeomeetria, vektorid, joonevõrrandid ja trigonomeetria. Järgmine õpiteekonna moodul viib sama arvutusliku mõtte funktsioonide muutumise ja analüüsi juurde.

Probleemilahendus ja mudelid

Mõiste

Matemaatiline mudel on päriselulise olukorra lihtsustatud kirjeldus: valem, tabel, graafik, võrrand või simulatsioon.

Eeldus: oskad kasutada protsente, võrdeid, lihtsaid võrrandeid ja lineaarfunktsiooni.

Mudelil on sisend ja väljund. Sisend on suurus, mille mudelisse paned; väljund on arvutatud vastus. Täht saab tähenduse alles siis, kui ütled tema rolli ja ühiku.

Andmetest mudelini

Mudeli valik algab eeldusest, mitte valemist: punktid -> tabel, ruumiline olukord -> joonis, tundmatu -> võrrand, napid andmed -> hinnang.

Kontrollküsimused

Enne vastuse lõplikuks lugemist küsi:

• Kas vastasin sellele, mida küsiti?
• Kas ühikud on õiged?
• Kas tulemus on realistlik?
• Kas mudeli eeldused sobivad ka väga väikese või väga suure sisendi korral?
• Kas on vaja ümardada ning kuidas seda päriselus tõlgendada?

Näide

Kui rattalaenutus maksab 4 eurot alustasu ja 3 eurot tunnis, siis

$$y=3x+4.$$

Siin $x$ on sisend ehk tunnid ja $y$ on väljund ehk hind eurodes.

Kui küsitakse, mitu tundi saab sõita 19 euro eest, siis lahendame võrrandi

$$3x+4=19.$$

$$3x=15,$$

$$x=5.$$

Vastus: 19 euro eest saab sõita 5 tundi.

Kontroll:

• ühik on tund;
• $3\cdot5+4=19$;
• vastus on mõistlik, sest alustasu võtab 4 eurot ja ülejäänud 15 eurot katab 5 tundi.

Teine näide

Klass tellib märkmikke. Ühe märkmiku hind on 2,50 eurot ja kohaletoimetamine maksab 6 eurot. Kui tellitakse $n$ märkmikku, siis

$$C=2{,}50n+6.$$

Kui klassis on 24 õpilast ja igaüks saab ühe märkmiku, siis

$$C=2{,}50\cdot24+6=66.$$

Eeldus: tükihind on püsiv ja kohaletoimetamine ühekordne.

Tüüpviga

Mudel ei ole tegelikkus ise. See jätab osa asju välja, seega küsi, millal mudel sobib.

Teine tüüpviga on valida muutujad, aga mitte öelda, mida nad tähendavad. $x$ üksi ei ole piisav; kirjuta “$x$ on tundide arv”.

Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Valem $y=3x+4$ ei ütle ainult arve: $x$ on tunnid ja $y$ on eurod.

Neljas tüüpviga on kasutada mudelit väljaspool mõistlikku piirkonda. Rattalaenutuse valem ei pruugi sobida negatiivse aja, väga pika rendi või päevapileti erihinna korral.

Teine seletusviis

Mudelit saab alustada tabeli, joonise, võrrandi või hinnanguga. Vali kuju, mis teeb seose nähtavaks.

Harjutused

Kitsas fookus: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Lai fookus: nimeta eeldused ja piirangud.

Lihtne kontroll

1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.
2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?

Rakendus

1. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast $t$ minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.
2. Millist eeldust teeb lineaarne mudel $y=3x+4$ rattalaenutuse näites?

Mõtlemisülesanne

1. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.
2. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?
3. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.

Vastused

1. $C=8+0{,}05s$, kus $s$ on sõnumite arv.
2. $C=8+0{,}05\cdot120=14$ eurot.
3. $V=200+15t$, kus $t$ on minutites ja $V$ liitrites.
4. Iga lisatund maksab sama palju ja alustasu on ainult üks kord, seega sobib lineaarmudel.
5. Näiteks: kas ühikud on õiged ja kas vastus on realistlik?
6. Siis, kui muutus ei ole püsiv, näiteks kasv kiireneb või aeglustub.
7. Sisend on tundide arv $x$, väljund on hind $y$; eeldus on, et iga lisatund maksab 3 eurot.

Seosed

Modelleerimine ühendab arvud, algebra, funktsioonid, geomeetria, statistika ja analüüsi. Järgmine peatükk tugevdab mudeli kontrolli: ühikud ja suurusjärk näitavad, kas vastus saab päriselus õige olla.